M_TODOS_PARA_RESOLVER_UN_SISTEMA_DE_ECUACIONES

Las ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas se denominan ECUACIONES LINEALES. Dos
ecuaciones lineales forman un SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUMA O RESTA
Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método:
a) Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante
apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las
incógnitas.
b) Por suma o resta se elimina una de las incógnitas.
e) Se resuelve la ecuación lineal resultante.
f) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para; encontrar
el valor de la otra incógnita.
Si las ecuaciones del sistema tienen alguna de las incógnitas de igual coeficientes el paso
primero se omite. EJEMPLO:
1.- Resolver el sistema
4x + 6y = -3
(1)
5x + 7y = -2
(2)
Multiplicar los miembros de la ecuación (1) por 5 y los de la ecuación (2) por -4; resultando
que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario.
5(4x + 6y = -3)
20x + 30y = - 15
-4(5x + 7y = -2)
-20x - 28y = 8
Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:
20x + 30y = - 15
- 20x - 28y = 8
2y = - 7 } Resolviendo la ecuación, tenemos: y = - 7/2
Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:
4x + 6(-7/2) = - 3
Ecuación(1)
4x - 21 = - 3
4x = - 3 + 21
x = 18/4
x = 9/2
Su comprobación es:
Ecuación (1)
4(9/2) + 6(-7/2) = - 3
18-21 = -3
-3 = -3
Ecuación (2)
5(9/2) + 7(-7/2) = - 2
45/2 - 49/2 = - 2
-4/2 = -2
-2 = -2
Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son: x = 9/2 y
y = -7/2
MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN
Para resolver un sistema de ecuaciones método de igualación, se aplican los pasos
siguientes:
a)Se despeja la misma incógnita en cada una de las ecuaciones del sistema
b) Se igualan entre sí las expresiones obtenidas, consiguiendo eliminar una de las incógnitas y
dando lugar a una ecuación con una incógnita.
c) Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar
el valor de la otra incógnita.
EJEMPLO:
Resolver el sistema
6x + 2y = -10
9x + 4y = -24
Despejando "y" en ambas ecuaciones, tenemos:
6x + 2y = -10
9x + 4y = -24
2y = -10 -6x
4y = -24 -9x
y = -10 - 6x
y = -24 -9x
2
4
Igualando entre si ambas expresiones, se obtiene:
-10 - 6x = -24 -9x
2
4
4(-10 - 6x) = 2(-24 -9x)
-40 -24x = -48 -18x
18x - 24x = - 48 + 40
- 6x = - 8
} Resolviendo la ecuación resulta:
x = -8 = 4/3
-6
Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:
9(4/3) + 4y = - 24
12 + 4y = - 24
4y = - 24 – 12
y = -36/4
y = -9
Comprobación:
6(4/3) + 2(-9) = -10
8 -18 = -10
-10 = -10
9(4/3) + 4(-9) = -24
12 -36 = -24
-24 = - 24
Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son: x = 4/3
y
y = -9
MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN:
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución, se aplican los
siguientes pasos siguientes:
a) Despejar en cualquiera de las ecuaciones del sistema una de las incógnitas términos de la otra.
b) Se sustituye la expresión para la incógnita despejada en la otra ecuación que no se ha utilizado; se
obtiene una ecuación con una incógnita.
c) Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor
de la otra incógnita; también se sustituye en la expresión de la primera incógnita despejada,
obteniéndose el valor de la otra incógnita; ambos procesos conducen al mismo resultado.
EJEMPLO:
Resolver el sistema:
7x -4y = 5
(1)
9x +8y = 13 (2)
De la ecuación (1) se despeja “y” en términos de “x”.
7x -4y = 5
-4y = 5 -7x
y = 5 -7x
-4
Se sustituye éste valor en la ecuación (2), dando lugar a una ecuación con una incógnita.
9x +8 ﴾ 5 -7x ﴿= 13
-4
9x -10 +14x = 13
9x +14x = 13 +10
23x = 23
} resolviendo la ecuación, resulta:
x = 23/23 = 1
Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:
7(1) -4y = 5
-4y = 5 -7
y = -2/-4 = ½
Comprobación: 7(1) -4(1/2) = 5
7 -2 = 5
5=5
9(1) + 8(1/2) = 13
9 +4 = 13
13 = 13
Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son: x = 1
y
y=½