Equacions i sistemes de segon grau.pdf

Equacions i sistemes
de segon grau
3
Equacions de segon grau. Resolució
1. a) L’àrea del pati d’una escola és quadrada i fa 20,25 m2. Per calcular el perímetre del pati
segueix els passos següents:
• Escriu l’equació que planteja aquest problema:
• Quin grau té aquesta equació? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Quina és la longitud d’un dels costats del pati?
• Quin és el perímetre del pati?
Una equació de segon grau és una expressió del tipus ax 2 + bx + c = 0 en què a,
b, i c són nombres reals i a ≠ 0. Si b ≠ 0 i c ≠ 0 es diu que l’equació és completa.
Vegem la resolució d’equacions de segon grau incompletes, és a dir, quan b = 0
o c = 0.
 −c
ons.
Si a > 0 té dues solucio

−c
ax 2 + c = 0 ⇒ ax 2 = − c ⇒ x = ±
⇒ Si c = 0 la solució és x = 0.
a
 −c
Si
< 0 no té solució.
 a
ax 2
x1 = 0



 sempre tenen dues
+ bx = 0 ⇒ x ( ax + b ) = 0 ⇒ 
−b  solucions.
ax + b = 0 ⇒ x2 = a 

b) Resol les equacions següents:
4 x 2 − 196 = 0
3x 2
− 4x = 0
5
7

( x − 1)2 + 3( x + 2) = 3  x + 

3
27
8181_Mates4_Q_03.indd 27
27/02/12 17:10
3
Equacions i sistemes de segon grau
2. a) Considera l’equació de segon grau ( x − 3)2 = 25 . Per resoldre aquesta equació segueix
els passos següents:
• Extreu l’arrel quadrada en els dos termes.
• Has obtingut dues equacions de primer grau. Resol aquestes dues equacions.
• Comprova que les dues solucions trobades són solucions de l’equació inicial.
Resolució d’equacions de segon grau particulars.
−r

( px + r ) = 0 ⇒ x1 = p

sempre tenen dues solucions.
( px + r )( qx + s ) = 0 ⇒ 
−
s
( qx + s ) = 0 ⇒ x =
2

q
ons.
Si q > o té dues solucio
−
r
±
q

( px + r )2 = q ⇒ px + r = ± q ⇒ x =
⇒ Si q = 0 té una solució doble.
p
Si q < 0 no té solució.

b) Resol les equacions següents:
( 5 x − 3)( 2 x + 1) = 0
2
 4 x − 1  16
 4 + 3 = 9
 2 x − 3 x − 5   3x − 1 
 4 − 16   8 + 4  = 0
28
8181_Mates4_Q_03.indd 28
27/02/12 17:10
Equacions i sistemes de segon grau
3
3. a) Considera l’equació següent: ( x − 2)( x + 3) = 6.
• Fes el producte del primer membre.
• Escriu una equació equivalent a la trobada amb el segon membre igual a zero.
• Quin grau té aquesta equació? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• És una equació completa o incompleta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Per què? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...................................................................................................................
Vegem la resolució d’equacions de segon grau completa, és a dir, ax2 + bx + c = 0,
a, b, c ≠ 0.
−b ± b2 − 4 ac
.
2a
El nombre de solucions d’una equació de segon grau depèn del signe del discriminant ∆ = b2 − 4 ac .
Aplicarem la fórmula general: x =
Si ∆ > 0, l’equació té dues solucions diferents:
x1 =
−b + b2 − 4 ac
2a
Si ∆ = 0, l’equació té una solució doble: x =
Si ∆ < 0, l’equació no té solució.
x2 =
−b − b2 − 4 ac
2a
−b
.
2a
b) Resol l’equació de segon grau obtinguda a l’apartat a).
c) Resol l'equació següent:
( x + 3)2 − 3 x + 2 = ( x − 2)( −5 x − 6 )
29
8181_Mates4_Q_03.indd 29
27/02/12 17:10
3
Equacions i sistemes de segon grau
Suma i producte de les solucions
4. a) Resol les equacions de segon grau següents i completa la taula.
Equació
Solucions
x 2 − 7 x + 10 = 0
x1 + x 2 =
x1 =
x1 · x 2 =
x2 =
8 x 2 − 2 x − 1= 0
x1 + x 2 =
x1 =
x1 · x 2 =
x2 =
x2 + 2x − 8 = 0
x1 + x 2 =
x1 =
x1 · x 2 =
x2 =
La suma i el producte de les dues solucions x1 i x2 d’una equació de segon grau
ax 2 + bx + c = 0 compleixen les propietats següents:
S = x1 + x2 =
−b
a
P = x1 · x 2 =
c
a
b) Resol mentalment les equacions de segon grau següents:
Equació
Solucions
x 2 − 2 x − 15 = 0
x1 =
x2 =
x 2 + 7 x + 12 = 0
x1 =
x2 =
x 2 − x − 12 = 0
x1 =
x2 =
x 2 + x − 12 = 0
x1 =
x2 =
c) Troba dos nombres tals que la seva suma sigui 13 i el seu producte 40.
30
8181_Mates4_Q_03.indd 30
27/02/12 17:10
Equacions i sistemes de segon grau
3
Sistemes d’equacions de segon grau
x + y = 7
5. a) Resol aquest sistema d’equacions:  2 2
, seguint els passos indicats.
 x + y = 25
• Aïlla la variable x de la primera equació.
• Substitueix x en la segona equació.
• Resol l’equació de segon grau que has trobat.
• Substitueix aquests valors en l’expressió aïllada de x.
• Les solucions del sistema són: x1 = . . . . . . . . . . , y1 = . . . . . . . . . . i x2 = . . . . . . . . . , y2 = . . . . . . . . .
Un sistema és un sistema d’equacions de segon grau quan, en aplicar algun
mètode algèbric, ens porta a resoldre una equació de segon grau.
Per resoldre sistemes de segon grau utilitzarem qualsevol dels mètodes algèbrics:
substitució, reducció o igualació.
 x 2 + y 2 = 13
, seguint els passos indicats.
b) Resol aquest sistema d’equacions:  2
2
 4 x − 3 y = 24
• Multiplica la primera equació per 3.
• Suma aquesta equació amb la segona equació del sistema.
• Resol l’equació de segon grau que has trobat.
• Substitueix aquests valors en la primera equació i resol les equacions de segon
grau obtingudes.
• Les solucions del sistema són:
x1 = . . . . . . . , y1 = . . . . . . . , x2 = . . . . . . . ., y2 = . . . . . . . x3 = . . . . . . . , y3 = . . . . . . . i x4 = . . . . . . , y4 = . . . . . . .
c) Quin mètode de resolució has fet servir en l’apartat a)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I en l’apartat b)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
31
8181_Mates4_Q_03.indd 31
27/02/12 17:10
3
Equacions i sistemes de segon grau
6. a) Resol aquest sistema d’equacions:
 x 2 − y 2 = −33

 x + y = −3
En general, el millor mètode algèbric per resoldre sistemes d’equacions de segon
grau és el de substitució, encara que podem trobar-nos davant situacions particulars en què resulta més ràpid utilitzar un dels altres dos mètodes.
b) Resol els sistemes d’equacions de segon grau següents:
 x + 3y = 5

( x − 7 )( y + 2) = −32
2 x 2 − y 2 = 103
 2
2
 x + 4 y = 677
( x − 4 )2 + ( y − 3)2 = 8

 4( x − 3) − 8( y + 5) = −84
32
8181_Mates4_Q_03.indd 32
27/02/12 17:10
Equacions i sistemes de segon grau
3
Equacions biquadrades
7. a) El producte de dos nombres és 75 i la diferència entre els seus quadrats és 616. Planteja
el sistema per resoldre aquest problema:
• Aïlla la variable x de l’equació de primer grau i substitueix-la a l’equació de segon
grau:
• Arregla l’equació obtinguda, eliminant el denominador i passant tots els termes
al mateix costat de l’igual:
• L’equació obtinguda és de . . . . . . . . . . . . . grau, els exponents de la variable x són
.............. i ...............
Una equació de quart grau s’anomena biquadrada si té l’expressió algebraica:
ax 4 + bx 2 + c = 0, en què a, b i c són nombres reals i a ≠ 0.
Si fem el canvi d’incògnita x2 = t podem transformar aquesta equació biquadrada en l’equació de segon grau at 2 + bt + c = 0 i ens permet resoldre l’equació.
t1 =
−b + b2 − 4 ac
−b + b2 − 4 ac
, t2 =
2a
2a
x1 = ± t1 , x2 = ± t2
b) Acaba de resoldre el sistema de l’apartat a):
c) Resol les equacions biquadrades següents:
x 4 − 4 x2 + 3 = 0
( x 2 − 3)2 = ( x − 1) ( x + 1)
33
8181_Mates4_Q_03.indd 33
27/02/12 17:11
3
Equacions i sistemes de segon grau
Equacions irracionals
8. a) Resol l’equació següent:
x − 1 + 3 = x , seguint els passos indicats.
• Aïlla l’arrel en el primer membre:
• Per treure l’arrel eleva al quadrat els dos membres de la igualtat:
• Resol l’equació de segon grau obtinguda:
• Comprova si els valors obtinguts són solució de l’equació inicial:
• Dels dos valors obtinguts, el valor . . . . . . . . . . . . . és una solució real i el valor . . . . . . . . . . . . .
és una solució fictícia, és a dir, no compleix la igualtat.
Les equacions irracionals són aquelles que tenen la incògnita sota el signe
radical. Per exemple: 1+ 25 − x 2 = x .
Per resoldre aquestes equacions hem d’aïllar primer l’arrel en un dels termes i
després elevem els dos termes al quadrat. Resolem l’equació de segon grau
obtinguda.
Al final s’haurà d’esbrinar si les solucions obtingudes són solucions de l’equació
irracional, ja que, a vegades, en elevar al quadrat els dos membres s’hi pot introduir una equació fictícia.
b) Resol les equacions irracionals següents. En aquest cas hauràs d’elevar al quadrat
l'equació dues vegades:
4 x + 1+ x + 2 = 5
34
8181_Mates4_Q_03.indd 34
27/02/12 17:11
Equacions i sistemes de segon grau
3
Altres tipus d’equacions
9. a) Observa les equacions següents, digues de quin grau són i aplica els passos indicats
per resoldre-les:
4 x 3 + 32 = 0
x 4 − 16 = 0
Grau: . . . . . . . . . . . . . . .
Grau: . . . . . . . . . . . . . . .
Aïlla el terme amb x:
Aïlla el terme amb x:
Aplica l’arrel cúbica als dos membres:
Aplica l’arrel quarta als dos membres:
La solució és: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les solucions són: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x3 − 2x = 0
( x 4 − 16 )(5 x 2 − 405) = 0
Grau: . . . . . . . . . . . . . . .
Grau: . . . . . . . . . . . . . . .
Extreu el factor comú x:
Iguala cada factor del producte a zero:
Iguala cada factor del producte a zero
i resol:
Soluciona cada equació obtinguda:
Les solucions són: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les solucions són: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Per resoldre alguns tipus d’equacions que no són ni de primer ni de segon grau
es poden utilitzar diferents mètodes algèbrics:
– Extracció de factor comú.
– Igualació dels factors d’un producte a zero.
– Aïllament i aplicació d’arrels.
35
8181_Mates4_Q_03.indd 35
27/02/12 17:11
3
Equacions i sistemes de segon grau
b) Resol les equacions següents:
x 3 − 4 x 2 + 3x = 0
x 5 + 5 x 3 − 14 x = 0
x2 − 3
1
=
x −1
3
3

( x 2 − 5)( 4 x − 3)  x +  = 0

4
( x 2 − 3 x )2 − 9 = ( x − 3)( x + 3)
( x 2 − 4 )5 = −32
36
8181_Mates4_Q_03.indd 36
27/02/12 17:11
Equacions i sistemes de segon grau
3
Resolució de problemes
10. a) El jardí de la Paula té forma de rectangle. Per tancar-lo ha utilitzat 14 m de filat i la diagonal mesura 5 m. Quina és l’àrea del jardí? Per trobar-la segueix els passos següents:
• Fes un dibuix de la situació geomètrica que planteja el problema.
• Identifica les incògnites:
x és la longitud de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y és la longitud de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 Planteja l’equació que et proporciona la condició del perímetre:
• Planteja l’equació que et proporciona la condició de la diagonal:
• Resol el sistema de segon grau obtingut:
• L’àrea del jardí és . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A vegades per resoldre problemes s’ha de plantejar i resoldre una equació de
segon grau, un sistema de segon grau o bé altres tipus d’equacions.
Els passos per resoldre aquests problemes són:
– Lectura comprensiva del text, identificació de les incògnites.
– Traducció del text al llenguatge algèbric i plantejament de les equacions o
sistemes d’equacions.
– Resolució de les equacions o sistemes.
– Comprovació que les solucions són coherents amb l’enunciat.
b) En Miquel compra per als seus fills llibretes per valor de 30 €. Si cada llibreta hagués
costat 50 cèntims menys, n’hauria pogut comprar 3 més. Quantes llibretes ha comprat? Quin és el preu de cada llibreta?
37
8181_Mates4_Q_03.indd 37
27/02/12 17:11
3
Equacions i sistemes de segon grau
Activitats finals d’avaluació
3x 2
− 4x = 0
1. Les solucions de l’equació
2
són:
a)
c)
8 −8
i
3 3
b)
−8
i0
3
d)
8
i0
3
4
i0
3
2. Els signes de les dues solucions de
l’equació x 2 + x − 20 = 0 són:
a) Tots dos positius.
b) Tots dos negatius.
c) Un positiu i l’altre negatiu.
3. L’equació 3 x 2 − 8 x + 4 = 0 té:
a) Dues solucions.
b) Una solució doble.
4. Les solucions de l’equació ( x − 5)2 = 49
són:
a) 12 i –12
b) 2 i –2
c) 12 i –2
d) –12 i 2
5. El discriminant de l’equació
−4 x 2 − 15 x + 2 = 0 és:
a) ∆ = –193
b) ∆ = –257
c) ∆ = 193
d) ∆ = 257
6. L’equació que té com a solucions –4, 3,
i 2 és:
b) x 3 − 5 x 2 + 6 x = 0
c) ( x + 4 )( x − 3)( x − 2) = 0
d) ( x − 4 )( x + 3)( x + 2) = 0
 xy = 2
 2
2
 4 x + 2 y = 33
1
−1
a) x1 = , y1 = −4 ; x 2 = , y2 = 4
2
2
− 2
x3 = 2 2 , y3 =
2
2
x 4 = −2 2 , y 4 =
2
1
−1
b) x1 = , y1 = 4 ; x2 = , y2 = −4
2
2
2
x3 = 2 2 , y3 =
2
− 2
x 4 = −2 2 , y 4 =
2
8. Comprova si x = 20 és solució de les
equacions següents:
c) No té solucions.
a) x 2 − 5 x + 6 = 0
7. Les solucions del sistema següent són:
Sí/no
x − 4 −5=1
13 + 4 + x + 5 = 4
3 x − 2 x + 9 = x + 5 + 48
9. Quina és l’àrea d’un rectangle si sabem
que un dels costats mesura 1 cm més
que l’altre i la diagonal fa 2 cm més que
el costat petit?
a) 3 + 3 cm2
b) 12 cm2
c) 14 cm2
d) 2 3 cm2
10. Si sumem una unitat a l’arrel d’un nombre obtenim la meitat del nombre
menys tres unitats. Quin és aquest
nombre?
a) 16 i 5
b) No té solució
c) –16
d) 16
38
8181_Mates4_Q_03.indd 38
27/02/12 17:11