CONCEPTO DE PROPORCIONALIDAD

CONCEPTO DE PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos
conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena
medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las
variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la
relación entre cantidades.
Ejemplo
Observa el dibujo y construye una tabla que relacione la altura de cada rectángulo con su base.
- A doble base corresponde doble altura.
- A triple base corresponde triple altura.
- A cuádruple base corresponde .... altura.
Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:
a doble .............. doble,
a mitad.............. mitad,
a triple ............. triple,
a un tercio.....un tercio,
etc .........................
decimos que las dos magnitudes son directamente
proporcionales.
"Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de las alturas".
ACTIVIDADES
1. Dibuja los segmentos correspondientes sabiendo que la razón de proporcionalidad es 3/4.
2. Completa la serie de dibujos sabiendo que la razón de proporcionalidad es 2/3.
3. ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?
Propiedades de la Proporcionalidad.
Las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que
entre c y d.
Una proporción está formada por dos razones iguales:
a : b = c : d
dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .
Proporción múltiple:
Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales:
a:b=c : d= e : f
a: c :
y se puede expresar como una proporción múltiple:
e = b : d : f
- En la proporción formada por dos razones iguales a : b = c : d
se llaman extremos; c y b se llaman medios.
hay cuatro términos; a y d
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:
1. Verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la
primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por ; en la segunda línea se tiene que
multiplicar por , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
2. Verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio
parecido) o
3. Verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades
anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme
interés en este contexto.
Aplicación
Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿Qué superficie
construirán cinco albañiles en cuatro horas?
Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo
de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí,
explicitando las hipótesis subyacentes.
Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que
todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la
superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el
tiempo: los albañiles no se cansan.
Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa
intermedia: ¿Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas? El parámetro "número de
albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La
superficie construida será multiplicada por . Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas,
y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por
azul es proporcional).
(la subtabla
El resultado final es
Metros cuadrados.
La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes
a cada factor:
Clases de proporcionalidad
A menudo encontramos casos en que dos conjuntos se relacionan de las siguientes formas:
CONCEPTO DE SEMEJANZA.
El concepto de Semejanza en la vida cotidiana
Cuando se utiliza el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué nos estamos
refiriendo? Será acaso:
Un objeto que se parece a otro
Objetos de igual tamaño
Objetos de igual forma
Objetos exactamente iguales
Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya
que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra
semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente
iguales, entre otros.
Por ejemplo:
El color del automóvil de Pedro es semejante al color del automóvil de María.
La pelota de ping-pong es semejante a la de fútbol.
La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique.
Los gemelos Baltodano Carrillo son tan semejantes que es difícil diferenciarlos.
La llave que usa Sofía, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano José.
Se podría seguir enunciando ejemplos, que ayuden a comprender el concepto de semejanza. Note
que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una
característica común entre los objetos o personas, tales como: color, tamaño y forma, entre otros.
Resumiendo: el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido",
en una o más características, que existe entre dos personas u objetos.
El concepto de semejanza en matemática
El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad. En
esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una proporción entre ellos.
Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad.
Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se
percata que la escala utilizada en el mapa es de 1 : 5000, es decir, un centímetro en el mapa
representa 5000 metros en la realidad. Luego de medir con una regla la distancia entre las dos
ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad. Note que el
mapa es una representación semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba
guardar una misma proporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más
cercanas a su valor real.
La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una
buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la
maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar una proporcionalidad
adecuada, en otras palabras, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño
que el objeto tiene en la realidad.
Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego es ampliada a 6x8
pulgadas. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de
la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de sus lados
correspondientes son de igual valor.
Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la misma proporción y
semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área, diámetro).
El último ejemplo refleja que siempre, dos objetos que son del mismo tamaño y forma se pueden
catalogar como semejantes. Se debe tener cuidado con la afirmación inversa, es decir, objetos de
diferente tamaño no son siempre semejantes, todo depende de que guarden o no la misma
proporción, tal es el caso de los ejemplos uno, dos y tres. En otras palabras, para que dos objetos
sean semejantes bajo la concepción matemática, no siempre tienen que ser iguales.
Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes
respectivas.
CONCEPTO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
En esta sección se analizará el concepto de semejanza de triángulos, con el fin de poder
comprender su significado y aplicarlo en la solución de problemas. Antes de profundizar dicho
concepto, se interiorizará solamente el concepto de semejanza.
Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes
y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los
lados correspondientes son respectivamente:
c y c' (lado grande y lado grande)
a y a' (lado pequeño y lado pequeño)
b y b' (lado mediano y lado mediano)
Observe que al realizar la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que
se obtiene es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón
y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los
lados son proporcionales.
Ya se ha estudiado el concepto de semejanza, tanto en lenguaje cotidiano como en leguaje
matemático. Se aplicarán ambas definiciones para establecer el concepto de semejanza de
triángulos.
Se podría afirmar, con lo que ya se conoce, que dos triángulos son semejantes si poseen una
misma forma y sus partes guardan una proporción.
Definición de Semejanza de Triángulos.
Dos triángulos son semejantes si los ángulos homólogos son congruentes y los lados homólogos
son proporcionales.
Ahora bien, sería muy tedioso estar verificando para cada par de triángulos estas dos condiciones.
Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen criterios de semejanza, los cuales
ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos.
Importante
Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, se escribe:
ΔABC ~ ΔDEF
Es muy importante el orden en que se escriban los vértices de cada triángulo, ya que esto
establece los ángulos y los lados homólogos.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
CRITERIO ANGULO- ANGULO- ANGULO
Si en dos triángulos las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales, entonces esos
dos triángulos son semejantes y viceversa.
CRITERIO LADO-ANGULO-LADO
Si dos triángulos tienen un ángulo congruente comprendido entre lados que son
proporcionales entonces, los triángulos son semejantes y viceversa.
CRITERIO LADO-LADO-LADO
Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales entonces esos triángulos
son semejantes
TEOREMA DE THALES
Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los
segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.
TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA
Si el segmento al interior del triángulo es paralelo a uno de los lados y pasa por los
puntos medios de los otros dos, entonces, dicho segmento medirá exactamente la mitad del lado
del triángulo al cual es paralelo.
T. de Thales
Semejanza 1
Semejanza 2
Semejanza 3
Semejanza 4
S e m ej a nza d e tr i á ng ul o s
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.
Son ángulos homólogos:
Dos
triángulos
son
semejantes
cuando
tienen
sus
ángulos
homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
La razón de la proporci ón entre los lados de los triángulos se llama
razón de semejanza .
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es
igual a su razón de semejanza.
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al
cuadrado de su razón de semejanza.
E j er ci ci o s
1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5
m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de
0.90 m.
2.Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m.
¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya
hipotenusa mide 52 m?
T. de Thales
Semejanza 1
Semejanza 2
Semejanza 3
Semejanza 4
Cr i t e ri o s d e s em e j a nza d e t ri áng ul o s
1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2
Dos
triángulos
proporcionales.
son
semejantes
si
tienen
los
lados
3
Dos
triángulos
son
semejantes
si
tienen
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
E j er ci ci o
Razona si son semejantes los siguientes triángulos:
Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.
dos
lados
180º − 100º − 60º = 20º
Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.
Son
semejantes
porque
tienen
dos
lados
proporcionales
y
un
ángulo igual.
T. de Thales
Semejanza 1
Semejanza 2
Semejanza 3
Semejanza 4
Cr i t e ri o s d e s em e j a nza d e t ri áng ul o s r e ct á ng ul o s
1Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo
agudo igual.
2Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos
catetos proporcionales.
3Los
triángulos
son
semejantes
si
tienen
proporcionales
la
hipotenusa y un cateto.
S e m ej a nza d e po l í g o no s
Dos
polígonos
son
semejantes
cuando
tienen
homólogos iguales y los lados homólogos proporcionales.
los
ángulos
T. de Thales
Semejanza 1
Semejanza 2
Semejanza 3
Semejanza 4
Te o r em a d e Thal e s
Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas,
los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales
a los segmentos correspondientes en la otra.
E j er ci ci o s
1.Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela
a las rectas a y b?
Sí, porque se cumple el teorema de Thales.
E l te o re m a de Tha l e s e n un t ri áng ul o
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a
uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos
sus lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Hallar las medidas de los segmentos a y b.
Aplicaciones del teorema de Thales
El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en
varias partes iguales.
Ejemplo
Dividir el segmento AB en 3 partes iguales
1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a
partir de A.
3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B
con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan
las 3 partes iguales en que se divide.