Inductancia y Capacitancia

INEE 3301 – Circuitos Eléctricos I
Prof. C. González Rivera
Capítulo 6:
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Capítulo 6
Inductancia y Capacitancia
I. Teoría de inductores y capacitores
Los inductores y capacitores son elementos lineales, pasivos los cuales
absorben energía del circuito, almacenan esta energía temporeramente y luego
la devuelven al circuito. Por esta razón son llamados elementos de
almacenaje de energía. Los elementos pasivos no generan ni (idealmente)
disipan energía.
A. Capacitores
Los capacitores son construídos por dos placas metálicas
(conductoras) separadas por un dieléctrico (material aislante o no
conductor) que puede ser aire, mica, papel impregnado con aceite o
cera, cerámica, etc. La corriente a través del capacitor está fluyendo
en la dirección que se muestra en la figura 1 y los electrones se están
moviendo en la dirección contraria de la corriente. A medida que en la
placa inferior se acumulan una carga negativa neta y en la placa
superior se acumula una carga positiva neta, se produce un campo
eléctrico a través de estas dos placas. En otras palabras, un capacitor
almacena energía eléctrica. Este campo eléctrico obliga a los
electrones en la placa superior a moverse a la placa inferior a la misma
razón que se acumulan. Por esta razón es que puede fluir la corriente a
través del capacitor. A medida que la carga se acumula, un voltaje
aparece en el capacitor.
Current
Campo
Eléctrico
+++++++++++++++
++
--------------Electron
Flow
Figura 1: El capacitor.
Notas:
Dielectric
Material
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Capítulo 6
1. Carga almacenada
En un capacitor ideal, la carga almacenada es proporcional
al voltaje entre las placas (vc).
La constante de
proporcionalidad es la capacitancia C, la cual tiene unidades de
Faradios (F) donde 1 F es equivalente a 1 C/V. La carga q es
la carga en el lado + del capacitor y está definida como:
q  Cv c
2. La corriente a través de un capacitor
La corriente es la razón de cambio del flujo de carga. La
pasada ecuación muestra que a medida que el voltaje a través
del capacitor aumenta, carga se acumulará en cada placa y
cierta corriente fluirá a través del capacitor. Si el voltaje
permanece constante, la carga es constante y la corriente a
través del capacitor será igual a cero. Por lo tanto, un capacitor
parece ser un circuito abierto para cada voltaje DC.
ic 
dq ( t )
C
dt
dv c
dt
3. El voltaje a través de un capacitor dado la corriente
Para obtener el voltaje y la carga en el capacitor si tenemos
la corriente, tenemos que integrar la corriente con respecto al
tiempo en el intervalo de tiempo deseado.
t
q (t )  q ( 0 ) 
i
C
( t ) dt
0
v c (t ) 
q (0)
C

1
C
t
 i ( t ) dt
0
 v c (0) 
1
C
t
i
c
( t ) dt
0
donde vc(0) es el voltaje inicial a través del capacitor a un
tiempo t = 0.
4. La potencia y la energía almacenada en un capacitor
La separación de carga en un capacitor almacena energía
eléctrica. La potencia que entra al capacitor es el producto del
Notas:
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voltaje y la corriente. Por lo tanto, la potencia que está
entrando a un capacitor está dada por:
p c (t )  v c  C
dv c
dt
Si el capacitor tiene un voltaje inicial a vc(t0)=0 o si es
constante, la potencia que entra al capacitor es igual a cero (el
capacitor está descargado). A medida que la magnitud del
voltaje aumenta, la energía eléctrica, We, en el capacitor es
almacenada en el campo eléctrico.
Si integramos la potencia con respecto al tiempo entre t0 y
t1, la energía almacenada es dada por:
t
We 

t
p c ( t ) dt   C  v c
t0
t0
dv c
dt
dt
v (t0 )
 Cv
We 
We 
1
2
Cv c
2

1
2
c
dv c
vc q 
1 q
2
2 C
En resumen:
 Un capacitor no permite cambios abruptos
(instantáneos) en voltaje.
 Un capacitor permite cambios abruptos
(instantáneos) en corriente.
 Un capacitor se comporta como un circuito
abierto en la presencia de un voltaje constante.
 Un capacitor almacena carga eléctrica.
 La capacitancia relaciona la corriente inducida
por un campo eléctrico que varía con el tiempo
el cual es producido por el voltaje.
Notas:
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5. Capacitores en Paralelo
i1  C 1
dv
,
dt
i2  C 2
dv
i3  C 3
,
dt
i  i1  i 2  i3
i  C1
dv
dt
 C2
dv
dt
 C3
i  (C1  C 2  C 3 )
dv
dt
dv
dt
C eq  C 1  C 2  C 3
i  C eq
dv
dt
6. Capacitores en Serie
C eq 
1
1
C1
Notas:

1
C2

1
C3
dv
dt
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B. Inductores
Un inductor está construído por un embobinado de alambre
alrededor de algún dieléctrico o material ferromagnético. La corriente
que fluye a través del embobinado produce un campo magnético.
Cuando la corriente cambia en magnitud, el flujo magnético cambia.
Según la ley de Faraday, cuando un campo magnético no constante
cruza un embobinado, éste induce un voltaje en los terminales de este
embobinado. Para un inductor ideal, este voltaje es proporcional a la
razón de cambio de la corriente con respecto al tiempo. Esta constante
de proporcionalidad se le conoce como inductancia (L).
La
inductancia, L, depende de las dimensiones del embobinado y del
número de vueltas de alambre en el embobinado, entre otros. La
inductancia tiene unidades de henrios (H), el cual es equivalente a
Vs/A.
Campo
Magnético
Alrededor del
embobinado
v L (t )  L
di L
dt
1. La corriente a través de un inductor dado el voltaje
Si sabemos cual es la corriente inicial del inductor iL(0) y el
voltaje vL(t) a través del inductor, podemos calcular la corriente
para t>0
di L 
i(t )

i(0)
di L 
1
L
v L ( t ) dt
1
L
i L (t )  i L (0 ) 
Notas:
t
v
L
( t ) dt
0
1
L
t
v
0
L
( t ) dt
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2. La potencia y la energía almacenada en un inductor
La potencia que entra al inductor es igual al producto de la
corriente y el voltaje a través del inductor. La potencia está
dada por:
p L  Li L ( t )
di L
dt
Si el inductor tiene una corriente inicial i(t0)=0, la energía
almacenada en t0=0 es igual a cero. Por tanto, la energía
magnética, Wm, almacenada en el inductor está dada por:
t
Wm 
 Li
L
(t )
di L
dt
dt
t0
iL ( t )
Wm 
 Li
L
di L
0
Wm 
1
2
2
Li L
En resumen:
 Un inductor no permite cambios abruptos
(instantáneos) en corriente.
 Un inductor permite cambios abruptos
(instantáneos) en voltaje.
 Un inductor se comporta como un corto circuito
en la presencia de una corriente constante.
 La inductancia relaciona el voltaje inducido por
un campo magnético que varía con el tiempo el
cual es producido por la corriente.
Notas:
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3. Inductores en serie y en paralelo
L eq  L1  L 2  L 3
Notas:
L eq 
1
1 L1  1 L 2  1 L 3