Práctica 1 - Universidad Austral

Universidad Austral
Estadística II
Práctico No 1
Vectores aleatorios- Distribución conjunta- Covarianza y Correlación
Ejercicio 1 ( 2 de Sección 5.1) :
Cuando un automóvil es detenido por una patrulla, se revisa el desgaste de cada
neumático, y si cada faro delantero está correctamente alineado. Sea X = “número de
faros delanteros mal alienados” e Y = “número de neumáticos desgastados”.
a.- Si X e Y son independientes con pX(0) = 0.5, pX(1) = 0.3 y pX(2) = 0.2 y pY(0) = 0.6,
pY(1) = 0.1, pY(2) = pY(3) = 0.05 y PY(4) = 0.2, presente la función de probabilidad
conjunta de (X, Y) en una tabla.
b.- Calcule P(X  1, Y  1) a partir de la tabla de probabilidad conjunta y verifique que
es igual al producto P(X  1). P(Y  1).
c.- ¿Cuál es P( X + Y = 0), o sea la probabilidad de no violaciones?
d.- Calcule P( X + Y  1).
Ejercicio 2 ( 3 de Sección 5.1):
Cierto supermercado tiene una caja de salida común y una caja rápida. Denote por X1 el
número de clientes que están en espera en la caja común en un momento particular del
día, y por X2 el número de clientes que están en espera en la caja rápida al mismo
tiempo. Suponga que la función de probabilidad conjunta de (X1, X2) está dada por:
x2
x1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0.08
0.06
0.05
0.00
0.00
0.07
0.15
0.04
0.03
0.01
0.04
0.05
0.10
0.04
0.05
0.00
0.04
0.06
0.07
0.06
a.- ¿Cuál es P(X1 = 1, X2 = 1), es decir la probabilidad de que haya exactamente un
cliente en cada línea de espera?
b.- ¿Cuál es P(X1 = X2), es decir la probabilidad de que los números de clientes de las
dos líneas de espera sean iguales?
c.- Denote por A el evento de que haya por lo menos dos clientes más en una línea de
espera que en la otra. Exprese A en términos de X1 y X2, y calcule P(A).
d.- ¿Cuál es la probabilidad de que el número total de clientes de las dos líneas de
espera sea exactamente cuatro? ¿Y por lo menos 4?
Ejercicio 3 ( 6 de Sección 5.1):
Denote por X el número de VCR (grabadoras) de marca A vendidas durante una semana
en particular por cierto comercio. La función de probabilidad puntual de X es:
1
Práctico 1
Vectores aleatorios- Función de probabilidad conjunta
x
pX(x)
0
0.1
1
0.2
2
0.3
3
0.25
4
0.15
Sesenta por ciento (60%) de los clientes que compran VCR de marca A también
compran una garantía de cobertura amplia.
Denote por Y el número de compradores que compra garantía de cobertura amplia
durante esta semana.
a.- ¿Cuál es P(X = 4, Y = 2)? (Sugerencia: Esta probabilidad es igual al producto
P(Y =2/X = 4).P(X = 4). Ahora considere las cuatro compras como cuatro repeticiones
de un experimento Binomial, donde éxito es comprar una garantía de cobertura amplia).
b.- Calcule P(X = Y ).
c.- Determine la función de probabilidad conjunta de (X, Y) y luego la función de
probabilidad marginal de Y.
Ejercicio 4:
El gerente de una compañía de seguros afirma que el 45% de las personas a las que
envía a uno de sus promotores adquiere una póliza contra terceros para su automóvil, el
15% adquiere una póliza contra todo riesgo, y el resto no compra. Si el promotor visita
5 personas en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que 2 le compren pólizas
contra terceros y 1 una póliza contra todo riesgo?
Ejercicio 5:
La longitud de ciertas varillas de metal (en cm) es una v.a con distribución N(5, 0.25).
Para hacer un control de calidad se eligen al azar 40 varillas de la producción total.
Hallar la probabilidad de que 1 varilla mida menos de 4.0 cm, 13 varillas midan entre
4.0 y 4.8 cm, 18 varillas midan entre 4.8 y 5.5 cm, y el resto midan más de 5.5 cm.
Ejercicio 6 ( 8 de Sección 5.1):
Un almacén tiene en existencia 30 artículos de cierto tipo: 8 de los cuales fueron
proporcionados por el proveedor 1, 10 por el proveedor 2 y 12 por el proveedor 3. Se
seleccionan al azar 6 artículos que deberán ser enviados a Uruguay. Sean las variables:
X = “número de artículos seleccionados del proveedor 1” e Y = “número de artículos
seleccionados del proveedor 2” y sea pXY(x, y) la función de probabilidad conjunta del
vector aleatorio (X, Y).
a.- Calcule pXY(3, 2)
b- Calcule pXY(x, y)
Ejercicio 7 ( 14 de Sección 5.1):
Suponga que tiene diez bombillas, que las duraciones son independientes, y que cada
duración tiene distribución exponencial de parámetro .
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que las diez bombillas fallen antes del tiempo t?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente k de las diez bombillas fallen antes del
tiempo t?
2
Práctico 1
Vectores aleatorios- Función de probabilidad conjunta
c.- Se sabe que 9 de las bombillas tiene una duración que se distribuye exponencialmente
con parámetro , y la bombilla restante tiene una duración que tiene distribución
exponencial de parámetro  (está hecha por otro fabricante). ¿Cuál es la probabilidad
de que exactamente cinco de las diez bombillas fallen antes del tiempo t?
Ejercicio 8 ( 18 de Sección 5.1):
Considere la siguiente función de probabilidad conjunta
0
0 0.10
x 1 0.08
2 0.06
y
1
0.04
0.20
0.14
2
0.02
0.06
0.30
a.- Dado que X = 1, determine la función de probabilidad condicional de Y, es decir
pY/X(0,1), pY/X(1,1) y pY/X(2,1).
b.- Dado que X = 2, ¿cuál es la función de probabilidad condicional de Y?
c.- Utilice el resultado de b) para calcular P(Y  1 / X = 2).
d.- Dado que Y = 2, ¿cuál es la función de probabilidad condicional de X? O sea: ¿cuál
es la función de probabilidad de la variable X
?
Y 2
e.- ¿Cuál es la esperanza y la varianza de X
?
Y 2
Ejercicio 9 (23 de Sección 5.2):
La diferencia entre el número de clientes en la línea de espera de la caja común y el de
la caja rápida del ejercicio 2 (3 Sección 5.1) es X1 – X2. Calcule la diferencia esperada.
Ejercicio 10 (25 de Sección 5.2):
Considere un pequeño bote trasbordador que tiene capacidad para automóviles y
autobuses. La cuota para automóviles es 3$ y la de autobuses es 10$. Denote por X e Y
el número de automóviles y autobuses, respectivamente, transportados en un solo viaje
y suponga que su función de probabilidad conjunta es la siguiente:
x
0
1
2
3
4
5
0
0.025
0.050
0.125
0.150
0.100
0.050
y
1
0.015
0.030
0.075
0.090
0.060
0.030
2
0.010
0.020
0.050
0.060
0.040
0.020
a.- Calcule el ingreso esperado de un solo viaje.
b.- Calcule el ingreso esperado de un solo viaje si se llevan 3 autos. Idem si se sabe que
se lleva 1 solo autobús.
3
Práctico 1
Vectores aleatorios- Función de probabilidad conjunta
Ejercicio 11 (31 de Sección 5.2):
a.- Calcule la covarianza entre X e Y del ejercicio 2 (3 de Sección 5.1) y del 10 (25 de
Sección 5.2)
b.- Calcule, en cada caso, el coeficiente de correlación entre X e Y.
Ejercicio 12 (32 de Sección 5.2):
Calcule la varianza del ingreso del viaje del ejercicio 10 (25 sección 5.2) y de la
diferencia entre el número de clientes en la línea de espera de la caja común y el de la
línea de espera de la caja rápida ( X1 – X2 ) para el ejercicio 2 (3 sección 5.1).
Ejercicio 13:
Si la distribución conjunta de X e Y es uniforme en la región A= 0,1 x 0,2 :
a.- ¿Cuál es la función de densidad conjunto del vector  X , Y  ?
b.- Hallar P(X>Y), P(X+Y <1), P(X  ½)
c.- Calcular P  X  Y  0.25  .
Ejercicios 14:
Un niño armó una pizarra de corcho con la forma que se indica en la figura y decidió un
puntaje para cada región de la pizarra como se indica. Va a entretenerse disparando
sobre esta pizarra con una pistola de dardos.
40 p
10 p
30 p
20 p
10 p
Suponga que el área de la región gris es igual al área del rectángulo blanco y que el área
total es 60 y que la distribución de la variable que indica la probabilidad del lugar donde
cae el dardo es uniforme.
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga en un tiro menos de 20 puntos?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que en tres tiros sume más de 90 puntos?
c.- ¿Cuál es el valor esperado del puntaje de un tiro cualquiera?
4
Práctico 1
Vectores aleatorios- Función de probabilidad conjunta
Ejercicio 15:
Luis tiene un campo como indica la figura; P = (0;0) origen del sistema de coordenadas
en donde se encuentra el pozo de agua.
Con el fin de procesar una muestra del suelo de superficie despreciable, elige un punto
al azar del campo. Sean las variables aleatorias: X: “distancia de la proyección
horizontal del punto elegido al pozo de agua” e Y: “distancia de la proyección vertical
del punto elegido al pozo de agua”.
Suponga que la distribución del vector aleatorio (X, Y ) es uniforme en la región
sombreada.
a.- Hallar la probabilidad de que para el punto elegido ambas distancias resulten
superiores a 1.
b.- Hallar la probabilidad de que para el punto elegido la diferencia entre las distancias
resulte inferior a ½ .
c.- Hallar la probabilidad de que para el punto elegido la suma de las distancias supere 2.
Ejercicio 16:
Una persona tiene dos bombitas para una lámpara en particular. Sea X=”duración de la
primer bombita” e Y=”duración de la segunda bombita”, ambas en miles de horas.
Suponga que X e Y son independientes y que cada una tiene distribución exponencial
de parámetro 1.
a.- ¿Cual es la función de densidad conjunta del vector XY?
b.- ¿Cual es la probabilidad de que cada bombita dure a lo sumo 1000 horas?
Ejercicio 17:
Suponga que se cuenta con 10 bombitas y que la duración de cada una es independiente
de la duración de las demás. Sea la variable Ti=”duración de la bombita numero i” con
distribución exponencial de parámetro  .
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que las 10 bombitas fallen antes del tiempo t?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que k de las 10 bombitas fallen antes del tiempo t?
Ejercicio 18:
Sea (X, Y) un vector aleatorio con distribución Normal bivariada con X = 5, Y = 8,
X = 2 , Y = 3 y  = 1 .
6
a.- Calcule P(X > 6) y P(X > 6/ Y= 9 ).
b.- Calcule E(X/ Y= 6) y V(X/ Y= 6).
5
Práctico 1
Vectores aleatorios- Función de probabilidad conjunta
c.- Calcule E(X); V(X); E(X+Y) y V(X+Y). Generalizar para aX + bY (a y b constantes).
Ejercicio 19:
El precio promedio P (en pesos por litro) y la cantidad demandada Q (en miles de litros)
de gasolina en el mercado nacional en un día cualquiera son variables aleatorias
normalmente distribuidas con P = 1.4, Q = 100, P = 0.3, Q = 10 y  = -1/3.
a.- Calcule la probabilidad de que en un día cualquiera se demanden más de 110000
litros de gasolina.
b.- Calcule la probabilidad de que en un día cualquiera el precio de la gasolina esté
entre 1 y 1.5 pesos.
c.- Calcule la esperanza de la demanda en un día en que el precio es 2 pesos.
d.- Calcule la probabilidad de que en un día cualquiera se demanden más de 110000
litros de gasolina si el precio es 1.8 pesos.
e.- Calcule la probabilidad de que en un día cualquiera se demanden más de 110000
litros de gasolina si el precio es 1.2 pesos.
f.- Escriba una expresión para la varianza de la demanda en un día en que el precio es p.
Compare esta varianza con la varianza de la demanda en un día cualquiera.
Ejercicio 20:
La variable X mide el Coeficiente Intelectual (CI) y la variable Y indica la calificación
promedio de estudiantes no graduados en Economía. Suponga que el vector (X, Y) tiene
distribución normal bivariada con X =100; X =10; Y =3 ; Y = 0.3 y Cov(X, Y) = 2.25.
a.- Si algún estudiante posee un CI de 120, ¿cuáles son los valores de la media y la
desviación estándar condicionales de su calificación promedio?
b.- Si el CI es 120, ¿cuál es la probabilidad de que su promedio sea mayor que 3.5?
c.- Suponga que la calificación promedio de un estudiante es 2.8. ¿Cuál es la probabilidad
de que dicho estudiante tenga un CI mayor que 115?
6
Práctico 1
Vectores aleatorios- Función de probabilidad conjunta