Taller ultimo - Germán Isaac Sosa Montenegro

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA
FACULTAD DE INGENIERIA
CALCULO DIFERENCIAL
Germán Isaac Sosa Montenegro
Octubre 31 de 2011
MÁS APLICACIONES DE LA DERIVADA.
1
La derivada como razón de cambio:
Si y = f(x), la razón de cambio instantánea de y por unidad de cambio de x en x 1 es f ’(x1) o, equivalente, la
derivada de y con respecto a x en x1, si esta existe allí.
VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN:
Criterio de la primera derivada:
Sea f una función continua en todos los puntos del intervalo abierto (a,b) que contiene al número c, y supóngase
que f ‘ existe en todos los puntos de (a,b) excepto, posiblemente, en c:
 Si f ’(x) >0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como su punto extremo
derecho, y si f ’(x) <0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contiene a c como su punto
extremo izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c.
 Si f ’(x) <0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como su punto extremo
derecho, entonces f tiene un valor máximo relativo en c y si f ’(x) >0 para todos los valores de x en algún
intervalo abierto que contiene a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo
relativo en c.
TEOREMA 1 (De existencia de máximos y mínimos): Si f es continua en un intervalo cerrado a, b , entonces f
alcanza un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo.
TEOREMA 2 (De los puntos críticos): Sea f definida en un intervalo I que contiene al punto c. Si f© es un valor
extremo, entonces c debe ser un punto crítico; es decir, c es alguno de los siguientes:
i. Un punto frontera de I.
ii. Un punto estacionario de f; es decir, un punto en donde f(c) = 0; o
iii. Un punto singular de f; esto es, un punto donde f’(c) no existe.
Ejemplo:
Dada f x   x  6x  9x  1 encontrar los extremos relativos de f, aplicando el criterio de la primera derivada.
Determinar los valores de x en los cuales ocurren los extremos relativos, así como los intervalos en los cuales f
es creciente y los intervalos en los cuales f es decreciente.
'
2
Solución: f x   3x  12x  9 ; f ’(x) existe para todos los valores de x. haciendo f ‘(x) =0, tenemos:
3
2
3x  12x  9  0
por lo cual 3x  3x  1  0
x = 3 y x = 1; por tanto los números críticos de f son 1 y 3. Para determinar si f tiene un extremo relativo en
alguno de esos números, aplicamos el criterio de la primera derivada.
2
f(x)
x<1
x=1
1<x<3
x=3
x>3
5
1
f ‘(x)
+
0
0
+
Conclusión
F es creciente.
F tiene un valor máximo relativo.
F es decreciente
F tiene un valor mínimo relativo
F es creciente
LA PRIMERA DERIVADA Y MONOTONIA:
Si f es continua en el intervalo I y derivable en todo punto interior de I, entonces:
i. Si f’(x) >0 para todo x interior a I, entonces f es creciente en I.
ii. Si f’(x) <0 para toda x interior a I, entonces f es decreciente en I.
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:
Sea c un número crítico de una función f en la cual f ‘(x) = 0 y f existe para todos los valores de x en algún
intervalo abierto que contenga a c, entonces si f ‘’(x) existe, y
 Si f ‘’(x) < 0, f tiene un valor máximo relativo en x = c.
 Si f ‘’(x) > 0, f tiene un valor mínimo relativo en x = c.
Sin embargo, si f ‘’(x) = 0, el criterio no concluye nada y f puede tener un máximo relativo, un mínimo relativo, o
no tener ningún extremo relativo en x = c.
Ejemplo:
4 4 3
2
Dada f x   x  x  4x , encontrar los mínimos y máximos relativos de f aplicando el criterio de la
3
segunda derivada.
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2
f ' x   4x  4x  8x
2
f ' ' x   12x  8x  8; haciendo f ' x   0, tenemos :
4xx  2x  1  0
Lo cual da x = 0; x = -2; x = 1. Así los valores críticos de f son -2, 0 y 1. Determinemos si existe o no un
extremo relativo en cualquiera de estos números críticos al encontrar el signo que allí tenga la segunda
derivada.
3
Números críticos
x = -2
x=0
x=1
2
F(x)
-32/3
0
-5/3
F ‘(x)
0
0
0
F ‘’(x)
+
+
Conclusión
F tiene un valor mínimo relativo
F tiene un valor máximo relativo
F tiene una valor mínimo relativo
LA SEGUNDA DERIVADA Y CONCAVIDAD
Sea f una función derivable en un intervalo abierto I. Decimos que f (al igual que su gráfica) es cóncava hacia
arriba en I, si f’ es creciente en I, y decimos que f es cóncava hacia abajo en I, si f’ es decreciente en I.
TEOREMA DE CONCAVIDAD:
Sea f dos veces derivable en el intervalo abierto I.
i. Si f ‘’(x)>0 para toda x en I, entonces f es cóncava hacia arriba en I.
ii. Si f ‘’(x) <0 para toda x en I, entonces f es cóncava hacia abajo o convexa en I.
PUNTOS DE INFLEXIÖN: Sea f continua en c. Llamamos a (c, f(c)) un punto de inflexión de la gráfica de f, si f
es cóncava hacia arriba a un lado de c y cóncava hacia abajo del otro lado de c.
Puntos de inflexión
Cóncava
Hacia arriba
Cóncava
hacia abajo
Cóncava
hacia arriba
Cóncava
hacia abajo
Cóncava
hacia abajo
Cóncava
hacia arriba
MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES: Sea S, el dominio de f, que contiene al punto c. Decimos que:
i. f(c) es un valor máximo local de f, si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(c) es el valor máximo
de f en (a,b)  S;
ii. f(c) es un valor mínimo local de f , si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(c) es el valor mínimo
de f en (a,b)  S;
iii. f(c) es un valor extremo local de f, si es máximo local o mínimo local.
COMO USAR EL CALCULO PARA DIBUJAR UNA FUNCIÓN F(X).




Calcule la derivada f ’(x), halle las coordenadas x de los puntos críticos de primer orden y represente los
puntos críticos en el gráfico.
Calcule la segunda derivada f ‘’(x), halle las coordenadas de los puntos críticos de segundo orden y
represente esos puntos críticos en el gráfico.
Use las coordenadas x de los puntos críticos de primer orden y segundo orden para dividir el eje x en una
colección de intervalos. compruebe los signos de la primera y segunda derivadas en cada uno de esos
intervalos.
Dibuje el gráfico en cada intervalo de acuerdo con la siguiente tabla.
Signo de f ‘
+
Signo de f ‘’
+
Crec. o Decrec.
Creciente
Concavidad.
Arriba
-
+
Decreciente
Arriba
+
-
Creciente
Abajo
-
-
Decreciente
Abajo
forma
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EJERCICIOS:
3
1. En los ejercicios siguientes identifique los puntos críticos y encuentre los valores máximos y mínimos.
2
2
2
1. f (x)  x  4x  4; I   4,0
2. f (x)  x  x; I   2,2 3. f (x)  x  3x; I   2,1










3
2
3
2
3
4. f (x)  1 2x  3x  12x ; I   3,3 5. f (x)  x  3x  1; I   3,3 6. f (x)  x  3x  1; I   3 ,3
5
2
2. Aplicar el criterio de la primera derivada, encontrar los extremos relativos, los valores de x en los cuales
ocurren los extremos relativos y los intervalos en los cuales la función es creciente o decreciente.
1. f x   x 2  3x; 2. f x   x 3  9x 2  15x  5 3. f x   x 4  4x; 4. f x   x 3  9x 2  15x  5
x2
; 7. f x   x 5  x 2 ; 8. f x   2x 3  x
x2
3. Aplique el teorema de monotonía para encontrar en donde la función dada es creciente y en donde es
decreciente.
1. f (x) 3x  3 2. f (X)  x  1x  2 3. f (x) x2  2x  3 4. f (x) 2x3  9x2  12x 5. f (x) x3  1
4. Aplique el teorema de concavidad para determinar en donde la función dada es cóncava hacia arriba y en
donde es cóncava hacia abajo. También encuentre todos los puntos de inflexión.
5. f x   x 5  5x 3  20x  2 6.
f x  
1. f (x) x  12 2. f (x) x 2  1 3. 3x3  18x 4. f (x) x 2  x 2 5. f (x) x 4  6x3  24x 2  3x  1
6. f (x) x 4  8x 3  2 7. f (x) 2x 2  Cos2 x 8. f (x) 24x 2  Sen2 x
5. En los ejercicios siguientes determinar en donde la gráfica de la función dada es creciente, decreciente,
cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, después dibuje la gráfica.
1. f (x) x 3  12x  1 2. f (x) 4x 3  3x 2  6x  12 3. f (x) 3x 4  4x 2  2 4. f (x) x 6  3x 4
5. f (x) 3x 5  5x 3  1 6. f (x) x x 2  1 7. f (x)
x2
x 1
6. Identifique los puntos críticos, después utilice (a) la prueba de la primera derivada y (si es posible) (b) la
prueba de la segunda derivada para decidir cuales de los puntos críticos dan un máximo local y cuales dan
un mínimo local.
1. f (x) x3  6x2  4 2. f (x) x3  12x  4 3. f (x) 2x3  6x2  5x  9 4. f (x) 3x3  8x2  9x
7. Encontrar los extremos relativos de la función dada, utilizando el criterio de la segunda derivada, si se
puede aplicar. Si no se puede aplicar el criterio de la segunda entonces aplicar el criterio de la primera
derivada.
1. f x   3x  2x  1
2
5. f x   x  2
2
2. f x   x  5x  6 3. f x   2x  9x  27
3
3
2
4. f x   x  4
4
6. f x   x 8  x
7. f x   x x  3
8. f x   x  3x  5x  7
APLICACIONES DE LA DERIVADA.
VELOCIDAD Y ACELERACION:
ds
,
v (t)
dt
dv d2 s
a(t) 

dt dt 2
Ejemplo: Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal de tal manera que su posición en el
instante t está especificado por: S=t3-12t2+36t-30, S se mide en pies y t en segundos.
a) Cuándo la velocidad es cero?
b) Cuándo la velocidad es positiva?
c) Cuándo el punto se está moviendo hacia la izquierda (es decir, en la dirección negativa).
d) Cuando la aceleración es positiva?
3
2
3
2
Solución:
ds
a. v 
 3t 2  12t  36  3t  2t  6 . Así, v  0 en t  2 y t  6
dt
b. v  0, Cuando t  2t  6   0.La soluciónes : t  2 o t  6, enotación de interv alo  ,2  6,
c. El punto está mov iéndosehacia la izquierda cuando v  0; esto es, cuando t - 2t  6   0.Estadesigualdad
tiene como soluciónelinterv alo(2,6).
d. a 
dv
 6t  24  6(t  4). Por tanto a  0 cuando t  4.
dt
RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS APLICANDO PARA ELLO LAS PROPIEDADES DE LA
DERIVADA.
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8. En los problemas siguientes: un objeto está moviéndose a lo largo de un eje coordenado horizontal de
acuerdo a la fórmula S=f(t), donde S, la distancia dirigida medida desde le origen , está en pies, y t está en
segundos. En cada caso, responde las preguntas siguientes:
a. Cuáles son la velocidad y la aceleración en el instante t?
b. Cuándo se está moviendo el objeto a la derecha?
c. Cuándo se está moviendo el objeto a la izquierda?
d. Cuándo es negativa la aceleración?
e. Dibuje un diagrama esquemático que muestre el movimiento del objeto.
a. s  12t  2t 2 b. s  t 3  6t 2
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
c. s  t 3  96t 2  24t
d. s  2t 3  6t  5
e. s  t 2  16t 1; t  0
f . s  t  4t 1; ; t  0
Si y =1/10(t4-14t3+ 60t2), encuentre la velocidad del objeto en movimiento cuando su aceleración es cero.
Dos partículas se mueven a lo largo de un eje coordenado. Al final de t segundos sus distancias desde el
origen, en pies, están dadas por S1 =4t-3t2 y S2=t2-2t, respectivamente:
a. Cuándo tienen la misma velocidad?
b. Cuándo tienen la misma rapidez?
c. Cuando tienen la misma posición?
Las posiciones de dos partículas, P1 y P2, en un eje coordenado al final de t segundos, están dadas por
S1=3t3-12t2+18t+5 y S2=-t3+9t2-12t, respectivamente. ¿Cuándo tienen la misma velocidad las dos
partículas?
Un objeto que se lanza directamente hacia arriba está a una altura S=-16t2+48t+256 Pies después de t
segundos:
a. Cuál es su velocidad inicial?
b. Cuándo alcanza su altura máxima?
c. Cuál es su altura máxima?
d. Cuándo llega al suelo?
e. Con qué rapidez llega al suelo?
Un objeto lanzado directamente hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad de 48 pies por
segundos, está aproximadamente a S=-16t2+48t pies de altura al final de t segundos.
a. Cuál es la altura máxima?
b. Al final de un segundo, ¿Qué tan rápido se está moviendo el objeto, y en qué dirección?
c. Cuánto tarda en regresar a su posición original?
Un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de v0 pies por
segundos. Su altura a los t segundos está dada por S=v0t-16t2. pies. ¿Cuál debe ser su velocidad inicial
para que el proyectil alcance una altura máxima de 1 milla?
Se estima que la producción semanal de una fábrica está dada por la función Q(x)=2000x+5x2-x3 unidades,
donde x es el número de operarios en la fábrica. Si siempre hay 25 operarios en la fábrica, estimemos el
cambio de producción semanal que resultará de adicionar un operario al grupo.
Se lanza verticalmente una pelota hacia arriba con una velocidad inicial v0=30 metros por segundo. si la
ecuación del movimiento es S(t)=v0t-(gt2)/2 con g=10m/seg2; hallar.
a. La velocidad de la pelota en un tiempo t.
b. La velocidad en t = 1 seg, t=3seg.
c. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.
d. La altura máxima de la pelota.
e. La velocidad que lleva la pelota al llegar de nuevo al suelo.
El agua de una piscina está siendo evacuada y la expresión que determina el agua extraída en t minutos es
v (t)=200(50-t)2 galones. Determinar:
a. La razón promedio a la cual es extraída el agua a los 4 primeros minutos
b. La velocidad con que sale el agua 10 minutos después de iniciada la evacuación desagua.
Encontrar la razón media de cambio del volumen de un cubo respecto a la longitud x de su arista, si esta
varía de:
a. 6 a 6,1 cm.
b. 6 a 6,01 cm
c. 6 a 7 cm.
Se estima que dentro de x años la población de una comunidad será p(x)=10 000+40x+5x2 personas.
a. A qué ritmo cambia la población después de 10 años?
b. Cuánto cambia la población durante el undécimo año?
La temperatura T estimada para un punto de experimentación agrícola está dada por T(t)=20-2t+0,1t2
grados centígrados a t horas después de la media noche, ( 0  t  12 ).
a. Calcular la razón de cambio de temperatura entre las 4 a.m. y 9 a.m.
b. Determinar la intensidad de cambio de temperatura a las 10 a.m.
La ley de gravitación universal de Newton establece que la magnitud F de la fuerza ejercida por un cuerpo
de masa m sobre un cuerpo de masa m es
F  G
Mm
2
d
, donde G es la constante de gravitación y d es la
distancia entre los cuerpos. Hallar la razón de cambio de F respecto a d, cuando los cuerpos están en
movimiento.
22.
23.
24.
25.
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El tamaño de un cultivo de bacterias aumenta lentamente según N(t)=n0 + 26t + t2 , donde n0 es el número
inicial y t es el tiempo en horas. hallar la razón de cambio
Se lanza una esfera verticalmente hacia arriba de modo que su altura sobre el suelo después de t segundos
está dada por h=49t-1/2(9,8)t2, donde h se da en metros.
a. Hallar la velocidad inicial de ascenso.
b. Hallar la velocidad después de un segundo.
c. Hallar el tiempo de subida.
d. Calcular la altura máxima que alcanza la esfera.
e. Calcular la aceleración.
Un cuerpo en caída libre 1/2gt2, metros en t segundos, donde g es la aceleración de la gravedad. Calcular
la velocidad y la aceleración a los 3 segundos.
A un automóvil que viaja a 20 m/seg se le aplican los frenos con una fuerza continuamente creciente. si
Y=20t-t2, hallar la distancia recorrida y su aceleración hasta parar.
BUDNICK, Frank; Matemáticas aplicadas para Administración, Economía Y Ciencias Sociales.
Editorial McGraw-Hill. 1990.
LEITHOLD, Louis. EL CÁLCULO con geometría analítica. Editorial Harla.
THOMAS, George. CÁLCULO INFINITESIMAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA.
PURCELL, Edwin j. calculo. Prentice Hall. Octava edición, 2001.
“Hay hombres que luchan un día y son buenos. Hay otros que luchan un año y son mejores. Hay
quienes luchan muchos años y son muy buenos. Pero hay los que luchan toda la vida: esos son los
imprescindibles”
Bertolt Brecht
Por
Germán Isaac Sosa montenegro
Octubre 31 de 2011.