La filosofía de la matemática del segundo Wittgenstein: El problema de la objetividad de la prueba matemática. por Marcelo Mendoza Hurtado 0. En relación con el problema de la naturaleza de la necesidad involucrada en una prueba matemática se ha caracterizado la posición del segundo Wittgenstein como un “convencionalismo radical”. En términos muy generales, el convencionalismo en filosofía de la matemática sostiene que 1) no hay objetos matemáticos (ni lógicos) y 2) que toda necesidad matemática (y lógica) es de índole lingüística. Frente al convencionalismo moderado que sostiene que, una vez fijados a voluntad los puntos de partida (premisas y reglas), todo paso ulterior está completamente determinado, el convencionalismo radical sostiene que también los pasos ulteriores de una prueba están sujetos a decisión y que no hay nada que obligue a aceptar un paso u otro. Se le ha atribuido esta posición al segundo Wittgenstein debido a su consideración relativa a la naturaleza de “seguir una regla”: desde un punto de vista lógico se daría una indeterminación entre una regla y sus casos de aplicación, ni la regla por sí sola determinaría cuáles son sus casos, ni los casos por sí solos determinarían de qué regla son casos. Aquello que vincula una regla y sus casos de aplicación sería de muy otra naturaleza: se trataría, según el filósofo, de una práctica y quizá –pues en este punto discrepan los intérpretes- de una práctica social.1 También se le ha atribuido al segundo Wittgenstein una consecuencia que supuestamente se derivaría del convencionalismo radical: hacer imposible toda noción de “objetividad” relativa a las pruebas matemáticas. Esto quiere decir que, no sólo faltaría todo apoyo ontológico para una prueba – cosa característica de todo convencionalismo-, sino que también dejaría de tener sentido toda noción de “objetividad epistémica”.2 Ahora bien, si se examinan las Observaciones sobre los fundamentos de la matemática (OFM), ¿es correcta esta caracterización de la posición de Wittgenstein y se sigue realmente esa consecuencia de sus discusiones sobre la prueba matemática? Quisiera mostrar que no se sigue, en particular si se tiene en cuenta que, aunque el convencionalismo radical no es una caracterización incorrecta del pensamiento del filósofo, es del todo insuficiente para dar cuenta de la complejidad del mismo. A mi criterio, si uno se guía por esa caracterización, no se comprende en qué consiste el “convencionalismo” del segundo Wittgenstein, i.e. cuál es lugar preciso de intervención de las convenciones en las pruebas matemáticas y por qué ello no significa el imperio de la arbitrariedad. 1 Tanto la caracterización del convencionalismo radical como la atribución del mismo al segundo Wittgenstein proceden de M. Dummett (1959), 243-264. Cito los textos según la Bibliografía presente al final de este trabajo. Todas las traducciones al español de textos de Wittgenstein caen bajo mi responsabilidad. 2 Cfr. Dummett (1959), 243-264. 2 En lo que sigue, me referiré en primer lugar a la nueva concepción de la necesidad lógica que opera en las OFM. Luego, explicaré algunos aspectos de la noción wittgensteiniana de la prueba. Y por último, discutiré el problema de la objetividad. 1. En términos muy esquemáticos, cabe decir, en relación con el problema decisivo de la naturaleza de la necesidad lógica, que, frente a la pregunta “¿qué significa “conocer” una proposición matemática?”, Wittgenstein insiste en que no tiene sentido ni afirmar ni negar la posibilidad de ese “conocimiento” como si se tratara del conocimiento de oraciones empíricas, pero no porque no haya necesidad alguna ni porque sea totalmente inaccesible, sino porque no es en absoluto del orden de lo descriptivo. La necesidad lógica es más bien del orden de lo normativo, i.e. algo cuya explicación exige la intervención de la decisión y la acción que establecen convenciones. Así, el Libro I de las OFM se abre con el siguiente planteo. Contra el platonismo residual del Tractatus logicophilosophicus (TLP), Wittgenstein comienza criticando la noción de “inexorabilidad matemática” y a continuación la noción de “necesidad lógica” como posible refugio para aquel que no se haya convencido de la crítica a la primera noción. Y recién después de haber puesto en claro el sentido en el que está dispuesto a aceptar el concepto de necesidad, queda el terreno despejado para comenzar a explicar su concepción de la prueba matemática. Así parece que, si no se aceptaran estas críticas de Wittgenstein vinculadas a los problemas ligados a la naturaleza de “seguir una regla”, entonces su concepción de la prueba matemática, aunque muy rica en sugerencias, no llegaría a tener el poder de convicción requerido para su aceptación. En las OFM I.4 Wittgenstein señala lo siguiente: “Pero, entonces, ¿en qué consiste la peculiar inexorabilidad de la matemática?” -¿No sería un buen ejemplo la inexorabilidad con la cual dos sigue a uno y tres a dos? –Pero es de suponer que esto significa: sigue en la serie de los números cardinales; pues, en una serie diferente, sigue algo diferente. Y ¿no está esta serie definida precisamente por esta secuencia? –“¿Hay que suponer que esto significa que es igualmente correcto cualquiera sea la manera en la que una persona cuente y que cualquiera puede contar como le venga en ganas?” –Es de suponer que no hablaríamos de “contar”, si todos dijeran los números uno después de otro de cualquier manera; pero, por supuesto, no es simplemente una cuestión de nombres. Porque aquello que llamamos “contar” es una parte importante de las actividades de nuestra vida. Contar y calcular no son –p. ej.- un mero pasatiempo. Contar (y eso significa: contar de este modo) es una técnica que se emplea diariamente en las más diversas operaciones de nuestras vidas. Por eso, aprendemos a contar como lo hacemos: con práctica sin fin, con exactitud sin piedad; por eso, se insiste de manera inexorable en que todos digamos “dos” después de “uno, “tres” después de “dos” y así siguiendo. – 3 “Pero, en definitiva, ¿es este contar sólo un uso? ¿No hay además una verdad que le corresponda a esta secuencia?” La verdad es que contar ha resultado ser provechoso. – “Entonces, ¿quieres decir que “ser verdadero” significa: que se puede usar (o que es útil)?” –No, eso no; sino que no se puede decir de la serie de los números naturales –al igual que de nuestro lenguaje- que es verdadero, sino: que se puede usar y, sobre todo, que se usa. Este texto plantea las cuestiones decisivas: a) No tiene sentido hablar de números aislados, todo número pertenece a una serie y, más en general, a un sistema cuyas reglas (su sintaxis) establece su significado (cfr. OFM VI.11, VII.18, I.10 y ss., I.81, VI.41). S. Shanker3 señala que una de las mayores innovaciones de Wittgenstein en los años treinta consistió en abandonar el modelo característico del TLP de un “único cálculo amorfo subyacente al lenguaje natural” y en adoptar una concepción del lenguaje caracterizada por “una red compleja de cálculos que se interrelacionan”, un conjunto de “sistemas proposicionales (Satzsysteme) autónomos, cada uno de los cuales constituye un espacio lógico distinto”. Esto equivalía a abandonar la concepción referencial del significado propia del TLP en favor de una concepción según la cual una palabra sólo tiene significado en el contexto de su sistema proposicional y ese significado es la totalidad de reglas que gobiernan su empleo en ese sistema. b) Una serie particular de números es algo definido como tal serie, es el resultado de una estipulación. Se da el caso de que a determinadas series las llamamos ‘contar’ y a otras no, de manera que son nuestras prácticas las que delimitan una función y un significado. Si se supone que una fórmula o una orden, por ejemplo la fórmula y = x2 o la orden + 3, determinan por completo y de antemano todos los pasos a seguir, la serie completa de sus aplicaciones, Wittgenstein replica que diferentes clases de empleo de una misma fórmula que responden a diferentes clases de instrucción (Erziehung, Abrichtung) determinan de manera diferente los pasos. Esto significa que aquello que llamamos ‘fórmula’ siempre es una fórmula de una clase particular cuyo significado está ligado a los métodos apropiados para su empleo adquiridos en una determinada instrucción (OFM I, 1-3). c) ¿Es mera cuestión de nombre? Esta pregunta apunta a dos cuestiones distintas: 1. ¿Carece de importancia, es un simple juego? No, entre las prácticas humanas las de contar y medir desempeñan un papel vital central, de ahí que la inexorabilidad de la matemática se deba, en parte, a la inflexibilidad de la instrucción, como en el caso de la interiorización de una norma social (cfr. OFM I.116). 2. ¿Es arbitraria, no hay nada que le corresponda y garantice su verdad? Es muy importante entender correctamente la respuesta de Wittgenstein a este interrogante. La pregunta misma encierra un planteo platónico: o hay algo que le “corresponda” y así garantiza su verdad o es arbitraria. Se trata de una falsa disyuntiva, pues puede no ser arbitraria sin que nada le corresponda. Esto lleva a la 4 siguiente pregunta: ¿De qué se “puede” decir que ‘es verdadero’ o que ‘es falso’? No de un paradigma, de un modelo, de un patrón de medida, en definitiva del lenguaje mismo. De un paradigma cabe decir que se puede emplear o que es inservible y, además, que se usa, que tiene vigencia. Si esto es así, entonces hay que distinguir entre proposiciones empíricas y proposiciones “gramaticales” (OFM I.110 y 111). Pero no se trata de ‘proposición’ en el mismo sentido, como si siempre describiera algo, sólo que en un caso sería un tipo de realidad y en otro otro tipo. Se trata de una distinción en la manera de empleo. Las proposiciones empíricas emplean paradigmas para decir algo sobre la realidad que puede ser verdadero o falso y su verdad o falsedad depende de la realidad. La verdad no debe ser confundida con la utilidad. Las proposiciones gramaticales son normativas, ellas estipulan “sentidos” mediante los cuales es posible hablar de lo real. Según Wittgenstein las proposiciones matemáticas son de este segundo tipo: ellas establecen formas de representación (Darstellungsweisen o Darstellungsformen, OFM I.121 y 167). Esto no tiene que sorprender. Aquí hay una doble herencia del TLP. Por un lado, el TLP distinguía entre “demostrar algo en la lógica o en la matemática” y “demostrar algo con la lógica o la matemática”: en el primer caso se trataba del orden del lenguaje con “proposiciones” que diferían de las auténticas proposiciones (i.e. descripciones con sentido verdaderas o falsas). Por otro lado, una vez liquidada la noción tractariana de “forma lógica de la figuración” (TLP 2.18, 2.181, 2.182), como forma única y omnicomprensiva de la realidad, pasan al primer plano las múltiples y diversas “formas de la representación” (Form der Darstellung) que no están determinadas ni por lo empírico ni por ninguna forma lógica platónica. En el marco del TLP, se trataba del elemento más convencional de la representación ligado a diversas técnicas de representación. d) La frase “la verdad es que contar ha resultado ser provechoso” se refiere al problema de las regularidades empíricas presupuestas en el aprendizaje, empleo e invención de paradigmas. Un paradigma que puede perder su “base” de empleo, puede dejar de ser útil. Cuando, por ejemplo, contamos manzanas tal como habitualmente lo hacemos, ellas no desaparecen en medio de nuestra cuenta (cfr. OFM I.37 y 112). Wittgenstein se refiere también a ejemplos en los que sería útil emplear “reglas elásticas”. La realidad empírica puede “sugerir” u “orientar” –aunque nunca determinar- en la tarea de inventar un paradigma; algunos paradigmas han sido creados con alguna finalidad en tal o cual circunstancia. Estas consideraciones muestran que no hay un abismo entre lo empírico y lo gramatical. La diferencia concierne, como se vio en el punto c), a la manera de empleo de una proposición: “Toda proposición empírica puede servir como una regla si es fijada, como la pieza de una máquina, inmovilizada, de manera que ahora toda la representación gira en torno a ella y se convierte en parte del sistema de coordenadas, independiente de los hechos.” (OFM VII.74) Pero entonces, ¿no habría necesidad lógica? ¿Cómo entender una inferencia desde el punto de vista lógico? Tampoco las reglas de inferencia corresponderían a ningún de tipo de realidad. El platónico 3 S. Shanker (1987), 6 y ss. 5 supone que hay una correspondencia con una realidad “muy abstracta, muy general y muy rígida” y que la lógica es como “una especie de ultrafísica, la descripción de la “estructura lógica” del mundo que se percibe a través de una especie de ultra experiencia” (OFM I.8) Pero esta ilusión proviene de cosificar una manera de emplear nuestras expresiones cuando se refieren a conceptos y no a hechos (OFM I.6, 72, 73; I.9). 2. Cabe aproximarse a la concepción wittgensteiniana de la prueba matemática a través de las nociones de experimento y paradigma (patrón de medida). Cuando Wittgenstein insiste en la pregunta “¿Qué significa que una proposición se siga de otra?”, presta suma atención a las construcciones sígnicas efectivas mediante las que se alcanza un cierto resultado (cfr. p. ej. OFM III.27). Cuando se busca averiguar algo a través de construcciones gráficas o sígnicas, se hace un uso “temporal” de esas construcciones: se realiza un experimento que obtiene un resultado mediante un procedimiento constructivo. Ese resultado, al igual que el procedimiento, tiene el carácter de un hecho. No tiene sentido decir que el resultado es incorrecto. En cambio, en el caso de un cálculo, una derivación formal o una deducción informal, tiene pleno sentido decir que el resultado es correcto o incorrecto. Con todo, sin suprimir las diferencias, las pruebas matemáticas no dejan de tener relaciones importantes e interesantes con experimentos. Por lo pronto, una misma construcción sígnica puede ser o una prueba o un experimento sin que haya diferencia alguna, ni física (la realidad observable es siempre la misma) ni mental (no es posible apelar a los eventuales acompañantes “internos” o mentales). La diferencia radica en el uso que se hace de la construcción sígnica: en un caso tiene un carácter fáctico y temporal y en el otro un carácter o función normativa y no temporal. La prueba ofrece un paradigma de la manera correcta de obtener un cierto resultado mediante la realización de ciertas transformaciones sígnicas; ese paradigma no es otra cosa que una construcción sígnica que ha sido instituida como modelo de la corrección del resultado del procedimiento. Mientras que en el caso del experimento proceso y resultado son distintos, en el caso de la prueba el resultado y el proceso forman el todo paradigmático. De este modo se fija como interna una relación externa. Ahora bien, ¿cómo tiene lugar esa fijación, cómo se pasa del hecho al concepto? La respuesta que Wittgenstein ofrece se vincula a su tesis convencionalista fuerte: no habiendo intelección alguna de la correcta aplicación de una regla (cfr. la entrada ‘intuition’ en el Index de las OFM), es mediante una definición estipulativa (OFM I.41) que se erige una construcción sígnica en paradigma y adquiere así un valor normativo. Una prueba no investiga hechos, sino que crea “esencias” (cfr. OFM I.73 y 74, 99, 102-105). Pero, precisamente aquí, es muy importante distinguir de inmediato entre el plano de la prueba matemática en el cual se construye un paradigma y el plano de la aplicación del resultado en el cual, una vez aceptada la norma, se hace uso de ella. No es lo mismo construir y estipular el metro patrón (y todos los problemas fácticos y constructivos que están involucrados en esa tarea) que usarlo para medir (tarea que tiene el valor de un experimento, pues los experimentos usan paradigmas). 6 Entonces, hasta aquí tenemos que: 1. una misma figura o proposición puede tener un empleo temporal (experimento) o un empleo no temporal (prueba); 2. las definiciones, al estipular paradigmas (i.e. al insertar una decisión en un sistema de decisiones, OFM III.27), hacen posible el empleo no temporal de una figura; 3. el paradigma funciona como un patrón de medida, i.e. es empleado para medir otra cosa de manera que no tiene sentido preguntar cuánto mide el patrón de medida; 4. la relación entre proceso y resultado, o es externa (experimento), o se estipula como interna (prueba), de este modo se crea una esencia o se introduce un nuevo concepto (cfr. OFM I.99 y 102); 5. las pruebas son experimentos “congelados” o “filmaciones” de un experimento (la filmación se puede repetir sin que esté indeterminado el resultado que se haya de obtener en cada caso); 6. los teoremas (los resultados) tienen el carácter de reglas o enunciados gramaticales disfrazados debido a su presentación proposicional. Ahora bien, no es posible finalizar esta breve aproximación a la concepción wittgensteiniana de la prueba sin mencionar una cuestión en la que el filósofo insiste. Se trata de advertir que, si bien algunos de los ejemplos dados en las OFM parecen apoyar una concepción “geométrica” de la prueba (OFM III.40), no por eso deja Wittgenstein de hacer gran hincapié en aquello que llama la “variedad de la matemática”, i.e. en el hecho de que no hay un único tipo de prueba sino una gran diversidad a la que hay prestar gran atención para evitar el riego de querer reducir todo a un único sistema de prueba. 3. Al comienzo del presente escrito, señalé que, por lo general, se considera que el convencionalismo radical en el ámbito de la filosofía de la matemática que se deriva de las consideraciones sobre el problema de la naturaleza de seguir una regla implica la destrucción de toda noción de objetividad de la prueba matemática. Trataré de mostrar que esta opinión no es correcta. Cuando se caracteriza la posición de Wittgenstein como convencionalismo radical, el sentido correcto de esa caracterización se refiere a la forma en la que Wittgenstein explica la naturaleza de la necesidad lógica: 1) toda necesidad es de índole normativa, 2) procede de estipulaciones y 3) desaparece cuando desaparece toda aceptación que se le pueda otorgar como en el caso de cualquier norma social, i.e. cuando deja por completo de estar en relación con alguna u otra práctica humana. Pero con sólo decir esto, no se explica por qué se estipula o se acepta una u otra regla. Y, como desde el punto de vista lógico o, mejor dicho, desde el punto de vista en que habitualmente se espera una explicación, no cabe darla por las consideraciones sobre la indeterminación del significado, entonces parece que hubiera un vacío de razones y que “convencionalismo radical” fuera sinónimo de 7 arbitrariedad. Pero a la hora de introducir un paradigma, rechazarlo o modificarlo hay razones no “lógicas”, i.e. razones que no determinan (compel, zwingen). También habría que corregir la caracterización que se dio de convencionalismo radical, pues la misma corre el riesgo de incurrir en una confusión típica denunciada por Wittgenstein: cuando se dice que los pasos de una prueba también están sujetos a estipulaciones, hay que distinguir entre el plano de la creación de los paradigmas y el plano de la aplicación. Si se acepta una regla de inferencia como buen paradigma (y esto significa siempre: esta regla, i.e. esta regla y su método de aplicación accesible mediante una práctica de aprendizaje), entonces no atenerse a él pone de manifiesto la inconsecuencia de quién la aceptó, de manera que tiene perfecto sentido decir que violó la prescripción. Es en el plano de la invención del paradigma donde no hay “necesidad lógica” previa. Y el hecho de no disponer de alternativas no debería ser confundido con ninguna inexorabilidad conceptual. ¿En qué consiste, entonces, el problema de la “objetividad” de la prueba? Cabe distinguir al menos dos empleos del término ‘objetividad’. Por un lado, objetividad en sentido ontológico: “algo es objetivo cuando existe y es de la manera en la que es independientemente de todo conocimiento, percepción, concepción o conciencia que pueda haber de ello.”.4 Este sentido apunta a distinguir entre entidades autónomas y entidades dependientes. Dadas las críticas de Wittgenstein al platonismo y, más en general, a toda concepción “descriptivista” (como el empirismo, por ejemplo), este empleo del término ‘objetividad’ debería ser abandonado en lo que se refiere a su uso en la filosofía de la matemática. Por otro lado, se puede hablar de objetividad en sentido epistemológico: un juicio, una creencia, una teoría, un concepto o una percepción son objetivos si es posible suponer que son “válidos para todos los hombres”. Ahora bien, ¿qué cuestiones se plantean cuando se pregunta por la objetividad epistemológica de la prueba matemática tal cual la entiende Wittgenstein? Se presentan dos tipos de cuestiones. Por un lado, está la cuestión del tipo de certeza propio de los enunciados matemáticos: dada la relación interna que Wittgenstein cree que se da entre enunciados y sistema de reglas, no es posible que surjan dudas escépticas relativas al sentido y la verdad de un enunciado, pues si no se comparte el sistema de reglas no se puede hablar del mismo enunciado; la identidad de éste está dada por el sistema. Por ejemplo, si alguien habla castellano, hay ciertas dudas que no tienen sentido para esa persona y, si otra persona las plantea, es porque no domina el idioma. Cuando se trata de un sistema proposicional gramatical establecido, la verdad de un enunciado consiste en la posibilidad de ser demostrado según los métodos de prueba de ese sistema y su falsedad en la posibilidad de probar su negación según esos mismos métodos. Por otro lado, está la cuestión de la no arbitrariedad de las convenciones, es decir de la racionalidad operante que guía la invención, estipulación y aceptación de un sistema de prueba. En el 8 caso de haber tal racionalidad, ¿se trata de una racionalidad compartida por todos? Contamos con los siguientes elementos para responder esta pregunta: 1. Prácticas y tradiciones establecidas (sociales) de medir y contar. 2. Experimentos con objetos, figuras y signos que a) suponen ciertas regularidades empíricas y b) tienen resultados repetibles y “abarcables” (surveyable, übersehbar). Ahora bien, la racionalidad que guía la invención, evaluación y modificación podría ser caracterizada como autónoma, tanto en un sentido negativo (a), i.e. siempre habría un margen de alternativas pues nunca estaría determinada en sentido estricto por la realidad, sea que se la entendiera en sentido platónico o en sentido empirista; como en un sentido positivo (b), i.e. contaría con criterios de muy diversa índole de manera que, en este sentido, no sería arbitraria. Estos criterios pueden provenir, en parte, de las prácticas y tradiciones establecidas (1) y de los experimentos (2). Wittgenstein se refiere a criterios pragmáticos, pero también a criterios estéticos (OFM I.167 y 171 y ss.). Sin embargo, a pesar de esta explicación, dada la multiplicidad y diversidad de criterios, algunos críticos no considerarían prudente decir que habría una única “racionalidad matemática”, con lo cual pareciera que tampoco habría objetividad en sentido epistemológico. Se le ha reprochado a Wittgenstein el relativismo cultural al que estaría expuesto su planteo. Pero, en mi opinión, tanto la explicación dada anteriormente, como el hecho del gran acuerdo en la aceptación de las pruebas matemáticas, señalado por Wittgenstein debido a su significación antropológica (cfr. OFM I.61, 63, 66, VII.9), serían suficientes para hablar de objetividad epistemológica siempre y cuando estuviéramos dispuestos a abandonar como totalmente inadecuado el conjunto de preguntas que constituye el platonismo. La filosofía wittgensteiniana de la matemática no deja de presentar dificultades y dudas, baste pensar todo lo que se ha discutido sobre el problema de seguir una regla y sobre la crítica de Wittgenstein a la teoría clásica de conjuntos, entre otros temas. Sin embargo, creo que, como programa de investigación, plantea nuevas preguntas para abordar la historia de la matemática en conexión con las prácticas humanas de medir y contar y con los más variados sistemas de representación, desde los sistemas de escritura hasta los sistemas de representación artística. Bibliografía Bell, D. (1992), “Objectivity”, en: Dancy, J. y Sosa, E. (eds.) (1992), A Companion to Epistemology, Oxford, Blackwell, 310-313. Dummett, M. (1959), “La filosofía de las matemáticas de Wittgenstein”, en: M. Dummett (1978), La verdad y otros enigmas, México, F.C.E., 1990, 243-264. Glock, H.-J. (1996), A Wittgenstein Dictionary, Oxford, Blackwell. 4 D. Bell (1992), 310. 9 Shanker, S. G. (1987), Wittgenstein and the Turning-Point in the Philosophy of Mathematics, Albany, SUNY. Wittgenstein, L. (1922), Tractatus logico-philosophicus, Madrid, Alianza, 1987. Wittgenstein, L. (1956), Remarks on the Foundations of Mathematics, ed. G. H. von Wright, R. Rhees y G. E. M. Ansconbe, Cambridge (Mss.) / London, The MIT Press, 1996. Wittgenstein, L. (1984), Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik, Frankfurt, Suhrkamp, 1994.