Automatización de Procesos 1) Dada la función de transferencia: G(s) 106 (s 102 ) s(s2 103s 106 ) a) Dibujar el diagrama de Bode (magnitud y fase). b) Con la ayuda del diagrama anterior determinar aproximadamente la respuesta en régimen permanente que corresponde a la entrada u(t ) 10sen(01 . t / 4) 30sen(10t ) 2) Un modelo simplificado del sistema de control para la regulación de la apertura de la pupila en un ojo humano se muestra en la figura siguiente, donde se han obviado los efectos de retardo en la transmisión de los impulsos nerviosos: variacion de intensidad de luz. I(s ) R (s) + Controlador Pupila K G (s) Ip(s) + Y (s) + - nervio optico 1 impulso nervioso el modelo de la pupila corresponde a: G(s)= 1 (0.5s 1)3 y K=1 Obsérvese que suponemos un determinada Intensidad de luz constante en el entorno del ojo por lo cual bastará para obtener un determina intensidad sobre la retina del ojo ( R(s)) abrir o cerrar la pupila en la cantidad adecuada. Ip(s) es la intensidad en la retina asociada a la apertura actual de la pupila . Sin embargo en el modelo también se han tomado en consideración variaciones de la intensidad de luz del entorno como una perturbación al sistema. Nótese que este sistema puede perfectamente ser implementado en forma artificial mediante una cámara de vision. Se pide: a) representar el diagrama de Bode de kG(s). b) estudiar la estabilidad del sistema en función de k y calcular el margen de ganancia. 3) Una unidad de disco flexible tal como se muestra en la siguiente figura, requiere un motor para posicionar la cabeza de de lectura/escritura sobre las pistas de datos . 1 encuentra girando en torno a un eje central. El motor y la cabeza pueden ser representados por : G(s)= 10 s( s 1) Donde =0.001 seg. El controlador utilizado es un controlador proporcional, de tal forma que el error entre posición deseada y posición actual es multiplicado por un constante de proporcionalidad K. a) ¿Cual es el error de posición en estado estacionario para un cambio en la entrada deseada a un escalón unitario? b) ¿Calcular el K requerido para obtener un error en estado estacionario de 1 mm para una rampa de entrada de 100 mm/seg ? 4) Sean los dos sistemas en lazo abierto y cerrado mostrados seguidamente donde Kc = 1/K: R Kc k T s+1 Calibración planta C 1.1 Sist ema en lazo abiert o R + Kp k C T s+1 Controlador planta 1.2 Sist ema en lazo cerrado a) Determinar el error en régimen permanente tanto para el sistema en lazo abierto como para el sistema en lazo cerrado. b) ¿ Como habría de tomar Kp para disminuir al máximo el error permanente ? c) Si la constante k presente en la planta varia a k+k debido a cambios ambientales, envejecimiento de componentes, etc. como se modificaría el error en régimen permanente en los casos de lazo cerrado y abierto respectivamente. Particularizarlo para k=100 y k=10. d) Si en vez de tomar un control proporcional como en 1.2 lo sustituimos por un control integral ¿ Cómo quedaría el error en régimen permanente ? 5) La figura representa el diagrama de Bode de la función de transferencia G(s). 2 a) Hallar G(s) si se sabe que esta función es de fase mínima. b) Utilizando el diagrama de Bode, determinar la respuesta estacionaria del sistema a una entrada sinusoidal de amplitud unidad y frecuencia 110 rad/sg. c) Indicar el tipo de G(s) y suponiendo que G(s) es la función en lazo abierto de un sistema de control proporcional con retorno unitario y K=1, determinar el error estacionario frente al escalón unitario. 6) El sistemas mostrado en el esquema siguiente es un ejemplo típico sistema de reserva de un fluido que se utiliza en la industria química. Al aplicar el principio de conservación de la masa para obtener la ecuaciones del modelo obtenemos: A 1 A d h1 dt d h2 2 dt 1 ( h2 h1) u ( t ) R 1 1 R ( h2 h1) 1 1 R h 2 1 Donde u(t) es el valor que controla el flujo en el tanque. u(t ) A1 A2 R1 h1 R2 h2 a) Para los parámetros A1=A2=1; R1=1/2 R2=1/2 encontrar la función de transferencia G( s ) H 2 ( s) U ( s) . b) Si el valor que controla el flujo en el tanque u(t) se realiza a través de un C D/A y la Respuesta h 2(t) se muestrea a una frecuencia de 10 Hz (T=0.1seg), Obtener la función de transferencia discreta u(k) T T ZOH h2(k) G (s) 3 7) Obtener la función de transferencia del sistema discreto T R (s) + T ZOH G (s) H (s) Y (z) - ZOH F (z) donde: G ( s) 1 ; s 1 H ( s) 1 ; s2 F (z) z ; z 1 ZOH ( s ) 1 e Ts s 8) Dado el sistema discreto en representación de variables de estado d 2 x1 ( k ) 2b x1 ( k 1) 0 x 2 ( k 1) 1 1 / 2 5 x 2 ( k ) 1 b u( k ) 0 1 / 4 x3 ( k ) b3 b 2 x3 ( k 1) 0 x1 ( k ) y( k ) c c 1 c 2 x 2 ( k ) x3 ( k ) a) Determinar los valores de d para los cuales el sistema es estable si b=1 y c=0. b) Estudiar los valores de b y c para los que el sistema es estable supuesto d arbitrario. 9) Sea el sistema de control de temperatura que se muestra a continuación: q Suministro de vapor Amplificador de P otencia Microcomputador Depósito x Vapor empobrecido D/A 0-5v termopar Bobina Amplificador A/D 0-5v Fig. 1- Sistema de control de Temperatura Como se observa en el diagrama la salida del microcomputador controla la posición de una electroválvula la cual a su vez controla la cantidad de vapor a través del serpentín del depósito. Por otra parte mediante el termopar podemos tener medidas de la temperatura . En la figura siguiente podemos observar el diagrama de bloques correspondiente al sistema de control : 4 Microcomputador Amplificador de potencia Válvula x R (s) + D(z) ZOH 1 Proceso q 0.4 2.5 G(s) Temperatura T (z) - bobina T Voltios grados Celsius 0.04 Fig. 2 -Diagrama de Bloques Donde: G(s)= 20 3s 1 ZOH= 1 eTs s D(z)=K a) Determinar la estabilidad del sistema en función de K tomando para T el valor 0.5 seg. b) Estudiar la estabilidad para el caso de T=3 seg. y comparar los resultados con los obtenidos en el apartado a) . 10) En la Figura (3a) se observa un sistema de control de posicionamiento de cámaras con el fin de hacer creer al espectador que los actores se encuentran inmersos dentro de un paisaje que realmente es un decorado en miniatura. Las cámaras de primer y segundo plano visualizan respectivamente al actor en movimiento y al decorado en miniatura , de tal forma que estas dos imágenes son superpuestas por un sistema electrónico. Sin embargo para que el espectador le resulte real es necesario que la cámara de segundo plano siga a los movimientos de la cámara de primer plano con rapidez y precisión aceptable. A continuación presentamos el diagrama de bloques correspondiente al sistema de control en donde por simplicidad nos hemos restringido al caso unidimensional. Donde: Gm( s) 23. 2 s Posicion de la cámara de 1 er plano R (s) + K Gc2( s ) 5329 s2 87.6 s 5329 Motor cámara de 2º plano Gm (s) Gc2 (s) Posicion de la cámara de 2º plano r (s) Amplificador Fig. (3a) 5 a) evaluar el rango de K para el cual el sistema es estable y el margen de ganancia para un valor de K=1. b) Determinar el error estacionario para una entrada rampa u(t)=3t para el caso de que k sea igual a 1. 11) Como es bien sabido la respuesta en frecuencia de un determinado sistema puede ser utilizada en la identificación del mismo (obtención de su representación ya sea en el plano-s o en el espacio de estados), de hecho muchos fabricantes suministran las características de magnitud y fase de los dispositivos de control que comercializan. En la figura 2 presentamos un diagrama de bode de un sistema lineal desconocido a priori. Determinar a partir de la información suministrada en el mismo la funcion de transferencia de dicho sistema (nota: observese que a la frecuencia de 0.1 rad/seg la magnitud es 60 dB). 12) Sea un sistema de control en lazo cerrado tal como se muestra en la fig.3, aplicado en este caso al control del angulo de giro de las alas de un avión: Fig 3 donde: G(s)=K ; H(s) = 1/(s(0.5s+1)); ZOH=(1-e-Ts)/s a) Determinar la función de transferencia del sistema. b) Determinar la estabilidad en funcion de K y T. c) que valor de K podriamos escoger para que el error en estado estacionario a una entrada correspondiente a una rampa unitaria fuera inferior a 1.0 supuesto T=0.25. 6