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CAPITULO 1
CONCEPTOS BASICOS
1.1 Segmentos orientados
En el estudio de la geometría plana no se hacía distinción entre los segmentos de recta AB y BA,
porque nos interesaba solamente la longitud del segmento; sin embargo, en el estudio de la geometría
analítica, es necesario considerar tanto la longitud como el sentido. Cuando nos refiramos a la longitud
de un segmento, lo consideraremos como una cantidad absoluta, y cuando nos refiramos tanto a la
longitud como al sentido, lo llamaremos segmento orientado. Por lo tanto, un segmento orientado es
aquel, cuyo sentido positivo ha sido elegido. El sentido positivo se indica usualmente colocando una
flecha en algún lugar del segmento.
Figura 1.1
Así, la recta l está orientada como lo indica la flecha, lo cual significa que, cualquier longitud
medida de izquierda a derecha sobre la recta, se considera en sentido positivo. Cualquier longitud
medida de derecha a izquierda, o sea opuesta al sentido positivo, elegido sobre la recta, se considera en
sentido negativo. Así, el segmento AC es positivo, en tanto que el segmento CA en negativo. El sentido
de un segmento será indicado por el orden en que se escriban los extremos del segmento. Por lo tanto,
tenemos la relación:
AC = -CA
o, equivalentemente :
AC + CA = 0
Consideremos la posición de un tercer punto B, sobre el segmento orientado, con relación a los
puntos A y C, entonces:
AB + BC + CA = 0
AB + BC = -CA
pero de la relación anterior :
-CA = AC
por lo tanto :
AB + BC = AC
(1.1)
que es la relación para sumar dos longitudes con el mismo sentido.
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
4
1.2 El sistema de coordenadas cartesianas
El sistema de coordenados cartesianas o rectangulares, consiste en un par de rectas orientadas
perpendiculares, llamadas ejes coordenados. La recta horizontal es el eje X, la vertical el eje "Y", y su
intersección el origen "O". Ambas rectas, dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. La
región superior derecha del plano se conoce como primer cuadrante y se designa por I; la región
superior izquierda del plano se conoce como segundo cuadrante y se designa por II; las otras se
enumeran por III y IV en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
Figura 1.2
Un punto se indica dando su distancia y sentido respecto a los ejes coordenados. El segmento
orientado desde el eje Y hasta el punto y paralelo al eje X se llama abscisa de este punto, y el segmento
orientado desde el eje X hasta el punto y paralelo al eje Y se conoce como la ordenada. Estas dos
cantidades se denominan coordenadas del punto. Si un punto está a la derecha del eje Y, su abscisa es
positiva; si está a la izquierda del eje Y, su abscisa es negativa; si el punto está arriba del eje X, su
ordenada es positiva; si está abajo del eje X, su ordenada es negativa . Es costumbre representar un
punto mediante una letra mayúscula, escribiendo su abscisa y ordenada separados por una coma y
encerradas entre paréntesis, es decir : P( x , y ).
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
5
Figura 1.3
Ejemplo 1.- Localizar los siguientes puntos en el sistema de coordenadas cartesianas: P(4,2) ; Q(-3,1) ;
R(-4,-3) ; S(2,-4).
Solución: En una hoja de papel cuadriculado, trazamos los ejes X y Y definiendo alguna escala
adecuada. A continuación, marcamos los cuatro puntos, recordando que la coordenada x se da siempre
primero y la coordenada y después. En consecuencia, el punto P se localiza a cuatro unidades a la
derecha del eje Y y a dos unidades arriba del eje X; el punto Q se ubica a tres unidades a la izquierda del
eje Y y a una unidad arriba del eje X, y así de la misma forma para los otros puntos.
1.3 Distancia entre dos puntos
Al determinar la distancia entre dos puntos P1 y P2, se presentan dos casos: los puntos pertenecen
a una recta paralela a alguno de los ejes o a una recta que no sea paralela a ninguno de los ejes.
a) Puntos sobre una recta paralela a uno de los ejes
Cuando ambos puntos P1 y P2 están sobre una recta paralela al eje X y el punto P es la intersección de
la recta con el eje Y, se tiene que y1 = y2 y usando la ecuación (1.1), obtenemos que la distancia desde
P1 a P2 es:
P1P2 = P1P + PP2 = PP2 - PP1 = x2 - x1
para todas las posiciones de P1 y P2. De la misma forma, si los puntos están sobre una recta paralela al
eje Y, P1P2 = y2 - y1
Por lo tanto, tenemos que:
- La distancia entre dos puntos que están sobre una recta paralela al eje X, es igual a la abscisa del punto
extremo menos la abscisa del punto inicial: P1P2 = x2 - x1.
- La distancia entre dos puntos que están sobre una recta paralela al eje Y, es igual a la ordenada del
punto extremo menos la ordenada del punto inicial: P1P2 = y2 - y1.
Ejemplo 2.- Hallar la distancia dirigida del punto P1(-6,3) al punto P2(5,3).
Solución: Dado que ambos puntos tienen la misma ordenada, esto nos indica, que ambos puntos están
sobre una recta paralela al eje X . Entonces :
P1P2 = x2 - x1 = 5 - (-6) = 11
b) Puntos sobre una recta que no es paralela a ninguno de los ejes
Sí los puntos P1 y P2 se encuentran en cualquier parte del plano, aplicamos geometría elemental
para hallar la distancia d entre los dos puntos. Como en este caso no existe una orientación natural para
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
6
la recta (como ocurre con las rectas paralelas a los ejes), sólo nos interesa la distancia absoluta (esto es,
no dirigida) entre los puntos. Por P1 trazamos una recta paralela al eje X y por P2 una recta paralela al
eje Y (ver la figura 1.4). Estas rectas se cortan en el punto Q cuyas coordenadas son (x2 , y1 ).
Empleando las fórmulas para las rectas paralelas a los ejes coordenados, tenemos que P1Q = x2 - x1 y
QP2 = y2 - y1. Entonces, por el teorema de Pitágoras, obtenemos:
PP 
1
2
2
  P1Q   QP2 
2
2
d 2  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
que se reduce a la fórmula general para la distancia entre dos puntos d :
d  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2
(1.2)
Como sólo estamos interesados en el valor numérico de la distancia, consideramos únicamente el
signo positivo del radical. También las cantidades ( x2 - x1 )2 y (y2 - y1 )2 son siempre positivas ( porque
están elevadas al cuadrado ); en consecuencia, cuando se emplea esta fórmula, cualquiera de los dos
puntos (x1 , y1) o (x2 - y2) puede tomarse como punto inicial.
Ejemplo 3.-Hallar la distancia entre los puntos A(3, -8) y B(-6, 4).
Solución: Por la ecuación (1.2), tenemos que:
d  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( 3  6 )2  ( 8  4 )2
 81  144  225  15
Ejemplo 4.-Hallar la distancia entre los puntos P(-7,4) y Q(1,-11).
Solución: Por la ecuación (1.2), tenemos que:
d  ( x 2  x1 )2  ( y 2  y1 )2  ( 1  ( 7 ))2  ( 11  4 )2
 8 2  152  64  225  289  17
Ejemplo 5.- Obtener la distancia entre los puntos R( -3 , 1 ) y S( 3 , -1 ). Aplicando la ecuación (1.2),
tenemos que:
d  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( 3  ( 3 ))2  ( 1  ( 1 ))2
 6 2  ( 2 )2  36  4  40  2 10
Ejemplo 6.-Hallar el punto sobre el eje Y que sea equidistante con P( 3 , -2 ) y Q( 5 , 6 ). Sea un punto R
sobre el eje Y, el cual tiene coordenadas R( 0 , y) .
Solución: Para que R sea equidistante de los puntos P y Q, se debe de cumplir la siguiente condición:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
7
d PR  d QR
( 0  3 )2  ( y  2 )2  ( 0  5 )2  ( y  6 )2
9  ( y  2 )2  25  ( y  6 )2
9  ( y  2 )2  25  ( y  6 )2
9  y 2  4 y  4  25  y 2  12 y  36
16 y  25  36  9  4
16 y  48
48
y
3
16
El punto tiene coordenadas. R( 0 , 3 )
Ejemplo 7.- Establecer la ecuación para que el punto P( x , y ) sea equidistante de los puntos Q(2 , 3 ) y
R(6 , -1 ).
Solución: Para que el punto P( x , y ) sea equidistante de Q(2 , 3 ) y R(6 , -1 ) se debe de cumplir que:
d PQ  d PR
( 2  x )2  ( 3  y )2  ( 6  x )2  ( 1  y )2
( ( 2  x )2  ( 3  y )2 )2  ( ( 6  x )2  ( 1  y )2 )2
( 2  x )2  ( 3  y )2  ( 6  x )2  ( 1  y )2
4  4 x  x 2  9  6 y  y 2  36  12 x  x 2  1  2 y  y 2
x 2  x 2  4 x  12 x  y 2  y 2  6 y  2 y  36  1  4  9
8 x  8 y  24
x y 3
Es decir, la condición para que el punto P(x , y ) sea equidistante con los puntos Q y R es que se
encuentre sobre la recta :
x-y=3
Que es la ecuación de la mediatriz al segmento QR.
1.4 División de un segmento en una razón dada
Consideremos un punto cualquiera P(x,y), sobre una recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2 , y2)
.Supongamos que dicho punto P(x,y), divide al segmento que une a los puntos P1(x1,y1) y P2(x2, y2) en
la razón :
PP
r 1
(1.3)
PP2
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
8
Como P1 y P2 son del mismo sentido , dicha relación es positiva. Si el punto de división P(x,y)
estuviera situado en la prolongación del segmento, a uno u otro lado del mismo, la razón r sería
negativa, debido a que P1P y PP2 tendrían sentidos opuestos.
Figura 1.4
De la figura 1.4, observamos que los triángulos P1RP y PQP2 son semejantes, entonces se cumple
que :
P1 P P1 R

PP2
PQ
Pero: P1R = x - x1 ; PQ = x2-x y aplicando la ecuación (1.3) tenemos
r
x  x1
x2  x
x
x1  rx2
1 r
Despejando x:
De la misma forma:
P1 P RP

PP2 QP2
En donde RP= y - y1 ; QP2 = y2 - y , utilizando la ecuación (1.3) y despejando a y :
y
y1  ry2
1 r
Por lo tanto, las coordenadas de un punto P(x,y) que divide a un segmento de recta con extremos
P1(x1,y1) y P2(x2,y2) en una razón dada, están dadas por :
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
9
x1  rx2
y1  ry2
, y
r  1 (1.4)
1 r
1 r
Si en estas ecuaciones se substituye r =1, obtenemos las coordenadas del punto que divide al
segmento P1P2 en dos partes iguales, es decir, las coordenadas del punto medio :
x
x=
x1  x2
2
, y=
y1  y2
2
(1.5)
Ejemplo 8.- Hallar las coordenadas del punto que divide al segmento de P1(-1 , 8) a P2(5 , 2) en la
razón 2 a 1 ?
Solución: Aplicando la ecuación (1.4), tenemos
x1  rx2 1  2( 5 ) 10  1 9


 3
1 r
1 2
3
3
y  ry2 8  2( 2 ) 8  4 12
y 1



4
1 r
1 2
3
3
x=
En consecuencia, las coordenadas del punto son : P(3 , 4)
Ejemplo 9.- Hallar las coordenadas del punto que divide al segmento de P1(1,2) a P2( 6, -8) en la razón
de 3 a 2. ( r = 3 / 2).
Solución: Aplicando la ecuación (1.4):
3
x1  rx 2 1  2 ( 6 ) 1  9 10 20
x




4
3
5
5
1 r
5
1
2
2
2
3
2

( 8 ) 2  12 10 20
y1  ry 2
2
y




 4
3
5
5
1 r
5
1
2
2
2
Por lo tanto, las coordenadas del punto son: P( - 4 , 4 )
Ejemplo 10.-Hallar las coordenadas del punto medio del segmento entre P1(7,-6) y P2(1,2 ).
Solución: Aplicando la ecuación (1.5)
x1  x2 7  1 8

 4
2
2
2
y1  y2 6  2 4
y


 2
2
2
2
Las coordenadas del punto medio son: P( 4 , - 2 )
x
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
10
Ejemplo 11.- Los vértices de un triángulo están en P1( 8 , 2 ) , P2( -1 , 0 ) y P3( 5 , -2 ). Encontrar el
punto de intersección de las medianas.
Solución: Recordemos que una mediana, es segmento de recta que pasa un vértice y por el punto medio
del lado opuesto a dicho vértice. Las tres medianas de un triángulo se intersectan en un punto llamado
"baricentro ", el cual está en la razón 2 a 1 a partir de uno de los vértices de una de las medianas.
Consideremos la mediana trazada desde P1 hasta el punto medio del lado opuesto P2P3, pero antes,
apliquemos la ecuación (1.5) para hallar las coordenadas del punto medio del segmento P2P3:
x 2  x 3 1  5 4

 2
2
2
2
y  y3 0  2
y 2

 1
2
2
x
Ahora, considerando el segmento de P1( 8 , 2) a Pm( 2 , -1 ), podemos determinar las coordenadas del
baricentro, teniendo en cuenta que este, divide al segmento en la razón 2 a 1 (r = 2 ). Aplicando la
ecuación (1.5)
x1  rx2 8  2( 2 ) 8  4 12



4
1 r
1 2
3
3
y  ry2 2  2( 1 ) 2  2 0
y 1


 0
1 r
1 2
3
3
x
Las coordenadas del baricentro son : B( 4 , 0 ) y este es el punto en donde se encuentra el centro de
gravedad del triángulo.
Se puede demostrar que las coordenadas del baricentro en un triángulo cuyos vértices están en
P1(x1 , y1 ) , P2(x2 , y2 ) y P3(x3 , y3 ) están dados por :
x
x1  x2  x3
3
, y
y1  y2  y3
3
Aplicando estas ecuaciones al problema anterior:
x
x1  x2  x3 8  1  5 12
y1  y2  y3 2  0  2 0


4 , y

 0
3
3
3
3
3
3
Obtenemos el mismo resultado: B( 4 , 0 )
Ejemplo 12 : Los puntos medios de los lados de un triángulo son: P(2,-1 ) , Q(0,3) y R(-1 , -2). Hallar
los vértices del triángulo.
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
11
Solución: Supongamos que los vértices buscados tienen coordenadas A(x1,y1) , B(x2,y2) y C(x3,y3).
Figura 1.5
Para hallar la abscisas de los vértices del triángulo, aplicamos la ecuación (1.5 a) a cada lado:
Lado AC:
x1  x3
 1 ó x1  x3  2 (1)
2
Lado AB:
x1  x2
 0 ó x1  x2  0 (2)
2
Lado BC:
x2  x3
 2 ó x2  x3  4 (3)
2
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1),(2) y (3):
x1  x 3  2
x1  x 2  0
(1)
(2)
x2  x3  4
(3)
De las ecuaciones (1) y (2) eliminemos a x1; multiplicando a la ecuación (1) por -1 y sumándola con la
ecuación (2) :
 x1  x3  2
x1  x2  0
x2  x3  2
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
(4)
12
Eliminemos a x3 mediante la suma de (3) y (4):
x2  x3  4
x2  x3  2
2 x2  6
x2  3
Sustituyendo este resultado en la ecuación (3):
3  x3  4
x3  1
Para hallar x1, substituimos el valor anterior en la ecuación (1):
x 1  1  2
x 1  3
Para hallar las ordenadas de los vértices del triángulo, aplicamos la ecuación (1.5) a cada lado AC, AB y
BC respectivamente:
y1  y3
 2 ó y1  y3  4 (1)
2
y1  y2
 3 ó y1  y2  6 (2)
2
y2  y 3
 1 ó y2  y3  2 (3)
2
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1),(2) y (3)
y1  y 3  4
y1  y 2  6
(1)
(2)
y 2  y 3  2
(3)
Eliminando a y1 de (1) y (2); multiplicando a (1) por -1 y sumando con (2):
 y1  y 3  4
y1  y 2  6
y 2  y3  10
(4)
Eliminemos y3 de (3) y (4) :
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
13
y 2  y 3  2
y 2  y 3  10
2 y2  8
y2  4
Para hallar y3 , sustituimos y2 = 4 en la ecuación (3):
4  y3  2
y3  6
Para hallar y1, sustituimos y3 = -6 en la ecuación (1):
y1   6  4
y1  6  4
y1  2
Por lo tanto, los vértices del triángulo son:
A( - 3 , 2 ) , B( 3 , 4 ) y C( 1 , - 6 )
Ejemplo 13 : Dos vértices de un triángulo son P(5 , 9) y Q(-4 , 1 ). Encontrar el tercer vértice si las
medianas concurren en B( 1, 1).
Solución: Supongamos que el tercer vértice es R. Entonces, la mediana es el segmento de recta que va
de R al punto medio del lado PQ.
Calculemos las coordenadas del punto medio del lado PQ:
x
x1  x2 4  5 1
y1  y2 1  9 10


, y


5
2
2
2
2
2
2
Esto es, las coordenadas del punto medio del lado QP por donde pasa la mediana es: P(1/2,5) .
Sabemos que el punto de intersección de las medianas esta en B(1,1) y este se encuentra a partir del
vértice R en la razón 2 a 1. Por lo tanto, podemos determinar las coordenadas del punto R. Esto es,
conocemos las coordenadas del punto de división B(1,1) y el extremo P(1/2,5 ) y desconocemos las
coordenadas del punto inicial R( x1 , y1 ) ).
Despejemos a x1 y sustituyamos los valores conocidos :
1
x1  x 1  r   rx 2  1 3  2   3  1  2
2
Para y1, tenemos :
y1  y 1  r   ry2  1 3  2 5  7
Esto es, las coordenadas del tercer vértice son: R( 2 , - 7 )
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
14
Ejemplo 14.-Hallar dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) que dividan al segmento de A(3,-1) a B( 9 , 7 ) en
tres partes iguales.
Figura 1.6
Para hallar las coordenadas de P1( x1 , y1) :
1
6 9
1
2  7
3

(
9
)

1

(
7
)
AP1 1
15
5
2
2
2
2
r1 

, x1 


 5 , y1 


1
2 1
1
1
P1 B 2
3
3
1
1
2
2
2
2
Es decir, las coordenadas del primer punto son: P1( 5 , 5/3 )
Para hallar las coordenadas de P2( x2 , y2) :
r2 
AP2 2
3  2( 9 ) 21
1  2( 7 ) 13
  2 , x2 

 7 , y2 

P2 B 1
1 2
3
1 2
3
Las coordenadas del segundo punto son : P2( 7 , 13/3 )
Ejemplo 15.- Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que divide al segmento de P1(-5,2 ) a P2( 1 , 4
) en la razón : r = - 5 / 3 .
Solución: Utilizando la ecuación (1.4), tenemos
5
15  5
5
6  20
5  (  )( 1 )
2  (  )( 4 )

20
6  20 14
3
3
3
3
x


 10 , y 



7
5
3 5
5
3 5
2
2
2
1 (  )
1 (  )
3
3
3
3
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
15
Las coordenadas del punto de división son: P( 10, 7) y por ser la razón r es negativa, este punto se
encuentra en una de las prolongaciones del segmento (ver figura 1.7).
Figura 1.7
1.5 Inclinación y pendiente de una recta
El ángulo de inclinación o inclinación de una recta no orientada es el ángulo positivo que dicha
recta forma con respecto al semieje X positivo . Representaremos al ángulo de inclinación por  . Si la
recta es paralela al eje X , su ángulo de inclinación es igual a cero. Por lo tanto, el ángulo de inclinación
de una recta no orientada siempre es menor de 180º .
Figura 1.8
La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación. La pendiente se
denotará por m , esto es:
m = tan 
(1.6)
Si el ángulo de inclinación :
 es agudo, entonces m  0 .
 es obtuso, entonces m  0 .
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
16
 = 0º , entonces m = 0
Un caso muy especial se presenta cuando  = 90º, entonces:
m
Esto es, la pendiente m adquiere valores muy grandes.
Si conocemos las coordenadas de dos puntos sobre una recta, podemos encontrar la pendiente en
función de las coordenadas de los puntos. Sean P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2) dichos puntos y M(x2,y1) la
intersección de una horizontal por P1 con una vertical por P2 (ver figura 1.9)
Figura 1.9
Aplicando (1.6)
m  tan
pero:
MP2 y 2  y1

P1 M x 2  x1
Por lo tanto, hallamos que, la pendiente de una recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) está
dada por :
y  y1
m 2
(1.7)
x 2  x1
Esta ecuación sólo se puede aplicar cuando x2 - x1  0, es decir, cuando la recta no es vertical.
tan 
Ejemplo 16.- Hallar la pendiente m y el ángulo de inclinación q de las rectas que unen los pares de
puntos siguientes:
a) (-8,-4) y (5,9).
e) ( 3,2) y (4,6)
b) (10,-3) y (14,-7) c) (-11,4) y (-11,10)
f) (-5,4) y (2, -7)
d) (8,6) y (14,6)
Aplicando la ecuación (1.7), tenemos:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
17
9  ( 4 ) 9  4 13


1
5  ( 8 ) 5  8 13
-7 - (-3 ) 7  3 4
b) m=


 1
14 - 10
4
4
10 - 4
6
6
c) m=

 
-11 - (-11 ) 11  11 0
6-6 0
d ) m=
 0
14 - 8 6
62 4
e) m 
 4
43 1
-7 - 4 11
f ) m=

2+5
7
a) m
 = tan -1 ( 1 )  45
  tan 1 ( 1 )  135
 = tan -1 (  )  90 
 = tan -1 ( 0 ) = 0 
 = tan -1 ( 4 )  75 57 49
  tan 1 ( 
11
)  122  2816
7
1.6 Rectas paralelas y perpendiculares
Si dos rectas L1 y L2 son paralelas, sus ángulos de inclinación 1
consecuencia, tan 1 = tan 2 , esto es:
m1  m2
y
2 son iguales; en
(1.8)
Figura 1.10
Por lo tanto, dos rectas no verticales son paralelas, si sus pendientes son iguales, y reciprocamente, si
dos rectas tienen pendientes iguales, entonces son paralelas.
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
18
Figura 1.11
Si las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces sus ángulos de inclinación 1 y 2 difieren en
90º , esto es 2 = 1+ 90º. En consecuencia:
2  1  90 o
cot 2  cot ( 1  90 o )
cot ( 1 ) cot ( 90º ) - 1
cot ( 2 ) 
cot ( 1 )  cot ( 90º )
Pero : cot ( 90 o )  0 , entonces:
1
cot ( 2 ) 
cot ( 1 )
1
= -tan( 1 )
tan( 2 )
tan( 1 ) tan( 2 )  1
Esto es:
m1 m2  1 ó m2  
1
m1
( 19
. )
Por lo tanto, dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1 ó de manera
equivalente, si sus pendientes son recíprocas y de signo contrario.
Ejemplo 17.- Demostrar que los puntos A(4,1), B(5, -2) y C(6, -5) son colineales.
Solución: Hallemos la pendientes de los segmentos AB y BC ( o entre AB y AC):
mAB 
2  1 3
5  ( 2 ) 5  2 3

 3 , mBC 


 3
5 4
1
65
1
1
Observamos que ambas pendientes son iguales, por lo tanto los tres puntos se encuentran sobre la
misma línea recta, es decir, son colineales.
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
19
Ejemplo 18.- Aplicando el concepto de pendiente, demostrar que los puntos P(1,0) , Q(5,-2) y R(3,4)
forman los vértices de un triángulo rectángulo.
Solución: Hallemos las pendientes de los lados PQ ,PR y QR:
mPQ 
2 2
1
4
4
42 6


, mPR 
  2 , mQR 

 3
51 4
2
31 2
3  5 2
Observamos que las pendientes de los lados PQ y PR del triángulo son recíprocas y de signo contrario,
o de forma equivalente, el producto de sus pendientes es igual a -1. Por lo lo tanto, dichos lados son
perpendiculares entre sí y forman un ángulo recto, es decir, los puntos P, Q y R forman un triángulo
rectángulo.
Ejemplo 19.- Hallar el valor de x para el cual, la pendiente de la recta que pasa por R(x,-1) y T(3 , -5) es
4.
Solución:
4  mRT
5  1
3 x
4( 3  x )  4
4
12  4 x  4
x4
Las coordenadas del punto deben de ser : R( 4 , -1 )
Ejemplo 20.- ¿ Para qué valor de y , la recta que pasa por P(0, y) y Q(3, 8) es paralela a la recta que
pasa por R(-1,4) y S(0,6) ?
Solución: Hallemos las pendientes de cada recta:
mPQ 
8 y 8 y

3 0
3
, mRS 
64
2
 2
0  ( 1 ) 1
Dado que ambas rectas son paralelas, entonces, sus pendientes deben ser iguales, esto es:
8 y
2
3
8 y  6
y2
Las rectas son paralelas sí, las coordenadas del punto son: P( 0,2 ).
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
20
Ejemplo 21.- ¿Para qué valor de y la recta que pasa por A(-1,y) y B(3,8) es perpendicular a la recta que
pasa por D(4,5) y E(2,4) ?
Solución: Hallemos las pendientes de AB y DE :
m AB 
8 y
8 y

3  ( 1 )
4
, mDE 
4  5 1 1


2  4 2 2
Para que ambas rectas sean perpendiculares, sus pendientes deben ser recíprocas y de signo contrario,
esto es:
8 y
 2
4
8  y  8
y  16
Por lo tanto, las coordenadas del punto deben de ser: A( -1,16 )
Ejemplo 22.- Demostrar que A(-3,1), B(5,-3) y C(3,3) forman los vértices de un triángulo rectángulo
isósceles.
Solución: Resolvamos el problema en dos partes
a) Hallemos las pendientes de los tres lados
m AB 
3  1
4
1
3  ( 3 ) 6
31
2 1

  , mBC 

 3 , m AC 
 
5  ( 3 ) 8
2
3 5
2
3  ( 3 ) 6 3
Observamos que las pendientes de los lados BC y AC del triángulo son recíprocas y de signo contrario,
por lo tanto el triángulo es rectángulo.
b)Hallemos la longitud de los tres lados:
d AB  ( 5  3 )2  ( 3  1 )2  64  16  80  4 5
d BC  ( 3  5 )2  ( 3  3 )2  4  36  40  2 10
d AC  ( 3  3 )2  ( 3  1 )2  36  4  40  2 10
Observamos que la longitud de los lados BC y AC son iguales entre sí y distintos al lado AB, es decir,
el triángulo es isósceles.
Por lo tanto de a) y b) concluimos que el triángulo es rectángulo isósceles.
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
21
1.7 Angulo entre dos rectas
Los métodos de la geometría analítica también nos permiten hallar el ángulo formado por dos rectas
que se intersectan formando un ángulo distinto al ángulo recto.
Figura 1.12
Si L1 y L2 son dos rectas y  es el ángulo medido en sentido contrario al movimiento de las
manecillas del reloj desde L1 hasta L2 ( figura 1.12), entonces tenemos que:
 2  1   ó    2  1
tan(  2 )  tan( 1 )
tan(  )  tan(  2  1 ) 
1  tan(  2 ) tan(1 )
Pero tan(2) = m2 y tan(1) = m1, que sustituyendo en la ecuación anterior, nos da finalmente:
m  m1
tan(  )  2
(1.10)
1  m2 m1
Ejemplo 23 : Hallar el ángulo agudo formado por la recta que une los puntos A(-3,7) y B(1,6) con la
recta que determinan los puntos C(-2,-2) y D(3,3).
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
22
Figura 1.13
Asignemos las pendientes en sentido contrario de las menecillas del reloj, al ángulo agudo y
determinemos el valor de dichas pendientes y aplicamos (1.10):
m1 
6 7
1
3 2

, m2 
1
1 3
4
3 2
1
1 5
1 (  )
1
m2  m1
4
4 4 5
tan  =


 
1
1 3 3
1  m2 m1
1  ( 1 )(  ) 1 
4
4 4
5
 = tan -1 ( )  59  210
3
Ejemplo 24.- Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son : A(3,2), B(5,-4) y C(1,-2).
Figura 1.14
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
23
Asignemos las pendientes a cada ángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj, según se
muestra en la figura 1.14. Calculemos las pendientes de cada lado y aplicamos (1.10):
mAB 
tan A =
4  2 6
2  4 2
1
2  2 4

 3 , mBC 


, mAC 

2
5 3
2
1 5
4
2
1  3 2
m AB  m AC
3  2
5
5



1
1  m AB m AC 1  ( 3 )( 2 ) 1  6 5
1
5
5


3
mBC  m AB
2
2
2 10
tan B =


 
1
1
3 5 10
1  mBC m AB
1  (  )( 3 ) 1 
2
2 2
1
5
5
2

m  mBC
5
2
tan C = AC

 2  2  
1
1  m AC mBC
1 1 0 0
1  ( 2 )(  )
2
A = tan -1 ( 1 )  45
B = tan -1 ( 1 )  45
C = tan -1 (  )  90 
Ejemplo 25.- Demostrar P(-2,5), B(-3,-3) y C(5,1) forman los vértices de un triángulo isósceles,
mostrando para ello que dos de sus ángulos son iguales.
Figura 1.15
Asignemos las pendientes a cada ángulo, en sentido contrario a las manecillas del reloj, según se
muestra en la figura. Calculemos las pendientes de cada lado:
mAB 
3  5 8
1 3 4 1
1  5 4
4

 8 , mBC 
 
, mAC 


3  2 1
5 3 8 2
5 2 7
7
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
24
tan A =
m AC  m AB
1  m AC m AB
4
60
60
 8


12
7
7
7 12



 , A = tan -1 ( ) = 67  22 48
4
32
25 5
5
1  (  )( 8 ) 1 

7
7
7
15
15
m  mBC
15 3
3
tan B = AB
=
= 2 = 2 =
= , B = tan -1 ( ) = 56 18 36
1
1 + m AB mBC
1+ 4
5 10 2
2
1 + (8)( )
2
1 4
15
15

mBC  m AC
15 3
3
2 7
tan C =
=
= 14 = 14 =
= , C = tan -1 ( ) = 56 18 36
1
4
2
5 10 2
1 + mBC m AC
2
1  ( )(  ) 1 2
7
7
7
Como podemos observar, dos de los tres ángulos son iguales, por lo tanto el triángulo es isósceles.
8-
1
2
1.8 Area de un triángulo
Deduciremos una fórmula para hallar el área de un triángulo en función de las coordenadas de
sus vértices. Considérese cualquier triángulo con vértices P1(x1,y1), P2(x2,y2) y P3(x3,y3) , enumerados
en sentido contrario a las manecillas del reloj. Figura 1.15
Figura 1.15
Sea A el área del triángulo P1P2P3, entonces:
A = Area trapecio Q1Q3P3P1 + Area trapecio Q3Q2P2P3 - Area trapecio Q1Q2P2P1
Pero, sabemos cual es el área de un trapecio : Area = ( B + b ) h / 2
Sustituyendo para cada trapecio considerado, en términos de las coordenadas :
( y1  y3 )
( y3  y2 )
( y1  y2 )
( x3  x1 ) 
( x2  x3 ) 
( x2  x1 )
2
2
2
1
 ( x1 y2  x2 y1  x2 y3  x3 y2  x3 y1  x1 y3 )
2
A
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
25
Esta expresión puede recordarse más fácilmente si se escribe en forma de determinante:
x1
1
A  x2
2
x3
y1 1
y2 1
y3 1
(1.11)
Si los vértices son enumerados en sentido de las manecillas del reloj, obtenemos un área negativa. Pero
eso no importa, ya que unicamente nos interesa el valor numérico del área.
Otra forma de expresar el área, y muy útil cuando se trate del área de un polígono, es mediante el
siguiente arreglo de números ( que no es un determinante ) :
(1.12)
Donde (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3), (x4,y4) son las coordenadas de los vértices del polígono cóncavo de 4
lados. Observar que se ha repetido la primera fila en la última. Este arreglo se puede generalizar al caso
de un polígono de n lados.
Ejemplo 26.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son: A(2,-3) , B(4,2) y C(-5,-2).
Figura 1.16
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
26
Aplicando la ecuación (1.12) y enumerando los puntos en sentido contrario a las manecillas del reloj ,
comenzando por el punto A( 2, -3 ).
2 3
1 4 2
1
A
  ( 2 )( 2 )  ( 4 )( 2 )  ( 5 )( 3 )  ( 4 )( 3 )  ( 5 )( 2 )  ( 2 )( 2 )
2 5 2 2
2 3

1
1
1
 4  8  15  12  10  4   45  8  ( 37 )  18.5 u 2
2
2
2
Ejemplo 27.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son: A(-3,4) , B(6,2) y C(4,-3).
Figura 1.17
Aplicando la ecuación (1.12) y enumerando los puntos en sentido contrario a las manecillas del reloj ,
comenzando por el punto B( 6, 2).
6 2
1 3 4
1
A
  ( 6 )( 4 )  ( 3 )( 3 )  ( 4 )( 2 )  ( 3 )( 2 )  ( 4 )( 4 )  ( 6 )( 3 )
2 4 3 2
6 2

1
1
 24  9  8  6  16  18   49  24.5 u 2
2
2
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
27
Ejemplo 28.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son: A(-7,5) , B(1,1) y C(-3,3).
Figura 1.18
Aplicando la ecuación (1.12) y enumerando los puntos en sentido contrario a las manecillas del reloj ,
comenzando por cualquier punto.
7
1 1
A
2 3
7
5
1 1
1
 ( 7 )( 1 )  ( 1 )( 3 )  ( 3 )( 5 )  ( 1 )( 5 )  ( 3 )( 1 )  ( 7 )( 3 )   27  27  0
3 2
2
5
¿Porqué se obtuvo un área igual a cero?. Analiza tu respuesta.
Ejemplo 29.- Hallar el área del polígono cuyos vértices son: (1,5),(-2,4),(-3,-1) y (2,-3) y (5,1)
Figura 1.19
Enumerando los puntos en sentido contrario a las manecillas del reloj, comenzando por el punto (2,-3).
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
28
2
3
5 1
1 1 5
1
1
1
A
  2  25  4  2  9  15  1  10  12  2   81  1   80  40 u 2
2 2 4
2
2
2
 3 1
2 3
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.-Hallar la distancia entre los siguientes pares de puntos:
a) (4, 1) , (3, -2)
b) (0, 3) , (-4, 1)
c) (2, -6) , (2, -2)
d) (-3, 1) , (3, -1)
2.- Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:
a) (2, -5), (-3, 4) , (0, -3)
b) (0, 4), (-4, 1), (3, -3)
c) (-2, 5), (4, 3), (7, -2)
3.- Demostrar que los siguientes triángulos, dados por las coordenadas de sus vértices son isósceles:
a) (2, 4), (5, 1), (6, 5)
b) (-2, 2), (6, 6), (2, -2)
c) (6, 7), (-8, -1), (-2, -7)
4.- Demostrar que los siguientes triángulos, dados por las coordenadas de sus vértices son rectángulos.
Hallar sus áreas.
a) (10, 5), (3, 2), (6, -5)
b) (3, -2), (-2, 3), (0, 4)
c) (-2, 8), (-6, 1), (0, 4)
5.- Demostrar que los siguientes puntos son los vértices de un paralelogramo:
a) (-1, -2), (0, 1), (-3, 2), (-4, -1) b) (2, 4), (6, 2), (8, 6), (4, 8) c) (-1, -5), (2, 1), (1, 5), (-2, -1).
6.- Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos:
a) (3, 3), (6, 2), (8, -2)
b) (4, 3), (2, 7), (-3, -8)
c) (2, 3), (4, -1), (5, 2)
7.- Mediante la fórmula de la distancia, demostrar que los siguientes puntos son colineales:
a) (0, 4), (3, -2), (-2, 8)
b) (1, 2), (-3, 10), (4, -4)
c) (1, 3), (-2, -3), (3, 7)
8.- Hallar el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto (-3, 6)
9.- Hallar las coordenadas del punto P(x,y) que dividen al segmento P1P2 en la razón r = P1P / PP2.
a) P1 (4, -3), P2 (1 4), r = 2 b) P1 (5, 3), P2 (-3, -3), r = 1 / 3
c) P1 (0, 3), P2 (7, 4), r = -2 / 7
10.- Sabiendo que el punto (9, 2) divide al segmento que determinan los puntos P1 (6, 8) y P2 (x2, y2),
en la razón r = 3 / 7, hallar las coordenads de P2.
11.- El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro P1(-4, 1) es P2(2, 6). Hallar las
coordenadas P(x, y) del otro extremo.
12.- Hallar dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) que dividen al segmento que une A(3, -1) con B(9, 7) en
tres partes iguales.
29
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
13.- Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos vértices son:
a) (5, 7), (1, -3), (-5, 1)
b) (3, 6), (-5, 2), (7, -6)
c) (-3, 1), (2, 4), (6, -2)
14.- Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo cuyas coordenadas de los puntos medios de
sus lados son:
a) (3, 2), (-1, -2) y (5, -4)
b) (-2, 1), (5, 2) y (2, -3)
Demostrar analiticamente los siguientes teoremas:
15.- Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales.
16.- Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
17.- El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo es
paralelo al tercer lado e igual a su mitad.
18.- El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices.
19.- Si las diagonales de un paralelogramo son iguales, entonces, la figura es un rectángulo.
20.- La suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo cualquiera es igual a la suma de los
cuadrados de sus diagonales.
21.- Los segmentos que unen los puntos medios de un cuadrilátero cualquiera, forman un
paralelogramo.
22.- Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que divida al segmento determinado por P1(x1, y1) y
P2(x2, y2) en la razón r = P1P/ PP2.
a) P1(4, -3), P2(1, 4), r = 2/1
b) P1(5, 3), P2(-3,-3), r = 1/3
c) P1(-2, 3), P2(3, -2), r = 2/5
d) P1(0, 3), P2(7, 4), r = - 2/7
e) P1(-5, 2), P2(1, 4), r = - 5/3
Sol. (2, 5/3)
Sol. (3, 3/2)
Sol. (-4/7, 11/7)
Sol. (-14/5, 13/5)
Sol. (10, 7)
23.- Hallar las coordenadas del baricentro de los triángulos cuyos vértices son:
a) A(5, 7), B(1, -3) y C(-5, 1)
b) P(2, -1), Q(6, 7) y R(-4, -3)
c) A(3, 6), B(-5, 2) y C(7, -6)
Sol. (1/3, 5/3)
Sol. (4/3, 1)
Sol. (5/3, 2/3)
24.- Sabiendo que el punto (-4, 6) divide al segmento que determinan los puntos P1(-9, 8) y P2(x2, y2) en
la razón r = 1/2, hallar las coordenadas de P2. Sol. P2(6, 2)
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
30
25.- Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo cuyas cordenadas de los puntos medios de
sus lados son:
a) A(-2, 1) , B( 5, 2) y C(2, -3)
Sol. (1, 6), (9, -2) y (-5, -4)
b) A(3, 2), B(-1, -2) y C(5, -4)
Sol. (-3, 4), (9, 0) y (1, -8)
26.- Hallar las pendientes y los ángulos de inclinación de las rectas que pasan por los puntos:
a) (4, 6) y (1, 3)
Sol. m =1  = 45º
b) (2, 3), (1, 0)
Sol. m =3,  = 60º
c) (3, 2) y (0, 1)
Sol. m =1/ 3,  = 30º
d) (2, 3) (1, 4)
Sol. m = -1,  = 135º
27.- Aplicando el concepto de pendiente, averiguar cual de los siguientes puntos son colineales:
a) (2, 3), (-4, 7) y (5, 8)
Sol. No
b) (4, 1), (5, -2) y (6, -5)
Sol. Sí
c) (0, 5), (5, 0) y (6, -1)
Sol. Sí
d) (a, 0), (2a, -b) y (-a, 2b) Sol. Sí
28.- Aplicando el concepto de pendiente, demostrar que los puntos siguientes son los vértices de un
triángulo rectángulo.
a) (6, 5), (1, 3) y (5, -7)
b) (3, 2), (5, -4) y (1, -2)
c) (2,4), (4, 8) y (6, 2)
29.- Hallar los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices son:
a) (3, 2), (5, -4) y (1, -2)
Sol. 45º, 45º, 90º
b) (4, 2), (0, 1) y ( 6, -1)
Sol. 109º 39.2' , 32º 28.3' 37º 52.5'
c) (-3, -1), (4, 4) y (-2, 3)
Sol. 113º 29.9', 40º 25.6' , 26º 4.5'
30.- Demostrar, hallando los ángulos interiores, que los triángulos siguientes son isósceles.
a) (2, 4), (5, 1) y (6, 5)Sol. 59º 2.2', 61º 55.6' , 59º 2.2'
b) (8, 2), (3, 8) y (-2, 2)
Sol. 50º 11.7', 79º 36.6', 50º 11.7'
c) (1, 5), (5, -1) y (9,6)
Sol. 63 26', 63º 26', 53º 8'
31.- Encontrar el valor de "x" para el cual. la pendiente de la recta que pasa por A( x, 3) y B( 5, 1) es 2
Sol. x = 6.
32.- Hallar el valor de "y" para el cual, la recta que pasa por P(0, y) y Q(3, 8) es paralela a la recta que
pasa por R(-1, 4) y S(0, 6). Sol y = 2
33.- Hallar el valor de "y" para el cual, la recta que pasa por A(-1, y) y B(3, 8) es perpendicular a la
recta que pasa por D(4, 5) y E(2, 4). Sol y = 16
34.- El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos (-4, 5) y (3, y) con la que pasa por (-2, 4) y
(9, 1) es de 135º . Hallar el valor de "y". Sol. y = 9.
35.- Hallar las áreas de los polígonos cuyas coordenadas de los vértices son:
a) (1, 2), ( 4, 5), (4, -2) y ( 6, 3)
b) ( 2, 3), (-3, 5), (-5, 2), (-4,-3) y ( 4, -3)
c) (4, 5), (-4, 5), (-6, 0) , ( -4, -5), (4, -5) y (6, 0)
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ
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