PROBABILIDAD TOTAL Se define la Probabilidad Total como la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos. La podemos determinar a través de la siguiente fórmula: P( A B) P( A) P( B) P( A B) Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener el número 3 ó un número primo? Evento A: Obtener el número 3. Evento B: Obtener un número primo. P( A B) P( A) P( B) P( A B) 1 1 1 1 6 2 6 2 Si los eventos son excluyentes (A B = ), la probabilidad de que se produzca A o B es: P( A B) P( A) P( B) PROBABILIDAD CONDICIONADA Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación inicial. Ejemplo: Al tirar un dado la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información, por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par, entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6. Se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A. P ( B / A) P( A B) P ( A) Donde: P (B A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B P (A) es la probabilidad a priori del suceso A En el ejemplo anterior: P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A). P (B A) es la probabilidad de que salga el dos y número par. P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par. Por lo tanto: P (B A) = 1/6 P (A) = 1/2 P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3 Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3. La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A. O sea: P( A B) P( A) P( B / A) Ejemplo: Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados. De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos. Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tenga más de 2 hijos. P (A) = 35/100 = 0,35 P (B/A) = 0,30 P (A B) = 0,35 0,30 = 0,105 Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más de 2 hijos. Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del suceso A, se dice que son eventos independientes. En este caso se da que: P( A B) P( A) P( B) Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener un rey y un as de un naipe de 52 cartas, reponiendo la primera carta al naipe. Evento A: Sacar un rey Evento B: Sacar un as p( A B) P( A) P( B) La probabilidad es de 1/169 = 0,0059 = 0,59% 4 4 1 1 1 52 52 13 13 169 EJERCICIOS 1. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5 al sacar una de ellas. a) 1/2 b) 1/3 c) 1/6 d) 1/18 e) 0 2. Calcular la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la primera carta al naipe. a) 1/26 b) 1/352 c) 4/663 d) 1/221 e) 3/674 3. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 ó mayor que 10? a) 1/72 b) 1/12 c) 1/4 d) 1/6 e) Ninguna de las anteriores 4. Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas. a) 3/4 b) 2/7 c) 6/49 d) 1/7 e) 9/49 5. Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3. a) 1/2 b) 2/3 c) 1/3 d) 1/6 e) 5/6 6. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes. a) 1/100 b) 1/5 c) 1/130 d) 23/130 e) 1/20 7. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4? a) 1/3 b) 1/4 c) 5/18 d) 3/10 e) Ninguna de las anteriores 8. Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 6. a) 0 b) 1/1296 c) 10/3 d) 2/3 e) 625/1296 9. En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de que sean números distintos. a) 1/64.000 b) 3/40 c) 1/59.280 d) 4/3.705 e) 192/247 10. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? a) 6/5 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/5 e) 4/5 ALTERNATIVAS 1. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5 al sacar una de ellas. Alternativa A: CORRECTA. La probabilidad de obtener un número menor que 5 es 4/12 = 1/3 y de obtener un número múltiplo de 5 es 2/12 = 1/6. El de obtener uno de esos eventos es 1 1 3 1 3 6 6 2 Alternativa B. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un número menor que 5. Alternativa C. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un múltiplo de 5. Alternativa D: Incorrecta. Se obtiene la probabilidad de cada evento, pero luego se calcula 1 1 1 equivocadamente el producto 3 6 18 Alternativa E:. Incorrecta. Como entre los eventos no hay elementos en común, se determina que la probabilidad es 0. 2. Calcular la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la primera carta al naipe. Alternativa A:. Incorrecta. Como se habla de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, se plantea la probabilidad como 2/52 = 1/26. 2 1 2 1 Alternativa B. Incorrecta. Se plantea la probabilidad como , la cual contiene 52 52 2704 1352 varios errores, ya que no considera el total de ases ni que la carta no es devuelta al naipe. Alternativa C. Incorrecta. Se consideran los cuatro ases, pero no que la carta extraída es un as, o 4 4 16 4 sea 52 51 2652 663 4 3 Alternativa D: CORRECTA. La probabilidad pedida se obtiene calculando ya que si no se 52 51 devuelve la carta a la baraja, los ases a sacar son 3 y las cartas 51. 4 3 12 3 Alternativa E: Incorrecta. Se resuelve que no considera que las cartas 12 52 2704 674 disminuyen en una al no ser devuelta al naipe luego de extraídas. 3. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 ó mayor que 10? Alternativa A: Incorrecta. Se obtiene la probabilidad de cada evento, los cuales se multiplican, o 1 1 1 sea, , pero esta operación corresponde a calcular la probabilidad de que se den los dos 6 12 72 eventos. Alternativa B. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un puntaje mayor que 10. Alternativa C. CORRECTA. La probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 al lanzar dos dados es 6/36 = 1/6. La de obtener una suma mayor que 10 es 3/36 = 1/12. Por lo tanto, la 1 1 3 1 probabilidad de que uno de esos eventos se de, es 6 12 12 4 Alternativa D: Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 al lanzar dos dados. Alternativa E: Incorrecta. Diversos planteamientos errados llevan a optar por esta alternativa. 4. Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas. Alternativa A: Incorrecta. Se establece, sin mayor sentido, la razón entre las fichas rojas y las fichas y las fichas blancas, o sea, 3/4. Alternativa B. Incorrecta. Como se enuncia sacar dos fichas de un total de 7, se establece la relación errada de 2/7. Alternativa C. Incorrecta. Se resuelve correctamente la probabilidad de que la primera sea roja, o sea 3/7, pero luego la probabilidad siguiente se determina erróneamente como 2/7. De esto se 3 2 6 obtiene que 7 7 49 Alternativa D: Incorrecta. Se supone que la ficha extraída no es devuelta y se calcula 3 2 6 1 7 6 42 7 3 3 9 Alternativa E: CORRECTA. La probabilidad de extraer dos fichas rojas es ya que las 7 7 49 fichas rojas son 3 y el total de fichas 7, y luego de sacar la primera ficha, ésta se devuelve por lo que se mantiene la probabilidad inicial. 5. Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3. Alternativa A: Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un número impar. Alternativa B. CORRECTA. Los números impares a obtener son 1, 3 y 5; mientras que un múltiplo de tres corresponde al 3 y 6. Lo importante es darse cuenta de que en ambos eventos figura el 3 2 1 4 2 número 3. Por lo tanto, la probabilidad es 6 6 6 6 3 Alternativa C. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un múltiplo de 3. Alternativa D: Incorrecta. Se obtienen ambas probabilidades pedidas y luego se efectúa el 3 2 6 1 producto, o sea . El error es que no considera que se está pidiendo la probabilidad de 6 6 36 6 uno u otro evento. Alternativa E: Incorrecta. No se considera el elemento 3 que pertenece a ambos eventos y se 3 2 5 resuelve 6 6 6 6. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes. Alternativa A: Incorrecta. No se considera que el enunciado señala “sin devolución” y se calcula la 4 4 1 1 1 probabilidad efectuando la operación 40 40 10 10 100 Alternativa B. Incorrecta. No se considera que el enunciado señala “sin devolución” y se calcula la 4 4 1 1 2 1 probabilidad efectuando la operación 40 40 10 10 10 5 Alternativa C. CORRECTA. La probabilidad de obtener un rey en la primera sacada es 4/40 y 4 3 1 1 1 luego de extraer otro rey es 3/39, por lo tanto la probabilidad total es 40 39 10 13 130 Alternativa D: Incorrecta. Se determina cada probabilidad, pero luego se comete el error de 4 3 23 sumarlas, o sea lo que lleva a obtener 40 39 130 Alternativa E: Incorrecta. Como deben extraerse 2 cartas de las 40 se plantea la probabilidad 2/40 = 1/20. 7. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4? Alternativa A: CORRECTA. Los pares que cumplen la condición de que la suma de resultados sea un múltiplo de 4 son (1, 3), (2, 2), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) y (6, 6), pero que su suma sea menor que 6 sólo lo cumplen los pares (1, 3), (2, 2) y (3, 1). Luego la probabilidad es 3/9 = 1/3. Alternativa B. Incorrecta. Esta probabilidad corresponde a la que se determina por los pares múltiplos de cuatro. Alternativa C. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de que la suma de los resultados, al lanzar dos dados, sea menor que 6. Alternativa D: Incorrecta. Corresponde a la razón entre los pares múltiplos de 4, determinados de los que suman menos de 6, y los pares que suman menos de 6. Alternativa E: Incorrecta. Diversos procedimientos errados llevan a esta alternativa. 8. Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 6. Alternativa A: Incorrecta. Se confunde le “no obtener” con la probabilidad nula. Alternativa B. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener un 6 en cada lanzamiento. Alternativa C. Incorrecta. Se determina correctamente que cada probabilidad es 5/6, pero luego en 5 5 5 5 20 10 vez de multiplicar, se suma, o sea 6 6 6 6 6 3 Alternativa D: Incorrecta. Se calcula la probabilidad entre los cuatro lanzamientos y las seis posibilidades de un dado, o sea, 4/6 = 2/3. Alternativa E: CORRECTA. El de obtener un 6 es 1/6, por lo tanto, de no obtenerlo es 5/6. Luego, 5 5 5 5 625 la probabilidad en 4 lanzamientos es 6 6 6 6 1296 9. En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de que sean números distintos. Alternativa A: Incorrecta. Se calcula la probabilidad efectuando 1 1 1 considerando de que 40 40 40 siempre se extrae una carta de las 40. Alternativa B. Incorrecta. Como se enuncia que se toman 3 cartas de un naipe, se piensa en la probabilidad 3/40. 1 1 1 Alternativa C. Incorrecta. Se calcula la probabilidad efectuando considerando de que 40 39 38 se extrae una carta de las 40, luego una de las 39 restantes y luego una de las 38 que restan. Alternativa D: Incorrecta. Se calcula la probabilidad efectuando el producto 4 4 4 64 4 40 39 38 59280 3705 Alternativa E: CORRECTA. Al extraer la primera carta la probabilidad es 40/40, al extraer la segunda carta es de 36/39 y la tercera es de 32/38. Al efectuar el producto de estas probabilidades, simplificando previamente, se obtiene 192/247. 10. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? Alternativa A: Incorrecta. Se calcula la probabilidad de obtener una bola blanca de cada urna y 2 4 6 luego se suman, o sea, 5 5 5 Alternativa B. Incorrecta. Se calcula la probabilidad de obtener una bola blanca de cada urna y 2 4 8 luego se multiplican, o sea, 5 5 25 Alternativa C. Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener una bola blanca en la primera urna. Alternativa D: CORRECTA. Para obtener la probabilidad pedida se debe efectuar la siguiente 1 2 1 4 3 operación , donde el 1/2 corresponde a la probabilidad de elegir una de las urnas, el 2 5 2 5 5 2/5, de sacar una bola blanca de la primera urna y el 4/5 de sacar una bola blanca de la segunda urna. Alternativa E: Incorrecta. Corresponde a la probabilidad de obtener una bola blanca desde la segunda urna.