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EXAMEN SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS II – 2º BACHILLERATO –2011
1) Considera la función f : R → R definida por f(x ) = x 2 − 5x + 4 .
(a) [0'75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = 3 .
(b) [1'75 puntos] Calcula el área de la región que está limitada por el eje de ordenadas, por
la gráfica de f y por la recta tangente obtenida.
2) [2'5 puntos] Sea f : R → R la función definida por f(x ) = (x − 1)e 2x . Calcula la primitiva
(
de f cuya gráfica pasa por el punto 1, e 2
)
2b) [2'5 puntos] Sea f : R → R la función definida por f(x ) =
x +1
. Halla la ecuación de la
ex
recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.
3) Dadas las rectas r y r' de ecuaciones:
 x =z -1
r:
y = 2 - 3z
x - 4 = 5z
r ′
 y = 4z - 3
a) [1,25 puntos] Estudia su posición relativa.
b) [1,25 puntos] Halla las ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por el origen y
corta a r y r'.
4) Considera el sistema de ecuaciones:


λx + y + (λ − 1)z = 1 
λx + y = 2 + λ 
x + λy = λ
a) [1,25 puntos] Clasifica el sistema según los valores de λ .
b) [1,25 puntos] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
SOLUCIÓN
1) Considera la función f : R → R definida por f(x ) = x 2 − 5x + 4 .
(a) [0'75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = 3 . f' (x ) = 2x − 5 → m = f' (3) = 2 ⋅ 3 − 5 = 1 , f(3) = 9 − 15 + 4 = −2
Recta tangente: y − f(3) = f' (3)(x − 3) → y + 2 = 1(x − 3) → y = x − 5
(b) [1'75 puntos] Calcula el área de la región que está limitada por el eje de ordenadas, por
la gráfica de f y por la recta tangente obtenida. A = A1 + A2
3
A=
∫ (x − 5) − (x
2
− 5x + 4 )dx
0
3

x2
x3
x2
A=
− 5x −
+5
− 4x 
2
3
2
0
3

x3
x2
54
A= −
+6
− 9x = − 9 +
− 27 = 9u2
3
2
2
0
2) [2'5 puntos] Sea f : R → R la función definida por f(x ) = (x − 1)e 2x . Calcula la primitiva
(
de f cuya gráfica pasa por el punto 1, e 2
)
1
(x − 1)e 2x − 1 ∫ e 2xdx = 1 (x − 1)e 2x − 1 e 2x + C
2
2
2
4
du
=
dx

u = (x − 1) 

→

1 2x  por partes
2x
dv = e dx  v = e 
2

1
1
1
5
Sabemos que F(1) = e 2 → F(1) = (1 − 1)e 2 − e 2 + C = e 2 → − e 2 − e 2 = −C ⇒ C = e 2
2
4
4
4
1
1
5
La primitiva pedida es, por tanto: F(x ) = (x − 1)e 2x − e 2x + e 2
2
4
4
x +1
2b) [2'5 puntos] Sea f : R → R la función definida por f(x ) =
. Halla la ecuación de la
ex
F(x ) =
∫ (x − 1)e
2x
dx =
recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.
Necesitamos primero hallar el punto de inflexión, derivamos dos veces:
e x − (x + 1)e x − xe x
x
− e x + xe x (x − 1)e x x − 1
=
=
−
→
f
'
'
(
x
)
=
=
= x
e 2x
e 2x
ex
e 2x
e 2x
e
x −1
1
 2
f'' (x ) = x = 0 ⇒ x = 1 → P.I. 1,  ; f' (1) = −
e
e
 e
f' (x ) =
y − f(1) = f' (1)(x − 1) → y −
2
1
1
3
= − (x − 1) → y = − x +
e
e
e
e
3) Dadas las rectas r y r' de ecuaciones:
 x =z -1
r:
y = 2 - 3z
x - 4 = 5z
r ′
 y = 4z - 3
a) [1,25 puntos] Estudia su posición relativa. Las ponemos en paramétricas:
 x = 4 + 5µ

r′ 
y = −3 + 4 µ

z = µ
x = -1 + λ
r

r : y = 2 - 3λ d (1, −3,1)

z = λ
r
d' (5, 4,1)
No son paralelas ni coincidentes. Veamos si se cortan o se cruzan, resolviendo el sistema:
− 1 + λ = 4 + 5µ 
 − 1 5
 − 1 5 − 5





2 − 3λ = −3 + 4 µ  → A =  3 4 ; A* =  3 4 5  ; r(A)=2; r(A*)=3 Se cruzan
−1 1 
−1 1 0

λ=µ





b) [1,25 puntos] Halla las ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por el origen y
corta a r y r'.
Para hallar esta recta, vamos a hallar los planos P1 que pasa por O y contiene a r1 y P2 que
pasa por O y contiene a r2. La recta pedida será la intersección de los dos planos.
O(0,0,0 )

x y
Pr(− 1,2,0 )
P1 
→ 1 −3
d (1, −3,1)
−1 2
r
(
)
e
=
OP
−
1
,
2
,
0

z
1 = 0 → − y − z − 3z − 2x = 0 → 2x + y + 4z = 0
0
O(0,0,0 )

x y z
(4,−3,0 )
Q
P2  r
→ 5 4 1 = 0 → 4 y − 15z − 16z + 3x = 0 → 3x + 4 y − 31z = 0
d (5, 4,1)
4 −3 0
r
e
=
OQ
(
4
,
−
3
,
0
)

2x + y + 4z = 0
la pasamos a paramétricas: z = λ
3x + 4 y − 31z = 0
Recta pedida s : 
2x + y = −4λ 
− 8x − 4 y = 16λ 
47
74
λ; y =
λ
→
 → −5x = 47 λ → x = −
3x + 4 y = 31λ 
3x + 4 y = 31λ 
5
5
47

x = − 5 λ

74

Solución s : y =
λ
5

z = λ


4) Considera el sistema de ecuaciones:

1 λ 0 
1 λ 0 λ 





λx + y + (λ − 1)z = 1  → A =  λ 1 λ − 1  → A* =  λ 1 λ − 1 1 
λ 1 0 
λ 1 0 2 + λ 
λx + y = 2 + λ 




x + λy = λ
a) [1,5 puntos] Clasifica el sistema según los valores de λ .
Veamos los rangos de la matriz del sistema y la ampliada:
1
λ
0
λ
λ
1 λ − 1 = λ2 (λ − 1) − (λ − 1) = 0 → (λ2 − 1)(λ − 1) = 0 ⇒ λ = ±1
1
0
1

Para λ = 1 → A =  1
1

1
1
1
0
1


0  → A* =  1
1
0 

1
1
1
1

0 1  → r(A) = 1, r(A* ) = 2
0 3 
0
Sistema incompatible
1 − 1 0 
 1 − 1 0 − 1




Para λ = −1 → A =  − 1 1 − 2  → A* =  − 1 1 − 2 1  → r(A) = 2, r(A* ) = 2
−1 1 0 
−1 1 0 1 




Sistema compatible indeterminado
Para λ ≠ ±1 → r(A) = 3, r(A* ) = 3 Sistema compatible determinado
b) [1,5 puntos] Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
x − y = −1 
x = −1 + λ


 x − y = −1
Para λ = −1 → −x + y − 2z = 1 →
y = λ →

− x + y − 2z = 1
− x − 2z = 1 − λ 

−x+y =1 
x = −1 + λ

Solución: y = λ
z = 0
