DISTRIBUCIÓN DE POISSON

PROBABILIDAD
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se representa con
una S.
Elemento ó punto muestral:
Un resultado cualquiera del experimento.
Evento:
Cualquier subconjunto del espacio muestral. Se representan con letras mayúsculas,
los elementos de los eventos se pueden representar “de forma específica” y a veces también mediante
frases.
Eventos mutuamente excluyentes:
Son aquellos que no tienen elementos en común (son aquellos que, la ocurrencia de uno
imposibilita la ocurrencia de otro)
Intersección de Eventos:
Si A y B son eventos, entonces el evento “AηB “ (el que se forma con los
elementos que están en A y B ambos. Se llama el evento de A intersección B.
Unión de Eventos:
Si A y B son eventos, entonces el evento “AUB “ (el que se forma con los
elementos que están en A ó B. Se llama el evento de A unión B.
Para los ejercicios de clases, considera los sigs. experimentos:
Exp.1: “Lanzar una moneda”
Exp.2: “Lanzar dos veces una moneda”
Exp.3: “Lanzar un dado”
Exp.4: “Lanzar dos veces un dado”
DEFINICIONES DE PROBABILIDAD.
Definición a priori:
Si un espacio muestral tiene N elementos y todos los elementos tienen la misma
probabilidad de ocurrencia y un evento E tienen n elementos entonces P(E) (la
probabilidad de que un elemento de E resulte en el experimento ) es:
P(E)= n / N
1
Definición a posteriori:
Si en un número m muy grande de ensayos (repeticiones) de un experimento , el
evento E ocurre r veces, entonces
P(E) ≈ r / m
Una onza, durante su edad adulta, ha perseguido a 146 antílopes, de los cuales ha conseguido cazar 28, Cuál es la prob. de que en
la siguiente persecución alcance a su presa? Para ello, considere el experimento:” Destino fatal del antílope que sea perseguido por
esa onza”
De las _______ especies de anfibios en riesgo de extinción que se sometieron a un programa de preservación, dejaron de estar en
riesgo un total de _________especies. Cuál es la prob. de que cierta especie anfibia recién sometida a ese programa, deje de estar en
riesgo después de un tiempo oportuno? Para ello, considere el experimento: ” Conseguir la remoción del riesgo de extinción de
una especie de anfibio si se le somete a cierto programa”
Definición axiomática:
De los siguientes axiomas se derivan todas las propiedades del manejo de la
probabilidad:
i)
La probabilidad de cualquier evento siempre será mayor o igual a 0 y
menor o igual que 1.
ii)
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces el evento A u B es tal que
P(A u B)= P(A) + P(B).
iii). Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, y además A u B = S, entonces
P(A) + P(B) = 1.
TÉCNICAS DE CONTEO
El factorial de un número n se representa por n! y se calcula como:
n! = n (n-1) (n-2) ....
Permutaciones:
El número de permutaciones de n en r se representa por nPr y se calcula como:
nPr
= n!
/
(n-r) !
y calcula de cuantas formas se pueden sentar n personas en r sillas en fila (donde r es
menor ó igual que n, es decir, donde hay igual o menos sillas que personas, y quizás algunas personas no
alcanzan a sentarse).
Combinaciones::
El número de combinaciones de n en r se representa por nCr y se calcula como:
n Cr
= n!
/
r! (n-r) !
y calcula cuántos conjuntos distintos pequeños de r elementos se pueden extraer de
un conjunto más grande de n elementos.
2
Ejercicios.
1.
2.
3.
4.
¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 8 personas en 8 bancas?
¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 8 personas en 7 bancas?
¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 8 personas en 1 banca?
¿ Cuántos conjuntos distintos de 3 personas se pueden extraer de un conjunto
mayor de 5 personas?
5. ¿ Cuántas opciones distintas de jefe, secretario y tesorero se pueden formar de
este salón?
6. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar los alumnos de este salón en una
lista?
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Definición:
La prob. condicional del evento A dado B se representa como:
P(A/B) y se calcula mediante:
P(A/B) =P(AηB) / P(B)
Definición:
Dos eventos A y B son independientes si
P(A/B) =P(A)
O también si
P(B/A) =P(B)
Ejemplo 1:
UN PSICÓLOGO OBTUVO LA SIGUIENTE TABLA, ÉL ESTUDIÓ LA
RELACIÓN ENTRE LOS PROMEDIOS DE CALIFICACIÓN Y LA OPINIÓN
QUE TIENEN DE SÍ MISMOS CIERTOS ESTUDIANTES:
OPINION DE SÍ
MISMOS
BUENA
MALA
TOTAL
PROMEDIO
ALTO
77
42
119
BAJO
28
63
91
TOTAL
105
105
210
Considere el experimento de extraer al azar un estudiante cualquiera de los
registrados en la tabla.
1. Cuantos elementos tiene S?
2. Considere al evento A=”los que tienen buena opinión de sí mismos. Cuantos
elementos tiene ese evento?
3. Cuanto seria P(A) ?
3
4. Considere al evento B=”los que tienen alto promedio”. Cuantos elementos tiene
ese evento?
5. Cuanto seria P(B) ?
6. Cuantos elementos tiene AηB ?
7. Cuanto es P( AηB ) ?
8. Cuanto es P(A/B) ?
9. Cuanto es P(B/A) ?
10. Son independientes A y B?
Ejemplo 2:
EN ENCUESTAS EFECTUADAS EN DOS DELEGACIONES DE LA CIUDAD
DE MÉXICO SE OBTUVIERON LOS SIGUIENTES RESULTADOS CON
RESPECTO A LA PRESION SANGUÍNEA ANORMAL.
delegacion Numero de personas
con presión normal
Milpa
200
Alta
B. Juárez
300
Numero de personas
con presión anormal
40
60
Considere el experimento de extraer al azar una persona estudiante cualquiera de las
encuestadas.
1. Cuantos elementos tiene S?
2. Considere al evento A=”que proceda de Milpa Alta”. Cuantos elementos tiene
ese evento?
3. Cuanto seria P(A) ?
4. Considere al evento B=”que tenga presión anormal”. Cuantos elementos tiene
ese evento?
5. Cuanto seria P(B) ?
6. Cuantos elementos tiene AηB ?
7. Cuanto es P( AηB ) ?
8. Cuanto es P(A/B) ?
9. Cuanto es P(B/A) ?
10. Son independientes A y B?
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Esta distribución se presenta cuando los “éxitos” (que son elementos ó sucesos que
suelen ser expresados por unidad de área ó unidad de tiempo respectivamente ) llegan a
satisfacer las siguientes características:
1. La presencia de un “éxito” en una unidad no influye ( no afecta) la presencia de
otro “éxito” en otra unidad.
4
2. La probabilidad de hallar un “éxito” en una unidad es proporcional al tamaño de
la unidad.
3. Es posible hallar muchos “éxitos” en una unidad.
Sea λ el promedio de “éxitos” por unidad. La probabilidad de hallar exactamente
xo “éxitos” en una unidad cualquiera es :
P(x= xo ) = e – λ λxo / xo !
Ejercicios:
1.
Cierto organismo acuático de una laguna se distribuye conforme a poisson en las bolsas de agua que se
extraen de ese lugar. El número promedio de organismos por bolsa es 3.5. hallar la probabilidad de que en
la siguiente bolsa que se extraiga se hallen:
a) 3 organismos.
b) 1
c) 0 organismos
2.
El número de mariposas que inmigran a un condado del sur de California en los días de invierno se
distribuye conforme a poisson con un promedio de 12 por dia. Calcula la probab. de que en el 18 de
diciembre próximo arriben:
a) 0 mariposas.
b) 12 mariposas
3.
Las larvas de abeja se distribuyen conforme a poisson en los tallos de yuca en una región de Nuevo México
con un promedio de 1 larva por tallo. Halla la probab. de que un tallo cualquiera se hallen:
a) 0 larvas.
b) 1 larva
c) 10 larvas.
Esta distribución también puede identificarse de manera visual cuando los “éxitos” se distribuyen
aleatoriamente en las unidades tal como se exhibe en la unidado A. En contraste, en la unidad o B y en
la unidad C los “éxitos” no están distribuidos conforme a Poisson.
Unidad A: Se tiene una distribución de Poisson de los exitos. . (Los éxitos están aleatoriamente
distribuidos)
Unidad B: No se tiene una distribución de Poisson de los exitos. (Los éxitos están en grupos, se dice
que están “agregados”)
Unidad C: No se tiene una distribución de Poisson de los exitos. (Los éxitos están equidistantes, se dice
están “regularmente” distribuidos).
5
Ejercicio:
Si cada línea roja siguiente es una unidad de tiempo (digamos un día), determina cuál día tiene distribuidos los
éxitos (sucesos) conforme a poisson.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Un ensayo de Bernoulli es cualquier experimento que conduzca a uno de sólo 2
posibles resultados, uno de los resultados se denota arbitrariamente como éxito y el otro
como fracaso.
Un proceso de Bernoulli es una serie de ensayos de Bernoulli que satisfacen 2
condiciones:
1. La probabilidad de éxito se mantiene constante en todos los ensayos
2. Un resultado en un ensayo no influye en el resultado de otro ensayo posterior.
La probabilidad de obtener exactamente xo éxitos en n ensayos en un proceso de
Bernoulli es:
P(x= xo) = nCxo pxo (1-p) n-xo
p=prob. de exito
Ejemplos:
6
1.
a)
b)
c)
La probabilidad de morir como consecuencia de contraer la cepa H1N1 es, en EU, de 1%= 0.01, En una
escuela de ese país 2 jóvenes han contraído la enfermedad. Cuál es la prob. de que :
ninguno de ellos muera?
1 muera?
Los 2 mueran?
2. En el mes de agosto de cada año en el lado este de Loussiana, las probabilidades del arribo de un huracán en
un día cualquiera ( Según datos oficiales) es de 2% . Cuál es la prob.de que en agosto próximo arriben a ese
lugar…
a)
b)
c)
Ningun huracán?
1?
5?
En el caso de consultar la tabla de distribución binomial acumulada, donde se
extraen probabilidades del tipo P( x ≤ xo) donde xo es cualquier entero en el rango en
cuestión, las siguientes formulas son útiles:
P( x =xo) = P( x ≤ x0 ) - P( x ≤ xo -1 )
P( x ≥ xo) =1 - P( x ≤ xo - 1 )
P( x > xo) =1 - P( x ≤ xo )
P( x < xo) = P( x ≤ xo - 1 )
P( x1 < x < x2) = P( x ≤ x2 - 1 ) - P( x ≤ x1 )
P( x1 ≤ x ≤ x2) = P( x ≤ x2 ) - P( x ≤ x1 - 1 )
Los signos se leen:
> … mayor que…
< … menor que…
≥ …mayor o igual que…
≤ …menor o igual que…
DISTRIBUCIÓN NORMAL.
7
Sean μ y σ la media y la desviación estándar respectivamente de una población
normal. Entonces, si se extrae un elemento cualquiera de esa población, la
probabilidad de que sus medidas sean las siguientes, se calculan según la siguiente
tabla....
PROB. SE DENOTA SE ESTANDARIZA
DE ..... COMO....
COMO:
Que
mida
más xo
Que
mida
menos
que xo
Que
mida
entre
x1 y x2
P(x > xo)
P ( z > xo – μ
/σ )
P(x < xo)
P ( z < xo – μ
/σ )
P(x1<x < x2)
P (x1 – μ /σ < z < x2 – μ
/σ )
SE
SE
SIMPLIFICA SUSTITUYE
QUEDANDO POR...
ASÍ..
P(z> zo)
1 - P(z< zo)
P(z < zo)
P(z < zo)
P(z1<z < z2)
P(z < z2) P(z < z1)
Tabla 1
Notas: Los signos < con ≤ y además > con ≥ se pueden usar indistintamente.
Las probabs. de la última columna se obtienen directamente de tablas.
Esas probabilidades pueden ser (opcionalmente ) representadas con las
siguientes gráficas:
8
Prob. de que mida más de xo
=
=
P(x > xo) =
-
P(z> zo) =
1
-
P(z< zo)
Prob. de que mida menos que xo
=
P(x < xo) =
P(z < zo)
Prob. de que mida entre x1 y x2
9
=
=
P(x1<x < x2)=
-
P(z1<z < z2) P(z < z2) =
P(z < z1)
Pasos para resolver problemas relacionados con la distribución normal:
1. Sean μ y σ la media y la desviación estándar de la población.
2. Según el caso en consideración, desarrollar alguno de los 3 renglones de la tabla
1.
3. Si el problema consiste en hallar cuántos elementos de la población satisfacen la
característica, entonces multiplicar la probabilidad hallada en el paso 2 por el
tamaño total de la población.
Ejercicios
1.
La población de osos de Alaska se distribuyen normalmente en cuanto a la posición geográfica
de latitud con media μ= 85 o y desviación estándar σ= 4 o. Un oso del zoológico cuyo origen
exacto se desconoce, qué probabilidades tiene de haber sido capturado:
a) En menos de 83 o de latitud?
b) En mas de 86 o de latitud?
c) Entre 83 o y 85 o?
La población de los oso se estima de 35 000, entonces cuantos se localizan..
a) En menos de 83 o de latitud?
b) En mas de 86 o de latitud?
c) Entre 83 o y 85 o?
2.
La población de estudiantes que ingresaron a la UNAM arrojó, en el número de preguntas
contestadas correctamente, una media de μ= 170 y una desviación estándar de σ= 15. Si
elegimos uno de los estudiantes al azar, cuál es la probabilidad de que:
a) Haya obtenido menos de 150 aciertos ?
b) Más de 180 aciertos?
c) Entre 150 y 180?
Si la población total que ingresó fue de 80, 000, cuantos…
a) Sacaron menos de 150 aciertos ?
b) Más de 180 aciertos?
c) Entre 150 y 180?
10
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