Documento 242030

E.50 La intensidad del campo eléctrico de una onda plana uniforme con
polarización lineal, que se propaga en la dirección positiva de eje z de un sistema de
coordenadas cartesianas en un medio de extensión indefinida, es igual a
E  l x100cos  x107 t V / m, para z  0 . Si las propiedades del medio son:
  800 ,   0 ,   4S / m . Determine:


a) La constante de atenuación (), la constante de fase () y la velocidad de fase de la
onda.
b) La longitud de onda (), la profundidad de penetración () y la impedancia
intrínseca () del medio.
c) Para cuál distancia (valor de z) la amplitud de E es el 1% de su valor en z = 0.
d) Obtenga las expresiones reales: E(z,t) y H(z,t).
e) Halle E(0,8m,t) y H(0,8m,t).
Solución:
Basados en la estructura de una onda plana uniforme y haciendo uso de los datos
suministrados, podemos escribir:

Ez, t   l x E0 exp z cost  z  l x 100exp z cos 107 t  z

Por consiguiente:
  10 7 rad / seg   f 

 5  10 6 Hz 
2



 180  1
4
 1

10 
 109 80
 36

7
En consecuencia, el medio se comporta como un buen conductor.
a)
  c 
  c 
vf 

 5  106 4  107 4  8,89Np / m
2



 5 106 4 107 4  8,89rad / m
2


 107 

 3,53 106 m / seg
 8,89
358
b)

2
2

 0,707m 
 8,89

1
1

 0,112m 
 8,89




 
j
 5  106 4  107
 1  j
  exp j 
4

4
c) La distancia (z), para la cual la amplitud del campo es igual al 1% de su valor en z =
0.
La atenuación debe ser
exp z1   0,01
Por consiguiente:
z1 
1
4,605
ln100 
 0,518m 

8,89
d) Las representaciones de carácter instantáneo para los campos E y H son las
siguientes:
Ez, t   Rel x E 0 exp z exp jt exp jz 
 l x E 0 exp z cost  z 
 

H
lz  E
 

Hz, t   ReH exp z  jt  exp j z 
 ly
E0
exp z  cost  z 

e)
Para z = 0,8 m
359




V
E0,8; t   l x 0,082cos 107 t  7,11  
m
A
H0,8; t   l y 0,026cos 107 t  1,61  
m
Estos resultados ponen en evidencia cómo se atenúa una onda plana tan
rápidamente al propagarse en un medio conductor.
E.51 Obtenga las expresiones representativas del campo electromagnético (E,H)
dentro de un conductor cilíndrico de radio b, el cual conduce una corriente alterna de
frecuencia f. Suponga que la profundidad de penetración es mucho menor que el radio
del conductor ( b), y obtenga la expresión para calcular la potencia disipada.
Solución:
En la figura E.51-1 se indican los vectores axiales Jz y Ez, conjuntamente con el
vector azimutal H.
Figura E.51-1
La corriente encerrada por la circuitación de H es:
360
2rJ r   H  dl
dH 

2 r   r  H 
 r   2rH  2rJ r
dr


Hr
J
dH
d
 rJ  rH
dr
dr
1 d rH
r dr
Figura E.51-2
Como se puede ver en el esquema representado por la figura E.51-2, la ley de
inducción de Faraday nos permite escribir:

dE  
E1   E 
r 1   jHr 1
dr  

dE
 jH
dr
Si despreciamos la corriente de desplazamiento por tratarse de un buen conductor,
 

 1, obtenemos:

 

H
1 dJ
j dr
361
J
1 d  r dJ 


r dr  j dr 
1 dJ d 2 J

 jJ
r dr dr 2
La solución general de esta ecuación requiere del uso de funciones Bessel. Sin

2 
 , la ecuación se reduce a:
embargo, si   b ,   




d 2J
 jJ
dr 2
y su solución corresponde a la solución de onda plana:
J  A exp r 
donde  2  j   
H

1  j
2
J
A
exp r   0 exp b expr 


En r = b,
J
I
H
 0
2 b 
Por consiguiente:
J0 
I
 J r b
2b
I
~
H  l
exp  r  exp  jt 
2b
~
 I
E  lz  
exp r  exp jt 
   2b
El vector de Poynting complejo es:
362
 I 
~
Ŝ  E  H  

  2b 
2

~ 1
1    I 
 S  Re Ŝ  l r   
 exp 2 b  r 
2
2    2b 
2
La potencia disipada en el conductor:
~
1  I 
I 2
P   S  dS 

 2b1  2 2
2   2b 
4 b 
2
P


1 2
I R ca , potencia disipada por el calentamiento del conductor
2
R ca 

1
1

  /m
2b perímetro    
perímetro x  = área equivalente del conductor = sección por donde circula una
corriente uniforme de intensidad igual a I. En consecuencia podemos establecer la
relación siguiente:
 área geométrica 
  R ca  R cc
R ca  R cc 
 área equivalente 
E.52 Una señal se propaga en un medio dieléctrico con pérdidas, que presenta un
factor de disipación igual a 0,2, para una frecuencia de la portadora igual a 550 kHz. Si
la constante dieléctrica del medio de propagación es igual a 2,5, determine:
a) La constante de atenuación () y la constante de fase ().
b) La velocidad de fase y la velocidad de grupo.
Solución:
1  
  
El factor de disipación =    0,2  1 . Esto significa que    1 .
8   
  
2
363

 0,2 


1


2 550 103   2,5 
 109 
36




 m
  1,53  105 S
 1   2 
2,5
    1      2 550 103
3  108
 8    


  0,0183rad

m



 1
2
1  8 0,2  

  1,53 105

2 
2
vf 

4  107
 1,82 Np 
1
 m


2,5  
 109 
 36

1
 1   2 
 1    
 8    

 1,888 108  m
 seg 
 1    2  3  108
1
1
vg 

1     
  
  8    
2,5
  
 1
2
8m

1  8 0,2    1,907 10  seg 
 es una función no lineal de , por consiguiente, el medio de propagación es un
medio dispersivo.
E.53 Una onda plana linealmente polarizada se propaga en condiciones de espacio
libre, para luego incidir perpendicularmente sobre una superficie perfectamente
conductora. Si la onda se propaga en la dirección positiva del eje z, el campo magnético
tiene dirección 1y, la amplitud de la intensidad del campo eléctrico es igual a 6 mV/m y
la frecuencia es de 100 Mhz.,determine:
a) Las expresiones complejas e instantáneas representativas de los campos E y H en el
aire.
b) El promedio temporal del vector de Poynting en el aire.
c) El valor de z, para que el campo eléctrico sea nulo (E = 0).
Solución:
364
Para una superficie conductora perfecta el coeficiente de Fresnel para reflexión es
igual a -1, para ambas polarizaciones del campo.
  2  108  rad 
 seg 


 2  108 2 rad


m
c
3  108
3


0
4  107

 120 
0
 1 
9

  10
 36 
a) El campo en el aire.
E1  E
inc
E
ref
 
 2 
  jl x 12  103 sen z  V
 3  m



 2 
E1 z, t   l x 12  103 sen z  sen 2  108 t V
m
 3 

H1  H
inc
H

ref


 
 104   2  A
 cos z 
 l y 
m
    3 
 
 104   2 
 cos z  cos 2  108 t A
H1 z, t   l y 
m
    3 

Estos resultados representan una onda estacionaria, como se representa en la
figura E.53-1, para la intensidad del campo eléctrico (E1) asociado con la onda.
b) Promedio en el tiempo del vector de Poynting.
Ŝ 
1  ~ ~ 
Re E  H   0
2 

T
E y H están desfasadas 90º en el tiempo, <S> 
1
cost sen tdt  0
T 0
365
 2 
c) El campo eléctrico es nulo cuando el argumento del sen
z  sea igual a cero, es
 3 
decir
2
z  n ; n  0,1,2,3,...
3
z  1,5nm   n

2
Figura E.53-1 Onda estacionaria de E1.
E.54 Una onda plana uniforme se propaga en el aire para luego incidir
oblicuamente sobre una superficie conductora ideal de gran extensión. Si el campo
eléctrico es perpendicular al plano de incidencia, determine:
a) La corriente inducida sobre la superficie conductora.
b) Promedio en el tiempo del vector de Poynting en el aire.
Solución:
E x, z   l y E 0 exp j1 x sen   z cos 
i
E x, z   l y EE0 exp j1 xsen  z cos 
r
366
H 
i
1
1

H 
r
E0
i
1
1
1

 l x sen  l z cos  E i 
 l x sen  l z cos exp j1  x sen  z cos 
l x sen  l z cos  E r 
E0
r
1
l x sen  l z cos exp j1  x sen  z cos 
Figura E.54-1 Incidencia oblicua sobre una superficie conductora perfecta.
Campo E con polarización perpendicular
E  H   1 ; medio conductor ideal   0
H 1 x , z   H  H
i
 2
E0
1
r
l x cos cos1z cosexp j1 x sen 



 l z jsen  sen1z cos exp  j1 x sen 
367
Jx    l z  H1  l y
E0
cosexp  j  x sen 
60
 c 

a) Ey y Hx están en cuadratura temporal, por consiguiente la onda en dirección z es una
onda estacionaria. El promedio en el tiempo del vector de Poynting <Sz> = 0,
mientras que el promedio en el tiempo del vector de Poynting <Sx> =
2


E 0 
2
sen  sen 2   sen   0 . Esto corresponde a una onda superficial que se
1
propaga paralela a la superficie superconductora (interfaz dieléctrico-conductor).
E.55 Una lámina de corriente de densidad K ubicada en el plano z = 0, irradia
ondas electromagnéticas en las direcciones z. Si un plano conductor se ubica en z = d,
determine el balance de energía electromagnética en la región comprendida entre la
lámina de corriente y el plano conductor, como se indica en la figura E.55-1.
Figura E.55-1 Lámina de corriente frente a un plano conductor
368
(2)
(3)
Figura E.55-2 y 3 Volúmenes de integración para la determinación
del balance de energía electromagnética en la región entre la
lámina de corriente y el plano conductor
Cuando la superficie donde incide la onda es conductora perfecta, los coeficientes
de Fresnel para reflexión son iguales a –1 para ambas polarizaciones. Las componentes
del campo existente en la región indicada son las siguientes:
Campo incidente.
 l x E 0 exp j z  

 z0
E0
inc
H  ly
exp j z 


E
inc
Campo reflejado.
E
ref
H
ref
 l x  H E 0 exp jz  

 z0
E0
 l y  H
exp jz 


Para el conductor perfecto, con H  1 , tenemos:
Campo total.
369
E  lx
K
exp  jz   exp  jz  2d 
2
H  ly
K
 exp jz   exp jz  2d 
2
E zd  0 , es decir:
exp jd   exp jexp jd   0 . Por consiguiente,
E
K
  - 2d  y  0    0  para satisfacer las condiciones de borde en la


  2
fuente.
1
d
1 K 0
WE    dx  dy 
2
0
0 4
0
1

0 K 0 
Wm  
2
exp j z   exp j x exp  2  dz


 d 

2 d
4
 sen z  d dz
2
0
 0  K 0 
4
2 d
 cos z  d dz
2
0
 K 
Wm   WE   0 0
4
2 d
 cos 2z  d dz
0
 K 
 0 0 sen 2d
8
2
Podemos observar, sobre la base de estos resultados, que existe un desbalance
entre las energías, excepto cuando 2d  n . Para el primer cuarto de onda el medio
conductor se presenta como una carga inductiva para la fuente y el siguiente cuarto de
onda se presenta como una carga capacitiva.
Si calculamos el flujo de potencia a través de la superficie dA, figura E.55-2, en
z=0, obtenemos:
370
1
1
0
0
P1   dx  dy  S z  z 0
 E x H y
z 0
K 0 
 4 jsen  d cos d 
2
4
K 0 
 j
sen 2 d
2
2
Con    , en esta región tenemos:
P2  4 jWm   WE    0
Esto quiere decir, que cualquier desbalance en la energía almacenada debe ser
suplido por el flujo suplido por el vector de Poynting reactivo que hemos obtenido.
Si consideramos la región indicada en la figura E.55-3, en la cual se incluye la
fuente, usamos los campos en z = 0+, es decir:
P2   E x H y
K 0 
2

1  exp 2   K 0 sen d 

d


4
2
z 0
2
Este resultado es real y positivo, y representa la potencia irradiada por la fuente en
dirección –z. La energía equivalente irradiada al igual que el desbalance de energía
almacenada deben ser suplidas por la fuente.
Para determinar la potencia suministrada por la fuente debemos integrar el
producto del campo E paralelo a la lámina por la corriente en la fuente, sobre el área de
la lámina de corriente, es decir:
1
1
0
0
Pf    dx  dyEx K x
K 0 

2 sen 2 d  jsen 2d
2
2
z 0
 Kx Ex
z 0


 P2  4 jWm   WE  
Si en z = d, la superficie considerada fuese la de un conductor normal
(conductividad finita), la onda incidente penetraría en el material y se atenuaría
rápidamente. La onda reflejada tendría una amplitud ligeramente diferente a la obtenida
371
en el caso de la superficie superconductora que hemos analizado. Por supuesto el campo
eléctrico en la superficie de conductividad finita no será igual a cero, ni la amplitud del
campo magnético alcanzará a ser el doble de la intensidad del campo magnético
incidente. En este caso, la fuente tendrá que suministrar energía adicional para satisfacer
los requerimientos de potencia real y potencia reactiva que constituyen el flujo de
potencia hacia el interior del medio conductor. Este flujo de potencia es igual a:
1
1 j
K 0 2
P   dx  dy  E x H y    



z d
0
0
1
Esto nos indica que la fuente ve al conductor como un inductor con pérdidas. Esto
implica que Wm   WE .
E.56 Una onda plana se propaga en el aire para luego incidir perpendicularmente
sobre la superficie de un medio dieléctrico que ocupa el semiespacio (z > 0), siendo la
amplitud del campo eléctrico incidente E0 y su frecuencia de 3 GHz. Determine las
expresiones de los campos eléctrico y magnético, y halle la distancia a la cual las
amplitudes de los campos es la mitad de su valor a z = 0. El medio es poliestireno con la
siguientes características:
'   2,54 0
' ' 
 2,5 104
' 
Solución:
La onda incide desde el aire (vacío), y se encuentra en z = 0 con un medio de
diferentes propiedades eléctricas de propagación, por lo tanto, se producirá una
reflexión de cierta fracción del campo incidente, mientras que la otra parte pasará al
segundo medio. Este medio es poliestireno, que a altas frecuencias presenta pérdidas, es
decir, absorbe parte de la energía de la onda que por él se propaga, y consecuentemente
va disminuyendo su amplitud. En general, la expresión para una onda progresiva que se
propaga en la dirección z, en un medio dieléctrico lineal, homogéneo e isótropo es:
E  E 0 exp jt  z
donde hemos supuesto una onda plana y siendo la constante de propagación:
' ' 

    j  j 0 ' j' '  j 0' 1  j 
' 

372
De acuerdo con la ley circuital para un medio dieléctrico, podemos escribir:
~
~
~
~
  H  jE  j' j' 'E  ' ' j'E
Por consiguiente, ' ' representa la conductividad equivalente del dieléctrico de
bajas pérdidas. Para un dieléctrico de bajas pérdidas (/) << 1, y el factor de
propagación es igual a:
d 
d
2
0
' ' 0
 j  0' 
 j  0'
'
2
'
El campo eléctrico en el dieléctrico será:
 

 ' '  0 
E d  E1 exp 
z  exp  j t    0 ' z
2

'


Si la amplitud del campo eléctrico incidente es E0, la amplitud del campo eléctrico
en el dieléctrico es : E 0 , donde  representa el coeficiente de transmisión de Fresnel,
es decir:

2d
d   0
0 
0
 120 Ohm 
0
d 
0
0
0 
' ' 


1  j  ; ' '  '

' j' '
' 
2' 
Resulta que la impedancia del dieléctrico es un número complejo, y esto produce
un desfasaje entre el campo eléctrico y el campo magnético, es decir:
373

 E~   E exp z  exp j t  z   
0

 1



~   E 0 exp z  exp  j t  z     
H
1



d
La distancia a la cual el campo tiene una amplitud igual a la mitad de E0, es
aquella en la cual:

E1  z   E0  exp  z  
z


E0

2
ln2 



' '  0 2 3 109 2,54 2,5 104  109  120 





2
'
2
 36  2,54 
 np 
 2,5 2,54 103  1,252102  
m
z
0,693 2
10  55,36m 
1,252
La onda ha penetrado en el dieléctrico una distancia z  0,7.
E.57 Una onda plana monocromática de 100 MHz, cuya amplitud del campo
eléctrico es E0 = 100 V/m incide normalmente sobre la superficie de una placa de
aluminio de gran extensión, y de 1 mm de espesor. Si a ambos lados de la placa el
medio es aire, determine el promedio en el tiempo del vector de Poynting transmitido a
través de la placa.
Solución:
La onda plana incidente se puede representar en la siguiente forma:
E
inc
 E0 exp jt  z
Para calcular el vector de Potnting de la onda transmitida por la placa es necesario
conocer el campo electromagnético, en su forma E o H. Con este fin analizaremos el
problema sobre la base de las múltiples reflexiones internas que pueden ocurrir dentro
del material, de acuerdo a la frecuencia de la onda, el espesor de la placa y las
374
características constitutivas del material. En la figura E.57-1 se representan
esquemáticamente las ondas reflejadas y transmitidas en las dos interfaces matemáticas
que constituyen los límites internos y externos de la placa.
Figura E.57-1 Transmisión de ondas planas a través de una placa metálica
La onda incidente se encuentra en z = 0 con una discontinuidad y por lo tanto, en
parte será reflejada y en parte transmitida. Como este frente de onda que llega a z = 0 no
ha alcanzado todavía el extremo de la placa ubicado en z = a, se comenzará a propagar
como si la placa tuviese un espesor infinito. Al alcanzar sucesivamente los extremos de
la placa se producen reflexiones y transmisiones subsiguientes como se indica en el
esquema de la figura E.57-1. Por consiguiente, podemos escribir las correspondientes
expresiones representativas de cada una de esas ondas, por ejemplo:
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
.....
12 E0 exp a 
12 E0 exp 2a 
312 E0 exp 2a 
312 E0 exp 2a 
312 E0 exp 3a 
232 12 E 0 exp 3a 
2312 E 0 exp 3a 
Los coeficientes de reflexión 2 y 3 caracterizan las reflexiones internas en las
interfaces conductor-aire, por consiguiente son iguales, 2 = 3. Por razones similares,
2 = 3.
375
La onda transmitida total será la suma de todas las componentes que se vayan
generando en la interfaz z = a, es decir:


E za  12 E 0 exp a 1  2 exp 2a   2  
2
4
Si se tiene en cuenta que para un buen conductor, como lo es el aluminio, (4x107
S/m), la atenuación de la onda que por él se propague será considerablemente alta, ya
que:

2
79,5
mm

7
7
2f 4  10 4  10
f
Para la frecuencia de 100 MHz y un espesor de la placa a = 1 mm, tenemos:
  79,5 104 mm  1mm
Este resultado nos indica que:
E t  12 E0 exp a 
y el vector de Poynting promedio de la onda transmitida resulta ser:
St  
0 
12
20

E 0 exp  2a
2


0
1  j  3,14103 Ohm
 120; c 
0

0  c
1 
2c
2
20
 c ; 2 
2
c  0
0
0  c

St   8 10118 W
m2

Cantidad totalmente despreciable. Esto nos indica cómo una placa de aluminio
puede actuar a modo de una efectiva pantalla de los campos electromagnéticos (blindaje
eléctrico).
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