Capacitores y Dieléctricos

Capacitores y Dieléctricos
Los problemas para la tarea son: 1, 4, 7, 9 y 5
Los demás son adicionales por si desean intentar hacerlos
1. Un condensador esférico consiste de dos esferas concéntricas de radio a y b,
con a < b. Demostrar que su capacitancia es:
C  4 0
ab
ba
2. Supóngase que las dos esferas de un capacitor esférico tienen sus radios
aproximadamente iguales. Bajo estas condiciones el dispositivo es similar a un
capacitor de placas paralelas con b – a = d. Demostrar que la fórmula:
C  4 0
ab
ba
se reduce a la ecuación:
C
q  0 AE  0 A


V
Ed
d
en este caso.
3. Un condensador de placas paralelas tiene placas circulares de 8 cm de radio y
separadas 1.0 mm. ¿Qué carga aparecerá en las placas si se aplica una
diferencia de potencial de 100 volts?
4. En la figura siguiente encontrar la capacitancia equivalente a esta combinación.
Supóngase que C1 = 10 F, C2 = 5 F, C3 = 4 F y V = 100 volts
C1
C2
V
C3
Respuesta: 3.2  F
5. En la figura anterior, suponga que el condensador C3 deja saltar una chispa,
haciéndose equivalente a una trayectoria de resistencia cero. ¿Qué cambios
ocurren en el condensador C1 en cuanto a:
a. La carga y
b. La diferencia de potencial
6. Encontrar la capacitancia equivalente a la conexión de la siguiente figura.
Supóngase que C1 = 10 F, C2 = 5 F, C3 = 4 F y V = 100 volts.
C1
C3
V
C2
Respuesta: 7.3 F
7. Los capacitores de capacitancia C1, C2 y C3, respectivamente conectados en
serie, se determinan con las carga q1, q2 y q3 tal como se muestra en la figura y
a continuación se cierra el interruptor S. ¿Cuáles son las cargas finales q1´, q2´
y q3´ , en los capacitores.
C1
q1
C2
q2
C3
q3
S
Respuestas: q.'1 
(C1C2  C1C3 )q1  C1C3 q2  C1C2 q3
C1C2  C1C3  C2 C3
q.'2 
(C1C 2  C 2 C3 )q2  C1C 2 q3  C 2 C3 q1
C1C 2  C1C3  C 2 C3
q.'3 
(C1C3  C 2 C3 )q3  C1C3 q2  C2 C3 q1
C1C 2  C1C3  C2 C3
8. En la figura siguiente, la batería B proporciona 12 volts y C1 = 1 F, C2 = 2 F,
C3 = 3 F y C4 = 4 F
a. Encontrar la carga de cada condensador cuando se cierra el interruptor
S1 y
b. Cuando se cierra también el interruptor S2.
C1
C3
S2
C4
C2
S1
B
Respuestas: a)
b)
q1  9C ; q2  16C
q3  9C ; q4  16C
q1  8.4C ; q2  17C
q3  11C ; q4  14C
9. En un condensador de placas paralelas se ponen dos dieléctricos llenándolo
como se ve en la siguiente figura.
k1
k2
Demostrar que la capacitancia de ese condensador es:
C
 0 A k1  k2 
d
2
10. En un condensador de placas paralelas se ponen dos dieléctricos llenándolo
como se ve en la siguiente figura.
k1
k2
Demostrar que la capacitancia de este condensador es:
C
2 0 A  k1k 2 


d  k1  k 2 
11. Una placa de dieléctrico de espesor b se introduce entre las placas de un
condensador de placas paralelas, cuya separación de placas es d. Demostrar
que la capacitancia de este condensador es:
C
k 0 A
kd  b(k  1)
Seguir la siguiente sugerencia: calcular C0, la carga q, la intensidad del campo
eléctrico sin dieléctrico y con dieléctrico; la diferencia de potencial entre las placas
y finalmente la capacitancia con dieléctrico)
12. Dentro de un condensador de placas paralelas se introduce una placa de cobre
de espesor b, como se muestra en la figura. Se coloca exactamente a la mitad
entre las placas ¿Cuál es la capacitancia antes y después de introducir la
placa?
A
b
cobre
d
Respuestas:
0 A
d
;
0 A
(d  b)
13. Para fabricar un condensador se dispone de dos placas de cobre, una lámina
de mica (espesor igual a 0.10 mm, k = 6), una lámina de vidrio (espesor = 2.0
mm, k = 7) y una placa de parafina (espesor igual a 1.0 cm, k = 2). ¿Qué
lámina o láminas habrá de colocar entre las placas para obtener la máxima
capacitancia?
Respuesta: mica
14. Un condensador de placas paralelas tiene una capacitancia de 100 F, el
área de sus placas es de 100 cm2 y tiene mica como dieléctrico (k = 5.4). Para
una diferencia de potencial de 50 volts, calcular
a. E en la mica
b. La carga libre en las placas
c. La carga superficial inducida
Respuestas: 104 Volts/m
+5 x 10-9 coulomb en la placa positiva
-4.1 x 10-9 coulomb cerca de la placa positiva
15. Se comunica a dos placas paralelas de 100 cm2 de área, cargas iguales y
opuestas de 8.9 x 10-7 coulomb. Al colocar el material dieléctrico llenando el
espacio entre las placas, la intensidad del campo eléctrico es de 1.4 x 106
volts/m,
a. Encontrar la constante dieléctrica del material
b. Determinar la magnitud de la carga inducida en cada superficie
dieléctrica
16. El caucho endurecido tiene una constante dieléctrica de 2.8 y una resistencia
dieléctrica de 1.8 x 106 volts/m. Si se usa como material dieléctrico en un
condensador de placas paralelas, ¿Qué área mínima pueden tener las placas
de un condensador par que la capacitancia sea de 7 x 10-2 F y que el
condensador pueda resistir una diferencia de potencial de 4 000 volts?
Respuesta: 0.63 m2
17. Un condensador cilíndrico tiene radios a y b, como se muestra en la siguiente
figura.
Q+
a
r
Q-
b
b
Demostrar que la mitad de la energía potencial eléctrica almacenada está dentro
de un cilindro, cuyo radio es:
r  ab
18. Una esfera de metal, aislada, cuyo diámetro es de 10 cm, tiene un potencial
de 8 000 volts. ¿Cuál es la densidad de energía en la superficie de la esfera?
Respuesta: 0.11 J/m2
19. Un condensador de placas paralelas tiene sus placas de área A separadas una
distancia d y está cargado con una diferencia de potencial V. La batería de
carga se desconecta entonces y las placas se alejan hasta dejarlas separadas
una distancia 2d. Deducir las expresiones de las siguientes magnitudes en
función de A, d y V para:
a. la nueva diferencia de potencial
b. la energía almacenada inicial y final
c. el trabajo necesario para separar las placas
Respuestas: a) V f  2V ; b) U i 
1  0 AV 2
1  0 AV 2
; U f  2U i ; c) W 
2 d
2 d
20. Demostrar que las placas de un condensador de placas paralelas se atraen
entre si con una fuerza dada por la siguiente expresión:
F
q
2 0 A
Obtener esta fórmula calculando el trabajo necesario para aumentar la separación
entre las placas desde x hasta x + dx
21. En el condensador del que se muestra a continuación, la placa de dieléctrico
llena la mitad del espacio entre las placas
a. ¿Qué fracción de la energía se encuentra almacenada en los huecos de
aire
b. ¿Que fracción de la energía hay almacenada en la placa?
A
d/4
d
d/2
d/4
22. Un condensador de aire de placas paralelas tiene una capacitancia de 100 F
a. ¿Cuál es la energía almacenada si se aplica una diferencia de potencial
de 50 volts
Respuesta : 1.3 x 10-7 Joule
23. Dos condensadores (2  F y 4  F) se conectan en paralelo y se les aplica una
diferencia de 300 volts. Calcular la energía total almacenada en el sistema.
24. En la figura siguiente con C1 = 10 F, C2 = 5 F, C3 = 4 F y V = 100 volts.
C1
C2
V
C3
encontrar
a. La carga
b. La diferencia de potencial
c. La energía almacenada por cada condensador.