Teoría CFGM.
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DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. x.-) I.E.S. “Cuenca del Nalón”. Nociones elementales sobre el plano y sus elementos. Conceptos: Recta: Conjunto ilimitado de puntos colocados unos a continuación de los otros, sin principio ni fin. Se las denomina por una letra minúscula, t, r, s, etc. ... tiene una dimensión, nos podemos mover por ella en dos sentidos opuestos entre sí, adelanteatrás. Punto: Lugar de intersección de dos rectas. Se los denomina por una letra mayúscula, A, B, C, etc. .... no tiene dimensiones, no se puede mover. Plano: Superficie a la que pertenecen dos rectas coplanarias, que no se cruzan. Una recta y un punto exterior a la misma, determinan un plano. También dos rectas paralelas, o que se corten, determinan un plano. Tres puntos no alineados determinan un plano. Se los denomina por letras griegas minúsculas, , , , etc. ... tiene dos dimensiones, nos podemos mover por el en dos direcciones perpendiculares entre si, y en dos sentidos opuestos para cada una de ellas, adelante-atrás y derechaizquierda. Posiciones relativas de: Dos rectas en el plano: Paralelas, cuando no tienen ningún punto común. Secantes, cuando se cortan en un punto. Coincidentes, cuando tienen infinitos puntos comunes. Se trataría de la misma recta. Dos rectas en el espacio: Además de los tres casos anteriores, se pueden cruzar, es decir, estar en planos diferentes y al proyectarlas sobre un mismo plano se cortan. Por ejemplo los pasos elevados, rectas, cruzan sobre otras vías de comunicación. Dos planos en el espacio: Paralelos, cuando no tienen ningún punto en común. Secantes, cuando tienen una recta en común. Coplanarios, cuando tienen infinitos puntos en común. Se trataría del mismo plano. Tres planos en el espacio: Son varias los posibilidades, pero la más importante es que se pueden cortar los tres en un punto común. Espacio tridimensional: es el medio físico en el que nos movemos, y lo podemos hacer en tres direcciones y dos sentidos opuestos para cada una de ellas, adelanteatrás, arriba-abajo y derecha-izquierda. Tiene tres dimensiones. En el espacio de la tierra tendríamos las direcciones Norte-Sur, Este-Oeste y subir-bajar o Cenit-Nadir. Segmentos: dos puntos sobre una recta determinan un segmento, a dichos puntos se les denomina extremos del segmento y al segmento se de denomina por AB . Segmentos concatenados: son aquellos que tienen un extremo común, si además se encuentran sobre la misma recta se les denomina consecutivos. Segmentos superpuestos: cuando además de tener un extremo común, todos los puntos de uno están sobre el otro. Segmentos iguales: cuando superpuestos coinciden, en caso contrario se les denomina desiguales. Teoría básica. Página.- i CFGM I.E.S. “Cuenca del Nalón”. DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. Comparación de segmentos: según como sean entre sí escribiremos: AB CD cuando son iguales. AB CD cuando AB es mayor que CD . AB CD cuando AB es menor que CD . Ángulos: dos semirrectas con un mismo origen determinan en el plano un ángulo. Al origen común se le denomina vértice, mientras que a las semirrectas se la denominan lados. B M A=M B N Segmentos superpuestos A B N Segmentos concatenados α A ángulo C Denominación de los ángulos: se les denomina con tres letras, BAC ó CAB, siendo la letra central el vértice del ángulo, o bien solo con la letra del vértice,  , o con una letra griega minúscula, α. Ángulos en el plano: dos rectas que se cortan determinan cuatro ángulos en el plano iguales dos a dos. Si las rectas se cortan perpendicularmente, entonces los cuatro ángulos son iguales y cada uno es un ángulo recto, 90o. Clasificación de los ángulos: Agudo: cuando es menor que un ángulo recto. agudo recto obtuso llano convexo cóncavo consecutivos adyacentes Obtuso: cuando es mayor que un ángulo recto. Llano: cuando sus lados forman rectas opuestas. Convexo: cuando es menor que un ángulo llano. Cóncavo: cuando es mayor que un ángulo llano. Consecutivos: cuando tienen un vértice y un lado comunes, y los otros dos están uno a cada parte del lado común. Adyacentes: cuando son adyacentes y los lados no comunes están en línea recta, forman un llano. Complementarios: cuando entre los dos suman un recto, 90o. Suplementarios: cuando entre los dos suman un llano, 180o. Medida de ángulos: Grados sexagesimales: si dividimos una circunferencia en 360 partes, el ángulo central que abarca un arco igual a una de esas partes se denomina ángulo Teoría básica. Página.- ii CFGM DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. I.E.S. “Cuenca del Nalón”. unidad, y representa un grado sexagesimal, el cual se subdivide a su vez en sesenta partes iguales llamadas minutos de arco, y éstos a su vez en otras sesenta partes llamadas segundos de arco. Así pues, cada parte consta de sesenta unidades, de ahí el nombre. Notación compleja: 251236 , representa un ángulo de 25 grados, 12 minutos y 36 segundos. Para pasar a notación decimal haríamos: 3600 3600 3600 0,01 para pasar los segundos a grados los dividimos por 3600 0 120 60 que son los segundos que tiene un grado, 120 0,2 para pasar los mi0 nutos a grados los dividimos por 60 que son los minutos que tiene un grado, y por último sumamos ambos cocientes al número de grados y obtenemos el ángulo en notación decimal, en este caso 25 0,01 0,2 25,21. Con la calculadora buscamos la tecla o ’ ” , y realizamos la siguiente operación 25 o ’ ” 12 o ’ ” 36 o ’ ” y en pantalla tendremos la conversión ya realizada. Notación decimal: 25.21 , que es el ángulo anterior, para pasar de un ángulo decimal a uno en notación compleja haríamos: 0,21 60 12,6 , multiplicamos la parte decimal por 60, la parte entera del nuevo número serán los minutos de arco,12, y 0,6 60 36 , multiplicamos la parte decimal de nuevo por 60, el número así obtenido serán los segundos de arco. Así pues, la parte entera del número original serán los grados, 25o, la parte entera del número que se obtiene al multiplicar la parte decimal por 60 serán los minutos, 12’, y la parte decimal de éste último número multiplicada por 60 serán los segundos, 36”. Utilizando la calculadora, haríamos 25.12 o ’ ” SHIFT o ’ ” , y nos quedaría 251236 , donde debemos leer 251236 . Radián: es el valor del ángulo central de una circunferencia que abarca un arco igual al radio. Como la longitud total de una circunferencia es 2 veces el radio, entonces equivale a 2 radianes, de donde 2 radianes equivalen a 360o, radianes serán 180o y radianes serán 90o o un ángulo recto. 2 Bisectriz de un ángulo: es la recta equidistante de los lados del ángulo que divide a éste en dos ángulos iguales. Suma y resta de ángulos: la forma más rápida y cómoda, aparte de con la calculadora, es hacerlas siempre en notación decimal, es decir, convertir todas las medidas angulares a su notación decimal. Suma en notación compleja: sumaríamos grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos, pero con las siguientes precauciones: Lo hacemos por columnas, así: 13 55 49 131 25 17 como hay más de sesenta segundos, res144 80 66 tamos 60 a los que hay y añadimos un minuto más, luego hacemos lo Teoría básica. Página.- iii CFGM I.E.S. “Cuenca del Nalón”. DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. mismo con los minutos y añadimos un grado más, de este modo 144 80 66 144 81 6 1 60 1 60 que es el ángulo suma. 144 81 6 145 21 6 o o Con la calculadora sería 13 ’ ” 55 ’ ” 49 o ’ ” + 131 o ’ ” 25 o ’ ” 17 o ’ ” = SHIFT o ’ ” , y nos quedaría el resultado obtenido antes. Resta en notación compleja: restaríamos por columnas, pero siempre que una unidad del minuendo sea menor que su correspondiente del sustraendo debemos convertir una unidad superior del minuendo en 60 unidades que añadiremos a las que ya había. Por ejemplo, restar los ángulos 119 2503 y 255549 , para que las cantidades del minuendo sean siempre mayores que sus correspondientes del sustraendo debemos pasar un minuto a segundos, así pasaríamos al ángulo 119 2463 , como siguen siendo los minutos del sustraendo mayores que los del minuendo debemos pasar un grado a minutos y nos quedaría por fin el ángulo 118 8463 , al cual ya le podemos restar sin problemas el otro ángulo dado, así: 118 84 63 25 55 49 . 93 29 14 Con la calculadora sería 119 o ’ ” 25 o ’ ” 3 o ’ ” – 25 o ’ ” 55 o ’ ” 49 o ’ ” = SHIFT o ’ ” . Multiplicación y división de ángulos: en notación decimal procedemos como lo haríamos con un número decimal normal. Multiplicación en notación compleja: para multiplicar por un número natural Se multiplican los grados, minutos y segundos, por separado, por dicho número. Si los segundos obtenidos resultan ser más de 60, pasamos el excedente a minutos y los agregamos a los mismos. Si los minutos obtenidos son más de 60, pasamos el excedente a grados y los agregamos a los mismos. 79 35 50 Así, el triple del ángulo 793550 será, 3 , y a con- 237 tinuación 105 2 107 237 105 150 150 237 107 30 120 1 60 que es el 30 238 47 30 237 resultado final. Con la calculadora 79 o ’ ” 35 o ’ ” 50 o ’ ” X 3 = SHIFT o ’ ” . División en notación compleja: para dividir por un número natural Dividimos los grados por dicho número, división entera, el resto de la división lo pasamos a minutos multiplicándolo por 60 y se lo añadimos a los minutos que ya teníamos. Dividimos dichos minutos por el número, división entera, el resto de la división lo pasamos a segundos multiplicándolo por 60 y se lo añadimos a los segundos que ya teníamos. Por último dividiTeoría básica. Página.- iv CFGM I.E.S. “Cuenca del Nalón”. DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. mos éstos por el número, sacando a lo sumo tres decimales, es decir, milésimas de segundo. 175 3 Así, la tercera parte del ángulo 175 1520 sería , el resto por 1 58 75 3 60 lo añadimos a los minutos y obtendremos , como el resto 0 25 es cero dividimos directamente los segundos que teníamos, que dándonos 6.666, así pues, la tercera parte del ángulo es 58256.666 . Con la calculadora 175 o ’ ” 15 o ’ ” 20 o ’ ” ÷ 3 = SHIFT o ’ ” . xi.-) Nociones elementales sobre polígonos regulares y sus elementos. Conceptos: Línea poligonal o quebrada: es la figura formada por varios segmentos concatenados. A los segmentos se les denomina lados y a los puntos de unión vértices. Pueden ser: Abierta: cuando el primer extremo del primer segmento no enlaza con el segundo extremo del último segmento. Cerrada: cuando el primer y el último segmento enlazan. Polígono: parte del plano limitada por una poligonal cerrada. Convexo: es convexo cuando la recta determinada por la prolongación de uno cualquiera de sus lados divide al plano de tal forma que todos los vértices del polígono quedan en el mismo semiplano Cóncavo: cuando no ocurre lo anterior con uno o más lados. Perímetro: es la suma de todos los segmentos del polígono. Diagonal: todo segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Número total de diagonales de un polígono: d n n 3 , siendo n el número de lados o vértices del polígono, ya que si te fijas bien, por cada vértice solo se pueden trazar n 3 diagonales. n n 3 Número total de diagonales distintas: D , ya que todas se repi2 ten una vez. Ángulos: Interiores, î: son los abarcan uno o más lados del polígono., están formados por dos lados consecutivos. Exteriores, ê: los formados por un lado y la prolongación de su contiguo, o bien, los suplementarios de los interiores. La suma de todos ellos, en un polígono convexo, es de cuatro rectos, 360o. Como î ê 180 , ê 4 90 , y si n es el número de lados o vértices, entonces î ê n 180 , ya que hay tantos ángulos internos como externos, y tantos como vértices. Juntándolo to- Teoría básica. Página.- v CFGM I.E.S. “Cuenca del Nalón”. DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. î ê î ê n 180 î n 180 2 180 , o lo que es lo mismo î n 2 180 . do, tenemos que Clases de polígonos: hay varias formas de clasificarlos: Atendiendo a la forma en sí: Equiláteros: cuando tienen los lados iguales entre sí, aunque no los ángulos. Equiángulos: cuando tienen los ángulos iguales entre sí, aunque no los lados Regulares: son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales entre sí. Irregulares: cuando los ángulos y los lados no son iguales entre sí. Atendiendo a sus ángulos: Convexos. Cóncavos. Convexo. Poligonal abierta. Cóncavo. Poligonal cerrada. Atendiendo al número de lados: A Triángulos, tienen tres lados. Cuadriláteros, tienen cuatro lados. Pentágonos, tienen cinco lados. E Hexágonos, tienen seis lados. D1 Heptágonos, tienen siete lados. D2 i B Octágonos u octógonos, tienen ocho lados. Eneágonos, tienen nueve lados. Decágonos, tienen diez lados. e Undecágonos, tienen once lados. D C r Dodecágonos, tienen doce lados. Pentadecágonos, tienen quince lados. Diagonales por el vértice A, D1 y D2. Icosígonos, tienen veinte lados. i ángulo interno y e ángulo externo. …………… Para el resto de los casos se suelen nombrar como “polígono de n-lados”. Polígonos regulares: Centro: es el punto equidistante de los vértices, es el centro de la circunferencia circunscrita al mismo, y también el centro de la circunferencia inscrita. Un polígono se dice inscrito a una circunferencia cuando todos sus vértices están situados sobre la misma y sus lados son cuerdas de ella. De tal circunferencia se dice que está circunscrita al polígono. Un polígono se dice circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes a la misma. De tal circunferencia se dice que está inscrita al polígono. Radio, r: es la distancia del centro a un vértice, es el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. Teoría básica. Página.- vi CFGM DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. Apotema, a: es la distancia del centro a un lado, es el radio de la circunferencia inscrita al polígono. Ángulo central, ĉ: es el ángulo formado por dos radios consecutivos. La suma de todos ellos es de cuatro rectos, dos llanos o 360o. Luego, un ángulo central 360 de un polígono de n-lados vale ĉ . n Ángulo interior, î: un ángulo interior de un polígono regular de n-lados vale 180 n 2 . n î Ángulo exterior, ê: un ángulo exterior de un polígono regular de n-lados vale ê xii.-) I.E.S. “Cuenca del Nalón”. 360 , luego se deduce que: n ê ĉ , ê î ĉ î 180 . Nociones elementales sobre triángulos y sus elementos. Conceptos: Triángulo: polígono de tres lados. Terminología, convenios: A Los vértices se nombrarán con letras mayúsculas. Los ángulos se nombrarán escribiendo los nombres de BAC ó CAB los tres vértices, el del ángulo siempre en el centro,  con un ángulo pequeño dibujado encima, por la b letra del vértice con un ángulo encima, o por c una letra minúscula griega. Los lados se nombran con la letra minúscula correspondiente a la de su ánC gulo opuesto. a Características notables: B Son indeformables, los tres segmentos que componen un triángulo solo encajan en una posición fija. Como polígono es siempre convexo. Todo polígono se puede descomponer en dos o más triángulos. Un lado cualquiera siempre es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Tres segmentos cualesquiera forman un triángulo solo si el mayor de ellos es menor que la suma de los otros dos. Teoría básica. Página.- vii CFGM I.E.S. “Cuenca del Nalón”. DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. Rectas y puntos notables: Alturas: son los segmentos perpendiculares trazados desde un vértice a su lado opuesto, o a su prolongación. Al lado opuesto al vértice se le denomina base. altura altura base base Ortocentro: es el punto en el que se cortan las tres alturas de un triángulo, o sus prolongaciones, por lo que puede ser interior o exterior al mismo. Medianas: son los segmentos que unen un vértice con el punto medio de su lado opuesto. Baricentro: es el punto donde se cortan las medianas, se corresponde con el centro de gravedad del triángulo y es siempre interior al mismo. Además la distancia de él a un vértice son los dos tercios de la longitud de la mediana correspondiente. Mediatrices: son las rectas perpendiculares a los puntos medios de los lados. Circuncentro: es el punto donde se cortan las mediatrices, y se corresponde con el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Puede ser interior o exterior al mismo. Está a igual distancia de los tres vértices, y éstos están situados sobre la circunferencia, siendo los lados cuerdas de la misma. Bisectrices: son las rectas que dividen sus ángulos en dos partes iguales. Incentro: es el punto en el que se cortan las bisectrices y se corresponde con el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Siempre es interior al mismo y equidista de los lados. Clasificación de los triángulos: Por sus lados: Equiláteros, tienen los tres lados iguales. Isósceles, tienen dos lados iguales. Escalenos, tienen los tres lados desiguales. Por sus ángulos: Acutángulos, tienen los tres ángulos agudos. Obtusángulos, tienen un ángulos obtuso. Rectángulos, tienen un ángulo recto. α Suma de los ángulos interiores de un triángulo: φ β Como se desprende de la figura suman un llano. α Como los ángulos interiores son suplementarios de sus exteriores correspondientes y éstos φ β siempre suman dos llanos o 360o, tenemos que: ê1 ê2 ê3 180 180 180 360 3 180 360 540 360 180 Los triángulos son el único polígono que no posee diagonales. Teoría básica. Página.- viii CFGM I.E.S. “Cuenca del Nalón”. DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. Área del triángulo: S bh , donde b es la base correspondiente a la altura h. 2 acutángulo rectángulo obtusángulo h h h b b b Área de un triángulo rectángulo: S bc , donde b y c son los catetos. 2 Triángulos rectángulos: Elementos notables: Hipotenusa, es el nombre que recibe el lado mayor del triángulo y se opone al ángulo recto. Catetos, es el nombre que reciben los otros dos lados. Teoremas fundamentales: En la figura adyacente podemos distinguir tres triángulos rectángulos: A φ C β β y x ABC ; AHC ; AHB Son todos semejantes, ya que poseen ángulos iguales entre sí. φ B H BC AC . AC CH Donde BC es la hipotenusa del triángulo grande, a, AC uno de sus catetos, el b, y CH es la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa, x. BC AB Tomando los triángulos ABC y AHB obtenemos que , donde vemos que se AB HB trata de la misma relación, pero ahora con el cateto pequeño, c, y su proyección sobre la hipotenusa, y. En resumen, en ambos casos el cateto hace media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre la misma. Teorema del cateto: en todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa del mismo y su proyección sobre la misma. Aplicando las relaciones de semejanza entre ABC y AHC, tenemos que Si tomamos ahora los dos triángulos pequeños, AHB y AHC , obtendremos la relación BH AH , donde AH es la altura sobre la hipotenusa, con le que podemos decir: AH CH Teorema de la altura: en todo triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional con las proyecciones de los catetos sobre la misma. Teoría básica. Página.- ix CFGM I.E.S. “Cuenca del Nalón”. DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. Por último, y juntando ambos teoremas del cateto, tenemos que: 2 AC x a 2 2 2 b c x a y a a x y a a a 2 BC y a Teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Ternas pitagóricas: son todo conjunto formado por tres números que cumplen que la suma de los cuadrados de los dos menores es igual al cuadrado del mayor. Triángulo egipcio: es el triángulo formado por tres segmentos de longitudes 3, 4 y 5 unidades, además es rectángulo, ya que 32 42 52 . En todo triángulo rectángulo que tenga un ángulo de 30o el cateto opuesto al mismo mide la mitad que la hipotenusa. No hay triángulos rectángulos equiláteros. El triángulo rectángulo isósceles tiene los ángulos iguales de 45o. A A C  = 30o L 30o 60o H B H 60o B L/2 Criterios de igualdad de triángulos en general: Primer criterio: Dos triángulos son iguales si tienen, respectivamente, iguales un lado y los ángulos adyacentes o contiguos al mismo. Segundo criterio: Dos triángulos son iguales si tienen, respectivamente, iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Tercer criterio: Dos triángulos son iguales si tienen, respectivamente, iguales los tres lados. Criterios de igualdad de triángulos rectángulos: Primer criterio: Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales sus catetos. Segundo criterio: Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales un cateto y un ángulo agudo. Tercer criterio: Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales un cateto y la hipotenusa. Cuarto criterio: Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales la hipotenusa y un ángulo agudo. Teoría básica. Página.- x CFGM DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. xiii.-) I.E.S. “Cuenca del Nalón”. Nociones elementales sobre cuadriláteros y sus elementos. Conceptos: Cuadrilátero: polígono de cuatro lados, de donde tendrá siempre d 4 4 3 2 diagonales. Un cuadrilátero siempre se puede descomponer en dos triángulos, uniendo dos vértices opuestos. La suma de todos sus ángulos internos es 2 180 360 , dado lo anterior. Clasificación: Por paralelismo de sus lados: Paralelogramo: tiene dos pares de lados paralelos e iguales dos a dos, a su vez se dividen en: Rectángulos: tienen los cuatro ángulos iguales de 90o, y los lados iguales dos a dos. Rombos: tienen los cuatro lados iguales, y los ángulos iguales dos a dos. Romboide: no tienen ninguna propiedad específica. Cuadrado: es un rectángulo y un rombo a la vez. Es el cuadrilátero regular. Tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales. La cometa: es un tipo especial de romboide, ya que tiene sus diagonales perpendiculares entre sí. Trapecio: son los cuadriláteros con dos lados paralelos, a su vez se dividen en: Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos rectos. Trapecio isósceles: tiene dos lados no paralelos iguales y los ángulos iguales dos a dos. Los ángulos no iguales entre sí son suplementarios. Trapecio escaleno: no tiene ninguna propiedad específica. Trapezoide: no tienen ningún par de lados paralelos. Propiedades de los paralelogramos: Los ángulos opuestos son siempre iguales. Los lados opuestos son siempre iguales y paralelos. Las diagonales se cortan siempre en su punto medio. Los ángulos adyacentes o contiguos son suplementarios. Las diagonales de un rectángulo son iguales. Las diagonales de un rombo son perpendiculares. Las diagonales de un romboide son oblicuas y desiguales. Teoría básica. Página.- xi CFGM I.E.S. “Cuenca del Nalón”. DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. Rectángulo Trapecio isósceles Cuadrado Trapezoide Romboide Trapecio rectángulo Trapecio escaleno Área de un rectángulo: siendo a el largo y b el ancho, el área será S a b . Área de un paralelogramo en general: siendo a el lado base y h la altura trazada desde uno cualquiera de los vértices opuestos al lado de la h base, S a h R o Área del trapecio: si llamamos D a la base m mayor, d a la base menor, h a la altura entre las b A B C D E Dd o h , ver la figura. bases, el área será S 2 El área del rectángulo AAEE es doble h que la del trapecio, es la del trapecio mas los triángulos AA' B y CD' D , y el cuadraE’ A’ B’ D’ do DD' E' E que configuran otro trapecio 1 igual al primero. Luego el área del trapecio será S A' E' AA ' , como 2 AA' BB' h , y A' E' A' D' D' E' , siendo D' E' BC la base menor y 1 A' D' es la base mayor, entonces S D d h , c.q.d. 2 Área del rombo: si llamamos D a la diagonal mayor y d a la B Dd diagonal menor, el área del rombo será S , ver figura. 2 El área del rombo es el cuádruplo del área del triángulo D OA OB A O rectángulo AOB , la cual vale S , como 2 d D OA , y OB , nos queda por fín que el área del 2 2 D d Dd Dd d rombo será S 4 2 2 4 2 8 2 Área de una figura en general: siempre que se trate de figuras limitadas por poligonales, podemos descomponer la misma en triángulos, rectángulos, cuadrados, Teoría básica. Página.- xii CFGM DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. I.E.S. “Cuenca del Nalón”. trapecios y rombos, es decir, podemos medir su área a partir de las áreas de las figuras más sencillas en que la descompongamos. Área de un polígono regular: para un pentágono podemos dividir éste en cinco triángulos formados por los radios del mismo. Los triángulos son todos isósceles e iguales, si a es la apotema del polígola pa no, su área será S 5 , donde l es el lado del polígono y 2 2 p es el perímetro del mismo. la pa Para un polígono regular de n-lados, sería S n , es decir, nos 2 2 quedaría lo mismo. xiv.-) Nociones elementales sobre circunferencias y sus elementos. Conceptos: Lugar geométrico: es el conjunto de los puntos del plano que gozan todos ellos de una misma propiedad. Circunferencia: es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos tienen la propiedad de equidistar de un punto O llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio. Como lugar geométrico, es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de un punto fijo llamado centro. A la distancia común se la denomina radio. Otros lugares geométricos de interés, aparte de las cónicas: Mediatriz: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento. Bisectriz: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo. Círculo: es la región del plano limitada por una circunferencia. Elementos notables de la Circunferencia Círculo circunferencia y del círculo: Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. R, radio La mediatriz a toda cuerda pasa siempre O, centro R por el centro de la circunferencia. O La mediatriz a una cuerda es la bisectriz del ángulo central que sustenta dicha cuerda. Arco: es cada una de las partes en que queda dividida la circunferencia por una cuerda. Se puede decir también que es el trozo de circunferencia comprendido entre dos radios. Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Es la cuerda más larga que se puede trazar en una circunferencia. Un diámetro divide a la circunferencia en dos arcos de igual tamaño, llamados semicircunferencias. Además divide al círculo en dos segmentos circulares iguales, llamados semicírculos. Teoría básica. Página.- xiii CFGM DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. I.E.S. “Cuenca del Nalón”. Radio: es el segmento de recta que une el centro con uno cualquiera de los puntos de la circunferencia. Segmento circular: es cada una de las dos partes en que queda dividido el círculo por una cuerda. Sector circular: es la parte del círculo comprendida entre dos radios y su arco correspondiente. Ángulo central: es el que está formado por dos radios y tiene su vértice en el centro de la circunferencia. Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice en un punto cualquiera de la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma. Un ángulo inscrito vale la mitad que su correspondiente ángulo central, es decir, que el ángulo central que abarca el mismo arco. Todo ángulo inscrito que soporte un diámetro, o que abarque una semicircunferencia, es un ángulo de 90o o recto. Tangente: es una recta exterior a la circunferencia que toca a ésta en un solo punto de la misma. El radio que une el centro de la circunferencia con la recta tangente a la misma, es perpendicular a ésta en el punto de tangencia. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia trazadas desde un punto común exterior a la misma, es suplementario del ángulo central formado por los radios trazados a las tangentes en los respectivos puntos de tangencia. La bisectriz del ángulo formado por dos rectas tangentes a una circunferencia, trazadas desde un punto común exterior a la misma, pasa por el centro de la circunferencia y divide a ésta en dos semicircunferencias, y al círculo correspondiente en dos semicírculos. Secante: es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos de la misma. Corona circular: es la superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas. Trapecio circular: es la porción de corona circular limitada por dos radios. Relación entre un ángulo inscrito a una circunferencia y el ángulo central correspondiente que abarca el mismo arco: β β 180-α α De la figura se desprende que α es el ángulo central que abarca el mismo arco que el ángulo inscrito β, además de la relación de los ángulos del triángulo isósceles representado, en el cual se cumple que la suma de sus ángulos ha de ser 180o, de donde tenemos 180 180 2 , es decir, el án2 gulo inscrito siempre es la mitad de su central correspondiente. Valor del ángulo inscrito a una circunferencia y que abarca un diámetro. El ángulo inscrito es el ángulo  . Los triángulos AOC y AOB son ambos isósceles, ya que OA OC OB R , siendo R el radio de la circunferencia. Teoría básica. Página.- xiv CFGM I.E.S. “Cuenca del Nalón”. DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. Del triángulo AOC se desprende que 180 180 2 . Del triángulo AOB se desprende que 180 2 2 180 90 A β β C 180-φ δ φ Es decir δ y β son complementarios, suman 90o, en consecuencia, todo ángulo inscrito δ B O a una circunferencia y que abarque un diámetro es un ángulo recto, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo. Arco Arco Segmento circular Cuerda Ángulo inscrito Ángulo central Diámetro Segmento circular Sector circular Ángulo central Radio Secante Tangente 90o φ β 90o Trapecio circular Corona circular Longitud de la circunferencia: Lc 2 R , siendo R el radio de la misma. Longitud de un arco en función del ángulo central que lo abarca: como la longitud de toda la circunferencia sería la de un arco sostenido por un ángulo central de 360o, se trataría de resolver una regla de tres simple, si ha un ángulo central de 360o le corresponde una longitud de arco de 2R , a un ángulo central de le corres2R R ponderá Larc, o sea, L arc 360 180 Teoría básica. Página.- xv CFGM I.E.S. “Cuenca del Nalón”. DEPTO. DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS. Área del círculo: S R , siendo R el radio de la circunferencia que lo envuelve. Considerando la circunferencia como un polígono de infinitos lados, el área 2 R R R2 del mismo sería S 2 Área del sector circular: al igual que con la longitud de un arco, se trata de resolver una regla de tres simple, si consideramos el círculo completo como un sector de ángulo central de 360o, tendremos que a 360o le corresponden R 2 unidades de superficie, luego a un sector de ángulo central , le corresponderán Ssec, de donde 2 R2 360 Área del segmento circular: pueden darse dos casos: Si el ángulo φ es menor de 180o, en ese caso el área sería la del sector A correspondiente menos la del triángulo formado por los radios y la c cuerda que lo sustenta, así, si h es la altura correspondiente a la R cuerda trazada desde el centro y c la longitud de la cuerda, quedaría Ssec h c h R2 ch Sseg Ssec R O 2 360 2 Si el ángulo φ es mayor que 180o, en este caso sería la del sector correspon- c h R2 ch 2 360 2 Área de la corona circular: sería la diferencia entre el área de la circunferencia diente más la del triángulo, Sseg Ssec 2 2 mayor menos la de la menor, así Scor R r , donde R es el radio de la circunferencia mayor y r el correspondiente de la menor. Área del trapecio circular: si φ es el ángulo central correspondiente al trapecio, entonces Strap Teoría básica. R2 r2 360 Página.- xvi CFGM B