TEMA EM3. CONDENSADORES Y DIELECTRICOS.

TEMA 5. CAPACIDAD Y CONDENSADORES.
5.1.- CAPACIDAD.
Uno de los usos más antiguos de los conductores en la electrostática fue para el
almacenamiento de la carga eléctrica; el conductor puede ser cargado, por ejemplo, al
proporcionarle un potencial definido por medio de un agente externo. Para tal aplicación,
resulta de interés encontrar la capacidad del conductor para almacenar carga. Considerando
un conductor aislado y en el vacío con una carga Q, dicho conductor tendrá un potencial V
que será proporcional a la carga. La relación Q/V es una cantidad constante independiente
de la carga, ya que si aumentamos la carga en un factor , aumentará en el mismo factor el
potencial eléctrico, manteniendose constante la relación Q/V. Esto es válido para todo
conductor cargado cualquiera que sea su forma geométrica. En consecuencia, se define la
capacidad C de un conductor como el cociente entre su carga y su potencial
C
Q
V
(5.1)
que será una propiedad definida del conductor y relacionada con su geometría.
Por ejemplo, la capacidad de un conductor esférico de radio R y carga Q rodeado de
vacio es
Q
Q
C 
 4 o R
Q
V
K
R
La unidad de la capacidad en el SI es el faradio que se define como “la capacidad
de un conductor que con la carga de un culombio adquiere el potencial de un voltio”.
1F 
1C
1V
El faradio es una unidad muy grande (la Tierra tiene una capacidad de unos 700
microfaradios), por lo que en la práctica se utilizan más sus submultiplos: microfaradio,
nanofaradio y picofaradio.
El concepto de capacidad puede extenderse a un
sistema de conductores. Considerese dos conductores que
están afectados por fenómenos de influencia total, o sea, dos
conductores con cargas +Q y Q (Fig.5.1). Si sus
potenciales son V1 y V2 respectivamente, la capacidad del
sistema vale
C
Q
V1  V2
104
(5.2)
A cualesquiera dos conductores con la disposición anteriormente expresada se
denomina condensador y a los conductores que lo forman láminas o armaduras.
Los condensadores se usan comunmente en una gran variedad de circuitos
eléctricos; por ejemplo, para sintonizar las frecuencias de los receptores de radio, como
filtros en las fuentes, para eliminar el chisporroteo en los sistemas de ignición de los
automóviles, como dispositivos de almacenamiento de energía en las unidades electrónicas
de destello, etc.
5.2.- CALCULO DE
CONDENSADORES.
LA
CAPACIDAD
DE
ALGUNOS
TIPOS
DE
A) CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR DE LAMINAS PARALELAS.
Un condensador de láminas paralelas o condensador plano está formado por dos
placas paralelas, de igual área, separadas una distancia l, en donde una de las placas tiene
una carga +Q y la otra tiene una carga  Q (Fig.5.2), siendo los potenciales eléctricos V1 y
V2 respectivamente.
La carga por unidad de área, en cualquiera de las dos
placas es  Q/S. Si las placas están muy próximas entre si
(en comparación con su longitud y anchura) se pueden
despreciar los efectos en los extremos y suponer que el
campo eléctrico es uniforme entre ellas y cero en todos los
demas puntos. Así el módulo del campo eléctrico entre las
placas según (3.49) es
E

Q

 o  oS
y la diferencia de potencial entre las placas según (3.50) vale
V1  V2  El 
Ql
 oS
sustituyendo la diferencia de potencial en (5.2) resulta
C
Q
S
 o
Ql
l
oS
(5.3)
Esto significa que la capacidad de un condensador de láminas paralelas es
proporcional al área de estas e inversamente proporcional a la separación entre las placas.
105
En la práctica, resulta imposible construir un condensador plano con placas de
dimesiones infinitas (condición necesaria para que la influencia sea total). No obstante, la
expresión (5.3) constituye una buena aproximación en el caso de un condensador plano y
de un condensador de forma cualquiera con armaduras de superficie S, siempre que las
dimensiones de las armaduras sean muy superiores a la distancia constante l que las separa.
B) CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR CILINDRICO.
Un condensador cilíndrico esta formado por un conductor cilíndrico de radio "a",
densidad de carga uniforme  y carga  Q , que es concéntrico con un cascarón cilíndrico
más grande de radio "b" y carga  Q también uniformente cargado (Fig.5.3), estando cada
conductor a los potenciales eléctricos V1 y V2 respectivamente.
Si se supone que l es grande en comparación con a y b, pueden despreciarse los
efectos en los extremos. En este caso el campo es perpendicular al eje de los cilindros y
está confinado en la región entre ellas. Primero se calcula la diferencia de potencial entre
los dos cilindros aplicando (3.10), en donde el campo eléctrico es el de la región a<r<b. El
módulo de este campo eléctrico viene dado por (3.39) que es válido en este caso, ya que el
cilindro exterior no contribuye al campo eléctrico que existe en la superficie gaussiana.
Luego
V1  V2  2K

a
b
dr
b
b
 2K  Ln r a  2KLn  
r
a
Se observa pues que la diferencia de potencial sale positiva, puesto que el cilindro
interior está al potencial mas elevado. Luego sustituyendo en (5.2)
C
Q
b
2 KLn 
a

Q
Q b
2 K Ln 
l
a

2 o l
b
Ln 
a
(5.4)
El resultado obtenido para la capacidad tiene sentido puesto que indica que la
capacidad es proporcional a la longitud de los cilindros. Lógicamente, la capacidad
depende también de los radios de los dos conductores cilíndricos.
106
C) CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR ESFERICO.
Un condensador esférico consta de un cascarón conductor esférico de radio “b”,
carga  Q y un potencial eléctrico V2 , concéntrico con una esfera conductora, mas
pequeña, de radio “a”, carga +Q y potencial eléctrico V1 (Fig.5.4).
Según se ha visto en el Tema 3 el campo externo debido a
una distribución de carga esféricamente simétrica es radial y está
dada por (3.28). En este caso, esto corresponde al campo entre las
esferas (a<r<b). (El campo es cero en todos los demás puntos).
Por la ley de Gauss se observa que solo la esfera interior
contribuye a este campo. Entonces la diferencia de potencial entre
las esferas es según (3.10)
V1  V2  KQ

a
b
dr
ba
 1
1 1
 KQ     KQ     KQ
2
r
ab
 r a
a b
b
Luego sustituyendo en (5.2)
C
Q
ab
ab

 4  o
b  a K(b  a)
(b  a)
KQ
ab
(5.5)
5.3.- ASOCIACION DE CONDENSADORES.
Con frecuencia en los circuitos se combinan de varias maneras dos o más
condensadores. Puede calcularse la capacidad equivalente de ciertas combinaciones,
aplicando el método que vamos a ver a continuación. El simbolo que se utiliza
comunmente para representar a un condensador es
a) ASOCIACION EN PARALELO.
Dos condensadores conectados como en la (Fig.5.5), se
conocen como combinación de condensadores en paralelo. Las
placas izquierdas de los condensadores están conectados por un
alambre conductor y se encuentran al mismo potencial. (Ya se
ha expresado que todos los puntos de un conductor en
equilibrio electrostático están al mismo potencial). Del mismo
modo, las placas de la derecha son comunes y están a un
potencial mas bajo. Dado que la diferencia de potencial debe
ser la misma a través de cada condensador, los valores de las cargas están dados según
(5.2) por
107
Q1  C1  Va  Vb 
y
Q 2  C 2  Va  Vb 
La carga total de ambos condensadores es
Q  Q1  Q 2   C1  C 2  Va  Vb 
La capacidad equivalente C eq , de los dos condensadores es la razón de la carga total
almacenada a la diferencia de potencial
C eq 
V
a
Q
 Vb 

C
1
 C 2  Va  Vb 
V
a
 Vb 

C eq  C1  C 2
esto es, se pueden reemplazar C1 y C 2 por un condensador de capacidad C eq el cual
almacenará la misma carga Q, si la diferencia de potencial es  Va  Vb  .
Si se extiende a trés o mas condensadores conectados en paralelo, la capacidad
equivalente es
in
C e.  C 1  C 2  ...  C n   C i
(5.6)
i 1
Entonces se ve que la capacidad equivalente de una combinación en paralelo de
condensadores es mayor que cualquiera de las capacidades individuales.
b) ASOCIACION EN SERIE.
Supongamos ahora dos condensadores conectados como se indica en la (Fig.5.6), a
este tipo de conexión se le conoce como combinación de condensadores en serie.
En este tipo de conexión, los dos condensadores tienen la
misma carga Q. Para comprender porque ocurre esto, consideremos
los esquemas de la (Fig.5.7).
Supongase, en primer lugar, que solo están conectados a los
puntos a y b la lámina superior del condensador 1 y la inferior del 2,
como en la (Fig.5.7.a). Se crea entonces entre ellas un campo eléctrico
dirigido hacia abajo. Si en este campo se introduce un conductor
descargado de forma cualquiera, como en la (Fig.5.7.b), se induce una
carga negativa sobre su superficie, y otra positiva igual sobre la
inferior. Lo mismo ocurre si el conductor descargado tiene la forma de dos láminas planas
con un hilo de conexión, como en la (Fig.5.7.c). Es decir, se inducen sobre las láminas
cargas iguales y opuestas. Si las láminas introducidas tienen el mismo tamaño e igual
forma que los de la (Fig.5.7.a), y si su separación es pequeña, todo el campo está
practicamente confinado en la región comprendida entre las láminas, y el valor de las
108
cargas es el mismo en todas ellas. Pero la disposición de la (Fig.5.7.c) es idéntica a la
(Fig.5.6), es decir, dos condensadores conectados en serie entre los puntos a y b.
Volviendo, ahora, a la (Fig.5.6), aplicando (5.2) a cada condensador, la diferencia
de potencial a través de cada uno es
Va  Vc 
Q
C1
y
Vc  Vb 
Q
C2
Pero la diferencia de potencial a través de la combinación de dos condensadores, es
la suma de las diferencias de potencial a través de cada uno de los condensadores
 1
1
Va  Vb  Q

 C1 C 2



(5.7)
La capacidad equivalente vendrá dada por (5.2) y por tanto
Va  Vb 
Q
C eq
(5.8)
igualando (5.7) y (5.8)
 1
Q
1 

 Q

C eq
 C1 C 2 
y eliminando Q, resulta
1
1
1


C eq C1 C 2
Si se conectan en serie, tres o mas condensadores, la capacidad equivalente es
1
1
1
1 i n 1
 
 ... 

Ceq C1 C2
Cn i 1 Ci
(5.9)
esto muestra que la capacidad equivalente de una combinación en serie siempre es menor
que cualquiera de las capacidades de la combinación.
109
5.4.- CONDENSADOR DE LAMINAS PARALELAS CON DIELECTRICO.
La mayor parte de los condensadores tiene entre sus armaduras un dieléctrico. Un
tipo normal de condensador plano es el constituido por tiras de chapa metálica que
constituyen las armaduras, separadas por tiras de papel parafinado que actúan de
dieléctrico.
La función de un dieléctrico entre las armaduras de un condensador es triple:
* Resuelve el problema mecánico de mantener dos láminas metálicas
grandes cargadas con una separación muy pequeña, pero sin llegar a tener
contacto.
* Puesto que la permitividad del dieléctrico es mayor que la del aire o vacio,
disminuye la diferencia máxima de potencial que el condensador tiene entre
sus armaduras.
* La capacidad de un condensador con dieléctrico aumenta en varias veces
respecto al que existe cuando entre sus armaduras hay aire o vacio.
Veamos como se demuestra la segunda afirmación. Considerese un condensador de
láminas paralelas, en que hay vacio entre sus láminas (Fig.5.8.a). Su diferencia de potencial
será
Vo  E o l
(5.10)
Si ahora se introduce un dieléctrico que ocupe practicamente todo el espacio entre
láminas (Fig.5.8.b), su diferencia de potencial será
V  El
(5.11)
Sustituyendo (4.14) en (5.11) se
comprueba que
V
Eo
V
l o


luego es V  Vo ya que '>1.
En cuanto a la
afirmación, la capacidad de un condensador plano en el vacio viene dada por (5.3)
Co 
Q
S
 o
Vo
l
y con el dieléctrico
110
tercera
C
Q
S
  o 
V
l
(5.12)
en donde se observa claramente C  C o ya que '>1.
En los condensadores cilindricos y esfericos también su capacidad aumentará en un
factor   cuando se introduce un dielectrico entre sus armaduras.
Con base a (5.12), parecería que la capacidad podría hacerse muy grande si
disminuye l. En la práctica, el valor mas bajo de l queda limitado por la descarga eléctrica
que podría ocurrir a través del dieléctrico y que daría lugar a su ruptura.
Veamos ahora que es lo que ocurre cuando se intercalan en serie varios dieléctricos
de permitividades relativas (  1 ,  2 , ...,  i ,...  n ) en un
condensador (Fig.5.9). En este caso la diferencia de
potencial entre placas será la suma de las diferencias
de potencial entre las caras extremas de cada
dieléctrico
Va  Vb  V1  V2  ...  Vn
(5.13)
Se sabe por (4.20) que
Ei 
D


  0  i
(5.14)
Vi
li
(5.15)
l i
 o  i
(5.16)
y por (3.51)
Ei 
De (5.15) y (5.16) se deduce
Vi 
sustituyendo (5.16) en (5.13) se obtiene para la diferencia de potencial entre las láminas del
condensador
Va  Vb 
ln 
  l1 l 2
  ... 
 o  1 2
n 
(5.17)
l1 l2
l
 ... n  le se denomina espesor equivalente. Luego
 1  2
 n
(5.17) se puede expresar como
en donde, a la expresión
111
Va  Vb 

l
o e
(5.18)
con lo cual la capacidad es aplicando (5.2)
C
Q
S
S

 o


le
le
le
o
o
(5.19)
es decir, igual que un condensador con vacio entre sus laminas, sustituyendo la separación
entre laminas por el espesor equivalente.
Ahora se considera el caso en que los dieléctricos de permitividades relativas
(  1 ,  2 , ...,  i ,...  n ) se intercalan en paralelo (Fig.5.10) entre las placas del condensador.
En este caso entre los extremos de cada dieléctrico habrá la misma diferencia de potencial.
Va  Vb  V1  V2  ......  Vn
y por tanto por (3.42) el mismo campo eléctrico a
traves de cada dieléctrico, así de (5.14) se obtiene
i  i  o E  i  o
Va  Vb
l
(5.20)
La carga libre total sobre las placas del
condensador será
Q  Q1  Q2  ...  Qn  1S1  2S2  ...  nSn
(5.21)
sustituyendo en (5.21) los valores de las densidades superficiales de carga libre dadas por
(5.20), la carga libre total será igual a
Q  o
Va  Vb
1S1  2S2  ...  nSn 
l
(5.22)
Al valor  1S1   2 S 2 ... n S n  S e se le denomina superficie equivalente. Luego
(5.22) se expresará como
Q  o
Va  Vb
Se
l
(5.23)
sustituyendo en (5.2) el valor dado por (5.23)
 o  Va  Vb 
C
l
Va  Vb
112
Se
 o
Se
l
(5.24)
es decir, igual que un condensador con vacio entre sus laminas, sustituyendo la superficie
de las láminas por la superficie equivalente.
5.5. ENERGIA ELECTROSTATICA.
Para cargar un conductor es necesario gastar energía, porque, para suministrarle
más carga debe vencerse la repulsión de las cargas ya presentes. Así, para incrementar en
dq la carga del conductor que ya se encuentra a un potencial eléctrico V será preciso
realizar un trabajo dW correspondiente al desplazamiento de dq desde el infinito hasta el
conductor. Este trabajo quedará almacenado como energía en el conductor.
Dicho trabajo es dW = V dq que teniendo en cuenta (5.1)
dW 
q
dq
C
el trabajo necesario para cargar el conductor con una carga total Q es
W=

Q
0
q
1 Q2
dq 
C
2 C
y por tanto la energía almacenada en el conductor considerando (5.1)
Ee 
1 Q2 1
 QV
2 C 2
(5.25)
De igual modo para un sistema de conductores
Ee 
1 in
 Qi Vi
2 i 1
(5.26)
y para el caso concreto de un condensador (sistema formado por dos conductores)
Ee 
1
1
QVa  QVb   Q Va  Vb 

2
2
y teniendo en cuenta (5.2), la energía electrica almacenada por un condensador se
puede expresar
1
1 Q2 1
2
E e  QVa  Vb  
 CVa  Vb 
2
2 C
2
(5.27)
Este resultado se aplica a cualquier condensador independientemente de su
geometría. Existe un límite para la energía (o carga) máxima que puede ser almacenada,
113
que viene condicionado por la diferencia de potencial máxima que se puede alcanzar sin
que se produzca la destrucción del condensador.
La energía almacenada en un condensador puede considerarse como si estuviera
almacenada en el campo eléctrico creado entre las placas a medida que aquel se carga. Esta
descripción resulta razonable en virtud del hecho de que el campo eléctrico es proporcional
a la carga en el condensador. Para un condensador de láminas paralelas con dieléctrico, la
diferencia de potencial está relacionada con el campo eléctrico a través de (3.42) y la
capacidad por (5.12). Si se sustituyen estas expresiones en (5.27) se tiene
Ee 
1
1
S
2
C  Va  Vb   o 
2
2
l
 El 
2

1
2
1
2
 oSl  E 2   Sl  E 2
o también, teniendo en cuenta (4.20), se puede expresar como
Ee 
1
Sl  D  E
2
(5.28)
que indica, que la energía electrostática esta distribuida en forma continua a través del
espacio donde E  0 con una densidad de energía u e (energía eléctrica almacenada por
unidad de volumen)
ue 
1
1
D2
D  E  E 2 =
2
2
2
(5.29)
5.6.- FUERZA ENTRE LAS ARMADURAS.
Sea un condensador plano aislado de carga Q cuyas armaduras, de superficie S,
están separadas en el vacío una distancia x (Fig. 5.11). Al estar las armaduras cargadas con
cargas de signo opuesto se atraerán con una fuerza F que se calcula a continuación.
Considerando un elemento de superficie dS sobre la
armadura 1, dicho elemento estará sometido a una fuerza
dF  E dq  E dS i
La fuerza que actúa sobre la armadura 1 de la (Fig. 5.11)
es la resultante del sistema de fuerzas paralelas distribuidas
uniformemente sobre dicha armadura, por lo que la fuerza sobre
toda la armadura será
F

E dS i  E
S

S
114
dS i  E S i
(5.30)
y teniendo en cuenta la relación entre el campo eléctrico, la densidad superficial de carga y
la carga en (5.30)
2S
Q2
(5.31)
F
i
i
2o
2oS
El mismo resultado podría haberse obtenido por consideraciones energéticas sin
más que tener en cuenta que el trabajo que realiza la fuerza para aproximar las armaduras
es equivalente a la disminución de la energía almacenada
 dE 
F e  i
 dx Q
115