Documento 240280

Matemática 3º
Probabilidad - 1 -
PROBABILIDAD
EXPERIENCIAS ALEATORIAS
En algunas experiencias o eventos se puede predecir el resultado conociendo las
condiciones iniciales bajo las que se realiza. Por ejemplo: el tiempo que un cuerpo
tarda en caer libremente depende de la altura desde la que se deja caer, la intensidad
de corriente que circula por un conductor depende de su resistencia y de la diferencia
de potencial entre los extremos del mismo, etc.
En otras situaciones (por diversos motivos) no es posible predecir el resultado de la
experiencia. Este último grupo de experiencias recibe el nombre de experiencias
aleatorias. Por ejemplo. Tirar un dado para observar el número que sale, encuestar
una persona para determinar cuál es su idea política, determinar cuál será la inflación
anual de un país a partir de las medidas económicas que se tomen, etc.
Al conjunto de todos los resultados posibles de una experiencia aleatoria se lo llama
espacio muestral y cada uno de los resultados es un suceso elemental. Los
espacios muestrales pueden ser finitos o infinitos.
Todo subconjunto de un espacio muestral recibe el nombre de suceso y puede estar
formado por varios sucesos elementales. A continuación se dan tres ejemplos:
Experiencia 1: tirar un dado y determinar el número que sale.
Espacio muestral: 1;2;3;4;5;6 . Este espacio muestral es finito y está conformado
por seis sucesos elementales.
Algunos sucesos asociados a esta experiencia son:
SA= obtener un número par = {2;4;6} (está formado por tres sucesos elementales)
SB= obtener un número mayor o igual a 2 = {2;3;4;5;6}
SC= obtener un número menor a 3 = {1;2 }
SD= obtener un número impar = {1;3;5}
SE= obtener un número mayor a 4 = {5;6}
SF= obtener un número mayor a 8 = Ø
SG= obtener un número menor o igual a 6 = 1;2;3;4;5;6
Matemática 3º
Probabilidad - 2 -
Experiencia 2: determinar la cantidad de personas ingresan a una página web
diariamente,
Espacio muestral: 0;1;2;3;4;5;6;............ .Es un espacio muestral infinito numerable.
Sucesos asociados:
SA= ingresan hasta 100 personas = {0;1;2;3;4;5;6…….99;100} (está formado por 101
sucesos elementales)
SB= ingresan más de 100 personas = {101;102;103;…………….} ( tiene infinitos
sucesos elementales)
SC= ingresan entre 50 personas y 80 personas = {50;51:52;……….78;79;80 } (tiene 31
sucesos elementales
SD= ingresan solamente 1000 personas= {1000} (tiene un suceso elemental)
Experiencia 3: plantar una semilla de una planta y determinar la altura que alcanzará
luego de 15 días.
El espacio muestral es un intervalo de los números reales, por lo tanto es infinito no
numerable.
Sucesos asociados:
SA= la altura es inferior a 4 cm = [0;4) (el suceso tiene los infinitos sucesos
elementales comprendidos en el intervalo real )
SB= la altura es de 5 cm = {5} (el suceso está formado por un suceso elemental)
PROBABILIDAD
Al desconocer cual será el resultado que se obtendrá al realizar una experiencia
aleatoria, se puede establecer una medida del grado de posibilidad de que ocurra un
determinado suceso: la probabilidad de que ocurra dicho suceso.
Esto es de suma importancia para ayudar en la toma de algunas decisiones. Para ello
debemos tener en cuenta el tipo de experiencia y su espacio muestral.
Dada una experiencia aleatoria con un espacio muestral finito y conformado por
sucesos elementales que tienen la misma posibilidad de ocurrir, se define a la
probabilidad de un suceso como el cociente de la división entre la cantidad de
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Probabilidad - 3 -
casos favorables (sucesos elementales que conforman el suceso) y la cantidad
de casos posibles (espacio muestral). Esta es la definición clásica de probabilidad1.
PS 
casos  favorables
casos  posibles
Si el espacio muestral es infinito o los sucesos elementales no son
equiprobables, la probabilidad de que ocurra un suceso no se puede calcular
con anterioridad. Se considera que la probabilidad de un suceso es igual a la
frecuencia relativa con que dicho suceso ocurre. La probabilidad establecida de
esta manera también se llama a posteriori porque se establece luego de la realización
de la experiencia n veces. Es importante establecer que la frecuencia relativa con
que ocurre un suceso tiende a estabilizarse a medida que la cantidad de veces
que se realiza la experiencia es mayor. Utilizando el concepto de límite podemos
establecer que el límite de la frecuencia relativa de un suceso tiende a la probabilidad
de ese suceso cuando la cantidad de veces que se realiza la experiencia tiende a
infinito.Las probabilidades de que ocurran los sucesos asociados a la experiencia 1 se
pueden calcular utilizando la definición clásica2. Las experiencias 2 y 3 tienen sucesos
asociados cuyas probabilidades se deben establecer a partir de la frecuencia relativa.
CLASIFICACIÓN DE SUCESOS
Los sucesos asociados a una experiencia se pueden clasificar en:
Sucesos seguros
Son aquellos en los que la probabilidad es igual a 1. La cantidad de casos favorable
coincide con el espacio muestral.
Sucesos imposibles
No pueden ocurrir. La probabilidad de que ocurran es igual a 0.
Sucesos incompatibles
Son aquellos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. La probabilidad de que
ocurra uno u otro (probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B) es igual a la
suma de las probabilidades de que ocurra cada suceso. P  A  B   PA  PB .
1
Nótese que puede ser calculada sin necesidad de hacer la experiencia. La probabilidad es un número
comprendido entre 0 y 1. Esta definición de probabilidad fue enunciada por Laplace.
2
Si el dado de la experiencia está cargado, las probabilidades de los sucesos elementales se determinan a
partir de las frecuencias relativas.
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Probabilidad - 4 -
Sucesos complementarios
Son sucesos incompatibles que, en conjunto, abarcan todo el espacio muestral. La
suma de las probabilidades de que ocurra uno u otro es igual a 1.
Sucesos compatibles
Son aquellos que pueden ocurrir simultáneamente. En este caso se puede calcular las
siguientes probabilidades:
Probabilidad del suceso unión incluyente: es la probabilidad de que ocurra uno u otro o
ambos a la vez. Se calcula utilizando la siguiente fórmula P  A  B   PA  PB  PAB ,
Siendo PAB la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente.
Probabilidad unión excluyente: es la probabilidad de que ocurra solamente uno de los
sucesos (no ambos a la vez)3. Se calcula utilizando la siguiente fórmula
P  A  B  PA  PB  2PAB .
Sucesos independientes
Son aquellos en los que la probabilidad de que ocurra uno de ellos no se modifica a
partir de lo que ocurre en el otro. En caso contrario, los sucesos son dependientes.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Dados dos sucesos compatibles A y B, es posible determinar la probabilidad de que
ocurra uno sabiendo que ocurrió el otro. Esta probabilidad recibe el nombre de
condicional y se calcula a partir de la siguiente fórmula:
P  A / B 
PAB
(Probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurrió B)
PB
TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL
Dados dos sucesos A y B incompatibles y un tercer suceso C (que puede ser
compatible con los anteriores), la probabilidad de que ocurra C se determina de la
siguiente manera:
3
PC  P C / A  PA  P C / B  PB
De aquí en adelante se expresará como la probabilidad de que ocurra el suceso A o bien el
suceso B
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Probabilidad - 5 -
EJERCICIOS
1
1..
Tomando los sucesos definidos en la experiencia 1 de la parte teórica,
determinar las siguientes probabilidades:
a ) PA
b) PB
c ) PC
d ) PD
e) PE
f ) PF
g ) PG
h) P  C  E 
i ) PA
j ) P (C  D )
k )P C  D 
l ) PCD
m) PCD
n) PCD
ñ) PCD
2
2..
Se extrae una carta de un mazo de 48 ( sin los comodines) y se definen los
siguientes sucesos:
SA= obtener una carta mayor a 5.
SB= obtener una carta impar.
SC= obtener una carta de copa.
SD= obtener una carta de palo.
SE= obtener una carta mayor a 12.
Expresar simbólicamente y calcular las siguientes probabilidades:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
Sea mayor que 5.
No sea mayor que 5.
Sea impar.
Sea impar y mayor que 5.
No sea impar ni mayor que 5.
Sea impar o mayor que 5.
Sea impar o bien mayor que 5.
Sea impar de copa.
No sea de copa.
Sea impar de copa y mayor que 5.
Sea de copa o de palo.
Sea par pero no sea de palo.
Sea par mayor que 12.
Sea menor o igual a 12.
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3..
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7..
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8..
Probabilidad - 6 -
En un estacionamiento hay 300 automóviles (100 son importados), 30 son de
color blanco fabricados en Argentina y 15 son blancos importados. El encargado
decide premiar con un lavado gratis realizando un sorteo. Expresar
simbólicamente y calcular las siguientes probabilidades:
a. El auto sea blanco.
b. El auto sea importado.
c. El auto sea importado y blanco.
d. El auto no sea importado.
e. El auto sea blanco o importado.
f. El auto no sea importado ni blanco.
g. El auto sea blanco o bien importado.
h. El auto no sea blanco ni importado.
En un Polimodal hay 195 alumnos (95 a la mañana). En el turno mañana hay 32
alumnos en primero y 33 en segundo. En el turno tarde hay 34 alumnos en
primero y 35 en tercero. A fin de año se sortea una computadora entre todos los
alumnos. Expresar simbólicamente y calcular la probabilidad:
a. Sea de primer año.
b. Sea de la mañana.
c. Sea de primero de la mañana.
d. No sea de primero de la mañana.
e. Sea de segundo o tercer año.
f. No sea de primer año ni de la mañana.
g. Sea de primer año o de la mañana.
h. No sea de segundo año ni de la mañana.
i. Sea de segundo año sabiendo que va a la mañana.
j. Sea de la mañana sabiendo que es de primero.
k. No sea de primero sabiendo que es de la mañana.
l. No sea de primero sabiendo que no es de la mañana.
Una moneda está cargada de tal manera que sale cara el doble de veces que
ceca. Al arrojar la moneda ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara?.
Si la moneda del ejercicio anterior se arroja dos veces
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?
b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cecas?
c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la primera y ceca en la
segunda? ¿Y al revés?
d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una vez cara y una ceca?
Si la moneda del ejercicio anterior se arroja tres veces:
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras?
b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y una ceca?
c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y dos cecas?
d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cecas?
e. ¿Cuál es la probabilidad de obtener, por lo menos, una cara?
f. ¿Cuál es la probabilidad de obtener, como máximo, una ceca?
g. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más caras que cecas?
Se tira un dado cuatro veces. Calcular la probabilidad de:
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Probabilidad - 7 -
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Que salga cuatro veces uno.
Que salga uno tres veces
Que salga uno dos veces.
Que no salga uno.
Que salga uno en el segundo tiro.
Que salga uno en el segundo y el cuarto tiro.
Que salga uno en el segundo tiro sabiendo que salió uno en el primer
tiro.
h. Que salga uno en el segundo tiro sabiendo que no salió uno en el
primero.
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En una bolsa hay cuatro bolas rojas y seis blancas. Se extrae una bola, se la
repone en la bolsa y se vuelve a extraer una bola. Calcular la probabilidad de
que:
a. La primera sea roja.
b. La segunda sea roja.
c. La segunda sea roja, sabiendo que la primera fue roja.
d. La segunda sea roja, sabiendo que la primera no fue roja.
e. Las dos sean rojas.
f. Ninguna sea roja.
g. La primera sea roja y la segunda blanca.
h. La primera sea blanca y la segunda roja.
i. Una sea blanca y otra roja.
Rehacer el ejercicio anterior considerando que la primer bola no se repone
dentro de la bolsa.
Un examen consta de 10 preguntas que deben responderse con verdadero o
falso. Juan contesta todas las preguntas al azar.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste todas correctamente?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna respuesta sea correcta?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que se equivoque en una?
d. Si se aprueba con 7 respuestas correctas (como mínimo) ¿Cuál es la
probabilidad de que apruebe?
Un verdulero tiene 30 manzanas en un cajón (5 están podridas). Extrae tres al
azar:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que todas estén podridas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que todas estén buenas?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que haya una podrida?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos podridas?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que haya, al menos, una podrida?
En una ciudad, el 15% de los habitantes votó al partido blanco. Se eligen dos
habitantes al azar ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan votado al
partido blanco?
Un jugador de fútbol acertó el 75 % de los penales que tiró. De los próximos
cuatro penales:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que convierta el primero?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que convierta el segundo, sabiendo que
convirtió el primero?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte todos?
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Probabilidad - 8 -
d. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte tres?
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Se arrojan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean caras?
Al tirar dos dados
a. ¿cuál es la probabilidad de obtener dos seis?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma entre los números que salen
sea 2?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma entre los números que salen
sea 12?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma entre los números que salen
sea 7?
Calcular la probabilidad de obtener por lo menos una cara al tirar seis monedas.
Una persona compra una rifa (de tres cifras). ¿Cuál es la probabilidad de que
gane?
¿Cuál es la probabilidad de que en la ruleta salga:
a. Un número par?
b. Un número colorado?
c. Un número par colorado?
d. Un número colorado par?
e. El cero?
f. Un número par sabiendo que es colorado?
g. Un número colorado sabiendo que es par?
h. Un número mayor a 8?
i. Un número mayor a 8 y menor que 10?
j. Un número colorado o par?
k. Un número par o bien colorado?
Si una persona piensa tirar una moneda 9 veces seguidas
a. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean caras?
b. Si al tirar la moneda las primeras 8 veces sale cara ¿Cuál es la
probabilidad de que al tirar la moneda nuevamente salga cara?
c. Si al tirar la moneda 8 veces nunca sale cara ¿Cuál es la probabilidad
de que al tirar la moneda nuevamente salga cara?
En un club se reúnen 20 socios infantiles, 24 cadetes, 13 activos y 8 vitalicios. De
los socios asistentes, 35 son de sexo masculino. Entre los socios activos hay
seis mujeres. Se realiza un sorteo entre todos los asistentes. Calcular la
probabilidad de que el premio lo reciba:
a. Un socio activo.
b. Un hombre.
c. Una mujer.
d. Un socio activo y de sexo masculino.
e. Un socio activo o de sexo masculino.
f. Un hombre, sabiendo que es un socio activo.
g. Un socio activo, sabiendo que es hombre.
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Probabilidad - 9 -
En una bolsa hay 10 bolas blancas, 8 rojas y 2 negras. Si se extraen tres bolas
(una a continuación de otra y reponiendo cada una)
a. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras sean blancas y la
tercera sea roja?
b. ¿cuál es la probabilidad de que dos sean rojas y una blanca?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean del mismo color?
Rehacer el ejercicio anterior considerando que no se reponen las bolas
extraídas.
Sacamos cuatro cartas de un mazo de 40. Calcular la probabilidad de :
a. Extraer cuatro ases.
b. Extraer sota, caballo, rey y as.
c. Extraer dos copas y dos oros.
En una familia con dos hijos (estadísticamente, el 51% de población es de sexo
femenino).
a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo sexo?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que tengan distinto sexo?
¿Cuál es la probabilidad de obtener todos seis al tirar 10 dados?
En una caja hay una docena de bombones de licor. Todos están envueltos con el
mismo papel: 6 son de anís, 4 de cognac y 2 de ron. Varias personas se sirven
un bombón:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona se sirva un bombón
de anís?
b. ¿cuál es la probabilidad de que la segunda se sirva un bombón de anís
si la primera aún no probó el bombón?
c. Si la primera persona probó el bombón y dice que es de cognac ¿cuál
es la probabilidad de que la segunda persona tenga un bombón de
anís?
En una caja hay 20 fichas: 10 son cuadradas ( 3 azules), 7 son azules, 3 están
marcadas (2 son cuadradas). Se extrae una ficha. Calcular la probabilidad de
que:
a. Sea cuadrada.
b. Sea cuadrada o azul.
c. Sea cuadrada, sabiendo que es azul.
d. Sea azul, sabiendo que es cuadrada.
e. Esté marcada, sabiendo que no es cuadrada.
f. Sea cuadrada, sabiendo que no está marcada.
g. No sea azul ni cuadrada
Un cine club tiene 100 películas (75 cortometrajes). 45 son de color. De las
películas de color, 18 son largometrajes. Se extrae una película al azar:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea cortometraje?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de color?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un cortometraje de color?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de color o bien un cortometraje?
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Probabilidad - 10 -
Se arrojan simultáneamente un cubo y un tetraedro. El cubo tiene tres caras
amarillas, dos verdes y una roja. El tetraedro tiene dos caras amarillas, 1 roja y
una blanca. Calcular la probabilidad de que queden apoyadas:
a. Una cara amarilla del tetraedro y una roja del cubo.
b. Una cara amarilla y una roja.
c. Dos caras del mismo color.
d. Dos caras de distinto color.
e. Dos caras blancas.
f. Una cara roja en el tetraedro, sabiendo que el cubo quedó apoyado
sobre una cara roja.
En una bolsa tenemos bolas de colores, pero no sabemos cuántas ni qué colores
tienen. En 100 extracciones ( con reposición) hemos obtenido bola blanca en 41
ocasiones, bola negra en 19, bola verde en 18 y azul en 22.
a. Al hacer una nueva extracción:
i. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola verde o azul?
ii. ¿No sacar bola negra ni azul?
b. Si se realizan seis extracciones consecutivas (con reposición)
i. ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del mismo color?
ii. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos sean verdes?
iii. ¿Cuál es la probabilidad de no todas sean verdes?
iv. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres sean azules?
v. ¿Cuál es la probabilidad de que la última sea azul?
vi. ¿Cuál es la probabilidad de que dos sean negras, dos verdes y
dos azules?
vii. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras sean negras,
la tercera y la cuarta sean verdes y las dos últimas sean azules?
3
32
2..
Una empresa fabrica dados. Uno de ellos sale con un defecto de fabricación y
está cargado. Se lo tira 500 veces y se anotan los números que salen. Los
resultados son:
Si se arroja el dado una vez:
Número obtenido
frecuencia
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener
1
120
un número par?
2
80
b.
¿y de obtener uno impar?
3
105
c.
¿Y de no obtener 1?
4
95
d.
¿Y de no obtener 5 ni seis?
5
15
e. ¿Y que salga 2 sabiendo que salió
6
85
un número par?
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3..
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4..
3
35
5..
En una bolsa hay nueve bolillas numeradas del 1 al 9. Se extraen tres
reponiéndolas dentro de la bolsa. Calcular la probabilidad de que:
a. las tres sean pares
b. ninguna sea par
c. la tercera sea par, sabiendo que las dos anteriores fueron pares.
d. La primera sea par, la segunda impar y la tercera par.
e. Dos sean pares.
f. Las tres sean pares o las tres impares.
Rehacer el ejercicio anterior sin reponerlas dentro de la bolsa.
en un aeropuerto funcionan tres radares, el primero tiene una eficacia del 98 %,
el segundo del 95% y el tercero del 97%. Los tres están continuamente en
funcionamiento. Si un avión sobrevuela la zona de influencia de los tres radares
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea detectado?
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6..
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37
7..
3
38
8..
b.
c.
d.
e.
Probabilidad - 11 Cuál es la probabilidad de que sea detectado?
¿Cuál es la probabilidad de que lo detecte solamente el primer radar?
¿Cuál es la probabilidad de que sea detectado solamente por un radar?
¿cuál es la probabilidad de que lo detecten los tres radares?
Un 35% de los habitantes de un pueblo ( que tiene 2 periódicos) lee el periódico
EL INFORMANTE , un 43 % lee el periódico EL VERAZ , un 6% manifestó leer
ambos periódicos. (aclaración: los que manifestaron leer EL INFORMANTE o EL
VERAZ también pueden leer ambos periódicos). Se selecciona una persona al
azar. Calcular la probabilidad de que:
a. Lea EL INFORMANTE
b. No lea periódicos.
c. Lea solamente uno de los periódicos.
d. Lea EL INFORMANTE sabiendo que lee EL VERAZ.
e. Lea EL VERAZ sabiendo que lee EL INFORMANTE.
f. Lea EL VERAZ sabiendo que solamente lee un periódico.
g. No lea EL INFORMANTE sabiendo que solamente lee un periódico.
En un comercio se venden (al por mayor o por unidad) productos importados y
nacionales. El 46% de los productos que se venden son nacionales. El 30% se
venden por unidad. El 5% se vende al por mayor y son importados.
a. ¿cuál es la probabilidad de que la próxima venta sea de un artículo
importado o se venda por unidad?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea importado y se venda por unidad?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea nacional ni se venda al por
mayor?
Una consultora relevó los datos de una muestra de familias ( se las consultó
acerca de sus ingresos mensuales) y los resultados obtenidos fueron. Si se
selecciona una familia al azar.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que gane
Ingresos
Cantidad
más de 500 pesos?
mensuales
de familias
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sus
0 - 500
70
ingresos no superen la mediana?
500 – 1000
85
c. ¿Cuál es la probabilidad de que sus
1000 – 1500
190
ingresos no superen la moda?
1500 – 2000
75
d. ¿Cuál es la probabilidad de que sus
2000 - 2500
25
ingresos sean superiores a $ 2350?
2500 - 3000
7
e. ¿Cuál es la probabilidad de que sus
ingresos superen al primer decil?
f. ¿Cuál es la probabilidad de que sus ingresos no superen al tercer
cuartil?
g. ¿Cuál es la probabilidad de que los ingresos superen al segundo decil
pero no superen al tercer quintil?
h. ¿cuál es la probabilidad de que los ingresos estén entre $ 575 y $
1374?
i. ¿Cuál es la probabilidad de que los ingresos sean de $1300?