Tema 5 Manual: cap. 8 JUEGOS REPETIDOS Los mismos jugadores juegan el mismo juego G periodo tras periodo. Tras cada periodo observan el resultado obtenido por ambos (y el vector de acciones elegidas). G: juego constituyente o de etapa G(T): juego repetido con horizonte temporal T La conducta estratégica en G(T) puede ser muy diferente a la conducta en G. En particular, si G es un dilema de los prisioneros, ¿bajo qué condiciones puede obtenerse cooperación entre jugadores egoístas en G(T)? Problema: ¿cómo evaluar una corriente o flujo de pagos? Mediante la suma de su valor presente o descontado, es decir, su valor en euros de t = 1. Factor de descuento de un jugador, δ, es el valor presente (euros de t = 1) de un euro que se obtendrá mañana (en t = 2). Si el tipo de interés es r, entonces δ = 1/(1+r). Luego, 0 < δ < 1. Si δ tiende a 1, entonces el futuro importa bastante. Si δ tiende a 0, entonces el futuro importa poco. Además del tipo de interés, influyen en el factor de descuento (en tus preferencias intertemporales) otros aspectos como los gustos, la probabilidad de continuar activo en el juego.... Horizonte temporal: - finito: existe una fecha límite que es conocimiento público entre los jugadores. - infinito: no existe tal fecha límite conocida de antemano. En cada periodo existe una probabilidad positiva de volver a jugar el siguiente periodo. Estrategia de un jugador en G(T) Es una regla o plan que especifica qué acción adoptar en cada periodo como función de cada posible historia previa del juego. La historia del juego en t es la secuencia de pares de acciones observadas hasta t – 1. Dos estrategias de cooperación condicional son: Estrategia del Disparador Empiezo cooperando en t = 1, y luego coopero si siempre se cooperó antes pero si en algún periodo algún jugador no coopera paso a no cooperar para siempre (tras toda historia). Observese que la longitud del castigo no depende de la conducta del otro en el castigo. Estrategia del Talión o de Toma y Daca. Empiezo cooperando y luego juego lo que jugó mi oponente en el periodo anterior. Considere el par de estrategias en que cada jugador utiliza la estrategia del Disparador, ¿Bajo qué condiciones constituye un equilibrio Nash del juego repetido con horizonte infinito? DILEMA DE LOS PRISIONEROS GENERAL. Considere el siguiente DP simétrico: C c ,c NC b,a a,b n,n C NC donde a > c > n > b. En el juego repetido con horizonte infinito se puede obtener cooperación mediante estrategias de disparador si se cumple: c/(1 – δ) ≥ a + [δ.n/(1 – δ)], donde δ es el factor de descuento de ambos jugadores. Luego, δ ≥ δ´ = (a – c)/(a – n) Si los jugadores siguen la estrategia de Toma y Daca (TD), entonces además de la misma desviación que con la estrategia del Disparador (NC en t = 1 y luego NC para siempre), existe otra posible desviación: NC en t = 1 para luego volver a C en t = 2. Para que esta desviación no sea provechosa deberá cumplirse: c + δ.c ≥ a + δ.b, que implica δ ≥ δ* = (a – c)/(c – b) Luego, ambos jugadores jugando la estrategia TD es un EN del DP con horizonte infinito si δ ≥ max { δ´, δ*}. ¿Qué factores favorecen la cooperación? 1. Altos factores de descuento y altas probabilidades de continuación. 2. Bajas ganancias netas por traicionar la cooperación, a – c. 3. Altas ganancias individuales cuando todos los jugadores cooperan: c. Bajas ganancias individuales cuando todos no cooperan: n. Práctica: la colusión en los mercados. 1-. Suponga dos empresas que compiten en precios en un mercado de un producto homogéneo con función de demanda D(p) con pendiente negativa. Ambas tienen costes unitarios constantes iguales c > 0. Suponga que descuentan los pagos futuros con un mismo factor de descuento δ > 0. Obtenga las condiciones bajo las que es posible sostener la colusión entre estas empresas. ¿Qué sucede si el número de empresas aumenta? 2-. Comente la facilidad de que se produzca la colusión entre dos empresas que compiten en precios, si saben que la demanda de mercado se expande (o se reduce) según una tendencia conocida por ambas. 3-. Dos empresas con un mismo factor de descuento δ = 0.65 compiten en precios en dos mercados idénticos e independientes. En el mercado 1 tras cada periodo se observa el precio que puso el rival, pero en el mercado 2 cuesta dos periodos observarlo y poder responder. Compruebe si es posible sostener la colusión en cada uno de estos mercados por separado. Suponga ahora que ambas empresas vinculan el mantenimiento de la colusión a que se produzca en ambos mercados a la vez. Solución ejercicio 3. Mercados separados. La colusión es posible en el mercado 1 porque δ = 0,65 > 0,5. En el mercado 2 los beneficios obtenidos antes de ser detectado son: Bm(1 + δ). La colusión sólo es posible si δ ≥ 0,71… Como δ = 0,65, no es posible colisionar en el mercado 2. La velocidad (y precisión) de detección de cambios en precios y de reacción ante estos cambios es muy importante para facilitar (o dificultar) la colusión. Mercados relacionados estratégicamente. Los beneficios de la colusión en ambos mercados a la vez son: 2.[(Bm/2)/ (1 - δ)] = Bm /(1 - δ). Desviaciones: - recortar precio en ambos mercados en t = 1. Pago: 2.Bm. - recortar en t = 1 sólo en mercado 2 y en ambos en t = 2. Pago: (Bm + (Bm/2)) + δ.2.Bm. Los pagos en la fase de castigo no cambian. Luego la colusión multimercado es posible si: Bm /(1 - δ) ≥ (Bm + (Bm/2)) + δ.2.Bm. Resolviendo obtenemos δ ≥ 0,63… LA ESTRUCTURA DEL MERCADO AFECTA A LA VIABILIDAD DE LA COLUSIÓN. 1. Concentración del mercado. Cuanto mayor es la concentración más fácil es la colusión. 2. Velocidad (y precisión) de detección de cambios en precios y de reacción ante estos cambios. La observación rápida y con certeza de los recortes de precios de la competencia facilita la colusión. 3. Mercados en expansión o en recesión. Si el mercado está en expansión (resp. recesión) más fácil (resp. difícil) es la colusión. 4. Asimetrías entre las empresas. Más difícil cooperar al no existir un punto focal “natural”. (Ahora bien, ventajas del “liderazgo”). 5. Conducta multi-mercado o mercados relacionados estratégicamente. Facilita la colusión (pues aumentan los beneficios futuros de la colusión). JUEGOS REPETIDOS CON HORIZONTE FINITO. • -Todo juego repetido con horizonte finito donde el juego de etapa tenga un único equilibrio Nash (EN) (por ejemplo, el dilema de los prisioneros), tiene un único resultado de equilibrio perfecto (calculado por inducción hacia atrás). Este resultado consiste en la repetición todos los periodos del equilibrio del juego de etapa (luego en el DP repetido finito no es posible obtener la cooperación). • Si el juego de etapa tiene multiplicidad de EN ineficientes, entonces puede existir un equilibrio perfecto del juego repetido con horizonte finito en el que se coopera (resultado eficiente) en todos los periodos menos el último. • Intuición: es posible castigar a un jugador por desviarse en el penúltimo periodo especificando que si no se desvía jugarás el EN “bueno”, pero si se desvía jugarás el EN “malo” para él y “bueno” para tí mismo. Ejemplo: C X Y Z C 5,5 0,0 0,0 6,0 X 0,0 3,3 0,0 0,0 Y 0,0 0,0 0,0 4,1 Z 0,6 0,0 1,4 0,0 Suponga que este juego se juega dos veces. Los jugadores maximizan la suma de los pagos en cada periodo. Que ambos jugadores utilicen la siguiente estrategia constituye un equilibrio perfecto del juego repetido: “C en t = 1; X en t = 2 si ambos eligieron C en t = 1; en cualquier otro caso, Z en t = 2.” JUEGO REPETIDO CON GENERACIONES SOLAPADAS. • Un equipo de producción de 10 individuos juega cada periodo con horizonte infinito. Cada individuo vive 10 periodos y en cada periodo juegan solapadamente individuos de todas las generaciones. • Cada miembro del equipo elige simultáneamente si trabaja duro con coste 1 o vaguea con coste cero. El output generado se reparte a partes iguales y depende del número de miembros que trabajan duro, en concreto, si k individuos cooperan el ouput será x = 2k. Suponga que el pago en el juego repetido es la suma de las utilidades por periodo. • Construya un equilibrio Nash del juego repetido en el que todos, menos el individuo de edad 10, cooperan. • Estrategia de disparador: • “Los trabajadores de edad laboral 10 siempre eligen vaguear. Siempre que en el pasado ningún trabajador de edad laboral menor que 10 vagueó, todos los trabajadores de edad menor que 10 trabajan duro. En caso contrario, todos los trabajadores vaguean.” • - Obsérvese que el equilibrio cooperativo obtenido se mantiene como equilibrio si suponemos que los trabajadores sólo observan el número total de individuos que vaguean aunque no su identidad.