. FM Q

Capítulo 5
5. COMPORTAMIENTO EN BAJA FRECUENCIA.
5.1 Introducción.
En el capítulo cuarto, se ha propuesto la utilización de la técnica FM con tiempo
de conducción del transistor Q constante (tcond = cte.), para los siguientes convertidores:
•
Reductor
•
Zeta
•
Reductor - Elevador
•
Sepic
•
Cuk
También, han sido presentados los criterios de diseño para que estos convertidores
puedan operar en FM. Sin embargo, en este modo de operación, estos convertidores no
se comportan como PFPs ideales. Por lo tanto, es muy importante conocer en qué
medida un determinado convertidor, implementa o no un PFP ideal. Por ello, se
utilizaran los siguientes parámetros: el factor de potencia FP, representado en la
ecuación (1) y la distorsión armónica total DAT, presentada en la ecuación (2), que han
sido descritas en el capítulo uno. La obtención de estos dos parámetros para los
convertidores arriba citados trabajando en FM, constituyen el centro de este
capítulo, y una aportación original complementaría de esta tesis. Sin embargo,
también se investigará el FP y la DAT para los demás casos pertinentes, es decir, para
los convertidores Elevador y Reductor en el MCD con d constante, para evitar que el
lector tenga que remitirse a la bibliografía para conocer estas figuras de mérito. El
comportamiento de estos convertidores en estas condiciones de trabajo ha sido descrito
por Liu y Lin en la referencia [68] y por Endo y otros en la referencia [84]
respectivamente.
Para el cálculo de estos parámetros, se asumirá que el filtro EMI está presente, lo
cual no es una suposición infundada, puesto que para que se pueda comercializar el
equipo, el mismo deberá cumplir con las normativas EMI y, por lo tanto, en su versión
212
Comportamiento en Baja Frecuencia
final será necesaria la presencia del filtro EMI. Esta suposición implicará que para fines
prácticos sea posible despreciar los armónicos de alta frecuencia. Por tanto, serán
analizados el FP y la DAT de la corriente media de entrada ie med(t), promediada en un
período de conmutación.
5.2 Convertidor Reductor.
Se analizará en este apartado el comportamiento del convertidor Reductor en baja
frecuencia, en el modo de operación propuesto, es decir, en FM con tiempo de
conducción constante (tcond = cte.).
5.2.1 Factor de potencia.
Para el convertidor Reductor trabajando en FM, ya se conoce la expresión de la
potencia media de entrada, la cual es dada por la ecuación (137). Luego, para que se
pueda determinar el FP es necesario que se conozca el valor eficaz de la corriente de
entrada ie ef, que se obtiene a partir de la definición de la misma y de las ecuaciones (94)
y (126) como sigue:
1

i
 
ieef =
2
g med
(  ) d
0

ieef = n M 
2
T
v g t cond
2L
1
 -  ini


 ini
2

M 
 1 - | sen  |  d


(295)
Como la tensión de entrada es senoidal su valor eficaz es bien conocido y vale:
V eef =
Vg
2
(296)
El factor de potencia puede ahora ser determinado a partir de la sustitución de las
ecuaciones (137), (295) y (296) en la ecuación (1), como sigue:
213
Capítulo 5
FP =
2 2

1 - M 2 + 2 M  sen-1 (M ) -  M 
 -  ini

 ini
M 

1
 sen   d
2
(297)
El conocimiento del FP para el convertidor Reductor trabajando en FM no aporta
demasiada información por si solo, una vez que este convertidor es incapaz de
implementar un PFP ideal. Por ello, lo mejor que se puede hacer es comparar esta
situación con las situaciones que presenten el mejor comportamiento que se pueda
obtener con este convertidor lo cual ocurre cuando la corriente ig sigue la tensión vg, en
el intervalo de funcionamiento del convertidor. En este caso, la potencia media de
entrada está definida por la ecuación (109) y la corriente de entrada en el intervalo de
conducción está definida por la ecuación (6). Por tanto, su valor eficaz es:
ieef =
Ig
2
  (M )
(298)
Sustituyendo las ecuaciones (109), (296) y (298) en la ecuación (1) se obtiene la
siguiente expresión para el FP:
FP =
 (M )
(299)
A partir de las ecuaciones (297) y (299); es posible sacar importantes conclusiones sobre
el FP del convertidor Reductor trabajando en FM. La figura 101 fue elaborada con el fin
de simplificar esta labor, una vez que, el análisis de estas ecuaciones por si mismas
resulta una tarea muy laboriosa para no decir imposible. En esta figura también se
presenta la evolución del FP en función de M' para esté convertidor trabajando en el
MCD con d constante. En la figura 101 se puede ver el comportamiento de estas
funciones para distintos valores de M'.
A partir de un análisis de la figura 101, puede ser observado que el FP que se
obtiene con el método FM, es bastante parecido al mejor caso que se podría obtener con
este convertidor e incluso supera los resultados presentados por éste cuando trabaja en el
MCD con d constante, para valores de M' superiores a 0,2, y que para valores de M' entre
214
Comportamiento en Baja Frecuencia
0,1 y 0,5 se obtienen valores del FP mayores que 0,95, mientras que para valores de M'
mayores 0,65 el FP decae rápidamente, como ocurre en las demás formas de operación.
Figura 101. Factor de potencia.
5.2.2 Corriente media de entrada parametrizada.
El conocer la forma de onda de la corriente media de entrada para el convertidor
Reductor en FM puede ser útil de cara a una mejor interpretación del funcionamiento del
mismo.
Sustituyendo las ecuaciones (126) y (137) en la ecuación (94) se obtiene la
siguiente expresión para la corriente media de entrada:
iemed ( t) =

P
M 
1

V g   (M )  | sen t | 
(300)
Por lo tanto, el valor parametrizado de la corriente media de entrada es:
iemed ( t)

1
M 
Vg
=
1
P
  (M )  | sen t | 
(301)
La figura 102, representa gráficamente la ecuación (301) para varios valores de
M'.
215
Capítulo 5
Figura 102. Corriente de entrada parametrizada.
Observando atentamente las figuras 101 y 102, es posible concluir que formas de
onda de corriente bastante distintas de una onda senoidal, resultan en valores de FP
aceptables.
5.2.3 Distorsión Armónica Total.
Dada una función f(t), compuesta por una infinidad de armónicos f1(t),
f2(t),...,fn(t); tal como se representa en la ecuación (302).
f (t)= f 1 (t)+ f 2 (t)+ ....+ f n (t)
(302)
Es posible calcular el valor eficaz de esta función aplicándose la definición de
valor eficaz, a la ecuación (302). De esta forma se obtiene la siguiente expresión:
216
Comportamiento en Baja Frecuencia
f ef =
1
T
T

T
2
f (t) dt =
0
1
( f 1 (t)+ f 2 (t)+ ...+ f n (t) ) 2 dt

T 0

2
2
2
2
f ef = f ef 1 + f ef 2 + ...+ f ef n
(303)
A partir de esta ecuación se puede reescribir la expresión de la distorsión
armónica total, representada en la ecuación (2), de la siguiente forma:
DAT =
ieef
2
ieef1
2
-1
(304)
La cual se muestra bastante útil, puesto que, de esta forma no es necesario que se
conozcan todos los armónicos de la corriente de entrada para calcular la DAT.
El valor eficaz de la corriente media de entrada en un período de conmutación (ie
ef)
ya ha sido determinado en la ecuación (295), y el valor eficaz del primer armónico de
esta corriente puede ser obtenido a partir de la definición del coeficiente bn de la serie de
Fourier presentado en la ecuación (32), una vez que la corriente media de entrada es una
función impar, es decir, se cumple que:
iemed (t) = - iemed (-t)
(305)
Por lo tanto, los coeficientes an son nulos, según la referencia [101].
A partir de las ecuaciones (94) y (126) y de las definiciones de valor eficaz y de
bn se puede obtener el valor eficaz del primer armónico de la corriente media de entrada,
como sigue:
iemed ef 1 =
P
 2 cos ini + M  ( 2  ini -  ) 
 V g  (M )
2
(306)
Luego sustituyendo las ecuaciones (295) y (306) en la ecuación (304), se obtiene
217
Capítulo 5
la distorsión armónica total, como sigue:
 - ini
DAT =
M 

   1 d
sen


 ini
-1
2  2 cos ini + M  ( 2  ini -  ) 2
2
(307)
Con la ayuda de un programa numérico apropiado se puede obtener, una curva que
represente la DAT para este convertidor en FM, esta curva se encuentra representada en
la figura 103.
Figura 103. DAT para el convertidor Reductor.
En la figura 103 se han representado tres curvas como en el caso del factor de
potencia. Estas representan la DAT para las siguientes técnicas de control:
(1) FM
(2) d constante
(3) las técnicas que resultan en el mejor caso posible, tales como d variable en
MCC o MCD y AFM.
Para valores de M' mayores que 0,2 la distorsión armónica representada por estas
curvas es similar. El método propuesto presenta resultados intermedios entre el mejor
caso y la técnica que emplea la razón cíclica constante en el MCD.
218
Comportamiento en Baja Frecuencia
5.3 Convertidor Zeta.
Como en el caso anterior, ahora se analizará el comportamiento del convertidor
Zeta en baja frecuencia en el modo de control propuesto. Para ello se determinará el
factor de potencia y la distorsión armónica total, que presenta este convertidor cuando
opera en FM.
5.3.1 Factor de potencia.
Para que se conozca el factor de potencia que presenta este convertidor, es
necesario que se determine la potencia media de entrada y los valores eficaces de la
corriente y de la tensión de entrada. Utilizando la ecuación (186) se puede obtener la
expresión que representa la potencia activa para este convertidor, que es como sigue:
P = V 2g
t cond
M   (M )
2 L
(308)
El cálculo de la corriente eficaz de entrada se hace a partir de la definición de
valor eficaz y de las ecuaciones (166) y (179). El resultado se presenta a continuación:
I eef =
V g t cond M 
2L

sen 
d

 0 (M  + sen )2
1
2
(309)
Sustituyendo las ecuaciones (296), (308) y (309) en la ecuación (1) se obtiene el
factor de potencia como sigue:
219
Capítulo 5
FP =
2


 (M )

(310)
sen 
2
 (M  + sen )
2
d
0
Utilizándose un programa conveniente es posible representar gráficamente la
ecuación (310). Esto se ha hecho y el resultado se muestra en la figura 104.
Figura 104. Factor de potencia.
Observando la figura 104 se puede concluir que para valores de M' mayores que
0,5 se obtienen valores de FP muy aceptables. El convertidor Zeta al contrario del
convertidor Reductor si es capaz de implementar un PFP ideal. Por lo tanto, en la
situación ideal el factor de potencia es unitario (FP = 1).
5.3.2 Corriente media de entrada parametrizada.
Buscando una mejor comprensión de la corriente media de entrada, sería
interesante conocer el aspecto que presenta la forma de onda de ésta. A través de las
ecuaciones (166), (179) y (308) es posible obtener la siguiente expresión para la
corriente media de entrada parametrizada:
220
Comportamiento en Baja Frecuencia
i g med ( t) 

| sen t |
Vg
=
P
 (M ) M  +| sen t |
(311)
En la figura 105 encontrase representa esta magnitud.
Figura 105. Corriente de entrada parametrizada.
5.3.3 Distorsión armónica total.
La última figura de mérito que se presentará aquí será la distorsión armónica
total. Para calcularla, ya se ha visto que es suficiente con que se conozca el valor eficaz
de la corriente media de entrada y el valor eficaz del primer armónico de esta corriente.
El valor eficaz de la corriente media de entrada ya ha sido determinado en la ecuación
(309) y el valor eficaz del primer armónico de esta corriente, puede ser obtenido
únicamente a partir de la definición de bn (puesto que la corriente ie med también es una
función impar para este convertidor) y de las ecuaciones (166) y (179), tal como sigue:
221
Capítulo 5
1
bn =
T
T

f (t) sen nt dt
0

b1 =
4
2

V g t cond M  sen2 
0 2 L M  + sen d

I emed ef1 =
V g M  t cond
 (M )
2 L
(312)
Sustituyendo las ecuaciones (309) y (312) en la ecuación (304) se obtiene la
distorsión armónica total, como sigue:

DAT =
Representando
esta

sen 
d

2 0 (M  + sen  )2
-1
 (M  )2
función
2
gráficamente
será
(313)
posible
visualizar
el
comportamiento de la DAT en función de M'. La representación gráfica de la ecuación
(313) se encuentra en la figura 106.
Figura 106. Distorsión armónica total.
222
Comportamiento en Baja Frecuencia
Si se compara las ecuaciones (166), (204), (223) y (293) se observa que las
corrientes medias de entrada para los convertidores Zeta, Reductor-Elevador, Sepic y
Cuk son idénticas. Por lo tanto, todos los parámetros presentados en este apartado para el
convertidor Zeta también son validos para los demás convertidores.
5.4 Convertidor Elevador.
Cuando este convertidor opera en el MCD con d constante la corriente de entrada
es incapaz de seguir la tensión como se puede constatar en la ecuación (50). Por tanto,
puede ser interesante conocer el comportamiento en baja frecuencia de este convertidor
en esta situación, ya que la implementación de este método de control se materializa en
un circuito de mando bastante sencillo.
5.4.1 Factor de Potencia.
La figura 107 representa la evolución del factor de potencia para el convertidor
Elevador en el MCD con d constante. A través de ella se observa que para valores de M
superiores a 1,1 se obtiene valores del FP superiores a 0,9, lo que es bastante aceptable.
Figura 107. Factor de Potencia.
5.4.2 Corriente media de entrada parametrizada.
223
Capítulo 5
La figura 108 ha sido elaborada intentando correlacionar los datos referentes al
FP, con la forma de onda de la corriente media de entrada, del convertidor Elevador en
el MCD con d constante.
3,0
M = 1,23
2,5
M = 1,62
M = 2,01
2,0
M = 2,39
1,5
M = 2,78
M = 3,16
1,0
0,5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
t
Figura 108. Corriente de entrada parametrizada.
Nótese, por ejemplo, que la corriente de entrada para M = 1,23 es bastante
distinta de una senoide, sin embargo resulta que origina un FP superior a 0,95.
5.4.3 Distorsión Armónica Total.
En la figura 109 se presenta la DAT en función de la relación de transformación.
En esta figura se observa una clara correlación entre la forma de la corriente media de
entrada y su DAT, es decir, una forma de onda muy distorsionada resulta en una DAT
elevada y viceversa.
224
Comportamiento en Baja Frecuencia
Figura 109. DAT.
5.5 CONCLUSIONES.
Lo que se había comentado en los primeros capítulos, se ha podido comprobar en
éste. Es decir, el ampliar la técnica FM a los demás convertidores básicos implica un
mínimo impacto en su comportamiento en baja frecuencia.
Con la excepción del convertidor Reductor, los demás convertidores abordados
en este capítulo es decir los convertidores:
•
Zeta
•
Reductor - Elevador
•
Sepic
•
Cuk
presentan la misma corriente media de entrada y por lo tanto, las mismas figuras de
mérito presentadas para el convertidor Zeta son validas para los demás convertidores.
Por último, se puede concluir que la utilización de la técnica FM a pesar de no
225
Capítulo 5
implicar un PFP ideal, implementa PFPs que pueden cumplir con la normativa de baja
frecuencia para potencias muy superiores a aquellas que se podrían plantear con el
circuito rectificador clásico, compuesto únicamente por un puente de diodos y un
condensador de alto valor.
226