El plano

1. Trazados geométricos básicos
1.1. Conceptos fundamentales
Los elementos básicos del dibujo técnico son el punto, la recta y el plano.
El punto no tiene dimensión, podemos considerarlo como una posición del
espacio. Se representa con los símbolos +, x ó o, que hacen referencia a la
intersección de dos rectas y al centro de una circunferencia, respectivamente.
Se identifican con letras mayúsculas o números. Existe una serie de puntos
que cumplen una función u ocupan una posición que los diferencia de los
demás puntos. Los vértices, centros, puntos medios etc., son ejemplos de
estos puntos que se conocen como puntos notables.
La línea se puede considerar como un punto en movimiento continuo. Si el
movimiento es siempre en la misma dirección, la línea es recta, curva si
cambia continuamente de dirección y poligonal si cambia de dirección a
intervalos. Tiene sólo una dimensión, la longitud, que es el espacio recorrido
por el punto. Se representan con trazos de diferentes grosores según su
función en el dibujo y se nombran con letras minúsculas. Las rectas notables
son las más importantes de una figura. El movimiento de una recta en la misma
dirección determina un plano.
El plano es ilimitado, si limitamos el plano con rectas obtenemos figuras planas
como los polígonos. Los ángulos son porciones de planos limitados por dos
rectas. Las curvas cerradas son intervalos de planos limitados por líneas
curvas cerradas. Los planos se nombran con letras mayúsculas y los intervalos
de planos por sus puntos y rectas notables.
1.2. Lugares geométricos
Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada
condición que sólo pueden cumplir ellos. Es importante asimilar bien este
concepto para facilitar el razonamiento de los trazados geométricos.



Fig. 1
La circunferencia la podemos definir como el lugar geométrico de los
puntos que equidistan de un funto fijo.
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos
puntos fijos.
La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos
rectas fijas.
Fig. 2
El trazado de una circunferencia con el compás está basado en esta definición,
puesto que, uno de los extremos es un punto fijo y el otro se desplaza a la
misma distancia de éste recorriendo el lugar geométrico de los puntos que
distan la magnitud del radio, del centro de la circunferencia.
El trazado de la mediatriz de un segmento (Fig. 1) también se basa en esta
definición.
Con centro en los extremos del segmento, trazamos dos arcos de
circunferencias de radio arbitrario. Las intersección de los arcos son los puntos
1 y 2 que determinan la mediatriz.
Con este mismo razonamiento prodríamos hallar la bisectriz de un ángulo
trazando dos paralelas equidistantes de los lados, puesto que el lugar
geométrico de los puntos que equidistan de una recta fija una distancia
determinada, es una paralela trazada a esa distancia.
En la fig 2, se han unido dos puntos equidistantes de ambas rectas. El vértice
A, que pertenece a los lados, se encuentra a una distancia nula de ambos.

El arco capaz de un ángulo a respecto a un segmento AB, es el lugar
geométrico de los puntos desde los cuales se ve el segmento AB bajo
un ángulo a. (Fig. 4)
Para hallarlo, trazamos la madiatriz del segmento AB. En uno de los extremos
dibujamos el ángulo complementario de a, es decir (90º - a). La intersección del
lado del ángulo con la mediatriz determina el centro O del arco capaz. (Fig. 3)
Fig. 3
Fig. 4
2. Proporcionalidad
2.1. Proporcionalidad directa
Las magnitudes que varían de forma que su razón permanece constante son
directamente proporcionales.
Las magnitudes de los segmentos a, b, c, y d son directamente proporcionales.
a/b =c/d = k
2.2. Teorema de thales
Los segmentos determinados por un haz de rectas paralelas sobre un par de
rectas concurrentes son directamente proporcionales, y ricíproco. (Fig. 5)
Basándonos en este teorema podemos dividir un segmento en partes iguales.
Trazamos una recta concurrente con el segmento dado. Tomamos n partes
iguales sobre la recta a partir del extremo A del segmento, siendo n el número
de partes en las que queremos dividir el segmento. Unimos el extremo B con la
última división de la recta y trazamos paralelas por las demás divisiones. (Fig.
6)
Fig. 5
Fig. 6
2.3. Aplicaciones
Tercero proporcional
Sean los segmentos a y b, se llama tercero proporcional al segmento que
verifica que:
a/b = b/c
Para hallarlo se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se dibujan
consecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento b. Uniendo
los extremos de los segmentos a y b, y trazando una paralela por el extremo
del otro segmento b, se obtiene el segmento c. (Fig. 7)
Fig. 7
Fig. 8
Cuarto proporcional
Sean los segmentos a, b y c, se llama segmento cuarto proporcional al
segmento d que verifica que:
a/b = c/d
Para hallarlo, se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se sitúan
consecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento c. Uniendo
los extremos de los segmentos a y c, y trazando por el extremo de b una
paralela, obtenemos el segmento d. (Fig. 8)
Medio proporcional
Sean los segmentos a y b, se llama medio porporcional el segmento c que
verifica que:
a x b = c²
Si nos fijamos, nos daremos cuenta que se trata de un caso de tercero
proporcional, puesto que la expresión anterior también se puede escribir como:
a/c = c/b
Para su construción podemos aplicar tanto el teorema de la altura como el del
cateto, cuyos enunciados son los siguientes:
Teorema de la altura.- En un triángulo rectángulo, la altura es media
proporcional entre los segmentos en que divide la hipotenusa.
Teorema del cateto.- En un triángulo rectángulo, un cateto es media
proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella.
Si aplicamos el teorema de la altura, situamos los segmentos a y b
consecutivamente. Por el extremo común levantamos una perpendicular.
Trazamos el arco capaz del ángulo de 90º para el segmento suma (a+b). La
intersección de la perpendicular con el arco capaz es el vértice del triángulo
rectángulo de hipotenusa (a + b) y de altura c. (Fig. 9)
Fig. 9
Fig. 10
Aplicando el teorema del cateto, situamos los segmentos a y b sobre la misma
recta con un extremo común. Por el extremo no común del segmento menor
levantamos una perpendicular, y seguidamente, trazamos el arco capaz del
ángulo recto para el segmento mayor a. El cateto c, cuya proyección es el
segmento b, es la media proporcional entre a y b. (Fig. 10)
2.4. Escalas
La razón de proporción entre las medidas de un dibujo y las magnitudes
correspondientes del objeto real que representa, se llama escala. Se
representa por una fracción cuyo numerador se corresponde con las medidas
del dibujo y el denominador con las medidas de la realidad.
E = Dibujo / Realidad
Escala natural es la que se ha aplicado a un dibujo que tiene las medidas de
la realidad. Se representa con la fracción E = 1:1.
Escala de ampliación es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son mayores
que en la realidad. Por ejemplo, E = 7:2
Escala de disminución es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son menores
que las de la realidad. Por ejemplo, E = 1:25.000.
Para aplicar una escala podemos multiplicar todas las medidas de la realidad
por la escala, puesto que de la fórmula de la escala se deduce que
Dibujo = E x Realidad
También podemos utilizar los escalímetros que existen en el mercado, que son
reglas graduadas según las escalas de uso más frecuentes. No obstante,
podemos contruir cualquier escala gráficamente.
Fig. 11
Supongamos que queremos construir la escala E = 7/5. Tomamos un
segmento de 7 cm reales y lo dividimos en 5 partes iguales aplicando el
teorema de Thales. Dividiendo una de las unidades obtenidas en 10 partes
obtenemos la contraescala para medir las décimas.
3. Construcción de polígonos
Los polígonos son las superficies planas limitadas por rectas que se cortan dos
a dos.
Se clasifican en regulares, si sus lados y ángulos son iguales, e irregulares.
Los polígonos cóncavos son aquellos que tienen alguno de sus ángulos
interiores mayor de 180º.
Las diagonales son las rectas que unen dos vértices no consecutivos.
Fig. 12
3.1. Triángulos
Los Triángulos son polígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es igual a
180º.
Se clasifican, según sus ángulos en:



Equilateros. Si tienen tres lados iguales
Isósceles. Si tienen dos lados iguales.
Escalenos. Si tienen tres lados desiguales.
Fig. 13
Fig. 14
Según la magnitud relativa de sus lados en:



Acutángulos. Si tienen todos sus ángulos agudos.
Rectángulos. Si tienen un ángulo recto.
Obstusángulos. Si tienen un ángulo obstuso.
La notación del triángulo se realiza con letras mayúsculas para los vértices y
minúsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vértice con la del lado
opuesto. Los ángulos se nombran con las letras griegas correspondientes. (Fig.
14)
Rectas y puntos notables.
Mediatrices
Las mediatrices del triángulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en un
punto que equidista de los vértices llamado circuncentro, que es el centro de
la circunferencia circunscrita. (Fig. 15)
Bisectrices
Las bisectrices del triángulo se cortan en un punto notable del triángulo llamado
Incentro, que por equidistar de los lados es el centro de la circunferencia
inscrita. (Fig. 16)
Fig. 15
Fig. 16
Medianas
Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos
medios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro, que es el centro
geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del
puntop medio del lado opuesto. (Fig. 17)
Alturas
Las alturas son las rectas perpendiculares a los lados desde los vértices
opuestos. La intersección de las alturas es el Ortocentro. (Fig. 15)
A efectos prácticos, como altura, se consideran las distancias de los vértices a
los lados opuetos. Como generalidad, es la mínima distancia entre un punto y
una recta. Si la recta es fija, el vértice opuesto se encuetra en el lugar
geométrico de los puntos que equidistan de una recta fija, o sea, una paralela
al lado a una distancia igual a la altura de ese lado.
Fig. 17
Fig. 18
Construcción de triángulos.
A raiz del último comentario, vuelvo a hacer hincapié en la importancia que
tiene el concepto de lugar geométrico para la resolución de la mayoría de los
problemas de trazado geométrico.
En la mayoría de los problemas de construcción de triángulos, uno de los datos
será alguno de los lados, el cual nos sevirá para fijar dos puntos y la recta que
definen. A partir de estos elementos fijos el problema se reduce a determinar la
posición del tercer vértice. Ese vértice se encontrá en la intersección de dos
lugares geométricos cuya condición podemos deducir de los demás datos que
nos den, como se puede observar en la tabla adjunta.
Tipos de datos
Datos
Lugar geométrico
Distancia entre
puntos
Lados Medianas
Alturas (vértice fijo)
Circunferencia
Distancia entre
recta y punto
Alturas (lado fijo)
Paralelas
Adyacentes
Angulos
Semiángulos(vértice
fijo)
Recta de
dirección
determinada
Opuestos
Angulo opuesto(lado
fijo)
Arco capaz
Lineales
Angulos
Supongamos que queremos construir un triángulo dados los lados a y b, y la
altura ha.
Fig. 19
Fig. 20
Fijamos el lado a, obteniendo la posición de los vértices B y C. Nos queda
pues, determinar la posición del vértice A. La distancia de A a C es el lado b,
por lo que trazamos el lugar geométrico de los puntos que equidistan de C la
distancia b (una circunferencia de centro C y r = b).
El otro dato es la altura del vértice A. Trazamos el lugar geométrico de los
puntos que equidistan de la recta a, la distancia ha. (Una paralela al lado BC a
una distancia ha). (Fig. 19)
Con el mismo razonamiento hemos construido un triángulo de que conocemos
el lado a, el ángulo a y la mediana na. Este ejercicio tiene cuatro soluciones,
considerando la doble solución del arco capaz, de las que se han representado
dos. (Fig. 20)
3.2.Cuadrilateros
Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Se dividen en
paralelogramos y no paralelogramos. Una diagonal divide el cuadrilátero en dos
triángulos, lo que nos permite construirlos por triangulación.
Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos e iguales. Sus
diagonales se cortan en sus puntos medios y sus ángulos opuestos son
iguales.
Los no paralelogramos pueden ser trapecios, si tienen dos lados paralelos, y
trapezoides, si no tienen lados paralelos.
Construcción de cuadriláteros.
Como hemos visto anteriormente, los cuadriláteros pueden construirse por
triangulación, es decir, construyendo los dos triángulos en que quedan
divididos por una de sus diagonales.
Veamos algunos de los casos que pueden plantear cierta dificultad.
Cuadrado conociendo la diagonal.
Situamos la diagonal AC y seguidamente trazamos su mediatriz. Con centro en
el punto medio de la diagonal dibujamos una circunferencia de radio OA. Los
puntos de intersección de la circunferencia y la mediatriz son los vértices B y D
del cuadrado. (Fig. 21)
El ángulo opuesto a la diagonal es recto y los vértices B y D equidistan de A y
C, razón por la cual trazamos el arco capaz del ángulo recto respecto a la
diagonal y la mediatriz de la misma.
Observa cómo el problema es el mismo que hallar las dos soluciones de un
triángulo rectángulo isósceles del que conocemos la base.
Rectángulo conociendo la diagonal y un lado
Este caso se resuelve de manera similar, pero necesitamos conocer uno de los
lados porque los triángulos son escalenos. (Fig. 22)
Fig. 21
Fig. 22
Polígonos regulares
Método general para la construcción de polígonos conociendo el
lado.
Se dibuja un segmento AB de magnitud igual al lado del polígono que
queremos construir. Seguidamente, hacemos centro en A y B,
respectivamente, y trazamos dos arcos de circunferencia de radio igual a la
magnitud del lado, obteniendo el punto de intersección O.
Haciendo centro en el punto O trazamos la circunferencia de radio OA,
circunscrita de un hexágono de lado AB.
Trazamos el diámetro perpendicular al lado AB y dividimos el radio OM en seis
partes iguales. Cada división es el centro de la circunferencia circunscrita de un
polígono de lado AB y n número de lados. En la Fig. 23 se ha representado el
eneágono, trazando su circunferencia circunscrita de centro 9 y radio 9A.
Fig. 23
Fig. 24
Método general para la construcción de polígonos conociendo el
radio de la circunferencia circunscrita.
A partir de un diámetro AB, dibujamos una circunferencia.
Dividimos el diámetro en un número n de partes iguales, siendo n el número de
lados que ha de tener el polígono.
Haciendo centro en los extremos del diámetro, trazamos arcos de radio AB que
se cortan en los puntos M y N.
Uniendo los puntos M y N, obtenemos sobre la circunferencia los vértices del
polígono. (Fig. 24)
Métodos particulares
Triángulo, hexágono y dodecágono.
En el hexágono se cumple que el radio de la circunferencia circunscrita es igual
al lado.
Podemos dividir una circunferencia en seis partes iguales trazando dos arcos
de circunferencia con centros en los extremos de un diámetro y con el mismo
radio de la circunferencia. (Fig. 25)
Si se repite esta operación en otro diámetro perpendicular al primero, la
circunferencia queda dividida en 12 partes iguales.
Tomando sólo tres vertices no consecutivos del hexágono, se obtiene el
triángulo equilátero.
Fig. 25
Fig. 26
Cuadrado y octógono.
Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro partes
iguales. Si se trazan las bisectrices de los cuadrantes se obtienen ocho partes
iguales de la circunferencia. (Fig. 26)
Pentágono y decágono.
Se dibuja la circunferencia circunscrita y se traza la mediatriz de uno de sus
radios, OP por ejemplo. Con centro en el punto medio del radio trazamos un
arco de radio ME, que corta en F al diámero PQ. De esta manera obtenemos
los segmentos EF y OF, iguales a los lados del pentágono y el decágono
respectivamente. (Fig. 27)
Fig. 27
Fig. 28
Heptágono.
La mediatriz del radio OP de la circunferencia circunstrita corta a la
circunferencia en el punto N, siendo MN igual a la magnitud del lado del
heptágono. (Fig. 28)
Hexágono conociendo el lado.
Construimos el triángulo equilátero de lado igual a la magnitud del lado AB del
hexágono. El vértice O hallado es el centro de la circunferencia circunscrita.
(Fig. 29)
Fig. 29
Fig. 30
Pentágono conociendo el lado.
Se sitúa el lado AB dado prolongando uno de sus extremos. (Fig. 30)
Se levanta una perpendicular por el extremo B y se traslada sobre ella la
magnitud del lado para obtener el punto M.
Con centro en el punto medio del lado, trasladamos el punto M sobre la
prolongación de AB determinando el punto F.
La distancia AF es igual a la magnitud de la diagonal de pentágono.
Con las medidas del lado y la diagonal hallada contruimos el pentágono por
triangulación.
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4. Curvas cónicas
Las curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobre
una superficie cónica de revolución. (Fig. 31)
Fig. 31
Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta que gira
alrededor de un eje, e, fijo con el que se corta en un punto V.
Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con el eje de la superficie
cónica, se pruducen las distintas curvas cónicas. (Fig. 32)
Fig. 32
Si el ángulo es mayor, igual o menor que el semiángulo del vértice de la
superficie cónica, se producen, respectivamente, una elipse, una parábola o
una hipérbola.
4.1. Elipse
Elementos de la elipse.
Las elipses poseen los siguientes elementos: (Fig. 33)
Ejes de simetría. Son perpendiculares en sus puntos medios. El valor del eje
mayor AA' es 2a y el del eje menor BB' 2b. El punto de intersección de los ejes
es el centro de simetría.
Focos. Son dos puntos fijos F y F', situados sobre el eje mayor y simétricos
respecto al eje menor. FF' es igual a 2c.
Radios vectores. Son los segmentos comprendidos entre los puntos de la
elipse y los focos. La suma de los radios vectores correspondientes a un mismo
punto es igual a 2a.
Circunferencia principal. Es la que tiene su centro en el centro de la elipse y
radio igual al semieje mayor.
Circunferencias Focales. Son las circunferencias con centro en los focos y
radio igual a 2a.
Fig. 33
Fig. 34
La elipse es una curva cerrada y plana. Se define como el lugar geométrico de
los puntos del plano cuya suma de distáncias a dos puntos fijos, llamados
focos, es constante e igual al eje mayor 2a.
Sea Pn un punto cualquiera de la elipse, se cumple que:
PnF + PnF' = 2a
Para determinar los focos F y F' de una elipse conocidos los ejes, se hace
centro en un extremo del eje menor, B por ejemplo, y se traza un arco de radio
igual al semieje mayor a. La intersección del arco con el eje mayor son los
focos de la elipse. (Fig. 32)
Sabiendo que B es un punto de la elipse, se cumple que:
BF + BF' = 2a, como BF=BF', por estar B en un eje de simetría, resulta que
BF=BF'=a.
Trazado de la elipse.
Método de los puntos.
Este método se basa en la definición de la elipse.
A partir de uno de los focos y hasta el centro de la elipse, dividimos el eje
mayor AA', en segmentos complementarios cuya suma es 2a.
A1 + 1A' = A2 + 2A' = A3 + 3A' = 2a
Estos segmentos son las medidas de los radios vectores de un mismo punto.
Hallamos los puntos que distan A1 de un foco y 1A' del otro, y así, con los
demás segmentos. (Fig. 35)
El trazado de la elipse se realiza a mano alzada.
Fig. 35
Fig. 36
Método de afinidad
Dibujados los ejes, se trazan las circunferencias de centro en O y radios los
semiejes de la elipse. (Fig. 36)
Por los extremos de los diámetros de la circunferencia mayor trazamos
paralelas al eje menor y por los extremos de los diámetros de la menor,
paralelas el eje mayor.
Los puntos de intersección pertenecen a la elipse.
4.2. Parábola
La parábola es una curva abierta y plana. Se define como el lugar geométrico
de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una
recta fija llamada directriz. Siendo Pn un punto cualquiera de la parábola, se
cumple que:
PnF = Pnd
La parábola puede considerarse una elipse que tiene su centro en el infinito, y
por tanto, sólo tiene un foco y un vértice real. La circunferencia principal tiene
su centro en el infinito y pasa por el vértice, es pues, la recta perpendicular al
eje mayor que pasa por el vértice. La circunferencia focal es una recta que
coincide con la directriz, ya que tiene su centro en el foco del infinito. El vértice
equidista del foco y de la directriz. (Fig. 37)
Fig. 37
Fig. 38
4.3. Hipérbola
La hipérbola es una curva abierta y plana de dos ramas. Se define como el
lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos
puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. Siendo Pn un punto
cualquiera de la hipérbola, se cumple que:
PnF - PnF' = AA' = 2a
La hipérbola tiene dos ejes de simetría, el eje real AA' = 2a y el eje imaginario
BB' = 2b. Se cortan en el centro de simetría O. La circunferencia principal tiene
su centro en O y r = a. Las circunferencias focales tienen los centros en F y F' y
r = 2a.
Los focos se determinan sobre el eje real con una circunferencia de centro O y
r = AB. (Fig. 38)
La hipérbola y la parábola, al igual que la elipse, se construyen por el método
de los puntos aplicando las propiedades de sus definiciones.
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5. Tangencias y enlaces
5.1. Conceptos básicos
Una recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes cuando
tienen un único punto común.
En una relación de tangencia entre una recta y una circunferencia, se cumple
que:


El radio de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente en el
punto de tangencia.
La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al
radio.
Fig. 39
Cuando dos circunferencia son tangentes, se cumple que:


Sus centros están alineados con el punto de tangencia.
La suma (si son exteriores) o diferencia (si son interiores) de los radios
es igual a la distancia entre sus centros.
De las propiedades anteriores se desprende, que el lugar geométrico de los
centros de las circunferencias tangentes a una recta en un punto, es la
perpendicular a la recta en ese punto.
Y que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una
circunferencia en un punto de ella, es la recta definida por centro y el punto de
tangencia.
Potencia de un punto respecto a una circunferencia.
Si trazamos un haz de rectas secantes desde un punto P a una circunferencia,
el producto de los segmentos comprendido entre el punto P y los puntos de
intersección de las rectas con la circunferencia.
La potencia es igual al cuadrado de la distancia del punto P, al punto de
tangencia de una recta tangente a la circunferencia, trazada desde P. (Fig. 40)
PA x PA' = PB x PB' = ... = PN x PN' = PT²
Fig. 40
Fig. 41
Eje Radical es el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia
respecto a dos circunferencias.
El eje radical de dos circunferencias secantes, es la recta que une los puntos
de intersección de ambas circunferencias.
El de dos circunferencias tangentes, es la recta tangente común a ambas
circunferencias en el punto de tangencia.
Para hallar el eje radical de dos circunferencias exteriores se traza una
circunferencia auxiliar secante a las dadas. Por el centro radical de las tres
circunferencias trazamos una perpendicular a la recta que una los centros de
las circunferencias exteriores. (Fig. 41)
Centro Radical es el punto que tiene igual potencia respecto a tres
circunferencias. Se encuentra en la intersección de los ejes radicales de las
circunferencias tomadas dos a dos.
5.2. Casos.
La mayoría de los problemas de tangencia se resuelven aplicando los
conceptos de lugares geométricos, por suma y diferencia de radios, y por
potencia.
Se pueden pedir rectas tangentes a circunferencias, o circunferencias
tangentes a rectas y, o circunferencias. Cuando se piden circunferencias, se
pueden fijar tres condiciones, pasar por un punto, ser tangente a una recta y
ser tangente a otra circunferencia. La combinación de estas tres condiciones
nos dan 10 casos, que se representan por combinación de las iniciales P, R, y
C. Cuando no se fijan las tres condiciones es necesario dar algún dato, como el
radio o los puntos de tangencia.
Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.
Con centro en el punto medio del segmento OP, se traza una circunferencia
que pase por los extremos O y P. Las intersecciones de la circunferencia
auxiliar con la circunferencia dada son los puntos T1 y T2, de tangencia. (Fig.
42)
Esto se explica, por que al ser recto el ángulo que forman el radio y la tangente
en el punto de tangencia, éste debe encontrarse en el arco capaz del ángulo
recto respecto al segmento OP.
Fig. 42
Fig. 43
Rectas tangentes comunes a dos circunferencias.
Trazamos una circunferencia auxiliar, concéntrica con la mayor, de radio igual a
la diferencia de los de las dadas. Otra circunferencia que pase por los extremos
de OO' y centro en su punto medio, la corta en los puntos A y B. Los radios OA
y OB, determinan los puntos de tangencia sobre la circunferencia mayor. Los
radios que pasan por los puntos de tangencia de ambas circunferencias con la
misma recta, son paralelos. (Fig. 43)
Si la primera circunferencia auxiliar es igual a la suma de los radios se obtienen
las tangentes interiores. (Fig. 44)
Fig. 44
Fig. 45
Circunferencias tangentes comunes a una circunferencia y una
recta.
Si el dato es el radio r' de las circunferencias, los centros distarán r' de la recta,
y r + r' ó r - r' del centro de la circunferencia dada. Las intersecciones de los
lugares geométricos determinan los centros de las soluciones. (Fig. 45)
Si el dato es el punto de tangencia en la circunferencia, la tangente a la
circunferencia en ese punto es el eje radical de las soluciones. La intersección
del eje radical con la recta dada es centro radical de las tres circunferencias, es
decir, la distancia de ese punto a los puntos de tangencia es la misma. (Fig. 46)
Fig. 46
Fig. 47
Si el dato es el punto de tangencia en la recta, los centros se encuentran en la
perpendicular a la recta por dicho punto. Si trazamos la circunferencia tangente
a una recta auxiliar, paralela a la recta dada a una distancia igual al radio de la
circunferencia dato, pasando por el centro C, y posteriormente restamos el
radio, obtenemos una de las soluciones. (Fig. 47)
Caso PPP.
El centro de la circunferencia equidista de los tres puntos, por tanto, se
encuentra en la intersección de las mediatrices de los segmentos formados por
los puntos. (Fig. 48)
Fig. 48
Fig. 49
Caso PPR.
La recta que pasa por los puntos dados es el eje radical de las soluciones y de
la circunferencia auxiliar trazada por A y B, El punto M es el centro radical de
las tres circunferencias, por tanto, tiene igual potencia respecto a las tres.
Trazando una recta tangente a la circunferencia auxiliar obtenemos la potencia.
Si llevamos el segmento MT, sobre la recta, determinamos los puntos T1 y T2.
De esta manera tenemos tres puntos de cada solución. (Fig. 49)
Fig. 50
Fig. 51
Caso PRR.
Si se dibuja el simétrico del punto dado respecto a la bisectriz, el caso se
resuelve como el PPR, siendo R cualquiera de las rectas.
Caso RRR.
Los centros de la soluciones son los cuatro puntos de intersección de las
bisectrices de los ángulos que forman las tres rectas. (Fig. 50)
Caso PPC.
Se traza una circunferencia auxiliar que pasando por los puntos A y B dados,
corte a la circunferencia también dada. La recta que une los puntos de
intersección de la circunferencia auxiliar con la circunferencia dada, es el eje
radical de ambas circunferencias; y la recta AB, es el eje radical de las
soluciones y de la auxiliar. El punto M, es por tanto, el centro radical de todas
las circunferencias.
Las tangentes trazadas a la circunferencia dada, desde el punto M, determinan
los puntos de tangencia sobre la circunferencia.
Como los puntos de tangencia están alineados con los centros de las
circunferencias, los centros de las soluciones se hallaran en los radios de la
circunferencia dada, que pasan por los puntos de tangencia T1 y T2 .
Evidentemente, los centros de las soluciones también se encuentran en la
mediatriz de AB. (Fig. 51)
5.3. Enlaces
Enlaces son las uniones armónicas por medio de tangenias entre distintas
figuras.
Para resolver problemas de tangencia hay que tener presente las dos
propiedades fundamentales de las tangencias:


El radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la recta
tangente.
Los centros de dos circunferencias tangentes están alineados con el
punto de tangencia.
Trazados de enlaces
Enlace de dos rectas.
Para definir el problema se necesita conocer el radio o un punto de tangencia.
Si conocemos el radio, trazamos paralelas a las rectas dadas, a una distancia
igual al radio, obteniendo el centro del arco en su intersección. Los puntos de
enlace se hallan trazando perpendiculares por el centro del arco a las rectas
tangentes.
Si el dato es el punto de tangencia, la perpendicular trazada por el punto de
tangencia a la recta, y la bisectriz del ángulo que forman, se cortan en el centro
del arco. (Fig. 52)
Fig. 52
Fig. 53
Enlace de dos arcos.
Dándonos el radio, las circunferencias concéntricas de radios iguales a la suma
y diferencia, determinan los centros del arco de enlace. Sabemos que los
puntos de enlace están alineados con los centros. (Fig. 53)
Enlace de arco y recta.
Las paralelas a la recta a una distancia igual al radio dado y las circunferencias
concentricas de radios la suma y diferencia, determinan los centros. (Fig. 54)
Fig. 54
Fig. 55
5.4. Curvas técnicas
Construcción del óvalo conociendo los ejes.
El óvalo es una curva cerrada compuesta por cuatro arcos de circunferencia
tangentes entre sí.
Se transporta la magnitud del semieje mayor sobre el semieje menor y
obtenemos el punto E. Con centro en C y radio CE determinamos sobre la
recta AC, el punto F. La intersección de la mediatriz del segmento AF con los
ejes del óvalo, son centros de dos de arcos de la curva. Los otros dos se
obtienen por simetría, y los puntos de tangencia por intersección de las rectas
que unen los centros con los arcos. (Fig. 56)
Fig. 56
Fig. 57
Construcción del ovoide del que se conoce el eje menor.
La mediatriz del eje AB, al cortar con la circunferencia de diámetro la magnitud
de dicho eje y centro su punto medio, determina el centro de uno de los arcos
del ovoide. Los otros centros son los extremos y el punto medio de AB. (Fig.
57)
Espiral de dos centros.
Con centro en uno de los puntos y radio la distancia entre ellos, se traza un
primer arco que determina, sobre la recta que los une, el primer punto de
tangencia.
La distancia del segundo centro al punto de tangencia hallado, es el radio del
segundo arco. (Fig. 58)
Fig. 58
Fig. 59
Espiral de tres centros.
Prolongamos los lados de un triángulo equilátero cuyos vértices son los centros
de la espiral. Hacemos centro en el primer vértice con radio igual al lado y
trazamos el primer arco hasta cortar la prolongación del primer lado. (Fig. 59)
SISTEMA DIÉDRICO
1. Fundamentos
2. El punto, la recta y el plano
1. Representación del punto
2. Representación de la recta
3. Representación del plano
3. Intersecciones. Paralelismo y Perpendicularidad. Distancias
1. Intersecciones
2. Paralelismo y Perpendicularidad. Distancias
4. Abatimientos, giros y cambios de plano
1. Abatimientos
2. Giros
3. Cambios de plano
5. Ángulos
6. Poliedros regulares
1. Tetraedro
2. Hexaedro
3. Octaedro
7. Prisma y pirámide rectos
8. Cilindro y cono rectos de revolución. La esfera
Sistema Diédrico
Fundamentos
La geometría descriptiva es la ciencia que estudia la representación de los
elementos del espacio sobre el plano.
Utiliza unos métodos, llamados sistemas de representación, que se basan en
el concepto de proyección desde un punto sobre el plano para reducir las tres
dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano. Los sistemas de
representación han de cumplir el principio de reversibilidad, es decir, que
utilizando un sistema de representación podamos representar un cuerpo del
espacio sobre el plano, y partiendo de dicha representación lo podamos
reconstruir en el espacio.
Del concepto de proyección desde un punto sobre el plano, se derivan los tres
tipos de proyecciones que utilizan los distintos sistemas de representación. Si
el punto desde el que se proyectan los elementos del espacio sobre el plano es
propio, el tipo de proyección es cónica, y cilíndrica, si es impropio. La
proyección cilíndrica puede ser ortogonal u oblícua dependiendo de que el rayo
proyectante sea perpendicular u oblícuo al plano de proyección.
Fig 1
En Sistema Diédrico se proyectan los elementos del espacio, utilizando la
proyección cilíndrica ortogonal, sobre dos planos que se cortan
perpendicularmente formando un diédro rectángulo (Fig. 2).
Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas
sobre un único plano de proyección, que coincida con el plano del dibujo, se
abate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical (Fig. 3). De esta
manera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un único
plano.
Fig. 2
Fig. 3
El punto
Un punto del espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales
sobre los planos de proyección. En la figura 4, el punto A del espacio queda
representado por sus proyecciones a sobre el plano Horizontal, y a’ sobre el
plano Vertical.
Al abatir el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra, sobre el vertical, la
proyección a del punto se traslada con el plano, de manera que las
proyecciones a-a’ quedan situadas sobre la misma perpendicular a la línea de
tierra (Fig. 5). Cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano del
dibujo, sólo nos queda la LT y las proyecciones del punto, pero no el punto del
espacio.
Fig. 4
Fig. 5
Conceptos de cota y alejamiento
La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, y se
representa en el sistema diédrico, como la distancia de la proyección vertical a'
a la línea de tierra. El alejamiento es la distancia al plano vertical y quedaría
representado por la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra (Fig.
6).
Fig. 6
Fig. 7
Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota
es positiva y en el sistema diédrico su proyección vertical estará por encima de
la línea de tierra. El alejamiento de un punto es positivo si el punto en el
espacio se encuentra por delante del plano vertical. La proyección horizontal de
un punto con alejamiento positivo siempre estará por debajo de la línea de
tierra.
Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes. El primer
cuadrante es el espacio que se encuentra por encima del plano horizontal y por
delante del plano vertical, por lo que un punto del 1er cuadrante tiene cota y
alejamiento positivos y se representa con la proyección horizontal por debajo
de la línea de tierra y la proyección vertical por encima (Fig. 7).
Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyección, la
cota ó el alejamiento serán nulos y la proyección correspondiente se encontrará
sobre la línea de tierra.
Alfabeto del punto
El alfabeto del punto es la representación del punto en las distintas posiciones
que puede ocupar en el espacio respecto a los planos de proyección y a los
planos bisectores. Los planos bisectores son los que dividen los cuadrantes en
dos diedros iguales. Con los bisectores, el sistema queda dividido en ocho
octantes (Figs 9 y 10).
Fig. 9
Fig. 10
Los puntos contenidos en los planos bisectores equidistan de los planos de
proyección, por lo que tendrán la misma cota que alejamiento. Si son del
mismo signo, las proyecciones del punto equidistan de la LT; y si son de
distinto signo, éstas quedarán superpuestas (Fig. 10).
Para representar las diecisiete posiciones del punto en el sistema diédrico,
podemos ayudarnos del esquema de la fig. 10, donde se puede observar
claramente los valores de las cotas y alejamientos del punto. Por ejemplo, el
punto A(a-a') tiene alejamiento positivo (a por debajo de LT) por estar por
delante del plano vertical y cota nula (a' en LT) por encontrarse en el horizontal.
Siguiendo este procedimiento podemos representar las demás posiciones (Fig.
11).
Fig. 11
anterior
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siguiente
La Recta
Dos puntos del espacio determinan una recta. Por lo tanto, para representarla
en el sistema diédrico bastará con conocer las proyecciones de dos puntos
cualesquiera de ella A y B. Uniendo las proyecciones homónimas, es decir a
con b y a' con b', se obtienen las proyecciones horizontal r y vertical r' de la
recta (Fig. 12).
Fig. 12
Fig. 13
Trazas de la recta
Una recta también puede definirse por sus trazas. Las trazas de una recta son
los puntos de intersección de la recta con los planos de proyección.
La intersección de una recta con el plano horizontal es un punto H del plano
horizontal, y por tanto con cota nula, lo que implica que su proyección vertical h'
se encuentre en la línea de tierra.
La traza vertical V, por tener alejamiento nulo, tendrá su proyección horizontal
v, en la línea de tierra.
Partes vistas y ocultas
En este sistema el espectador se sitúa en el primer cuadrante, por ello, sólo
serán vistos los elementos situados en él, representandose con línea continua.
Para determinar las partes vistas y ocultas de una recta debemos considerar la
posición de las trazas. Si, por ejemplo, una recta tiene su traza vertical V(v-v')
en el plano vertical superior y su traza horizontal H(h-h') en el plano horizontal
anterior, el segmento comprendido entre las trazas pertenece al primer
cuadrante, la semirrecta a partir de la traza vertical pertenece al segundo y la
semirrecta a partir de la traza horizontal al tercero.
Fig. 14
Fig. 15
Trazas con los bisectores
Las trazas con los bisectores son los puntos que tienen igual cota que
alejamiento y pertenecen a la recta. El segundo bisector pasa por los
cuadrantes que tienen cota y alejamiento de distinto signo, por tanto, la traza B 2
con el segundo bisector es el punto de intersección de las proyecciones de la
recta. Y al contrario, la traza con el primer bisector B1 es el punto cuyas
proyecciones equidistan de la LT. Este se halla trazando la recta simétrica de
una de las proyecciones hasta cortar la otra proyección (Fig. 15).
Alfabeto de la recta
Fig. 16
A) Recta paralela a la línea de tierra: es también paralela a los dos planos de
proyección, por tanto, el alejamiento y la cota de todos sus puntos son
constantes.
B) Recta horizontal: es paralela al plano horizontal, por lo que su proyección
vertical se representa paralela a la LT. Sólo tiene traza con el plano vertical, al
que es oblicua.
C) Recta frontal: es paralela al plano vertical y oblicua al horizontal, su
proyección horizontal se representa paralela a LT por tener alejamiento
constante. Sólo tiene traza don el plano horizontal.
D) Recta vertical: es perpendicular al plano horizontal y sólo tiene traza con él.
Su proyección vertical es perpendicular a LT y la horizontal es un punto que
coincide con su traza.
E) Recta de punta: es perpendicular al plano vertical, por lo que todos los
puntos de la recta se proyectan sobre su traza vertical. Su proyección
horizontal es perpendicular a la línea de tierra.
F) Recta genérica: es oblicua a los dos planos de proyección. Las trazas que la
definen pueden ser dos puntos cualesquiera de los planos de proyección. Sus
dos proyecciones son oblicuas a la LT.
G) Recta que pasa por la LT. : Es también oblicua a los dos planos de
proyección, pero sus trazas coinciden en un mismo punto de la LT, por lo que
necesitamos un punto -M(m-m’)- que le pertenezca para definirla.
H) Recta perpendicular a LT. : sus proyecciones son perpendiculares a la LT.
También se necesita un punto para definirla.
I) Recta de perfil: por ser paralela a un plano de perfil sus proyecciones son
perpendiculares a la LT.
Fig. 17
anterior
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El plano
Alfabeto del plano
El plano se representa por sus trazas. Las trazas de un plano son las rectas de
intersección del plano con los planos de proyección vertical y horizontal.
Las distintas posiciones del plano con respecto a los planos de proyección
conforman el alfabeto del plano.
Fig. 18
A) Plano horizontal: es paralelo al plano horizontal de proyección, por lo que
sólo tiene una traza con el plano vertical que es paralela a la línea de tierra. Los
elementos contenidos en él se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano
horizontal.
B) Plano Frontal: el paralelo al plano vertical. Sólo tiene traza horizontal
paralela a la LT.
C) Plano de canto o proyectante vertical: es perpendicular al plano vertical y
oblicuo al horizontal. Al ser perpendicular al plano vertical, los elementos
contenidos en el se proyectan sobre la traza con dicho plano.
D) Plano vertical o proyectante horizontal: es perpendicular al plano
horizontal. Su traza vertical es perpendicular a la LT. Y su traza horizontal
oblicua.
E) Plano genérico: es oblicuo a los dos planos de proyección.
F) Plano paralelo a la LT. : es oblicua a los planos de proyección y
perpendicular a los planos de perfil; se puede considerar un proyectante de
perfil, lo que implica que todo lo contenido en él se proyecte sobre su traza de
perfil.
G) plano que pasa por LT. : sus trazas se confunde en la LT., por lo que se
necesita un punto del mismo para definirlo. También es proyectante de perfil.
H) Plano de perfil: es paralelo al plano de perfil y perpendicular al vertical y al
horizontal. Sobre ambas trazas se proyectan los elementos contenidos en él,
los cuales se proyectan en verdadera magnitud en el plano de perfil de
proyección.
Fig. 19
Relaciones de pertenencia
Un punto pertenece a una recta, si sus proyecciones están contenidas en las
proyecciones homónimas de la recta (Fig. 20).
Fig. 20
Fig. 21
Una recta pertenece a un plano, si sus trazas están contenidas en las trazas
homónimas del plano (Fig. 21).
Un punto pertenece a un plano, si está contenido en una recta que a su vez
pertenece al plano (Fig. 21).
Rectas notables del plano


Rectas horizontales: son las rectas horizontales que pertenecen al
plano. Su Traza -V(v-v’)- está sobre la traza -P’- del plano y su
proyección horizontal es paralela a la traza P (Fig. 22).
Rectas Frontales: Su única traza -H(h-h’)- pertenece a -P- y la
proyección -f’- es paralela a la traza vertical -P’- del plano (Fig. 23).
Fig. 22
Fig. 23


Fig. 24
Recta de máxima pendiente: Es la recta que perteneciendo al plano
forma mayor ángulo con el plano horizontal (Fig. 24).
Recta de máxima inclinación: Es la recta del plano que forma mayor
ángulo con el plano vertical (Fig. 25).
Fig. 25
La recta de máxima inclinación tiene, al contrario que la r.m.p., La proyección
vertical perpendicular a la traza homónima del plano. Ambas rectas son
suficientes para definir un plano. Si, por ejemplo, se nos da un plano definido
por su recta de máxima pendiente, la perpendicular por la traza -h- a la
proyección horizontal -r- de la recta es la traza horizontal del plano. La traza
vertical -P’- la trazamos uniendo el origen del plano con la traza vertical - v’-.
Determinación de las trazas de un plano
Un plano puede quedar determinado por los siguientes elementos:




Fig. 26
Dos rectas que se cortan (Figs. 26, 27 y 28).
Tres puntos no alineados (Fig. 30).
Una recta y un punto que no le pertenezca.(Fig. 31)
Dos rectas paralelas (Fig. 29).
Fig. 27
Los casos en que nos dan dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas se
resuelven hallando las trazas de ambas rectas y trazando por ellas las trazas
homónimas del plano.
Fig. 28
Fig. 29
Cuando nos dan tres puntos no alineados, podemos transformar el caso en el
de dos rectas que se cortan si trazamos las rectas AB y AC, que se cortarán
precisamente en el punto A.
El caso de una recta y un punto exterior también se transforma en el primero si
situamos en la recta un punto cualquiera, M, y lo unimos con el punto dado, los
cuales definen una recta S que se corta con la recta dada en el punto M.
Fig. 30
Fig. 31
Intersecciones
Intersección entre planos
La intersección entre dos planos es una recta común a ambos. Para
determinarla seguiremos los siguientes pasos: trazamos dos planos auxiliares,
en la Fig. 1a se han trazado dos planos horizontales. La intersección del plano
(H) con (P) es la recta R, y con (Q) la recta S. La intersección de ambas rectas
es el punto A común a los tres planos y, por lo tanto, pertenece a la recta
intersección de (P) y (Q).
Procediendo del mismo modo con el segundo plano auxiliar, obtenemos el
punto B, con el que queda definida la recta intersección de ambos plano.
Si consideramos como planos auxiliares los planos de proyección, las
intersecciones de éstos con (P) y (Q), son precisamente sus trazas P-P’ y Q-Q’
(Fig. 1b). Recordad que las trazas de un plano son las rectas de intersección
de éste con los planos de proyección.
Fig. 1
Fig.2
Planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo.
Si sólo se cortan las trazas horizontales de los planos, trazamos un plano
horizontal que corte las trazas verticales de los planos dados. Las
intersecciones de este plano con los planos (P) y (Q) son dos rectas
horizontales que se cortan en el punto A(a-a’) común a los tres planos. Uniendo
este punto con el punto de intersección de las trazas horizontales de los planos
obtenemos la recta I (Fig. 2).
Si solamente se cortan las trazas verticales procedemos de igual forma
utilizando un plano frontal (Fig. 3), y utilizamos ambos planos auxiliares si no se
cortan ninguna de las trazas (Fig. 4).
Fig. 3
Fig.4
Casos particulares
La intersección entre dos planos cuyas trazas concurren en un mismo punto de
la línea de tierra, se determina con el auxilio de un plano horizontal que corta a
los planos (P) y (Q) seguacute;n dos rectas horizontales. La intersección de
dichas rectas es el vértice del triedro formado por los planos (P), (Q) y (H).
Uniendo dicho punto con el punto donde concurren las trazas de los planos
dados, obtenemos la recta intersección (Fig. 5).
Fig. 5
Fig. 6
La intersección de dos planos paralelos a la línea tierra es una recta paralela a
la línea de tierra. Por ser los planos perpendiculares al plano de perfil, la
intersección de sus trazas en el plano de perfil es la proyección de perfil de la
recta intersección. A partir de dicha proyección obtenemos las proyecciones
diédricas. (Fig. 6)
Intersección entre recta y plano
La intersección entre una recta y un plano es el punto común a ambos, para
determinarlo procedemos de la siguiente manera: contenemos la recta en un
plano proyectante auxiliar (Q). La intersección entre (P) y (Q) es una recta S
que corta a R en el punto I de intersección. (Fig. 7).
La intersección de una recta R con un plano dado por dos rectas que se cortan
S y T, se halla conteniendo la recta R en un plano proyectante, el cual corta el
plano definido por las rectas S y T, según la recta AB coplanaria con ambas. La
intersección de la recta R con la recta AB es el punto I de intersección de R con
el plano dado. (Fig. 8)
Fig. 7
Fig. 8
Paralelismo y Perpendicularidad. Distancias
Paralelismo
Dos rectas son paralelas si tienen sus proyecciones homónimas paralelas.
Las rectas de perfil pueden no ser paralelas en el espacio aún siéndolo sus
proyecciones diédricas, en este caso es necesario que sus proyecciones de
perfil también lo sean (Fig. 9).
Fig. 9
Fig. 10
Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta cualquiera contenida en el
plano.
Para trazar por un punto A una recta R paralela a un plano P dado, dibujamos
una recta cualquiera S contenida en el plano y por el punto A dado, trazamos la
paralela R a la recta S (Fig. 10).
El problema inverso, es decir, trazar por un punto un plano paralelo a una recta
R dada, se resuelve trazando por el punto una recta S paralela a R. Cualquier
plano que contenga a la recta S es paralelo a R.
Fig. 11
Fig. 12
Las intersecciones de dos planos paralelos con un plano cualquiera son dos
rectas paralelas, de aquí que los planos paralelos tengan sus trazas
homónimas paralelas.
Los planos proyectantes de perfil deben tener paralelas sus trazas de perfil
para ser paralelos en el espacio (Fig. 12).
Para trazar por un punto un plano Q, paralelo a un plano P dado, podemos
auxiliarnos de un recta horizontal o frontal. Si elegimos una recta horizontal,
trazamos su proyección horizontal por la proyección horizontal del punto dado
paralela a la traza horizontal del plano P. Conteniendo la traza de la recta
horizontal, trazamos Q', paralela a P', y por el origen del plano obtenido sobre
la línea de tierra, la traza Q paralela a P. (Fig. 11).
Perpendicularidad
Si una recta es perpendicular a un plano, lo es a todas las rectas del plano,
pasen o no por el punto de intersección. En la Figura 13a, la recta R es
perpendicula a S, T, V, ...
Fig. 13
Teorema de las tres perpendiculares.- Si dos rectas R y S son
perpendiculares en el espacio, y una de ellas, la R por ejemplo, es paralela a
un plano de proyección (Fig. 13b) o está contenida en él (Fig. 13c), ambas
rectas se proyectan perpendiculares sobre dicho plano.
Considerando el plano proyectante definido por el haz de rectas
perpendiculares a R en un punto, resulta que todas la rectas del haz se
proyectan sobre su traza. Si la recta T, de dicho haz, es paralela al plano de
proyección, el ángulo formado por R y T se proyecta sin deformación.(Fig. 13b)
perpendicularidad entre recta y plano
Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas sus rectas, por tanto, si
la recta R es perpendicular al plano (P), lo es a su traza P. Por el teorema de
las tres perpendiculares, siendo R y P perpendiculares y estando contenida la
traza P del plano en el plano de proyección, las proyecciones de R y P deben
mostrarse ortogonales. De lo dicho deducimos que si una recta es
perpendicular a un plano, sus proyecciones son perpendiculares a las trazas de
dicho plano (Figs 14 y 15).
Fig. 14
Fig. 15
Para trazar por un punto M, una recta R perpendicular a un plano P dado, basta
con trazar por las proyecciones del punto las proyeciones homónimas de la
recta, perpendiculares a las trazas del plano. (Fig. 15)
El problema inverso podemos resolverlo con el auxilio de una recta horizontal
que, pasando por el punto, tenga su proyección horizontal perpendicular a la
traza horizontal del plano dado.
Perpendicularidad entre planos
Si una recta R es perpendicular a un plano (P), cualquier plano (Q) que
contenga a la recta R es perpendicular a (P).
Perpendicularidad entre rectas
Para trazar una recta R perpendicular a otra S dada, trazamos el plano (P)
perpendicular a S, cualquier recta R contenida en el plano P es perpendicualar
a la recta S.
Distancias
Los problemas de distancia son una aplicación de la perpendicularidad,
consisten en detirminar la mínima distancia entre dos elementos geométricas.
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es el segmento rectilíneo comprendido entre
ambos. En el esquema de la Fig. 16, podemos apreciar que la distandia en
verdadera magnitud entre las puntos A y B es la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuyos catetos son la proyección horizontal del segmento AB y la
diferencia de sus cotas. Construyendo dicho triángulo sobre el plano horizontal
podemos obtenemos la verdadera magnitud del segmento AB. Lo mismo
ocurre con el triángulo cuyos catetos son la proyección vertical del segmento y
la diferencia de sus alejamientos.
Fig. 16
Fig. 17
Distancia de un punto a un plano
La distancia de un punto a un plano es el segmento comprendido entre el punto
y el pie de la perpendicular trazada por el punto al plano.
Para determinar la distancia en el Sistema Diédrico de un punto A a un plano
(P) dados, trazamos por A la recta R perpendicular al plano (P). Hallamos el
punto B de intersección de la recta R con el plano (P) auxiliandonos de un
plano proyectante. Una vez obtenido el punto B construimos el trángulo
rectángulo, de catetos la proyección vertical del segmento AB y la diferencia de
alejamientos, para obtener la verdadera magnitud de la distancia.
Distancia de un punto a una recta
Si trazamos por el punto A un plano (P) perpendicular a la recta R y hallamos el
punto B de intersección de la recta con el plano, obtenemos el segmento AB,
mínima distancia entre R y A. (Fig. 18)
Fig. 18
Fig. 19
Distancia entre dos rectas paralelas
Trazamos el plano (P) perpendicular común a las rectas R y S. Las
intersecciones del plano con las rectas son los puntos A y B que determinan el
segmento mínima distancia entre las rectas. (Fig. 19)
Distancia entre dos planos paralelos
Trazamos una recta R perpendicular común a los planos dados y hallamos los
puntos de intersección que determinan la distancia entre los planos. (Fig 20)
Fig. 20
Fig. 21
Distancia entre dos rectas que se cruzan siendo una de ellas
perpendicular a uno de los planos de proyección
La distancia entre dos rectas que se cruzan es la perpendicular común a
ambas rectas. Si una de las rectas, por ejemplo la R, es perpendicular al plano
horizontal de proyección, las perpendiculares a dicha recta son todas paralelas
a dicho plano. En virtud del teorema de las tres perpendiculares, la
perpendicular común y la recta S han de proyectarse perpendiculares sobre el
plano horizontal, puesto que una de ellas es paralela al plano de proyección.
(Fig. 21)
En el Sistema Diédrico trazamos por la proyección horizontal de la recta R, la
perpendicular a la proyección horizontal de S. El pie de la perpendicular es la
proyección horizontal del punto B. La proyección vertical de B la obtenemos
refirindolo sobre S desde la proyección horizontal b. El punto A se obtiene
trazando la paralela a la línea de tierra por a', ya que la recta AB es una
horizontal.
Al ser la recta AB paralela al plano horizontal se proyecta sobre éste en
verdadera magnitud
anterior
Indice
siguiente
Abatimientos, giros y cambios de plano
Cuando un segmento o una figura plana son paralelos a los planos de
proyección, se proyectan sobre ellos sin deformación. En la mayoría de los
casos nos encontrarenos con figuras que son oblícuas a ambos planos y, por lo
tanto, se proyectan deformadas sobre los mismos. En estos casos tendremos
que recurrir a los abatimientos, giros o cambios de plano, para obtener
posiciones más favorables de las figuras respecto a los planos de proyección.
Abatimientos
Los abatimientos se usan generalmente, en el Sistema Diédrico, para obtener
las verdaderas formas y magnitudes de figuras planas o para su construcción
sobre planos oblícuos. Normalmente se abaten los planos que contienen las
figuras sobre uno de los planos de proyección.
Abatir un plano sobre otro plano, consiste en girar uno de ellos alrededor de su
traza, denominada charnela, hasta hacerlo coincidir con el otro.
abatimiento de un punto
Cuando se abate un punto, o cualquier otro elemento, lo que se abate en
realidad es el plano que lo contiene.
Para abatir el punto A contenido en el plano (P) sobre el plano (H), trazamos un
arco de circunferencia de radio AC, igual a la distancia del punto A a la
charnela P. El radio de giro r, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
cuyos catetos son la distancia del punto del espacio al plano de proyección y la
distancia de la proyección del punto a la charnela. Este triángulo podemos
dibujarlo sobre el plano de proyección para obtener el abatimiento del punto en
el Sistema Diédrico. (Fig. 1)
Fig. 1
Fig. 2
Partiendo de las proyecciones del punto y de la traza horizontal del plano que
lo contiene utilizada como charnela, hemos abatido el punto A sobre el plano
horizontal de proyeción. (Fig. 2).
Por la proyección horizontal del punto trazamos la perpencicular a la charnela y
determinamos el centro c. Sobre la paralela a la charnela trazada por a,
trasladamos la cota del punto para obtener el radio r. Con centro en c y radio r,
trazamos el arco de circunferencia que corta a la prolongación de ac en (A).
Abatimiento de una recta
Para abatir una recta basta con abatir dos de sus puntos. En la Fig. 3 hemos
abatido las trazas de la recta R. La traza vertical la abatimos como en el
apartado anterior y la traza horizontal no se mueve por estar contenida en la
charnela.
Las rectas horizontales de un plano son paralelas a su traza horizontal, por lo
que abatidas sobre el plano horizontal de proyección, se mantienen paralelas a
la charnela. Para abatir estas rectas, basta abatir su traza vertical y trazar por
ella la recta abatida paralela a la charnela (Fig. 4)
Fig. 3
Fig. 4
Abatimiento de un plano
Abatir un plano conciste en abatir la traza que no hace la función de charnela,
puesto que ésta rota sobre sí misma. Si queremos abatir la traza vertical de un
plano sobre el horizontal de proyección, sólo tenemos que abatir dos puntos de
ella. Si uno de ellos es el origen del plano que por pertenecer también a la
charnela no se mueve, basta con abatir un punto cualquiera de la traza vertical
y unirlo con el origen del plano (Fig. 4)
Representación de una figura plana
Para representar una figura plana contenida en un plano abatimos el plano y la
construimos con las medidas reales sobre el plano abatido. Auxiliandonos de
rectas horizontales o frontales desabatimos cada uno de sus vértices para
obtener sus proyecciones diédricas. (Fig. 5)
La circunferencia la podemos representar desabatiendo dos diámetros
perpenciculares de la circunferencia. Éstos se transforman en los diámetros
conjugados de las elipses en que se proyectan las circunferencias.
En el desabatimiento de la circunferencia podemos aplicar la afinidad ortogonal
de eje la charnela y figuras homólogas la circunferencia abatida y su
proyección sobre el mismo plano. (Fig. 6)
Fig. 5
Fig. 6
Los planos proyectantes tienen sus trazas perpendiculares, por lo tanto, tras el
abatimiento se mantienen perpendiculares. Si abatimos un plano de canto
sobre el horizontal tomando como charnela su traza horizontal, la traza vertical
abatida coinciderá con la línea de tierra (Fig. 7)
Los planos paralelos a la línea de tierra son proyectantes de perfil y podemos
abatirlos sobre el mismo plano de perfil (Fig. 8)
Fig. 7
Fig. 8
Giros
Giro de un punto
Si un punto gira alrededor de una recta describe una circunferencia de radio la
distancia del punto a la recta y contenida en un plano perpendicular al eje de
giro.
Si tomamos como eje de giro una recta vertical, la circunferencia de giro estará
contenida en un plano horizontal y se proyectará sobre el plano horizontal de
proyección en verdadera magnitud y en el plano vertical como un segmento,
igual a su diámetro, coincidente con la traza del plano horizontal que la
contiene (Fig. 9).
En el sistema diédrico se ha girado el punto A trazando un arco de
circunferencia con centro en la proyección horizontal del eje, obteniendo así la
nueva proyección horizontal del punto a1, por dicha proyección se traza la
perpendicular a la línea de tierra para obtener sobre la traza del plano la nueva
proyección vertical (Fig. 10)
Fig. 9
Fig. 10
Giro de una recta
para girar una recta basta girar dos de sus puntos el mismo ángulo. Si la recta
corta el eje, el punto de intersección de ambas recta no se mueve tras el giro,
por lo que es suficiente con girar un punto y unirlo con el punto de intersección
(Fig. 11).
Si la recta y el eje se cruzan, trazamos la perpendicular común, que será una
horizontal si el eje es vertical. La perpendicular común y la recta R se proyectan
durante el giro siempre perpendiculares, al permanecer la primera paralela al
plano horizontal. De esta marera podemos girar la proyección horizontal de R
que se mantendrá tangente a la circunferencia de giro. Girada la proyección
horizontal de R, giramos un segundo punto que tendrá su nueva proyección
horizontal sobre la proyección homónima de la recta (Fig. 12).
Fig. 11
Fig. 12
Podemos situar una recta mediante un giro paralela a unos de los planos de
proyección. En la figura 13 hemos transformado una recta oblícua en frontal
girándola alrededor de un eje vertical de manera que su proyección horizontal
quede paralela a la línea de tierra.
Giro de un plano
Podemos girar un plano girando su traza horizontal y una recta horizontal.
Trazamos un eje vertical que corte la recta horizontal y giramos la traza P con
la perpendicular trazada desde la proyección horizontal del eje. La recta
horizontal al girar alrededor de un eje vertical se mantiene siempre paralela al
plano horizontal de proyección, por lo tanto, su nueva proyección horizontal
será paralela a la nueva traza horizontal del plano pasando por e, y su traza v' 1
tendrá la misma cota. Uniendo el origen del plano con v'1, obtenemos la nueva
traza vertical del plano (Fig. 14).
Fig. 13
Fig. 14
Cambios de planos
En los abatimientos y en los giros los elementos del espacio cambian de
posición respecto a los planos de proyección, sin embargo, en los cambios de
planos son éstos los que cambian mientras que los elementos del espacio
permanecen inmóviles.
El punto en los cambios de plano
Podemos sustituir uno de los planos de proyección por otro plano cualquiera
siempre que sea perpendicular al plano que permanece. Si cambiamos el plano
vertical, el nuevo plano será un proyectante vertical sobre el que obtendremos
una nueva proyección vertical a'1 del punto A del espacio. La proyección
horizontal es la misma en los dos sistemas al no cambiar el plano horizontal, y
por la misma razón, la cota del punto también es la misma en los dos sistemas.
Esto implica que las distancias de las proyecciones verticales a sus respectivas
líneas de tierra sean iguales. (Figs. 15 y 16)
Fig. 15
Fig. 16
la recta en los cambios de plano
Para hallar las nuevas proyecciones de una recta tras un cambio de plano
hallaremos las nuevas proyecciones de dos de sus puntos, normalmente sus
trazas. Si realizamos un cambio de plano horizontal, las proyeciones verticales
de sus trazas h' y v' permanecen, obteniendose la nuevas proyeciones
horizontales de dichos puntos h1 y v1 trasladando sus cotas a partir de la nueva
línea de tierra. El punto V tiene cota cero en los dos sistemas, por lo tanto,
sigue siendo la traza vertical en el nuevo sistema (Fig. 17).
Podemos transformar una recta oblícua en vertical realizando dos cambios de
plano sucesivos. Primero la transformamos en frontal mediante un cambio de
plano vertical y posteriormente realizamos un cambio de plano horizontal para
transformarla en vertical. Para transformarla en frontal tenemos que trazar la
nueva línea de tierra paralela a la proyección horizontal y para transformar ésta
en vertical la línea de tierra debe ser perpendicular a su proyección vertical (Fig
18).
Fig. 17
Fig. 18
El pano en los cambios de plano
Si realizamos un cambio de plano vertical, el vértice A, definido por la
intersección de los dos planos verticales con el plano (P), pertenece a los dos
sistemas. Este punto se proyecta con la misma cota en cada uno de los
sistemas y pertenece a las trazas verticales del plano en ambos sistemas.(Figs.
19 y 20)
Fig. 19
Fig. 20
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Ángulos
Para determinar el ángulo que forman dos rectas que se cruzan trazamos por
un punto de una de ellas una paralela T a la otra. (Fig. 1a)
El ángulo que forma una recta con un plano es el que forma la recta con su
proyección sobre dicho plano. Para determinar la proyección de una recta
sobre un plano cualquiera, distinto a los de proyección, trazamos por un punto
de la recta una perpendicular al plano y hallamos su intersección con él.
Uniendo este punto con el punto I de intersección de la recta dada con el plano
también dado obtenemos la proyección de R sobre (P). (Fig. 1b)
Fig. 1
El ángulo de un diedro formado por dos planos (P) y (Q), es el lineal
correspondiente, determinado por la sección producida sobre el diedro por un
plano perpendicular a su arista.(Fig. 1c).
Ángulo de dos rectas
Para hallar la verdadera magnitud del ángulo formado por dos rectas que se
cortan podemos abatir el plano que las contiene sobre uno de los planos de
proyección. En la figura 2 hemos abatido el ángulo sobre un plano horizontal
utilizando como charnela la recta horizontal que corta a los lados del ángulo en
los puntos M y N. En este caso, el radio del abatimiento del vértice A es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la distancia de la
proyeción del punto a la charnela y la direrencia de cotas entre el punto y la
recta horizontal
Fig. 2
Fig. 3
Ángulo de una recta y un plano
Ya hemos visto en la figura 2b que el ángulo que forman una recta y un plano
es el formado por la recta y su proyección ortogonal sobre el plano. También
hemos estudiado los procedimientos previos para hallar la proyección de la
recta sobre el plano.
En el sistema diédrico hallamos el punto de intersección I de la recta R con el
plano (P). Por un punto cualquira M de la recta R, trazamos una recta
perpendicular al plano P y hallamos su punto punto de interseción A. Las recta
R y la que pasa por los puntos I y A son los lados del ángulo de vértice I.
Abatiendo el punto I alrededor de una recta horizontal que corte a los lados del
ángulo obtenemos su verdadera amplitud.
Fig. 4
Fig. 5
Ángulo de una recta con los planos de proyección
El ángulo que forma una recta con el plano horizontal de proyección es el que
forma la recta con si proyección horizontal. Para obtener la verdadera magnitud
basta abatir plano proyectante horizontal que contiene tanto a la recta como a
su proyección horizontal.(Fig. 5)
La recta R y su proyección vertical r', estan contenidas en un plano proyectante
vertical, si abatimos dicho plano alrededor de su traza vertical obtenemos la
verdadera magnitud del ángulo que forma la recta con el plano vertical.(Fig. 5)
Ángulo de un plano con los planos de proyección
El ángulo que forma un plano con el plano horizontal de proyección es el que
forma su recta de máxima pendiente con el plano horizontal. Abatiendo la recta
de máxima pendiente sobre el plano horizontal se obtiene la verdadera
magnitud del ángulo. (Fig. 6)
El ángulo que forma un plano con el vertical de proyección es el que forma su
recta de máxima inclinación con el plano vertical. (Fig. 7)
Fig. 6
Fig. 7
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Poliedros regulares
Los poliedros son los cuerpos geométricos limitados por polígonos. Poliedros
regulares son aquellos que tienen caras, aristas y ángulos iguales.
Fig. 1
Tetraedro
El tetraedro tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros y seis aristas.
Representación del tetraedro
Vamos a representar el tetraedro apoyado por una de sus caras sobre
cualquier tipo de plano. Si la cara apoyada está contenida o es paralela a uno
de los planos de proyección se proyecta en verdadera magnitud. De lo
contrario, será necesario dibujarla sobre el plano abatido y después
desabatirlo.
Fig. 2
Fig. 3
En la fig. 2 se ha representado el tetraedro apoyado por una cara en el plano
horizontal de proyección. El tetraedro queda determinado por la magnitud de la
arista, la altura se obtiene abatiendo el triángulo rectángulo formado por la
arista, su proyeccion ortogonal sobre la base y la propia altura (Fig. 1).
La cara apoyada está en verdadera magnitud, y se representa por tanto, como
un triángulo equilátero de lado igual a la arista del tetraedro. El vertice V se
proyecta en el centro de la cara apoyada y está contenido en una recta vertical.
La proyección vertical de V se obtiene al trasladar la altura obtenida por
abatimiento, sobre la recta vertical.
Para representar el tetraedro apoyado en un plano proyectante, se abate el
plano y se dibuja la cara en verdadera magnitud. Desabatiendo el triángulo
obtenemos las proyecciones diédricas de la cara apoyada. La altura es una
perpendicular la plano desde el centro del tiángulo, que resulta una frontal si el
plano es de canto. Como las proyecciones verticales de las rectas frontales
están en verdadera magnitud, trasladamos la altura del tetraedro sobre ella
para obtener el vértice V. (Fig. 3)
Fig. 4
Cuando la cara del tetraedro se apoya sobre un plano oblícuo a los dos planos
de proyección, la altura es también oblícua. Para obtener el vértice V, podemos
girar la altura alrededor de un eje que pase por el centro de la base para
situarla en posición frontal. De esta manera, trasladamos la altura del tetraedro
en verdadera magnitud sobre la recta girada y posteriormente deshacemos el
giro (Fig. 4).
Secciones planas
Como norma general, para hallar la sección que produce un plano sobre un
poliedro se halla la intersección del plano con cada una de las arista,
obteniendose así, los vértices del polígono sección.
La sección que produce un plano secante sobre un tetraedro es un triángulo. Si
el plano es horizontal o frontal una de las proyecciones de la sección será un
segmento contenido en la traza del plano y la otra estará en verdadera
magnitud.
En la figura 5 se ha obtenido la sección con un plano horizontal. La traza del
plano corta las aristas del tetraedro en los vértices de la sección. La proyección
horizontal se obtiene hallando las proyecciones horizontales de estos vértices
sobre las aristas respectivas.
Fig. 5
Fig. 6
Si el plano es vertical o de canto, una de las proyecciones de la sección sigue
estando sobre la traza del plano, pero en este caso la otra proyección no está
en verdadera magnitud, siendo necesario abatirla para obtener su verdadera
forma
Cuando el plano es oblicuo a ambos planos de proyección, hallamos un primer
vértice de la sección resolviendo el problema de la intersección entre una recta
y un plano, siendo la recta una cualquiera de las aristas. Los restantes vértices
podemos hallarlos sabiendo que la base y la sección son figuras homólogas en
una homología de eje la charnela, o bién, aplicando el mismo mismo
procedimiento por el que hemos hallado el primer vértice, para las restantes
arista.
Fig. 7
Para obtener la verdadera magnitud de la sección, la abatimos sobre uno de
las planos de proyección. El abatimiento lo podemos resolver sabiendo que la
proyección de la sección y su abatimiento son figuras homologas en la afinidad
de eje la charnela.(Fig. 7)
Intersección de una recta con un tetraedro
El procedimiento general para hallar la intersección de una recta con un sólido
consiste en contener la recta en un plano, hallar la sección que produce dicho
plano en el sólido y, posteriormente, hallar la intersección de dicha sección con
la recta. Los puntos de intersección del polígono sección con la recta son los
puntos de entrada y salida de ésta en el sólido.
En el caso del tetraedro conviene trazar el plano definido por la recta y el
vértice de manera que el polígono sección sea un triángulo cuyos vértices son
dos puntos de la base y el propio vertice del tetraedro (Fig. 8)
Fig. 8
Fig. 9
En la figura 9, hemos trazado una recta S que pasa por V y corta a R en el
punto M. Las rectas R y S determinan el plano (P), cuya traza horizontal P,
hemos determinado pasando por las trazas homónimas de las rectas R y S.
Los puntos de intersección de la traza P con las aristas de la cara apoyada en
el plano horizontal son dos de los vértices de la sección, el tercero es el propio
vértice del tetraedro. La intersección de R con los lados de la sección
determinan los puntos A Y B.
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Poliedros regulares
Hexaedro
El hexaedro tiene seis caras, que son cuadrados, doce aristas y ocho vértices.
Representación del hexaedro
Si situamos una de las caras del hexaedro contenida en el plano horizontal, la
cara opuesta se proyecta coincidente con ella y las cuatro restantes son
proyectantes respecto al plano horizontal.
La proyección horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista del cubo. Las
caras horizontales se proyectan sobre el plano vertical en dos segmentos
paralelos a la L.T. a una distancia igual a la arista. (Fig. 10)
Fig. 10
Fig. 11
Para representar el hexaedro apoyado por una cara sobre un plano proyectante
vertical, se abate primero éste sobre uno de los planos de proyección y
posteriormente se dibuja la cara en verdadera magnitud. Las aristas
perpendiculares a la base lo son también al plano proyectante
Cuando el hexaedro se apoya por una de sus caras sobre un plano oblicuo,
abatimos el plano para construir la cara apoyada en verdadera magnitud. Tras
desabatir la cara, levantamos perpendiculares al plano por los vértices de la
misma. Para obtener las medidas en proyección de las aristas perpendiculares
a la base, realizamos el giro de una cualquiera de ellas para situarla paralela a
uno de los planos de proyección.Una vez obtenida y sabiendo que el
paralelismo es un invariante de la proyección cilíndrica, trazamos la cara
paralela a la base. (Fig. 12)
Fig. 12
Secciones planas
Obtener las secciones planas producidas sobre cualquier poliedro por planos
proyectantes no tiene gran dificultad y la manera de proceder no difiere entre
ellos, por lo que podemos remitirnos a lo explicado para el tetraedro.
Sin embargo, para la sección con un plano oblicuo, hemos preferido contener
las aristas verticales en planos frontales, los cuales cortan al plano oblicuo
según rectas frontales. Las intersecciones de estas rectas con las aristas
verticales son los vértices de la sección. En la figura 13, una de las rectas
frontales corta a la arista en su prolongación, fuera del sólido, en este caso se
une el punto de intersección con los vértices contiguos de la sección para
obtener los vértices correspondientes en la cara opuesta a la base.
La verdadera magnitud de la sección se obtiene por afinidad.
Fig. 13
Intersecciones
El procedimiento general consiste, en hallar los puntos de intersección de la
recta, con la sección que produce en el poliedro un plano cualquiera que
contenga a la recta dada. En este caso hemos optado por contener la recta en
un plano perpendicular a la base, de manera que la sección obtenida sea un
cuadriátero proyectante. < y 14>
Fig. 14
Fig. 15
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Poliedros regulares
Octaedro
Representación del octaedro
Cuando un octaedro se representa apoyado por un vértice y con una de sus
diagonales perpendicular al plano horizontal de proyección, el contorno
aparente de la proyección horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista en
verdadera magnitud. Los lados de este cuadrado son cuatro aristas
horizontales que se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano
horizontal.Las ocho aristas restantes son oblicuas y se proyectan sobre las
diagonales del cuadrado.
Las cotas de los vértices, extremos de la diagonal vertical, son cero y la
magnitud de la diagonal respectivamente, y los cuatro vértices restantes se
encuentran en el plano medio de octaedro, que es horizontal, a una distancia
igual a d/2 (Fig. 16)
Fig. 16
Fig. 17
Secciones planas
La sección plana que produce un plano proyectante sobre el octaedro se
obtiene directamente sobre la traza oblicua al cortar ésta las aristas del poliedro
y después se refieren los puntos obtenidos sobre las respectivas aristas en la
otra proyección. (Fig. 17)
La verdadera magnitud de la sección se obtiene abatiendo el plano.
Si el plano secante es oblicuo, se puede trasformar en proyectante por medio
de un cambio de plano. En la figura 18, se ha transformado el plano (P) en
proyectante vertical y se ha obtenido la nueva proyección vertical de octaedro
para obtener la sección.
Fig. 18
Intersección con recta
La intersección de una recta R con un octaedro se obtiene conteniendo la recta
en un plano proyectante (P) y hallando la intersección de R con la sección
producida en el sólido por el plano (P). (Fig. 19)
Fig. 19
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