TEMA No 2: Aplicaciones Económicas

APLICACIONES ECONÓMICAS
Este tema comprende la utilización de ejercicios de aplicación de temas
relacionados con el análisis convexo y optimización estática a los temas
fundamentales de la teoría microeconómica, específicamente, a la teoría del
consumidor y la teoría de la producción desde la perspectiva neoclásica, que
es la escuela de pensamiento económico que más ha utilizado estos
conceptos para su análisis.
A partir de la utilización del teorema de la envolvente se pretende llegar un
paso más adelante con respecto a los temas que se tratan en los cursos
básicos de microeconomía en lo que a análisis matemático se refiere.
Con esta serie de ejercicios se pretende que el estudiante logre comprender
de manera amplia y clara los principales conceptos microeconómicos desde
una perspectiva matemática, lo cual resulta ser la base fundamental para la
comprensión y el planteamiento de modelos económicos.
28. Encuentre las funciones de demanda y oferta de la empresa para la
tecnología Cobb-Douglas con función de producción f ( x 1 , x 2 ) = Ax1α x2β..
Solución
∏ (p,w1,w2) = p f(x1,x2) – w1x1 – w2x2 ,
 w 
x  p, w   2 
 w1 
*
1

   1
1
 w1     1
,


 p 

1
 w     1  w2     1


x2*  p, w   1 
 p 
 w2 
La función de oferta resulta ser
 w w 
q  p, w   1  2 
 p  
1
    1



29. Compruebe las prioridades de la función de costos C (w,q) que cumple
con
las siguientes propiedades, para el caso de la tecnología CobbDouglas.
Propiedades:
(i) C ( w, q) es no decreciente en w : si w´ w (convenientemente definido)
 C ( w´,q)  C ( w, q)
(ii) C ( w, q) es homogénea de grado uno en w : C (tw, q)  tC ( w, q) para
t0
(iii) C ( w, q) es cóncava en w
(iv) C ( w, q) es continua en w
Solución:
C ( w, r , q) =
Esta función es no decreciente en w y r, homogénea de grado 1 en w, r ya
que
C (w, r , q) 
Se puede ver también que como es de tipo Cobb-Douglas, con
,
la función es cóncava.
30. Como es la función de costos para la tecnología de Leontief cuya función
de
producción es
Solución:
Las curvas de nivel están dadas por rectas paralelas o los ejes con vértices
sobre la diagonal
31. Demuestre que las funciones de demanda x*(p,w) son homogéneas de
grado cero, e.d. x*(tp,tw) = x*(p,w).
Solución:
x*(tp,tw) se obtiene como solución a:
max  pf x   wx .
A su vez, x*(tp,tw) se obtiene como solución a
max  tpf x   twx .
Las condiciones de primer orden son, para el segundo caso:
pt
f
f
 twi  p
 wi , i  1,...n que, a su vez, son las condiciones de
xi
xi
primer orden del primer caso.
32. Verifique el lema de Hotelling para el caso de la tecnología Cobb-Douglas.
Solución
Para la tecnología Cobb-Douglas el problema que se tiene es:
max( p, w1 , w2 )  pf ( x1 , x2 )  w1 x1  w2 x2 .
Y la solución que se encontró en el ejercicio 31 puede escribirse de la
siguiente forma:
 1

 w1   
*
x1    

w

   2



 w
x 2*   2
 


1
1  


pA


1
 1  
  
   pA
  w1 

Con esto resulta que los ingresos, los costos y el beneficio son:
 1
1


1  


     

R      pA
 pf ( x*),
w1   w2 





1
        1  
C      pA
 (   ),
 w1   w2 



    
   w   w

 1   2
1

1  



 pA
(1     ).



Se verifica ahora que efectivamente

R
 q  f x *  p, w 
p
p
y

  xi*  p, w, i  1,2.
wi
33. Demuestre que para funciones homogéneas, la senda de expansión,
definida como aquella curva que une los óptimos x*(w,q) en el problema min
wx s.a. f(x) = q para diferentes valores de q, es lineal.
Solución
La condición de primer orden para el problema es:
f
wi
x
f
 i  i.
f
wj
fj
w j
Si f es homogénea de grado r, fi es homogénea grado r - 1 y, por lo tanto,
f i tw1 ,...,txn  t r 1 f i x1 ,..., xn  f i
w
 r 1

 i.
f j tx1 ,...,txn  t f j x1 ,..., xn  f j w j
De lo anterior resulta que el cociente de productos marginales es idéntico
para cualquier expansión de x1,…,xn. Es decir, la senda es una recta.
34.
Una empresa produce un solo producto con ayuda de K y L. La
función de producción viene dada por q = log L + log K. Los precios de L y
K son w y r, respectivamente.
(i) Encuentre los niveles de K y L que minimizan los costos dado un nivel de
producción fijo q0.
(ii) Muestre que las funciones de demanda L*(w,r,q 0 ) y K*(w,r,q 0 ) son
homogéneas de grado cero en w, r.
(iii) Calcule la función de costos C(w,r,q 0 ) .
(iv)Muestre que si la empresa tiene una función de demanda p= a – bq con
a , b > 0, el nivel q* que maximiza el beneficio es positivo si y sólo si a2 >
wr.
Solución
(i)
L * r , w, q0  
r q0
e ,
w
K * r , w, q0  
w q0
e .
r
(iii)
C w, r , q 0   2 wre q0
(iv) El beneficio resulta ser:
2bq  a  wre q  0  log a 
  (a  bp )q  2
wre q0 Derive y observe que
1
log wr  q   1 log wr
2
2
De aquí se deduce la desigualdad que se pide.
35. Suponga el caso general de minimización de costos bajo la tecnología
Cobb-Douglas, es decir, se trata de
n
min  wi xi
s.a f(x) =
i 1
n

i 1
xi

 q > 0 con αi > 0,   i  1.
Demuestre que las funciones de demanda condicional vienen dadas por
i
 w j  i
i
*
xi w, q  q    , i  1,...,n
 
wi
j 1   j 
 
1 n
i
y la función de costos por
 
C w, q  q
1
 i
 n
 n w
   j   j

 
 j 1  j 1   j
i
 i



Solución
De las condiciones de KT se deduce fácilmente que λ ≠ 0, ya que si no xiwj
= 0 para j = 1,…,n. De lo anterior se obtiene que:
n
x
i
i
q
y
i 1
 n
 j   xi  i
 i 1
 ij
x1 w1
1

x2 w2
2

  j 1
 wj
 x j

 ... 
xn wn
n
para j  1,...,n 
.
36. En forma similar muestre que si se minimizan costos bajo una función
de producción tipo CES generalizada, que viene dada por
entonces las funciones de demanda condicional son:
De nuevo de las condiciones de KT se deduce fácilmente que
no
De lo anterior se obtiene ahora que
ya que si
Y
λv
Exprese x 2 ,.....x n en función de x1 y utilice la primera ecuación de arriba
para calcular
. Por simetría puede calcular las
condicionales. Para obtener la función costos calcule x*
37. Sea U(x,y) = xy la función de utilidad x
presu-
+
y
otras
demandas
= 100 la restricción
puestal. Calcule el valor óptimo que maximiza la utilidad. Posteriormente,
se
introduce una cota superior para x de 40. ¿Cuál es ahora el valor óptimo?
Solución
x* = y* = 50 sin cota. Cuando se introduce la cota x* = 40 y y* = 60 lo
que significa que la restricción presupuestal está activa.
38. Sea
(i) Solucione el problema:
Max. U
(ii) Interprete la solución.
(iii) Calcule V(p,m)
(iv)Calcule
y verifique la validez de la identidad de ROY.
Solución:
(i) Defina
y similar
Utilice:
Remplazando obtiene:
(ii) El consumidor gasta en primera instancia
proporción
de lo que queda.
(iii)
y luego
La función de indirecta de utilidad es:
(iv)
Con estas derivadas parciales se verifica la Identidad de ROY.
. Luego una
39. Deduzca utilizando el siguiente teorema la Función de Gastos y las
Funciones de Demanda Hicksianas para la función de utilidad dada por el
problema anterior.
Teorema:
(i) V ( p, E( p,U C))  U
(ii)
xih ( p,U )  xi* ( p, E( p,U ))
(iii) E ( p,V ( p, m))  m
x* ( p, m)  xih ( p,V ( p, m))
(iv) i
Solución:
Reemplazando la función de gasto
en la función indirecta de utilidad
que se obtuvo en el problema anterior resulta que:
Despejando la función de gasto de esta ecuación y derivando con respecto a
p se obtiene
40. Suponga que
y
Derive de esta expresión
.
Solución:
Utilizando el Lema de Shephard obtenemos
41. Compruebe la Ecuación de SLUTZKY para U
Solución:
=
La ecuación de SLUTZKY resultaba de ser:
Reemplazando
se
verifica
la
ecuación
de
SLUTZKY.
Igualmente
si
Y por lo tanto resulta, reemplazando, la Ecuación de SLUTZKY.
42.
Definimos
Demuestre
que
entonces
Solución:
Se utiliza la identidad de ROY
43. Las preferencias de un consumidor vienen dadas por:
donde x1 , x2 son dos bienes consumidos y L
es el número de horas trabajadas por día. N= 24-L. Los precios de los dos
bienes son
. Su ingreso se deriva de su trabajo a una tasa w por hora,
pero el consumidor también percibe un ingreso “no trabajado” de m por día.
(i) Encuentre las curvas de demanda para los bienes y la curva de oferta
por trabajo
(ii) Muestre que si m=0, el consumidor trabajaría un numero fijo de horas
por día sin importar los precios, pero que si
el efecto sustitución de un
incremento en la tasa de salario w es mayor que efecto ingreso.
(LEONARD&VAN LONG NGO)
Solución
(i)
La
restricción
presupuestal
tiene
en
este
caso
la
forma
Con esta resulta utilizando la Función LAGRANGE
(ii) Si m=0 entonces
. Si
, calculamos primero
Aplicamos la Ecuación de SLUTZKY que para el caso tiene la forma
Tomando
en
cuenta
que
el
Lema
de
Con lo anterior el efecto sustitución es
Shephard
implica
aquí
que
que resulta ser el mayor que
el efecto ingreso que es
44. Suponga los siguientes problemas:
P1 Max. U(x) s.a. px=m
P2 Max-px s.a. U(x)=
(i) Determine la relación entre
, donde V1 y V2 son las
funciones de máximo valor, con los multiplicadores de LAGRANGE asociados
a P1 y P2 respectivamente.
(ii) Se conoce que
es el multiplicador para P1 y
Solución:
y que
. Muestre que si
el multiplicador para P2, entonces
(i) Las derivadas son, por el corolario al Teorema de la Evolvente, los
multiplicadores.
(ii) Derive
45. Se define un factor de producción como inferior si
(i) Muestre en una grafica que esto puede ocurrir.
(ii) Muestre que si la función de producción es homotética, ningún factor
puede ser inferior.
(iii) Muestre que si el costo marginal decrece con un incremento en el precio
de algún insumo, entonces este insumo es inferior.
Solución:
(i)
Aquí
y la curva de nivel
es inferior a la curva
(ii)
Como la función de producción es homotética, la senda de expansión
es una recta que pasa por el origen. Por lo tanto, al pasar a un nivel de
producción superior, necesariamente los insumos demandados tienen que
crecer.
(iii)
Utilice el Lema de Shephard
46. Definimos la elasticidad-precio y la elasticidad-ingreso de la Demanda
Marshalliana por
respectivamente.
Demuestre que:
Solución:
Derive la restricción presupuestal
m.
47.
Definimos la elasticidad- precio de la Demanda Hicksiana por
(i) Muestre que ahora
(ii)
con respecto a
Por el teorema:
h
(i) x ( p, U ) es homogénea de grado cero en p
x hj ( p, U )
xih ( p, U )

p j
pi
i, j  1,.....,
(ii)
xih ( p, U )
0

p
i  1,.....,
i
(iii)
Solución:
(i) Por el teorema planteado
es homogénea de grado 0 con respecto
a p. Aplicar teorema de EULER
(ii) Derive la restricción
la condición de primer orden
1
con respecto a
1
Extraído del libro de Economía Matemática de Diego Escobar Uribe (28-47)
y utilice