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CAPÍTULO II
CORRIENTE ELÉCTRICA Y CIRCUITOS
ELÉCTRICOS DE CORRIENTE CONTINUA
A.- LA CORRIENTE ELÉCTRICA
2.1.- Propiedades generales de los materiales conductores.Analizaremos en forma breve las propiedades de los materiales, con referencia
al comportamiento de los mismos en la conducción eléctrica. En el capítulo anterior
hemos visto que existían materiales que eran capaces de conducir las cargas
eléctricas, y que por ello se denominan conductores, y otros que no lo eran y que se
denominan dieléctricos.
En general se denomina conductor a todo medio que sea capaz de portar
corriente eléctrica. Los conductores metálicos tienen electrones que son capaces de
llevar la corriente eléctrica. En efecto, desde el punto de vista de la estructura de sus
respectivos átomos, tienen sus capas muy incompletas, y por lo tanto están en
condiciones de ceder fácilmente electrones, que están pocos ligados a sus respectivos
núcleos. Esos electrones que, se los llama “libres”, son los responsables de la
conducción eléctrica.
Existen otros materiales conductores tales como los plasmas. En ellos, la
carga es conducida por electrones y por iones. Ambos provienen de la ionización de
los gases, y los electrones (negativos) van en un sentido y los iones (átomos o
moléculas) positivos en el sentido opuesto. Un interesante ejemplo es la ionosfera de
la Tierra, compuesta por gases ionizados, a muy baja presión.
Otros materiales en estado líquido que también son conductores son los
electrolitos, en los cuales la carga es llevada por iones, tanto positivos como
negativos. En los semiconductores la carga es conducida por los electrones y los
huecos o lagunas.
En el caso de los dieléctricos, la situación es diferente. Sus capas atómicas
están casi completas, y por lo tanto no ceden fácilmente electrones para la
conducción. Solamente campos eléctricos muy intensos son capaces de arrancar
electrones, y suministrarlos para la conducción.
Vamos a estudiar los conductores metálicos. En ese sentido, calcularemos a
qué velocidad se mueven los electrones libres, que conforman dentro del sólido lo
II A 1
que se suele denominar un “gas de electrones libres”. Para ello recurriremos a la
teoría cinética de los gases, que nos proporciona una expresión de la energía cinética
media en un gas razonablemente aproximada, de la cual obtendremos la velocidad
media de los electrones:
1
3
me v 2  kT
2
2
(2.1)
donde k = 1,38 x 10-23 J/K, es la llamada constante de Boltzmann y me = 9,1 x10-31
Kg es la masa del electrón. De ella se obtiene que la velocidad propia de los
electrones es v  105 m/s.
La idea que se tiene es que el metal se comporta como una red, donde los
nudos son los átomos, que están “danzando”. Algunos electrones ligados a ellos se
sueltan y quedan disponibles para la conducción. Si la temperatura T aumenta, las
vibraciones también aumentan, por lo cual los electrones encuentran menos espacio
para moverse. Ello implicará que la conductividad del metal es menor.
Se ha establecido, mediante mediciones y cálculo que la densidad de
electrones de conducción es para el cobre n = 8,4 x 1028 electrones/m3. La alta
velocidad (v  105 m/s) genera un movimiento al azar que es lo que se denomina el
ruido de Johnson. (Es una corriente que es posible medirla entre las terminales de una
resistencia).
2.2.- La corriente eléctrica.Definimos la corriente eléctrica i como:
i
dq
dt
(2.2)
es decir, que es la cantidad de carga dq que pasa a través de una sección  de un
conductor en un dt dado. La unidad de la corriente eléctrica es el ampere, que se
simboliza con A:
[ i] =
C
= ampere = A .
s

Si  es un vector que simboliza la sección del conductor, introduciremos un
nuevo vector que denominaremos el vector densidad de corriente de conducción J tal
que:
 
 
J  E y J.d  di
o sea que:
II A 2
 
i =  J  d
(2.3)

y  es la superficie de integración o sea la sección del conductor. Esta expresión,
como es fácil comprender, vale para el caso en el cual la densidad de corriente de
conducción varía punto a punto en la superficie .
Supongamos ahora, tal como se ve en la figura 2.1, que por efecto de un
campo eléctrico aplicado E , los electrones se mueven en sentido contrario al campo
con una velocidad v, a través del área , donde n
es la densidad de electrones libres y e su carga. En
un dt, el volumen ocupado por los electrones será
 v dt, y la corriente eléctrica será:
i
dq ne vdt 

 ne v
dt
dt
(2.4)
Fig. 2.1
Es fácil ver que es:
J=nev
(2.5)
donde v es la velocidad asociada al electrón, pero que responde al campo eléctrico

aplicado. Esta velocidad será vectorial, y tendrá en realidad sentido opuesto al de J ,
ya que este vector densidad de corriente tiene el mismo sentido que el del campo
eléctrico y los electrones se mueven en sentido contrario al campo. En forma
vectorial escribimos:


J = -nev
(2.6)
Calculemos ahora el módulo de la velocidad v de los electrones en un campo
eléctrico. Esta velocidad se denomina de arrastre (drift en inglés), para diferenciarla
de la anterior. Resulta entonces:
v
i
ne
Los siguientes datos que damos a continuación, corresponden a un caso
típico:  = 1mm2, i = 1 A, n = 8,4 x 1028 electrones/m3 , e = 1,6 x 10-19 C,
obteniéndose que la velocidad de arrastre es v = 7,4 x 10-5 m/s.
Como se puede observar, esta velocidad es notoriamente menor que la anterior
(10 órdenes de magnitud menor para ese ejemplo). Ello se debe a que la velocidad de
arrastre que adquiere un electrón para desplazarse dentro del metal termina siendo
pequeña porque va chocando con los átomos que integran la red. Entre uno y otro
II A 3
choque, avanza con la velocidad propia. Pero como los choques son al azar, también
puede llegar a retroceder, haciendo que la velocidad resultante o de arrastre sea
extremadamente baja.
Un modelo sencillo para comprender esto, es el del “flipper”, en el cual se
lanza una bola de acero, en un plano ligeramente inclinado hacia arriba. La bola va
cayendo mientras choca al azar con obstáculos que tienen un valor dado, acumulando
puntos, y tardando más tiempo en bajar.
Esto quiere decir que podemos distinguir tres velocidades diferentes:
 la propia del electrón en la red que tiene un valor aproximado de  105 m/s;
 la de arrastre cuyo valor es  10-5 m/s,
 la velocidad de la señal, cuyo valor es  3 x 108 m/s.
Esta última es aquella con la cual se establece un campo en un punto
proveniente de otro punto, y será objeto de estudio en el capítulo VIII. Se verá que es
la velocidad de la luz en un medio determinado, y es aquella con la cual un campo
pasa de un punto a otro en ese medio.
2.3.- Sentido de la corriente.Por razones históricas, el sentido de la corriente eléctrica, es el mismo que el
del campo eléctrico. Posteriormente, se descubrió que en realidad lo que sucedía era
que los electrones se desplazaban en sentido inverso al del campo. Pero como ya se
había impuesto el uso del sentido de la corriente según el campo, ha sido éste el que
ha prevalecido, por sobre el sentido del desplazamiento de los electrones.
2.4.- Conductividad eléctrica. Ley de Ohm puntual.La ley de Ohm puntual establece que en todo punto del conductor, el vector
densidad de corriente de conducción, es proporcional al campo eléctrico, es decir:


J  E
y a la constante de proporcionalidad la llamaremos , que es la conductividad
eléctrica. Escribimos entonces:


J =E
(2.7)
que es la ley de Ohm puntual. La inversa de la conductividad, la llamaremos la
resistividad y es:
II A 4
1/=
(2.8)
Si la corriente está uniformemente distribuida en la sección el conductor, en la
(2.7), podremos reemplazar la densidad de corriente de conducción por la expresión
que la relaciona con la corriente. Además consideraremos que el material es
homogéneo (el mismo en todo el volumen), isótropo, (la resistividad es la misma en
todas las direcciones) y lineal (es decir que la resistividad no varía con la corriente).
La mayoría de los usados en la práctica cumplen con estas propiedades, dentro de un
cierto rango de valores. En ellos la velocidad de arrastre de los portadores de carga
tiene la misma dirección del campo eléctrico. Si reemplazamos éste por su relación
con el gradiente de potencial, se obtiene:
i
 dV 

  
 dx 

de donde:
i  
dV
dx
(2.9)
expresión que es similar a la ecuación de la conducción del calor estacionaria:
H   K
dT
dx
donde H es el flujo de calor, T la temperatura y K la conductividad térmica del
material.
2.5.- Ley de Ohm.Sea el conductor de la figura 2.2, de longitud l y sección , por el cual circula
una corriente i. Entre sus extremos está aplicada una diferencia de potencial Va – Vb.
De (2.9):
l
Vb
0
Va
 i dx    d V
e integrando:
Fig. 2.2
i

( Va  Vb )
l
En esta expresión, hay una constante de proporcionalidad entre la corriente y
la diferencia de potencial, que depende de la geometría del conductor, y del material,
II A 5
y se la denomina la conductancia G. A la inversa de esa constante se la denomina la
resistencia R del material:
l
l
(2.10)
R



y la unidad de resistencia es:
[ R ] = ohm = 
La inversa de R:
1/R=G
tiene como unidad:
[ G ] = siemens = S
Finalmente escribimos la ley de Ohm:
Va  Vb  Ri
(2.11)
que vale, como se dijo, para conductores que sean lineales, isótropos y homogéneos.
En los metales por ejemplo, también juega un importante rol la temperatura, y dentro
de un rango de valores de la misma, se cumple que la corriente es proporcional a la
diferencia de potencial. Pero hay materiales donde todo esto no se cumple. Ello
quiere decir que la ley de Ohm no es una propiedad general. En la fig 2.3 a se pueden
ver ejemplos de algunos elementos con sus respectivas curvas tensión corriente.
Fig.2.3 a
II A 6
Los símbolos usados para la resistencia y para la resistencia variable se
muestran en la figura 2.3 b.
Fig. 2.3 b
La unidad de resistencia es, como se dijo, el Ohm. Se define el Ohm absoluto,
como la resistencia de una columna de mercurio a la temperatura de fusión del hielo,
de masa 14,4521 gramos, de longitud 106,300 cm y de sección constante.
2.6.- Variación de la resistividad con la temperatura.La resistividad  de los materiales varían con la temperatura T. Se define un
coeficiente  de variación de la resistividad con la temperatura a través de la
siguiente expresión:

1 
0 T
obteniéndose fácilmente:
  0 (1  ( T  T0 ))
(2.12)
en la cual la variación es supuesta lineal. Puede suceder que en algunos materiales o
para determinados rangos de temperatura que la variación sea más complicada. Se
debe remarcar que  es positivo para materiales conductores y negativo para
aisladores.
Existen materiales que pierden toda su resistividad cuando la temperatura
desciende más allá de determinado valor: son los superconductores. Este fenómeno
fue descubierto por el físico holandés Heike K. Onnes en 1911 cuando estudiaba el
efecto de las bajas temperaturas en los materiales. Así encontró que el mercurio
perdía toda resistividad a 4K aproximadamente (-269C). Esta temperatura se la
conoce con el nombre de “temperatura crítica”.
Este tema fue objeto de numerosas investigaciones dadas las implicancias
económicas que podría tener, y es recién en 1933 que se encontró otro material con
el cual se podía alcanzar una temperatura crítica de 10K. Hubo que esperar hasta
1969 para acercarse a los 20K y en 1973 a 23K, siempre con materiales diferentes.
En 1986 se llegó a 30K y en 1987 a 98K. Actualmente ha trepado a cerca de los
II A 7
200K y hay laboratorios que reivindican haber llegado a temperatura ambiente, pero
con resultados aún poco prácticos. Claro está que aún hay muchos problemas para
resolver en la superconductividad. En la actualidad se trabaja intensamente para
llegar a disponer de materiales con resistividad nula a temperatura ambiente y que
permitan el paso de corrientes de valores de interés tecnológico. Es fácil imaginar el
enorme ahorro de energía que permitiría un logro de esa naturaleza. Más adelante, en
el capítulo VI, se verán otras propiedades de estos materiales, pero relacionadas con
el magnetismo.
Los gráficos de la figura 2.4 muestran las variaciones típicas de la resistividad
 con la temperatura T.
Un buen conductor tiene pues, baja resistividad y alta conductividad. Un
conductor perfecto (no existe) tendrá    y   0. Un superconductor tiene  = 0
Fig. 2.4
en un rango determinado de temperaturas, pero se diferencia del conductor perfecto
por su comportamiento en presencia de campos magnéticos. La tabla 2.1 da valores
de  y  para algunos materiales de interés a la temperatura de 20C.
Sustancia
Aluminio
Carbón
Constantán
(Cu: 60%, Ni: 40%)
Cobre
Plata
Tungsteno
Ámbar
Azufre
Cuarzo
Ebonita
Vidrio
Madera
Tabla 2 . 1
 (m)
2,63 x 10-8
3,500 x 10-8
49 x 10-8
1,72 x 10-8
1,47 x 10-8
5,65 x 10-8
5 x 1014
1015
75 x 1016
1013 - 1016
1010 - 1014
108 - 1014
II A 8
 (1/C)
0,0039
- 0,0005
0,000002
0,00393
0,0038
0,0045
1011 - 1015
10 x 10-8
100 x 10-8
640
0,45
103
Mica
Hierro
Nicrome
Silicio
Germanio
Tierra húmeda
5 x 10-3
0,4 x 10-3
-0,075
-0,048
2.7.- Fuentes de tensión.Si tenemos en cuenta la ley de Ohm puntual (2.7) y consideramos una
distribución uniforme de corriente eléctrica, se obtiene:

C
 
 
i

E d l    J d l    d l  i  d l  i R


C
C
C
De aquí se ve que si el campo eléctrico proviniera solo de cargas estáticas, de
acuerdo a la propiedad de que la circulación del campo en ese caso es nula, sería:
0=iR
lo que nos llevaría a que i = 0. Es decir que en un circuito debe haber una
circulación del campo eléctrico no nula o bien deben actuar fuerzas no eléctricas
sobre las cargas. Esta circulación se debe fundamentalmente a las fuentes de tensión,
o de diferencia de potencial. Se dice que la fuente tiene fuerza electromotriz, o fem.
En un próximo párrafo veremos las diferentes formas de generar una diferencia de
potencial. Las fuentes de tensión se simbolizan como se ve, en la figura 2.5, y se
conectan al circuito como se ve, entre los puntos 1 y 2.
Por ahora aceptemos que
las fuentes existen, y que son las
que generan el movimiento de las
cargas en los circuitos.
Es conveniente, entonces,
desdoblar el campo eléctrico en
un circuito en dos términos: uno
debido a las cargas en sí mismas,
y otro debido a la fuente donde se
produce un fenómeno que es
Fig. 2.5
capaz de impulsar las cargas.
Por todo ello, escribimos:
  
Et  Es  Em
II A 9
(2.13)


donde Et es el campo eléctrico total, Es el campo eléctrico estático debido a las

cargas, y E m el campo eléctrico debido a la fuente de tensión. La ley de Ohm puntual
la escribiremos ahora de la siguiente forma:


 Et
J   Et 

(2.14)
o sea que:



 
E t d l    J d l  i R
C
C
Ahora bien, la circulación del campo eléctrico creado por las cargas solas en
reposo es nula, tal como sabemos del capítulo I:


 E d l
s
0
C
por tanto nos queda:

E
m

d l  i R
C
Si ahora lo aplicamos al circuito de la figura 2.5, se tiene:

C
 2 
 1 


Em d l   Em d l   Em d l  i R
1
2
y la integral que va desde el punto 2 al punto 1, según el circuito, es nula. Por lo tanto
quedará:

2
1


E m  dl  e
o sea:
e i R
(2.15)
donde e es la diferencia de potencial entre los bordes de la fem. Esta diferencia de
potencial coincide con:

2 
V2  V1    Es  dl
1
Veamos ahora el circuito de la figura 2.6, en el cual hay una fuente de tensión y una
resistencia. Además el punto 1 está conectado a potencial cero. Hemos de “abrir” el
II A 10
circuito, a los efectos de graficar las variaciones del potencial a medida que se recorre
el mismo. En el circuito se ha puesto de manifiesto la existencia de una resistencia
interna de la fem, simbolizada con r. Existe un método experimental para determinar
el valor de dicha resistencia interna.
De esta figura, se deduce fácilmente que:
e = i (r + R)
y la diferencia de potencial entre el punto 2 y el punto 1, pasando por la fem, y en
sentido contrario a la corriente es:
Fig. 2.6
V2 – V1 = V21 = e - i r
Y para el caso en que hubiera varias fem y varias resistencias, incluyendo las
resistencias internas, se podría escribir:
V21  e  Ri
(2.16)
Entre los mismos puntos, pero pasando por la resistencia R:
V21 = i R
y en forma general para el caso en que no solo hubiera varias resistencias sino
también varias fuerzas electromotrices, podremos decir que la diferencia de potencial
entre dos puntos de un circuito según el sentido de la corriente es:
V21 =
 iR   e
(2.16’)
2.8.- Descripción de algunas fuentes de fuerza electromotriz.A modo ilustrativo, daremos aquí una descripción somera de las fuentes de
II A 11
fuerza electromotriz más conocidas.
a) La celda voltaica.
Está compuesta básicamente por dos electrodos metálicos, sumergidos en un
líquido, llamado electrolito, que es una solución capaz de conducir la corriente
eléctrica. La combinación consiste en un electrodo de zinc y otro de cobre. El primero
es electronegativo y el segundo electropositivo. Cuando ambos metales, en forma de
placa, son sumergidos en el electrolito, se inicia la acción química. El electrodo de
zinc comienza a disolverse y acumula una carga negativa mayor. Los iones que salen
del electrodo de zinc, están cargados positivamente y son atraídos por los iones
cargados negativamente del electrolito, y repelen a los iones cargados positivamente
hacia el electrodo de cobre. El cobre debe ceder electrones, quedándose con más
carga positiva.
Como electrolito suele usarse ácido sulfúrico disuelto en agua, embebiendo un
paño. Volta, que fue quien en 1799 mostró que era posible generar corriente mediante
esta celda, hizo rodajas de zinc y de cobre, y en medio colocaba el paño con agua
acidulada. Ponía varias de estas celdas una sobre otra formando lo que se denomina
una pila. Esta denominación se conserva actualmente para ésta y para otros tipos de
fem.
Existen varios tipos de pilas que combinan diferentes variantes de la pila de
Volta. Por ejemplo, las pilas de Leclanché, la de Daniell, la de Bunsen y las pilas
secas. Estas últimas son las que llevan un electrolito en forma de pasta en lugar de
líquido como las anteriores. También existe la llamada pila patrón de Weston, que
genera una diferencia de potencial bien conocida, que se usa en los potenciómetros
para las mediciones de fem. Además, según sean recargables o no, pueden dividirse
en dos grupos: las primarias, que no son recargables, es decir una vez que toda la
energía química se ha convertido en eléctrica, debe ser desechada, y el segundo
grupo, las secundarias o recargables
El ejemplo más típico del primer grupo, es el de las pilas de cinc-carbón, con
un electrolito que es una solución de cloruro amónico. Cuando el cinc se disuelve en
el electrolito, no puede ser invertido para formar cinc a partir de la solución. Éstas son
las pilas que se usan en radios, linternas etc.
El segundo grupo, que como dijimos son las secundarias o recargables, que
actúan como fuentes de energía eléctrica cuando los electrodos se disuelven en la
solución electrolítica. Cuando este proceso finaliza, la pila se la puede recargar
invirtiendo la polaridad y haciendo circular corriente por ella, y así volver a formar
otra vez los electrodos. La corriente de carga se suministra por una fuente externa. El
caso más típico es la de plomo-ácido, húmeda, ya que usa electrolito líquido, cuya
aplicación más conocida es en los automóviles.
Una mención especial debe hacerse a las baterías para automóviles a motores
puramente eléctricos. Estos tienen un gran rendimiento de conversión, pero la
II A 12
concentración de energía por peso en combustibles es al menos 100 veces mayor que
las baterías de plomo-ácido. Ello hace que hasta el momento, el automóvil a motor
eléctrico todavía no tenga una utilización generalizada. Sin embargo, se sigue
investigando para subir el número antes mencionado, y hacerlo más eficiente, frente a
la utilización de combustibles fósiles, que además producen una importante
contaminación ambiental.
b) Pilas de combustible.
En este caso la energía química liberada por oxidación de combustibles
líquidos, es convertida en energía eléctrica. En la mezcla líquida, por ejemplo alcohol
metílico e hidróxido de potasio, se sumergen dos electrodos metálicos. Cuando
burbujea aire en un electrodo, la oxidación del combustible da por resultado una
diferencia de potencial. El combustible y el oxidante pueden ir alimentándose en
forma continuada mientras funciona.
Se han desarrollado pilas con un rendimiento del 60%, quemando alcoholes,
hidrocarburos, o mezclas de hidrógeno-oxígeno. Esta última, con un electrolito
alcalino, fue hecha por primera vez por William Groves en 1839. El hidrógeno se
entrega continuamente a un electrodo (ánodo poroso), y el oxígeno al otro (cátodo
poroso). Entre medio de ambos se encuentra el electrolito de hidróxido de potasio. A
25°C se obtienen aproximadamente 1,2 V.
c) Termoelectricidad.
Cuando dos metales diferentes son puestos en contacto se genera una
diferencia de potencial. Si se somete a la acción de una llama el punto de contacto de
los metales, la diferencia de potencial varía con la temperatura. Fue descubierto por
Seebeck en 1837.
El efecto inverso, es decir generar una diferencia de temperatura mediante el
pasaje de la corriente eléctrica, se conoce con el nombre de efecto Peltier. El
rendimiento del efecto Seebeck para generar energía eléctrica es del orden del 6 %.
En realidad se lo usa como detector térmico.
d) Celdas fotovoltaicas.
Cuando un material como el silicio, el selenio, o el sulfuro de cadmio, es
sometido a la acción de una radiación luminosa, se genera una diferencia de
potencial, que típicamente puede tener un valor de unos 0.3 V por elemento. Se
pueden usar en lo que se denominan celdas solares, que convierten la energía radiante
del sol en energía eléctrica, con un rendimiento entre el 15 y el 20%.
e) Piezoelectricidad.
Existen materiales como el titanato de bario, que cuando son sometidos a la
acción de una fuerza en uno de sus ejes, generan en otro eje, una diferencia de
potencial. La fuerza que se aplica, puede ser muy pequeña, y las d.d.p. que se
obtienen son del orden del Volt. Se los suele usar como generadores de chispas
II A 13
(encendedores de gas), donde se obtienen mediante un golpe, varios miles de volts. El
efecto inverso, es decir generar una elongación del material mediante la aplicación de
una tensión, se suele usar para controlar pequeños movimientos.
f) Generadores eléctricos.
Se trata de la conversión de energía mecánica en energía eléctrica. La
producción de fem mediante movimiento, que se verá a partir del capítulo IV, puede
alcanzar hasta el 99% de rendimiento. La generación del movimiento, se logra
mediante la producción de vapor que mueve los álaves de un rotor, el cual a su vez
realiza el movimiento al que hicimos referencia. Sin embargo, el rendimiento de una
central en su conjunto, quemando combustibles fósiles para generar vapor, no llega al
40%, debido a que se debe pasar de energía química a mecánica y luego a eléctrica.
Si se usan combustibles nucleares, el rendimiento es del orden del 30%. El resto de la
energía se pierde en los diferentes procesos de transformación de la misma.
g) La magnetohidrodinámica.
El principio fundamental de generación eléctrica, como dijimos, se basa en el
movimiento de un conductor eléctrico en un campo magnético, con lo cual se genera
una corriente eléctrica. El conductor, en los generadores convencionales es sólido. En
un generador basado en la magnetohidrodinámica, se lo sustituye por un gas ionizado
móvil, que es un plasma. Impulsado por un gradiente de presión, el plasma fluye a
través de un tubo, el cual tiene unos electrodos y lateralmente bobinas magnéticas. Al
fluir el plasma, se induce un voltaje entre los electrodos. Se extrae potencia mediante
la conexión de electrodos a la carga. (Ver punto 6.16).
Todas las fuentes de fuerza electromotriz anteriormente descriptas se puede
decir que son “elementos activos” que, conectados a un circuito proveen una
diferencia de potencial o tensión entre sus terminales. Por este motivo son llamadas
fuentes de tensión. Existen también dispositivos que pueden describirse como
“elementos activos” que, conectados a un circuito, son capaces de entregar una
intensidad de corriente eléctrica (que idealmente es independiente del resto del
circuito y, por lo tanto, de la diferencia de potencial entre sus terminales). Estos
dispositivos, como el transistor o la célula fotoeléctrica entre otros, son las llamadas
“fuentes de corriente”.
2.9.- Energía. Ley de Joule.En un circuito, el trabajo dT que se debe realizar para llevar una carga dq de
un punto a otro con diferente potencial, según la expresión (1.21), es:
dT  Vdq
y por lo tanto la potencia eléctrica será:
II A 14
P
dT
dq
V
 Vi
dt
dt
Reemplazando por la ley de Ohm se tiene:
P  Ri2
(2.17)
que es la expresión de la potencia eléctrica disipada entre los puntos de una
resistencia R.
Es posible expresar la potencia en función del campo eléctrico y de la
densidad de corriente eléctrica. Para ello, supondremos dos puntos de un conductor
de sección , separados por una distancia l, o sea puntos que están muy próximos
entre sí, hacemos:
P  Vi  (El)(J)  (EJ)(l)  EJ
e integrando sobre el volumen del conductor:
P=  E J d

y para situaciones más complejas, esta expresión debe escribirse como:

P   E.J dω
(2.18)
Ω
y usando la ley de Ohm puntual (2.7) queda
P =  E 2 d
(2.19)

2.10.- Modelo de Drude. Tiempo de relajación.Con el fin de comprender como se produce la conducción en los metales,
Drude (1863-1906) propuso un modelo sencillo. Para ello supuso que los electrones
libres dentro del metal eran los electrones de valencia, que en presencia de un campo
eléctrico adquieren una velocidad de arrastre, tal como se dijo en el párrafo 2.1. La
fuerza que el campo eléctrico hace sobre cada electrón es:


F =- eE
y de la ley de Newton:


F = ma
II A 15
resulta que:


eE
a=m
Por otra parte los electrones avanzan debido al campo eléctrico, pero van
chocando con los átomos del conductor. La velocidad que adquieren los electrones es:

    eE
v= v0 a t = v0  t
m
y si calculamos la velocidad promedio entre las colisiones que se producen, resulta:

eE
v = v0 
m
donde  es el tiempo de relajación o tiempo libre medio entre colisiones de los
portadores.
En promedio la velocidad media inicial v 0 es nula, ya que después de cada
colisión la dirección de v 0 puede considerarse aleatoriamente distribuida. Por ello,
escribimos:

eE
v=- 
m
(2.20)
y usando la 2.6, quedará:

2


 ne  E
J = n(-e)v =
=E
m
obteniéndose el valor de :
ne 2 
 =
m
(2.21)
expresión que resulta independiente del campo eléctrico aplicado en el conductor. De
ella se pueden obtener valores para el tiempo de relajación en un metal determinado.
A modo de ejemplo veamos el caso del cobre, en el cual n = 8,48x1028
portadores / m3 y la conductividad es  = 5,7x107 -1 m-1. El valor que se obtiene
para el tiempo de relajación es:  = 2.5x10-14 s. El número de portadores se puede
calcular a partir del número de Avogadro (6,02x1023 mol-1), de la densidad (8,95 x
103 kgr/m3), y del peso molecular del cobre (63,5 gr/mol), si se supone que hay un
portador libre por cada átomo de cobre.
II A 16
El recorrido libre medio que se obtiene es:
 = v  = 105 (m/s) 2,5x10-14 s = 2,5 x 10-9 m
que es unas 1000 veces la distancia que hay entre dos átomos vecinos.
El modelo de Drude es extremadamente simplificado. Existen teorías más
desarrolladas basadas en la Mecánica Cuántica, que explican mejor estos fenómenos.
2.11.- Semiconductores.Tal como se dijo al comienzo, al tener los dieléctricos sus electrones muy
unidos a sus átomos, no están libres y por lo tanto no se mueven. Esto hace que la
conductividad no exista, o que sea muy baja. En el caso de los conductores, por el
contrario, los portadores están mucho más libres y dispuestos al movimiento
generado por el campo eléctrico. A partir de la ecuación 2.5 y usando la 2.7 (ley de
Ohm puntual), se puede escribir:

 

v = - E = - eE
ne
(2.22)
donde ahora a e se la denomina movilidad de los electrones, que es la relación entre
la conductividad del material y la densidad de carga de los portadores ne. El signo
menos en la (2.26) se debe a que los electrones se mueven en sentido contrario al
campo eléctrico. La conductividad será entonces:
 = (ne) e = e e
donde hemos llamado e a la densidad de carga de portadores, en este caso los
electrones. Las unidades de la movilidad son (m/s)/(V/m), como se puede apreciar de
la (2.26).
En plasmas, gases y líquidos, en cambio, se presentan portadores con carga
negativa, y con carga positiva, y ambos tienen libertad de movimiento. Son los
electrones y los iones, respectivamente. Entonces la conductividad se puede expresar
como:
 = e e + i i
En el caso de los semiconductores, la conducción se produce por medio de los
electrones, y por las lagunas, que son las vacantes que dejan los electrones al migrar
por efecto del campo. Estos espacios vacantes, pueden migrar de átomo en átomo, de
modo que la laguna tiende a comportarse como un ion positivo. Su movilidad resulta
mayor que la de un electrón. Por ello podemos escribir ahora:
 = e e + l l
II A 17
(2.23)
El germanio y el silicio son dos semiconductores típicos. En su forma
intrínseca (pura), los electrones y las lagunas tienen una vida media muy corta,
desapareciendo ambos al recombinarse. Pero siempre se forman nuevos pares, y
siempre hay algunos presentes. La vida media de estos pares aumenta con la
temperatura, lo que hace aumentar la densidad de los electrones y de las lagunas, y
por eso aumenta la conductividad, a la inversa de lo que sucede con los conductores
en los que disminuye con la temperatura.
La conductividad de los semiconductores es controlable mediante el agregado
de impurezas durante el proceso de crecimiento del cristal. Si la impureza que se
agrega, es por ejemplo fósforo, proporciona más electrones y se transforma en
“donor”, y el semiconductor se dice de tipo n. Si en cambio se agrega aluminio, se
proporcionan más lagunas, se denomina “aceptor”, y el semiconductor es de tipo p.
Una impureza agregada en una proporción de una parte en un millón, puede
hacer cambiar la conductividad en un factor de 106. En el caso del silicio intrínseco
hay un electrón libre cada 1012 átomos. Pero con el agregado de un impureza tipo n,
se puede llegar a 1 electrón libre cada 106 átomos. Recordemos que en el cobre, un
muy buen conductor, hay un electrón libre por cada átomo.
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