PRUEBA ÚNICA

PRUEBA ÚNICA
1. La ingeniera María Laura hace una encuesta para saber si es rentable comercializar
vino en polvo y vino en cubitos con los siguientes resultados: el 72,727272...% de
las personas encuestadas no compraría vino en polvo y, el 74,594594...% de las
personas encuestadas no compraría vino en cubitos. ¿Cuál es el número mínimo de
personas a las que se le pasó la encuesta?
Solución
Transformamos los números con decimales periódicos a fracciones.
72 8
72,7272 ...%  0,727272 ...  0, 72 

99 11
74594  74 74520 138
74,594 ...%  0,74594594 ...  0,74594 


99900
99900 185
Las fracciones irreducibles 8
y 138
representan respectivamente los
185
11
porcentajes obtenidos en las encuestas: 72,7272...% y 74,594594...%; para
determinar el número mínimo de personas a las que se encuestó obtenemos el
mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones.
MCM (11;185)  2035
Lo que nos dice que 1480 de 2035 opinaron que no compraría vino en polvo.
1480
 0,727272 ...
2035
También que 1518 de 2035 opinaron que no comprarían vino en cubitos.
1518
 0,74594594 ...
2035
2. Mateo ha escrito dos libros que suman, entre los dos, 356 páginas. El formato del
primero es de 20 cm. x 15 cm. y del segundo 17 cm. x 12 cm. Si extendiesen las
hojas de los dos libros, cubrirían 4,2264 m2. ¿Cuántas páginas tiene cada libro?
Solución
Si entre los dos libros suman 356 páginas, quiere decir que el número total de
hojas es 178 (recordar que en la numeración de los libros, entran 2 páginas por
hoja).
El número de hojas del libro 1 será x ; mientras que en el libro 2 será 178  x .
El área cubierta por cada hoja del libro 1 es 20  15  300cm2 ; mientras que en el
libro 2 el área es 17  12  204cm2 .
La ecuación expresada en cm2 será:
300x   204178 x   42264
300 x  36312  204 x  42264
96 x  42264  36312
96 x  5952
x  62
Concluimos que el libro 1 tiene 62 hojas o 124 páginas y el libro 2 tiene 116 hojas o
232 páginas.
3. Ocho carros de carrera; con marcas y colores diferentes están alineados uno junto
a otro, en la línea de partida como muestra la figura. Establezca el orden de los
vehículos, determinando el respectivo color y marca de cada uno, en base a la
siguiente información, proporcionada por el reportero Guillermo G., quien estaba
situado justo frente a ellos:
El Renault está justo entre el carro rojo y el verde.
El carro rojo está a la izquierda del Lotus.
El Mclaren es el segundo carro a la izquierda del Renault y es el primero a la
derecha del carro blanco.
El Porsche no tiene carro a su derecha y está después del gris.
El carro gris está justo entre el Porsche y el carro amarillo.
El BMW no tiene carro a su izquierda, y está a la izquierda del carro plateado.
A la derecha del carro Plateado está el Honda.
El Lotus es el segundo carro a la derecha del azul y segundo a la izquierda del
carro negro.
El Ferrari es el segundo carro a la izquierda del Mercedes.
Solución
Cada posición debe tener un color y una marca.
Numerando los vehículos para referencias en la solución llegamos a lo siguiente:
 El Porsche debe ir en la posición 8 y el gris en la 7 por el literal d
 El BMW ocupa la posición 1 y el plateado la 2 por el literal f







El amarillo la posición 6 por el literal e
El Honda la posición 3 por el literal g
El rojo puede ocupar las posiciones 1, 3, 4 y 5, también el Lotus la posición 2, 4,
5 y 6 por el literal b. Se descarta de Lotus las posiciones 2, 4 y 5 por el literal
h; por lo tanto Lotus ocupa la posición 6 y el carro rojo ocupa automáticamente
la posición 5.
Renault ocupa la posición 4 y el carro verde la 3 por el literal a.
El carro azul ocupa la posición 4, mientras que el negro la posición 8 por el
literal h.
El Mclaren tendrá la posición 2 y el blanco la 1 por el literal c.
Finalmente Ferrari tendrá el lugar 5 y Mercedes el 7 por el literal i.
Las posiciones son:
BMW
Mclaren Honda
Renault
Ferrari
Lotus
Blanco
Azul
Rojo
Amarillo
Plateado
Verde
Mercede
s
Gris
Porsche
Negro
4. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
x 2  y 2  4

y  x  m
a) Determine los valores de “m” para los cuales las soluciones del sistema,
analizando sólo la variable “x” consisten en:
1º ) Una sola raíz real
2º ) Dos raíces reales diferentes
3º ) Dos raíces complejas (ninguna raíz real)
4º ) Dos raíces reales numéricamente iguales pero de signos diferentes.
5º ) “x = 2” y “x = 0”
b) Si “p” y “q” son las soluciones en “x” del sistema. Determine cuál de las
1
1
siguientes alternativas representa el valor de la expresión:
 2.
2
p
q
Justifique su respuesta.
(
) 4m 2  16
(
)
m
16
2
 4
2
2m 2  8
(
)
(
) Ninguna de las anteriores
m
2
4

2
Solución
Sustituyendo y  x  m en la ecuación x 2  y 2  4 se obtiene:
(
x 2  x  m  4 ; desarrollando, reduciendo y ordenando se obtiene:
2
) m2  8
2 x 2  2mx  m 2  4  0
Esto es una ecuación cuadrática de la forma ax2  bx  c  0 ; donde:
a  2; b  2m; c  m 2  4
Determinamos los valores de “m” de acuerdo a las condiciones propuestas:
Literal a. Numeral 1.
Para que la solución en “x” sea una sola raíz real se debe dar que el discriminante
debe ser 0. ( b 2  4ac  0 ).
2
Esto genera la ecuación 2m  42 m2  4  0 ; desarrollando, reduciendo y
ordenando se obtiene: 4m 2  8m 2  32  0  4m 2  32  0  m 2  8  0
De ahí la solución es m   8 ó m  2 2
Literal a. Numeral 2.
Para que la solución en “x” consista en dos raíces reales diferentes se debe dar que
el discriminante debe ser mayor que 0. ( b 2  4ac  0 ).
2
Esto genera la inecuación 2m  42 m2  4  0 ; desarrollando, reduciendo y




ordenando se obtiene: m  8  0
De ahí la solución es m   ,2 2  2 2 , 
2

 

Literal a. Numeral 3.
Para que la solución en “x” consista en dos raíces complejas se debe dar que el
discriminante debe ser menor que 0. ( b 2  4ac  0 ).
2
Esto genera la inecuación 2m  42 m2  4  0 ; desarrollando, reduciendo y


ordenando se obtiene: m  8  0
De ahí la solución es m   2 2,2 2
Literal a. Numeral 4.
Para que la solución en “x” consista en dos raíces reales numéricamente iguales
pero de signos diferentes se debe dar que de la ecuación cuadrática de la forma
c
ax2  bx  c  0 , el valor de b  0 y el cociente  0 .
a
Esto genera la ecuación 2m  0 que concluye con la única posibilidad m  0 .
c
m2  4
 0 . Por lo tanto “m” queda
Por otro lado  0 ; lo que genera la inecuación
a
2
restringida al intervalo m   2,2 .
Juntando las dos condiciones tenemos que la solución es m  0 .
Literal a. Numeral 5.
Para que la solución en “x” consista en dos valores específicos como “x = 2” y “x =
0”; reemplazamos estos valores en la ecuación y resolvemos el sistema.
“x = 2”
“x = 0”
2
2
2
22  2m2  m  4  0
20  2m0  m2  4  0
2

m 2  4m  4  0
Formando el sistema se obtiene:
m 2  4m  4  0
 2
m  4  0

m2  4  0
Reduciendo obtenemos 4m  8 y de ahí m  2
5. Daniel intercambió los dígitos de un número de 3 cifras de modo que ningún dígito
quedó en su posición original. Después restó el número original menos el nuevo
número y el resultado que obtuvo fue un número de 2 cifras que es un cuadrado
perfecto. Halle todos los resultados que pudo obtener Daniel.
Solución
Sea abc  a102  b10  c el número original.
Al intercambiar las cifras para que ninguna quede en su posición inicial, sólo se
pueden tener dos números:
bca  b102  c10  a y cab  c102  a10  b
Para el primer caso la resta de Daniel es abc  bca ; es decir,
a102  b10  c  b102  c10  a  99a  90b  9c  911a  10b  c
Para el segundo caso la resta de Daniel es abc  cab ; es decir,
a102  b10  c  c102  a10  b  90a  9b  99c  910a  b  11c




En ambos casos el número final es 9; por lo tanto el número final es un cuadrado
perfecto, de dos cifras y múltiplo de 9. Hay sólo dos números con estas tres
condiciones: 36 y 81.
Ambos son posibles pues:
756-675=81
928-892=36.
6. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se forman tres números A, B y C de tres
dígitos distintos cada uno, usándose siempre los nueve dígitos. ¿Se puede lograr
que ninguno de los tres números A, B y C sean múltiplos de 3?
Cualquiera sea su respuesta justifíquela, exponiendo los argumentos que la
generaron. En caso de responder afirmativamente cite 3 ejemplos que cumplan la
condición enunciada.
Solución
La respuesta es sí se puede.
Haciendo un análisis de divisibilidad para 3, podemos agrupar los dígitos de acuerdo
al residuo que dejan.
Residuo 0 al dividir Residuo 1 al dividir Residuo 2 al dividir
para 3
para 3
para 3
3
1
2
6
4
5
9
7
8
Todo número de 3 cifras formado por tres dígitos de un mismo grupo es múltiplo
de 3; también todo número de 3 cifras formado por un dígito de cada uno de los
tres grupos es múltiplo de 3.
Por lo tanto debemos formar los números con dos dígitos de un mismo grupo y el
restante de otro grupo. Existen muchas formas de hacerlo, por ejemplo:
361, 472 y 589
694, 178 y 253
937, 145 y 826
7. Sean “a” y “b” números reales distintos tales que:
todos los posibles valores de
ab
.
ab
2a 2  2b 2  5ab .
Hallar
Solución
Podemos completar el trinomio cuadrado perfecto, tanto para la suma como para la
resta.
2a 2  2b 2  5ab
2a 2  2b 2  5ab
2a 2  4ab  2b 2  5ab  4ab
2a 2  4ab  2b 2  5ab  4ab
2 a 2  2ab  b 2  9ab
2 a 2  2ab  b 2  ab

2a  b  9ab
a  b 2  9 ab
2


2a  b  ab
a  b 2  1 ab
2
2
Dividiendo estos resultados
a  b2  9 2 ab
a  b2 12 ab

2
parciales se obtiene:
ab

 9
 a b
2
Y de aquí:
ab
 3
ab
8. Para cada entero positivo “n” sea p(n) el número de pares ordenados (x, y) de
enteros positivos tales que:
1 1 1
 
x y n
Por ejemplo, para n = 2 los pares son (3,6); (4,4); (6,3). Por lo tanto p(2) = 3.
Determinar p(2005)
Solución
Desarrollando la expresión
1 1 1
 
y n x
1 xn

y
nx
1 1 1
  para “y” se obtiene:
x y n
nx
nx  n 2  n 2
y
y
xn
xn
n x  n 
n2
y

x.  n
xn
nx  n 2
n2
y

xn
xn
n2
y  n
xn
n2
   ; entonces
Debido a que n, y    ; entonces se tiene que cumplir que:
xn
x  n debe ser un factor de n 2 ; entonces n 2  x  n .
2
Para n  2005 , se deben hallar todos los factores de 2005 .
Los factores de 2005 son 1, 5, 401, 2005.
Los factores de 20052 son 1, 5, 25, 401, 2005,10025, 160801, 804005 y 4020025;
obtenidos a partir de los factores de 2005.
Todos estos factores corresponden a la expresión x  n  x  2005 .
A partir de aquí se encuentran los pares ordenados.
x  2005  1
x  2006
20052  2005 4020025
y  4022030
Por lo tanto: y  2005
1
El primer par ordenado sería: 2006,4022030
x  2005  5
x  2010
Por lo tanto: y  2005
20052
 2005 804005
5
El primer par ordenado sería: 2010,806010
Así para cada una delas expresiones obteniendo:
2030,162806
2406,12030
4010,4010
12030,2406
162806,2030
806010,2010
4022030,2006
Por lo tanto: p2005  9
y  806010