2º año PRÁCTICO TOTAL

Geometría 2º año
PRÁCTICO 1: REPASO (conceptos básicos)
Rossana Bossio
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1) Sabiendo que r y m son paralelas y que a = 160º y b = 50º, calcula g. Justifica la respuesta.
ˆ  60º ; calcular  y Ĉ .
2) Dado un cuadrilátero ABCD, con AB paralela a CD, Bˆ  100º y D
3) Sea ABCD un cuadrado y CDE un triángulo equilátero, con E interior al cuadrado. Calcula la medida del ángulo AED.
Justifica la respuesta.
4) Dibuja un triángulo ABC, rectángulo en A. Sea I el punto de intersección de la perpendicular por C a AC y la bisectríz del
ángulo ABˆ C . 1) Justifica que BIˆC 
1 ˆ
ABC . 2) ¿Qué tipo de triángulo es el BIC?
2
5) El triángulo ABC es equilátero. Si sobre la prolongación de los lados, los segmentos AA’, BB’ y CC’ tienen igual longitud,
demuestra que el triángulo A’B’C’ es equilátero.
Figura ejercicio 5
Figura ejercicio 6
6) En la figura los segmentos AC y BC miden lo mismo y el ángulo DAˆ B mide igual que el ABˆ E . Demuestra que AD = BE.
7) Dadas dos rectas coplanares r y s: Encuentra el LG de los puntos del plano que están a 2 cm de r y a 3 cm de s. ¿Este
problema puede tener infinitas soluciones? ¿En qué caso? ¿En qué caso no hay soluciones?
8) Dados A, B y C, tres puntos no alineados. Encuentra los puntos del plano que estén a igual distancia de A y B, que al
mismo tiempo se encuentren a 4cm de C. Explica y justifica la construcción.
9) Sobre una circunferencia de centro O se toman los puntos A, B, C y M de forma tal que: COˆ A  110º , el segmento AB
ˆC .
mide igual al segmento AC; y M pertenece al arco BC que contiene a A. Calcula ABˆ C , BAˆ C y BM
1. AC = 6cm ; altura hB = 3,5cm y ABˆ C  75º .
2. AC =8cm ; AB = 6cm y mediana mB = 5cm.
3. AC = 5cm ; mediana mA = 6cm y mediana mC = 4,5cm.
11) Dibuja un trapecio rectángulo sabiendo que la base mayor mide 10cm; la base menor mide 4cm y una diagonal mide
12cm. ¿cuántas soluciones hay?
12) Sobre una circunferencia C de centro O y diámetro AB se toma C, tal que AC = r.
a. Calcula la medida de cada ángulo del triángulo ABC. Justifica.
b. La mediatríz de OA corta a OA en I y a C en D. Demuestra que CADO es un rombo.
13) Encuentra el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio 4cm, que pasan por un punto dado.
Justifica la respuesta.
14) Dibuja una circunferencia tangente a r en A, que pase por B. Justifica la respuesta.
10) Dibuja un triángulo ABC sabiendo que:
Geometría 2º año
PRÁCTICO 2
Rossana Bossio
REPASO: Intersección de Lugares Geométricos Elementales
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1) Se consideran tres puntos A, B y C. Hallar los puntos X del plano que equidisten de A y B y que se encuentren
a 3 cm o memos de C. Indicar número de soluciones al variar C, manteniéndose A y B fijos.
2) Dadas dos rectas r y s, secantes, un punto A perteneciente a la recta s y un punto B de la recta r, hallar los
puntos P que cumplan: d(P,r) = d(P,s) y tal que el triángulo ABP sea isósceles de base AP. ¿Cuántas soluciones
hay es este caso?
Idem, con base AB. ¿Cuántas soluciones hay en este caso?
3) Construir un triángulo ABC y las mediatrices de sus lados.
Demostrar que las mediatrices de los lados de un triángulo concurren en un punto llamado circuncentro.
4) Idem para las bisectrices interiores de sus ángulos. El punto se llama incentro.
5) Construir una circunferencia, sabiendo que pasa por dos puntos dados y tiene su centro en una
circunferencia CP,r dada. Discutir el número de soluciones al variar el radio r.
6) Construye una circunferencia que tenga su centro en una circunferencia CP,r dada y sea tangente a dos rectas
secantes m y s dadas. Justifica la construcción. Discute el número de soluciones a variar r.
7) Construir una circunferencia CP,3cm , tangente a una recta t dada, que pase por un punto A/ d(t,A)=4cm.
Justifica la construcción. Discute el número de soluciones, manteniendo la recta t fija y el radio constante,
variando la posición del punto A.
8) Construir una circunferencia sabiendo que tiene radio de 3cm y es tangente a una recta r dada y a otra
circunferencia CO,2 también dada, siendo d(O,r) = 4cm. Justifica la construcción.
9) Calcular:
a) área y perímetro de un triángulo equilátero en función de la altura.
b) idem, del lado.
c) área y perímetro de un cuadrado en función de la diagonal.
10) Sean BS y AT dos de las alturas de un triángulo ABC, BS ∩ AT = {H} , y sean las rectas r, s y t tales que: r ll AB
por C, t ll BC por A y s ll AC por B; s∩t = {C´} , r∩t = {B´} , r∩s = { A´} . Probar que:
a) B es punto medio del segmento A´C´.
b) BS es mediatriz del A´C´.
c) H es circuncentro del triángulo A´B´C´.
d) las alturas de un triángulo concurren en un punto ( ortocentro )
Geometría 2º año.
PRÁCTICO 3: LG con punto variable
Rossana Bossio
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1) Sean AB un segmento fijo y C un punto cualquiera del plano. En ABC, la altura hb corta a AC en P. Hallar el
L.G. de P al variar C.
2) Sean CO,r y CO´,r. Hallar el L.G. de los centros de las circunferencias tangentes exteriores a CO,r y CO´,r.
3)
a) Dada una circunferencia fija, hallar el L.G. de los puntos medios de las cuerdas de igual longitud.
b) Dibuja un punto A y un punto O / d(A,O) =8cm. Trazar por A, una recta que corte a una circunferencia
de centro O y radio 5cm, determinando una cuerda de 6cm de longitud.
c) Dibuja un punto A, a 3,5cm de una recta s. Construir una circunferencia de 3cm de radio, que pase
por A y corte a s, determinando una cuerda de 4cm de longitud.
(necesitan: tangentes a una circunferencia, por un punto exterior)
4) Trazar una recta que interseque a dos circunferencias dadas en cuerdas de longitudes dadas.
(necesitan: tangentes comunes a dos circunferencias)
5)
a) Probar que si M varía en una semicircunferencia de diámetro AB fijo, la bisectriz del ángulo AMB
pasa por un punto fijo F que se determinará.
b) La paralela trazada por F a la recta AM, corta a la recta MB en el punto R; halla el L.G(R). Limítalo.
6) C es una circunferencia fija de centro O, AB es un diámetro variable, C  CO y D  CO tales que los
ángulos BAC y BAD son iguales y miden 30º, CB ∩ AD = F , DB ∩ AC = E 
a) Probar que los triángulos ABE se conservan iguales al variar A y deducir L.G. de E.
b) L.G. de M, siendo M punto medio del segmento EF.
7)
a) Por un punto X exterior a CO se trazan las tangentes t y t´ a CO.
Sean T y T´ los respectivos puntos de contacto. Probar que la semirrecta XO es bisectriz del ángulo
tXt´ y que los segmentos de tangentes TX y T´X son iguales.
b) Dada la cfa. CO, hallar el L.G. de los puntos X del plano de la cfa, tales que las tangentes a CO
trazadas por X forman un ángulo de 50º.
8) Sean CO y P un punto fijo, exterior a CO. Se consideran r y r´ variables por P tales que
r ∩ CO = A, B
,
r´ ∩ CO = A´,B´. Con d (A, B) = d (A´, B´ ).
a) Probar que : d (O, r) = d (O, r´ ) . Deducir que la semirrecta PO es bisectriz del ángulo rPr´.
b) Sea Q tal que : A´B ∩ AB´ = Q , probar que los triángulos ABQ y A´B´Q son iguales.
9) Se consideran dos semirrectas Ox y Oy tales que el ángulo xOy es rectos y un segmento AB variable de
longitud constante “l” con A  Ox y B  Oy. Hallar el L.G. de M, siendo M el punto medio del segmento AB.
Geometría 2º año.
PRÁCTICO 4: LG con punto variable
Rossana Bossio
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1) Sea un ángulo recto de vértice O y dos puntos A y B, ubicados uno en cado lado, tal que OB = OA.
Sobre el segmento OA (excluido O), se considera un punto D, variable. Sea el ángulo OBD = a.
Por O se traza la semirrecta Or, tal que el ángulo DOr = 90 - a ; Or ∩ BD = P. Hallar el LG (P) al variar D.
2) Se considera P variable en un AAB,45º de centro O (ABP en sentido anti horario)
a) Sea t la recta paralela a AP por B,
mz BP ∩ t = Q . Hallar y construir el L.G. (Q).
b) Probar que el triángulo BQP es rectángulo en Q.
c) Se considera B´ tal que BB´ es diámetro del arco AAB,45º , PB´∩t = R , probar que Q es punto
medio de BR.
3) Sea C variable en un AAB,a de centro O (ABC anti horario), se considera D en la semirrecta opuesta a CA,
tal que d(C,D) = d(B,C) .
a) Hallar y construir el L.G.(D).
b) Sea J / mz BC ∩ BD = J  , hallar y construir el L.G.(J).
4) Se considera C variable en un AAB,45º (ABC anti horario).
a) Se considera r / r ┴ CB por C; demostrar que r pasa por un punto fijo B´ que se determinará.
b) Se considera I en la semirrecta CB´ , tal que d(C,B) = d(C,I) y BCB´ anti horario. Hallar el L.G.(I).
c) Sea J / mz AC ∩ r = J  , hallar el L.G.(J).
5) Sea CO,r y AB una cuerda fija de ella tal que el ángulo AOB tiene amplitud constante 2a , a < 90º ( AOB
horario). Se considera P variable en el mayor arco AB.
a) Hallar L.G.(M) , siendo M el punto medio de PB.
b) Se considera J / mz BP ∩ PA = J  , hallar el L.G.(J).
6) Se considera el punto C variable en el AAB,60º y K en la semirrecta opuesta a la CA / d(K,C) = d(C,B).
a) Hallar el L.G.(M) / mz BC ∩ BC = M 
b) Halla el L.G.(K).
c) Probar que la mzKB pasa por un punto fijo G que se determinará.
d) Probar que el triángulo ABG es equilátero.
7) Se considera una circunferencia fija CO,r y un diámetro AB, fijo en esta circunferencia. R es un punto
variable en CO,r y en la semirrecta AR se considera un punto C / d(A,C) = d(A,B).
a) Hallar el L.G.(M), siendo M el punto medio del segmento BC.
b) Hallar el L.G.(N), siendo N punto medio del segmento AC.
c) Sea T / AM ∩ BR = T  , probar que TC es perpendicular a AB.
Geometría 2º año.
PRÁCTICO 5:
ISOMETRÍAS
Rossana Bossio
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S I M E T R ÍA
AXIAL
1) Dada una recta x y dos puntos P y Q situados en distinto semiplano respecto de x, hallar A  x, tal que la
semirrecta Ax sea bisectriz del ángulo PAQ. Justifica la construcción
2) Dadas 3 rectas secantes dos a dos, a, b y m. Construir un segmento AB con A  a, B b y tal que m sea
mediatriz del segmento AB. Justifica la construcción.
3) Se da una circunferencia C y dos rectas exteriores a y b. Construir un cuadrado (ABCD) con B  b , D  C y
el segmento AC incluido en a. Justifica la construcción. ¿Qué condiciones deben darse para que exista solución?
4) Dadas dos semirrectas paralelas Ax y Oy, con el ángulo OAx agudo se construyen los rombos (ABCD), tal
que B  Oy y C  Ax. Encuentra el LG (D) al variar B en Oy.
5) Construir un cuadrilátero (ABCD) sabiendo que la diagonal AC es bisectriz del BAD;
AB = 4cm;
BC = 7cm;
CD = 8cm;
DA = 2,5cm.
Sugerencia: considere la SAC. Justifica la construcción
6) En una circunferencia C se considera un punto fijo T y la tangente ( t ) a la circunferencia en T. Sea A un
punto variable de C . Se construyen los rombos ABCT con la diagonal BT incluida en t. Halla el lugar geométrico
de C al variar A.
SIMETRÍA
CENTRAL
1) Dado un ángulo xOy, y un punto M interior. Construir un segmento AB de modo que A pertenezca a la
semirrecta Ox, B pertenezca a la semirrecta Oy y M sea punto medio del segmento AB. ¿Cuántas soluciones
puede haber? Justifica la construcción.
2) Dados dos puntos A y O en un mismo semiplano de borde r.
a) Construir un paralelogramo (ABCD) de centro O, con B perteneciendo a r. Justifica la construcción.
b) Hallar el LG (D) al variar B en r.
c) Construir un paralelogramo con las características de la parte a), tal que el ángulo ADC mida 60º.
3) Sea C una circunferencia y A un punto fijo de ella. Se consideran los diámetros variables BC. Se construyen
los triángulos BCD isósceles, con BC = BD y A perteneciente al segmento CD. Hallar el LG (D).
4) Dadas dos circunferencias C y C ´, de distinto radio, secantes en M y N. Trazar por M una recta (diferente de
la recta MN), que determine cuerdas de igual longitud en ambas circunferencias. Justifica la construcción.
5) Sean A y B dos puntos fijos. Sea P un punto cualquiera del plano, que no pertenezca a la recta AB.
Sean P1 = CA (P) , P2 = CB (P1) y P3 = CA (P2) .
Clasificar el cuadrilátero convexo que tiene por vértices los puntos P, P1, P2, P3.
TRASLACION
1) Dado un segmento AB, de 4cm, horizontal; una recta r que forme un ángulo de 50º con la recta AB, en
sentido horario; un punto O a 3cm de r y una circunferencia C O, 2cm . Hallar un segmento PQ de 4cm, de modo
que la recta AB sea paralela a la recta PQ , P  C y Q  r. Justifica la construcción.
A_____________B
Ox
r
2) Dadas tres rectas: a , b , c , secantes dos a dos, y un segmento AB de 4cm. Ubicar el segmento de modo tal
que A  a , B  b y AB sea paralela a c. Justifica la construcción.
3) En una circunferencia C de centro O, se consideran los triángulos AMB horarios con AB cuerda fija y M
variable en C. Se construyen los paralelogramos AMCB horarios.
a) Hallar el LG (C).
b) Demostrar que el ángulo MBC es constante.
4) Sean A y A´ dos puntos fijos de una recta t. Se construyen dos circunferencias C y C ´ de centros O y O´,
tangentes a t en A y A´, de igual radio y en un mismo semiplano de borde t. C y C ´ exteriores.
Sobre C y C´ se toman los puntos B y B´ tal que el ángulo BOA = B´O´A´ = a en un mismo sentido.
a) Probar que el cuadrilátero (ABB´A´) es un paralelogramo.
b) Hallar el LG (M) , siendo M el punto medio de BB´ al variar a.
ROTACION
1) Dadas tres rectas paralelas a , b , c / d(a,b)=1.5cm y d(b,c)=2.5cm.
Construye un cuadrado (ABCD) / A  a, B  b y C  c. Justifica la construcción.
2) Se da una circunferencia C y un punto A exterior. Se considera B variable en la circunferencia y se
construyen los triángulos rectángulos en A e isósceles, ABC, en sentido horario. Hallar el LG (C).
3) Se considera una recta r y un punto A exterior, fijos. Sobre r varía un punto B. Se construyen los rombos
ABCD con el ángulo ABC = 60º (sentido horario). Hallar el LG (D).
4) Dado un cuadrado ABCD antihorario, construir un triángulo equilátero APM con P perteneciendo al
segmento BC y M perteneciendo al segmento CD. Justifica la construcción.
5) Se considera un triángulo ABC equilátero antihorario, con H punto medio del segmento AC. Hallar el centro
y ángulo de rotación, que transforma la semirrecta BA en la semirrecta HC.
6) Sea una circunferencia C de centro O y un punto A exterior.
Se construyen los cuadrados ABCD horarios con B variable en C.
a) Hallar el LG (D) al variar B.
b) Hallar un cuadrado de la familia, tal que el ángulo ADO = 60º. Discuta posibilidad de la construcción.
7) Construir un triángulo ABC antihorario, isósceles con el ángulo en A de 120º y AB=AC=5cm.
a) Hallar el centro O y el ángulo a de rotación, que transforma la semirrecta AB en la semirrecta CA.
b) Sean P y Q / P pertenece a la semirrecta AB, AP=2cm y Q pertenece a la semirrecta CA, CQ=2cm.
Demostrar que el OPQ es equilátero.
c) Hallar la imagen A´B´C´ del triángulo ABC en la rotación de la parte a).
d) Demostrar que B, O y C´ están alineados y que el ángulo BAC´= 90º.
Geometría 2º año:
SIMETRÍA AXIAL Y SIMETRÍA CENTRAL
Rossana Bossio
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1) Sea Co,r una circunferencia fija. A un punto fijo / A  C y B un punto variable / B  C. Sea t la recta tangente
a C en A. Se consideran los rombos ABCD / AC  t. Halla el Lugar Geométrico de D al variar B en la
circunferencia.
2) Construir un rombo PCAB con C  C, A  a y B  b. Justifica la construcción. ¿Qué condiciones deben darse
para que exista solución?
3) Sean los cuadrados variables ABCD / B  C, AC  r. Halla el Lugar Geométrico de D al variar B.
4) Parte de Examen (ITS)
Dibuja dos rectas secantes m y n, que formen un ángulo de 30º.
1- Dibuja un rombo horario ABCD / A  m y BD  n. Justifica la construcción.
2- Siendo A  m y BD  n, variables, halla el Lugar Geométrico de C.
5) Examen (set 2007. ITS) Dibuja un cuadrado ABCD de 4 cm de lado. Sea r variable / B  r.
Sea Sr (A) = A´. Halla el Lugar Geométrico de A´.
6) Dados dos puntos fijos M y B. Considera la familia de triángulos ABC, tal que M sea el punto medio de AC y
el ángulo BAC mida 50º. Halla el Lugar Geométrico de C.
7) Se considera una circunferencia C de diámetro AB = 4cm.
a) Sea P un punto de la circunferencia C. Construir un paralelogramo PBQR de centro A.
Halla el lugar geométrico de Q al variar P en C.
b) Construir un paralelogramo en las condiciones de la parte a), con el ángulo en R = 60º.
Justifica la construcción.
8) Dibuja un triángulo AOM horario tal que AO = 5cm, OM = 8 cm y AM = 6cm. Dibuja la CO,3. Sea B un punto
de CO,3. Encuentra el lugar geométrico de D, siendo ABCD un paralelogramo horario y M el punto de
intersección de las diagonales.
9) Sea una CM,,3 ; A un punto fijo de C ; B un punto variable de C y O un punto fijo, exterior a C. Sean los
paralelogramos horarios ABCD, de centro O. Encuentra el lugar geométrico de D al variar B en la
circunferencia.
10) Examen Febrero 2012 ITS: Sea ABCD un cuadrado y C la semicircunferencia de diámetro AD, interior al
cuadrado. P pertenece a la semicircunferencia y se construyen los paralelogramos APBR. Hallar el lugar
geométrico de R al variar P.