Soluciones del nivel benjamin

22 ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Examen interno escuela, nivel Benjamín (primero segundo de secundaria)
Yucatán 2007.
Soluciones.
Problema 1.
Los dígitos del número 123456789 suman 45, que es un múltiplo de 9, por lo tanto
123456789 es un múltiplo de 9. Los dígitos de los números 1234, 90348661,
12123243543 suman 10, 37 y 30 respectivamente, de modo que ninguno de ellos es
múltiplo de 9. La respuesta es d).
Problema 2.
Cuando son las tres de la tarde han transcurrido 15 horas de 24 que tiene un día, por lo
que la fracción de día correspondiente es 15  5 la respuesta es c).
24
8
Problema 3.
Dado que sábado y miércoles no son días consecutivos, concluimos que Pasos está
mintiendo. Por lo tanto el día "actual" es o bien martes o bien jueves o bien sábado.
Notemos que si fuese martes entonces mañana sería miércoles y Pasos estaría diciendo
la verdad, lo cual no es posible. De igual forma, si fuese sábado Pasos habría dicho la
verdad, lo cual no es posible. Entonces tiene que ser jueves, la respuesta es b).
Problema 4.
Notemos que si el número de la flor es un múltiplo de 4 entonces Sofía la pinta de
amarillo, si el número excede en uno a un múltiplo de 4 la pinta de azul, si excede en 2 a
un múltiplo de 4 la pinta de verde y si excede en 3 a un múltiplo de 4 la pinta de rojo. Al
dividir 2007 entre 4, el residuo es 3, por lo tanto la flor con ese número se pintará de
rojo. La respuesta es c).
Problema 5.
El segundo renglón tiene tres monedas mientras que cuarto renglón solo tiene una, la
tercera columna tiene tres monedas y la cuarta columna solo tiene una, entonces se
necesita hacer al menos un movimiento. Si movemos la moneda que se encuentra en el
segundo renglón y la tercera columna, a la casilla que está en el cuarto renglón y la
cuarta columna obtenemos el resultado deseado.
Entonces con un movimiento fue suficiente; la respuesta es b).
Problema 6.
Cuando al envase se le quitó la mitad del líquido el peso en la balanza disminuyó en 4
kg. Por lo tanto la mitad del líquido pesa 4 kg y el total del líquido pesa el doble, es
decir 8 kg. Dado que el envase lleno de líquido pesa 10 kg, los dos kilogramos
sobrantes son el peso del envase vacío. La respuesta es c).
Problema 7.
Es suficiente mover hacia arriba los dos círculos sombreados.
Por otro lado mover un solo círculo es insuficiente pues deforma la figura. La respuesta
es d).
Problema 8.
La suma de los números del 1 al 12 es 78, si los números de cada una de las tres partes
suman los mismo, entonces deben sumar 78/3 es decir 26. La respuesta es a).
Problema 9
Pensemos únicamente en las patas traseras de los animales, una vaca al igual que una
gallina tiene 2 patas traseras, pero solo las vacas tienen patas delanteras dado que hay
seis animales, hay 12 patas traseras. Como Didier contó 16 patas, deducimos que hay 2
pares de patas delanteras, entonces hay dos vacas. El resto, es decir 4, son gallinas. La
respuesta es e).
Problema 10
Podemos dividir el pentágono en 5 partes iguales de la siguiente manera:
1
. Notemos que la
5
región sombreada contiene una de estas partes y la mitad de otra, entonces su área total
1
1
3
es  5  . La respuesta es d).
5 2 10
Desde luego cada una de las partes tiene la misma área, es decir
Problema 11.
Vayamos completando la cuadrícula como lo haría un jugador de “sudoku” para eso
llamemos a los números que deben ir en los espacios vacíos como sigue:
1
a
3
b
c
3
y
d
3
x
e
2
2
f
4
3
Primero notemos que c = 4, pues es el único número que falta en su columna.
Similarmente f = 1, pues en su fila hace falta el 1. Con esto la cuadrícula queda así:
1
a
3
b
4
3
y
d
3
x
e
2
2
1
4
3
Ahora podemos decir que x no puede ser ni 1 ni 2 ni 3, pues estos números se
encuentran en su fila y en su columna. Por lo que x = 4. Entonces e tiene que ser 1, pues
es el número que completa su fila. Finalmente y = 2, pues todos los demás ya están en
su columna. La respuesta es e).
Problema 12.
Si tratamos de visualizar el dado de “arriba” y el de “en medio” expandidos tendremos
la siguiente figura:
Donde desconocemos los números de las casillas en blanco. Observando el dado de
“arriba” y el de “en medio” concluimos que el 3 y el 4 se encuentran en caras opuestas,
esto es, porque ambos colindan con el 6 y con respecto a la misma orientación. Con
estos datos podemos completar la expansión del dado de “arriba” como sigue:
Ahora imaginemos una expansión del dado de “abajo” como en la siguiente imagen:
Notemos que la cara opuesta al número 5 en esta imagen, se visualiza a la derecha del
tres, es claro que el 6 no puede estar en esta posición, pues por la imagen del dado de
“arriba” sabemos que su orientación con respecto al 3 es distinta. Por lo tanto el 5 no es
el opuesto del 6, entonces, por nuestra expansión del dado de “arriba” notamos que el
opuesto del 6 es el 1. Completamos nuestra imagen del dado como sigue:
Recordemos la imagen original:
La cara de abajo debe colindar con el 5 y con el 3, Entonces o es 1 o es 6. Si fuese el 6,
las caras con el 5, 6 y 3 estarían unidas como sigue:
Lo cual contradice nuestra imagen del dado. Por lo tanto el 1 está en la cara de abajo. La
respuesta es a).