Documento 248797

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS.
APUNTES DE AULA.
Año académico: 2015-2016
I.E.S. “La Ería”
Departamento Didáctico de
Matemáticas
Nivel: Bach
2º CT
Tema: Lugares geométricos y cónicas.
Complementos teórico-prácticos.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.
Lugares geométricos.
Introducción a las Cónicas.
 Lugares geométricos.
 Lugar geométrico: es el conjunto de los puntos P  x,y  del plano que gozan todos ellos de una misma propiedad.
 Se trata siempre de expresar la propiedad común mediante una o varias
expresiones analíticas (ecuaciones).
También es posible, conocidas las ecuaciones, encontrar dicho lugar geométrico. Este segundo supuesto suele ser más difícil.
 Un mismo lugar geométrico puede expresarse por distintas propiedades, pero partiendo de cualquiera de ellas llegaremos siempre a la misma
ecuación o ecuaciones que lo determinan.
 Para determinar la ecuación o ecuaciones de ese lugar geométrico, partiremos siempre de un punto genérico P  x,y  del plano.
 Ejemplo_1: Hallar el lugar geométrico de los puntos P del plano tales
que su distancia a un punto fijo C  x0 , y0  es constante e igual a r.
La distancia entre dos puntos del plano, P  x, y y C  x0 , y0  se define
como: d  P,C 
d  P,C  r 
 x  x 0    y  y0 
2
 x  x 0    y  y0 
2
2
2
 r   x  x 0    y  y0   r 2 , que
2
2
como ya veremos más adelante se trata de una circunferencia de centro el punto C  x0 , y0  y radio r.
 Ejemplo_2: Sean A  xA , yA  y B xB , yB  dos puntos fijos y conocidos
del plano. Sea c 
 

2
, hallar el lugar geométrico de los puntos P del pla-
 
2
no tales que d PA  d PB  c
Tomamos como origen de coordenadas el punto medio del segmento AB .
Sea d AB  2  a , entonces el punto A tendrá por coordenadas A  a,0 y
 
el punto B será el B  a,0 , con lo que:
 
d PA
2
De donde:
 
 
  x  a   y2 , y d PB   x  a   y2 .
2
 
2
2
d PA  d PB  c   x  a   y2   x  a   y2  c
Adaptaciones nivel 3.
2
2
2
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2
Lugares geométricos.
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Desarrollando los productos notables y reduciendo términos semejantes:
x 2  2ax  a 2  x 2  2ax  a 2  2y2  c  2x 2  2y2  c  2a 2 
c
 x 2  y 2   a 2 , que como ya veremos más adelante se trata también
2
c 2
de una circunferencia centrada en O  0,0 y de radio r 
a
2
 Ejemplo_3: Sean A  xA , yA  y B xB , yB  dos puntos fijos y conocidos
del plano. Sea r   y r  1 , hallar el lugar geométrico de los puntos P
del plano tales que d PA  r  d PB .
 
 
Tomando el mismo origen que en el ejemplo anterior A  a,0 y B  a,0  ,
con lo que:
x  a
2
 y2  r 
x  a
2
 y2  x 2  2ax  a 2  y2  r 2   x 2  2ax  a 2  y2  
 x 2   r 2  1  y 2   r 2  1  2ax   r 2  1  a 2   r 2  1  0 
r2 1
 x  a 2  0 , que como ya veremos más adelante se
2
r 1
trata también de una circunferencia con centro en un punto del segmento
AB , no necesariamente el punto medio.
En algunas ocasiones es necesario conocer algunos elementos básicos de
geometría para poder resolver los ejercicios de lugares geométricos o
del espacio Afín y Euclídeo.
 x 2  y2  2a 

 Puntos singulares de un triángulo:
 Incentro: es el punto de corte de las bisectrices de sus ángulos interiores
 Circuncentro: es el punto de corte de las mediatrices a sus lados
 Baricentro: es el punto de corte de las medianas a los lados
 Ortocentro: es el punto de corte de las alturas del triángulo
 Mediatriz: a un segmento
 Es una recta perpendicular al segmento por su punto medio. O bien, es el
lugar geométrico de los puntos del plano P  x,y  , que equidistan de dos
puntos fijos, del mismo.
 Sean los puntos fijos A  xA , yA  y B xB , yB  , entonces por definición:
   
d PA  d PB 
 x  x A    y  yA 
2
2

 x  x B    y  yB 
2
2

 x2  2xx A  x A2  y2  2yyA  yA2  x 2  2xx B  x B2  y2  2yyB  yB2 
 2x   x B  x A    x A2  x B2   2y   y B  y A    y A2  y B2   0 
 2x  xB  xA    xA  xB  xA  xB   2y  yB  yA    yA  yB  yA  yB   0 
x  xB 
yA  yB 


  xB  xA    x  A
   yB  yA    y 
0
2 
2 


y + yA
x  xA 
x + xA 
y B
= B
 x  B
 , que no es otra cosa que la
2
yB - y A 
2 
ecuación punto-pendiente de la recta perpendicular al segmento AB ,
ya que la recta que soporta dicho segmento es
Adaptaciones nivel 3.
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yB  yA
  x  x A  , con lo que una perpendicular a ella tendrá
xB  xA
x  xA
una pendiente igual a  B
, y que pasa por el punto medio del
yB  yA
y  yA 
 x  x B yA  yB 
segmento, el punto de coordenadas P  A
,
.
2 
 2
En la práctica, numéricamente, resulta más sencillo. Se trata de
calcular el punto medio del segmento y un vector perpendicular al
AB , con esa información construimos la ecuación punto-pendiente
de la recta.
 División de un segmento en partes proporcionales:
 Veamos primero como calcular el punto medio de un segmento.
Sean A  xA , yA  y B xB , yB  los extremos del
segmento. Entonces, vemos que desde la gráfica:
AB  OB  OA  AB   x B  x A , yB  yA 
Sea el punto medio C  xC , yC  , entonces vemos
también que AB  AC  CB , pero como AC  CB
nos queda que AB  2  AC .
Así pues, definitivamente:
AB  x B  x A yB  yA 
AC 

,

2  2
2 
Resolvemos el sistema para encontrar las coordenadas de C:
xB  xA
x  xB


xC  A
 x C  x A 

 x  x B yA  yB 

2
2
,

, luego C  A


2
2 
y

y
y

y

A
B
y  y  B
y  A
C
A
C

2

2
 Para dividir un segmento en tres partes iguales debemos encontrar las
coordenadas de dos puntos C1 y C2 tales que estén situados a una distancia
1
2
de
y , respectivamente, de uno de los extremos del segmento, tomando
3
3
éste como referencia..
Los vectores a tener en cuenta son:
AB; AC1; C1C2 ; C2B , de modo que AC1  C1C2  C2B
De forma que AB  AC1  C1C2  C2B , es decir que:
1
AB  3  AC1 , con lo que AC1   AB .
3
 x  x A yB  yA 
x C1  x A , yC1  yA   B
,

3 
 3
Desarrollándolo como un sistema:

Adaptaciones nivel 3.

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Lugares geométricos.
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x  xA

2  xA  xB

x C1  x A  B

 x C1 

3
3
 , que son las coordenadas del punto que
 

 y  y  yB  yA
 y  2  yA  yB
A
 C1
 C1
3
3
1
2
dista
de A y de B. Se puede deducir fácilmente lo mismo para el punto C2 con
3
3
origen en B.
 NOTA: fijarse en que la deducción de las coordenadas desde el punto
de vista vectorial es muy simple, ya que:
AB
2  AB
Para el punto C1 : AC1 
ó BC1 
3
3
2  AB
AB
Para el punto C2 : AC2 
ó BC2 
3
3
 Para dividir un segmento en cuatro partes iguales basta con encontrar las
1 2 3 4
coordenadas de tres puntos que se encuentren a ; ; ;
4 4 4 4
respectivamente de uno de los extremos, tomando éste como origen de
referencia.
 EN GENERAL , para dividir un segmento en n-partes iguales basta con
encontrar las coordenadas de n – 1 puntos que equidisten
;

1 2 3
; ; ;
n n n
n - 2 n -1
, respectivamente de uno de los extremos del segmento, to;
n
n
mando éste como origen de referencia.
OBSERVACIÓN: si me dicen que divida un segmento en dos partes proporcionales, de modo que una sea, por ejemplo, la quinta parte de la otra,
¿En cuántas partes habría que dividir el segmento y cuántas de ésas
partes tendría que tomar para encontrar las coordenadas del punto
pedido?.
1
Tendría que dividirlo en seis partes iguales y tomaría parte.
6
Si una de las partes es la quinta parte de la otra, he de dividir esta última
parte en cinco. Luego el segmento total va a quedar dividido en dos partes,
de modo que una de ellas a su vez va a estar dividida en cinco y la otra es
igual a una de esas cinco partes. En total tendré seis partes iguales.
EN GENERAL , si me piden que encuentre las coordenadas de un punto
de un segmento tal que éste lo divide en dos partes de modo que una de
ellas es la k-ésima parte de la otra, entonces habré de dividir el segmento
total en k + 1 partes iguales.
Para el cálculo de las coordenadas de dicho punto partiríamos de la relaAB
ción AC =
k +1
 Bisectriz de un ángulo:
 Es una recta que divide en dos partes iguales el ángulo.
Adaptaciones nivel 3.
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 Como lugar geométrico, es el lugar geométrico de los puntos del plano
P  x, y  , tales que la distancia a las dos rectas que configuran el ángulo es
la misma.
 También, es el lugar geométrico de los puntos P  x, y  del plano tales que
equidistan de los lados del ángulo.
Como podemos ver en la gráfica, dos rectas r1 y r2 ,
forman cuatro ángulos iguales dos a dos, con lo que
habrá dos bisectrices b1 y b2 , roja y azul, perpendiculares entre sí.
Para su cálculo recordemos que la distancia de un
punto a una recta:
Sean A  xA , yA  y u   u1,u2  un punto y un vector
director de la recta, respectivamente.
Un vector perpendicular y normal a la recta sería el
 u ,  u1 
vector w  2
.
u12  u 22
Sea P  x P , yP  un punto de la recta bisectriz y sea
el vector AP   x P  x A , yP  yA  .
En la gráfica podemos ver que la distancia a la bisectriz desde uno de los lados es igual al producto
escalar   w  AP el cual valdrá:
δ=
u2
u
  xP  xA   1   y P  y A  .
u
u
Relacionando la ecuación punto-pendiente y la general:
u
y  yA  2   x  x A   u1y  u1yA  u 2 x  u 2 x A  Ax  By  C 
u1
 A  u 2 ; B  u1 ; C  u 2 x A  u1yA
De donde:

u 2  x P  u 2  x A  u1  yP  u1  y A
u12  u 22
A  xP + B  y P + C

A2 + B2
Que es la ecuación que nos da la distancia de un punto a una recta, siendo
P  x P , yP  el punto y r  A  x  B  y  C  0 la ecuación general de la recta.
Aplicando esto al cálculo de las bisectrices de un ángulo:
 Sean 1 y 2 las distancias respectivas
desde un punto P  x P , yP  de la bisectriz a
las rectas r y s del ángulo.
1 
Adaptaciones nivel 3.
Ar  x P  Br  yP  Cr
A B
2
r
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2
r

As  x P  Bs  yP  Cs
As2  Bs2
 2
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Donde r  Ar  x  Br  y  Cr  0 y s  As  x  Bs  y  C s  0
Al tratarse de una ecuación en valor absoluto habrá que resolver las
ecuaciones siguientes:
A  x  Bs  yP  Cs
Ar  x P  Br  yP  Cr
 s P
2
2
Ar  Br
As2  Bs2
Agrupándolo todo en una única ecuación y cambiando los valores
 xP , yP  por  x, y , con el signo más obtenemos la ecuación de una de
las rectas bisectriz y con el menos la otra.
 Ejemplo_1:
Sean las rectas r  x  y  1  0 y s  x  2y  3  0 que forman un
ángulo, para ello deben cortarse en su vértice. El vértice será el
punto:
x  y  1
2
5
y ;x

3
3
x  2y  3
Las bisectrices de dicho ángulo serán:

17  5  10
b1  y  3  10 x 

x  y 1
x  2y  3 
3
,


2
5
b  y  3  10 x  7  10
2

3

como se puede observar una tiene pendiente negativa y otra positiva. La
de la pendiente positiva, b1, es la del ángulo grande y la otra la del ángulo
corto.




 Arco capaz:
 Es el lugar geométrico de los puntos P  x, y  del plano tales que el ángulo
APB con el que se ve el segmento AB es igual a φ .
 Para su cálculo empleamos el producto escalar de los vectores PA y PB ,
de modo que:
PA  PB  PA  PB  cos   
Nótese que si   90º el lugar geométrico, o el arco capaz, es una circunferencia.
Sean A  xA , yA  y B xB , yB  los extremos del diámetro, y P  x, y  un
punto de la circunferencia desde el que observamos el mismo.
Construimos los vectores de posición de los extremos vistos desde el
punto P, AP   x  x A , y  yA  y BP   x  x B , y  yB 
Si el ángulo que forman es recto, su producto escalar deberá ser nulo:
AP  BP   x  x A    x  x B    y  yA    y  yB   0 
 x 2   x A  x B   x  x A  x B  y 2   yA  y B   y  y A  y B  0 
  x  a  +  y  b  = r 2 , donde hemos aplicado la técnica de complitud
2
2
de cuadrados, haciendo a 
Adaptaciones nivel 3.
xA  xB
y  yB
y b A
, que son las coorde2
2
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nadas del punto medio del segmento AB , y por último
 x  xB 
 yA  yB 
r  A
  xA  xB  
  yA  yB 
 2 
 2 
2
2
2
x 2A  x 2B  2x A x B yA2  yB2  2yA yB  x A  x B   yA  yB 


 
 , que
4
4
 2   2 
no es otra cosa que el radio de la circunferencia al cuadrado
2
2

 x A  x B    yA  yB 
2
r
2
Como el diámetro mide:
2
.
 x A  x B    yA  yB 
d
d   x A  x B    yA  yB   r  
2
2
Luego efectivamente se trata de una circunferencia.
2
2
2
2
 Demostrar que todo ángulo inscrito a una circunferencia
que abarca un diámetro es siempre un ángulo recto.
Adaptaciones nivel 3.
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Actividades de aplicación.
P1.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos fijos A 1,0 y B 4,4  , sea igual a 13.
P2.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de los
cuadrados de sus distancias a los puntos fijos A  6, 2 y B11,10  sea igual a 10.
P3.- Sean A  2,5 y B 14,0  dos puntos fijos. Hallar el lugar geométrico de los puntos
del plano P  x, y tales que el triángulo ABP tiene un área constante e igual a 39.
P4.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia al punto
A 8,0 sea el doble que su distancia al punto B 0,6 .
P5.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia al origen
de coordenadas sea la mitad de su distancia al punto A 3,0 .
P6.- Hallar el lugar geométrico de los puntos P  x, y del plano tales que el ángulo
APB sea recto, siendo A  1, 2 y B 5,18  .
P7.- Hallar el lugar geométrico de los puntos P  x, y del plano tales que el ángulo con
que se ve el segmento AB , siendo A  7,0 y B 1,0  , es el mismo que con el que
se ve desde C 3,4 .
P8.- Hallar el lugar geométrico de los puntos P  x, y del plano tales que equidistan de
los puntos fijos A 5,3 y B  1, 2  .
P9.- Dos de los vértices de un triángulo son los puntos A 1,0 y B5,0  . Hallar la
ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C  x, y si la diferencia de las
longitudes de los lados AC y CB es igual a la longitud del lado AB dividida
entre dos.
P10.- Hallar le lugar geométrico de los puntos del plano tales que las distancias a las
rectas r  6  x  3  y  9  0 y s  x  2  y  2  0 sea la misma.
P11.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia al
origen de coordenadas es el doble que su distancia al punto fijo A 3,0 .
P12.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la distancia al origen
de coordenadas es constante e igual a 5.
Adaptaciones nivel 3.
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P13.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia al punto
fijo P  3,3 es constante e igual a la distancia de P a la recta r  3  x  2  y  8  0 .
P14.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus
distancias a los puntos fijos A  2,0 y B  2,0  es constante e igual a 8.
P15.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la distancia a un
punto fijo A  3, 3 es la cuarta parte de la distancia a otro fijo B  2, 7  .
P16.- Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la distancia de un
punto fijo A  2, 1 es la sexta parte de la distancia a otro punto fijo B 2,6 .
P17.- Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano tales que:
a) Equidistan de las rectas r  x  2  y  3  0 y s  2  x  4  y 1  0 .
b) Equidistan d las rectas r  x  y  0 y s  2  x  3  y  2 .
c) Equidistan de los puntos A  1,2 y B5,1 .
d) Se ve bajo un ángulo recto el segmento AB , con A  3,2 y B1,2 .
e) Se ve bajo un ángulo recto el segmento MN , con M  0, 4 y N  6,0 .
P18.- Determinar las coordenadas de los puntos que dividen:
a) En tres partes iguales el segmento AB con A  9,4 y B 3,8 .
b) En dos partes iguales el segmento AB con A  2, 3 y B1,0 .
c) En dos partes iguales el segmento AB con A 3, 3 y B 2, 7 de modo
que una de las partes sea la cuarta parte de la otra.
d) En dos partes iguales el segmento AB con A  2, 1 y B 2,6 de modo que
una de las partes sea la sexta parte de la otra.
P19.- Las coordenadas del punto medio de un segmento son M 1,0 y las de uno de
sus extremos A  5,3 . Hallar las coordenadas del otro extremo B.
P20.- La recta r  x  2  y  6  0 corta en el punto A a la recta que determina sobre
los ejes OX y OY los segmentos 2 y −1, respectivamente. Corta también en el
punto B a la bisectriz del primer cuadrante. Calcular la ecuación de la mediatriz al
segmento AB .
P21.- Hallar la ecuación de la mediatriz al segmento determinado por los puntos
A 1, 2 y B3,0 , así como el ángulo que la misma forma con el eje de abscisas.
Adaptaciones nivel 3.
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P22.- Dada la recta r  2  x  3  y  12  0 , hallar la ecuación de la mediatriz del
segmento que en dicha recta interceptan los ejes de coordenadas.
P23.- Halar el punto P de la recta r  x  5  y  4  0 que equidista de los puntos
M 1,4 y N  1, 2 .
P24.- Una recta de ecuación r  x  cos  60º   y  sen  60º   5 , intercepta entre los ejes
coordenados un segmento. Hallar:
a) La ecuación de la mediatriz a dicho segmento.
b) Las coordenadas del baricentro, Ortocentro, Incentro y Circuncentro del
triángulo formado por los ejes y dicho segmento.
c) El área de dicho triángulo.
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