INTERPRETACIÓN Y DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA DEL CONTROL DE ADELANTO DE FASE Los trazos de Bode del controlador de adelanto de fase de la ecuación se muestran en la siguiente figura. Las dos frecuencias de corte están en w=1/aT y w=1/T. El valor máximo de la fase, m , y la frecuencia en la que ocurre, m , se obtiene como sigue. Ya que m es la media geométrica de las dos frecuencias de corte, se escribe: log10 m 1 1 1 log10 log10 2 aT T s 1 / aT s 1/ T Por tanto: 1 m aT Gc ( s ) a a>1 (1) Para determinar la fase máxima, la fase de Gc(jw) se escribe como: (2) Gc ( jw) ( jw) tan1 aT tan1 T de donde se obtiene: aT T tan ( jw) 1 (aT )(T ) Al sustituir la ecuación (1) en la (2) para w, se tiene: a 1 tan m 2 a a 1 sen m a 1 Por tanto, al conocer m , el valor de a se determina de: 1 sen m a 1 sen m (4) La relación entre la fase m y a y las propiedades generales de las trazas de Bode del controlador de adelanto de fase proveen una ventaja del diseño en el dominio de la frecuencia. La dificultad es, por supuesto, la correlación entre las especificaciones entre los dominios del tiempo y la frecuencia. El procedimiento general de diseño del controlador de adelanto de fase en el dominio de la frecuencia se proporciona a continuación. 1. Las trazas de Bode del proceso no compensado G p ( j) se construye con la constante de ganancia K puesta de acuerdo con el requisito de error en estado estable. El valor de K tiene que ser ajustado una vez que se determinó el valor de a. 2. Se determina el margen de fase y el margen de ganancia del sistema no compensado y se calcula la cantidad de adelanto de fase adicional que se necesita para lograr el margen de fase. Del requisito de adelanto de fase adicional, se estima el valor deseado de m , y el valor de a se calcula de la ecuación (4). 3. Una vez que se determino el valor de a, es necesario solamente determinar el valor de T, y el diseño, en principio, esta completo. Este es completado al colocar las frecuencias de corte del controlador de adelanto de fase, 1/aT y 1/T, tal que m se localice en la nueva frecuencia de cruce de ganancia `g , para que el margen de fase del sistema compensado sea beneficiado por m . Se sabe que la ganancia de alta frecuencia del controlador de adelanto de fase es 20log a dB. Por tanto para tener la nueva frecuencia de cruce de ganancia en m , que es la media geométrica de 1/aT y 1/T, se necesita colocar a m en la frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado Gp(jw) sea -10log a dB, por lo que al sumarle la ganancia del controlador de 10log a dB hace que la curva de magnitud pase por 0 dB en m . 4. Las trazas de Bode de la función de transferencia de la trayectoria directa del sistema compensado se investigan para comprobar si todas las especificaciones de desempeño se cumplen; si no se debe escoger un nuevo valor de m y se repiten los pasos. 5. Si todas las especificaciones de diseño se satisfacen, se establece la función de transferencia del controlador de adelanto de fase a partir de los valores de a y T. INTERPRETACIÓN Y DISEÑO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA DEL CONTROL DE ATRASO DE FASE La función de transferencia del controlador de atraso de fase se puede escribir otra vez como: 1 aTs a<1 1 Ts al suponer que el factor de ganancia, 1/a es absorbido por la ganancia directa K. Las trazas de Bode de la ecuación anterior se muestra en la siguiente figura. La curva de magnitud tiene las frecuencias de corte en w=1/aT y 1/T. Ya que las funciones de transferencia de los controladores de adelanto y atraso de fase son idénticas, excepto por el valor de a, el atraso de fase máximo m de Gc ( s ) la curva de fase de la siguiente figura esta dado por: a 1 a<1 a 1 m sen 1 La figura muestra que el controlador de atraso de fase en esencia provee una atenuación de 20 log a en altas frecuencias. Por tanto contrario al control de adelanto de fase que emplea el adelanto de fase máximo del controlador, el control de atraso de fase emplea la atenuación del controlador en altas frecuencias. En el control de atraso de fase, el objetivo es mover el cruce de ganancia a una frecuencia mas baja, en donde se alcanza el margen de fase deseado, mientras se mantiene la curva de fase de las trazas de Bode relativamente sin cambios en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. El procedimiento de diseño para el control de atraso de fase que emplea las trazas de Bode se describe a continuación: 1. Se dibujan las trazas de Bode de la función de transferencia de la trayectoria directa del sistema no compensado. La ganancia de la trayectoria directa K se ajusta de acuerdo con el requisito de desempeño en estado estable. 2. A partir de las trazas de Bode se determinan los márgenes de fase y ganancia. 3. Se localiza, sobre las trazas de Bode, la frecuencia en la que se obtiene el margen de fase deseado suponiendo que el margen de fase será incrementado. Esta frecuencia también es la nueva frecuencia de cruce de ganancia `g , en donde la curva de magnitud compensada cruza al eje de 0 dB. 4. Para llevar a la curva de magnitud hacia abajo a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia `g , el controlador de atraso de fase debe proveer la cantidad de atenuación igual al valor de la curva de magnitud en `g . 5. Se investigan las trazas de Bode del sistema compensado para ver si el requisito del margen de fase se cumple; si no, se reajustan los valores de a y T y se repite el procedimiento. Si las especificaciones de diseño involucran al margen de ganancia, o M r o BW, éstas deben verificarse y satisfacerse.