Termodinámica: γ Instituto de Profesores “Artigas” Física Experimental 1

Instituto de Profesores “Artigas”
Física Experimental 1
Guía práctica Nº 09
2008
Termodinámica: Determinación del coeficiente γ (gamma) del aire por
el método de Rüchhardti.
Fundamento teórico:
El gas ideal: una definición macroscópica.
Dada una masa de cualquier gas en estado de equilibrio térmico, podemos medir su presión p, su
temperatura T y su volumen V. Cuando su densidad es lo bastante pequeña los experimentos
demuestran que:
1. Si se mantiene a temperatura constante, su presión es inversamente proporcional a su
volumen (ley de Boyle), y
2. a presión constante, su volumen es directamente proporcional a su temperatura (ley de
Charles y Gay-Lussac).
Estos dos resultados pueden resumirse en la relación:
p.V
 cte (para una masa fija de gas). El
T
volumen que ocupa un gas a temperatura y presión constante es proporcional a su masa, por lo
cual la constante debe serlo también. Ésta se expresará como nR, donde n es el número de moles
del gas y R una constante que se deberá determinar experimentalmente.
Los experimentos demuestran que, a densidades bajas, R tiene el mismo valor para
todos los gases, a saber, R= 8.314 J/mol.K y recibe el nombre de constante universal de los
gases. Definimos entonces como gas ideal, aquel que cumpla en todas las circunstancias la
relación:
p.V  n.R.T
Llamada ecuación de estado del gas ideal.
Si bien el verdadero gas ideal no existe, resulta una abstracción útil ya que a densidades
bajas, todos los gases tienen un comportamiento similar al de este modelo.
El gas ideal: una definición microscópica.
Desde el punto de vista microscópico, el gas ideal se define haciendo las siguientes
suposiciones:
a. Un gas está formado por partículas idénticas llamadas moléculas.
b. Las moléculas tienen un movimiento al azar y obedecen las leyes de Newton del
movimiento. Las moléculas se mueven en todas direcciones y con diversas velocidades.
c. El número total de moléculas es grande. Las moléculas pueden chocar entre ellas y con las
paredes lo cual les provoca bruscos cambios en sus velocidades, pero como la cantidad de
choques es muy grande, se conserva la distribución total de velocidades y esto permite que
el movimiento siga siendo al azar.
d. El volumen de las moléculas es una fracción muy pequeña del volumen ocupado por el gas.
e. No actúan fuerzas apreciables sobre las moléculas excepto durante las colisiones. En tanto
esto es cierto, la molécula se moverá con velocidad constante entre colisiones. Estamos
suponiendo que el alcance de las fuerzas moleculares coincide con el tamaño de la
molécula.
f. Las colisiones son elásticas y su duración es despreciable. En los choques se mantienen la
cantidad de movimiento y la energía cinética. El tiempo que dura el choque es despreciable
con respecto a los intervalos entre ellos.
Los calores específicos de un gas ideal:
La energía de las moléculas que constituyen un gas ideal es puramente cinética, por lo cual
su energía interna (que es la suma de energías potenciales y cinéticas) es proporcional a
su temperatura Kelvin y solo depende de la temperatura. La energía interna U para un
gas ideal es: U 
1
RT  siendo  el número de grados de libertadii de la molécula. Como en
2
este caso tenemos solamente las tres componentes de la traslación, la molécula tiene tres
grados de libertad y U 
3
RT (por mol).
2
El calor específico de una sustancia es el calor (o bien la cantidad de calor) que la unidad de
masa requiere para sufrir un cambio de su temperatura en una unidad. Si utilizamos el mol
como medida de la cantidad de sustancia, el calor específico correspondiente recibe el nombre
de Capacidad calorífica molar y se escribe C. En los gases se distinguen dos tipos:
a. la Capacidad calorífica molar a presión constante Cp y
b. la Capacidad calorífica molar a volumen constante Cv
El valor de Cp es siempre mayor que el de CV, y para los gases ideales, se demuestra que:
Cp-CV=R, y que CV 
cp 5
3
R y se define el coeficiente  
  1.67
2
cV 3
Si bien este resultado es muy aproximado para gases monoatómicos, está en serio desacuerdo
para gases diatómicos y poliatómicos, esto sugiere que deba revisarse el modelo si queremos que
la teoría cinética sobreviva como aproximación útil al comportamiento de los gases reales.
La equipartición de la energía:
En 1857 Clausius sugirió por primera vez una modificación a la teoría cinética para explicar
los calores específicos de los gases. Recordemos que el modelo suponía una molécula como una
esfera elástica dura donde su energía era puramente traslacional. El éxito del modelo en contraste
con el comportamiento de los gases monoatómicos reforzó la idea de que la energía cinética media
de traslación era la que determinaba lo que se mide como temperatura de un gas.
Nos tenemos que preguntar si la molécula, ya no imaginada como una esfera sino como un
cuerpo extenso, podría almacenar energía en otras formas que no sea puramente la traslacional;
Por ejemplo, que pudiese rotar y/o vibrar. En las colisiones podrían excitarse estos nuevos modos,
lo cual contribuiría a aumentar la energía interna del gas.
Ahora determinaremos la energía que almacena una molécula que se traslade, vibre y rote. La
energía constará de tres componentes del tipo
1
m.v x2 (cinética de traslación), tres del tipo
2
1
I . x2 (cinética de rotación) y de componentes asociadas a las energía potenciales de la molécula.
2
Mediante la mecánica estadística se demuestra que cuando el número de partículas es grande
y puede aplicarse la mecánica Newtoniana, todos estos términos tienen el mismo valor
promedio y este valor solo depende de la temperatura. Este teorema se conoce como de
equipartición de la energía y fue enunciado por James Clerk Maxwell. Cada modo independiente de
absorción de energía se conoce como grado de libertad (  ).
El coeficiente

cp
cV
, que vincula los valores de capacidades caloríficas, depende del
gas de la siguiente forma:
 1
siendo

2

el número de grados de libertad de la molécula.
Gases monoatómicos: en este caso la molécula puede considerarse una esfera por lo cual solo
tiene tres grados de libertad (sus componentes traslacionales), por lo cual γ=1+2/3=1.67
Gases diatómicos: la molécula puede considerarse como formada por dos esferas unidas por una
varilla rígida (que no es capaz de vibrar), por lo cual puede trasladarse y rotar en torno a los tres
ejes posibles. Sin embargo, el modo de rotación en torno a un eje que coincide con la varilla no
aporta energía, teniendo que considerarse, entonces cinco grados de libertad para esta molécula.
De lo anterior, γ=1+2/5=1.40
El aire, una mezcla de gases, está compuesto fundamentalmente de Nitrógeno un gas
diatómico, por lo cual se espera obtener un valor de gamma como este.
(Extraido de: R. Resnick, D. Halliday, “Física” Parte 1, Ed. CECSA, México, 1980 y de F. Blatt, “Fundamentos de
Física”, Ed. Prentice Hall, México, 1991.)
Métodos experimentales de determinación del coeficiente
γ.
El método más primitivo y sencillo que cita la bibliografía consultada iii es el método de
Clément y Desórmesiv. En el mismo, una masa pequeña de gas a temperatura ambiente y
sometida a una pequeña sobrepresión con respecto a la ambiente se expande en forma adiabática
(sin intercambio de calor con el recipiente ni con el medio) para luego suministrarle calor a
volumen constante (proceso isócoro) hasta que alcance la temperatura ambiente inicial.
Suponiendo que la expansión adiabática sea aproximadamente cuasi-estática (una serie de pasos
sucesivos donde cada uno de ellos supone equilibrio), podrá aplicarse la ecuación de Poisson
P.V   cte y de la medida de presiones se obtendrá el valor del coeficiente γ.
Rüchhardtv puso en práctica un método ingenioso para la medida de γ que, si bien no es
más preciso que el anterior, hace uso de la mecánica elemental. El gas se halla contenido en un
gran recipiente de volumen V. Ajustado a él hay un tubo de vidrio exactamente calibradovi, de
sección A, dentro del cual una esfera metálica de masa m ajusta perfectamente como un pistón. El
gas está ligeramente comprimido por la esfera en equilibrio y, por ello, su presión es muy poco
superior a la atmosférica Po. Así, despreciando el rozamiento, P  Po 
mg
A
Si se da a la esfera un ligero desplazamiento hacia abajo y después se la libera, oscilará con
un período  ; el movimiento será oscilatorio amortiguado. Si notamos con y a la posición de la
esfera en un instante dado con respecto a la posición de equilibrio, un pequeño desplazamiento
positivo produce un pequeño aumento de volumen dV y se tiene:
dV=y.A
Análogamente, dicho desplazamiento provoca una disminución dP en la presión, siendo por
tanto, negativa. La fuerza neta sobre la esfera es F=A.dP, si despreciamos el rozamiento; o sea:
dP 
F
A
Puede observarse que los signos de dP y F, son opuestos a los de y, lo cual define a la fuerza
como restauradora.
Si la frecuencia de oscilación de la esfera es grande, podemos considerar las variaciones de
P y de V como adiabáticasvii; si sus variaciones dP y dV son pequeñas, podemos, además,
considerar que el gas pasa por sucesivos estados de equilibrio, y por tanto, que el proceso es
aproximadamente cuasi-estáticoviii. Bajo estos supuestos se aplica:
P.V   cte y PV  1dV  V  dP  0 , sustituyendo los valores de dV y dP, F  
PA2
V
.y ,
lo cual indica que el volumen de gas actúa en forma cuasi elástica, como un resorte de constanteix
k= γPA2/V. Sometida a la acción de esta fuerza, la esfera metálica oscilará con un movimiento
armónico simple que se amortiguará, en primera aproximación, debido a rozamientos viscosos
de tal forma que las fuerzas de roce dependen de la velocidad en primer orden. La medida de esta
amortiguación es el coeficiente b, y la ecuación diferencial que rige las oscilaciones es:
m.
d2y
dy PA2

b
.
(
).y  0
dt
mV
dt 2
cuya solución es la ecuación horaria y=f(t) que describe el movimiento de la esfera, que es de la
forma:
y  Ao .e
bt
2
.sen(t   )
donde puede apreciarse que la amplitud decae con el tiempo según una exponencial inversa.
En la ecuación diferencial, el coeficiente de y es
0 
2
PA2
mV
, correspondiente a la oscilación
no amortiguada. Para calcular su valor a partir de los valores de b y
 , podremos aplicar:
 2   02 
b2
, y calcular el valor del coeficiente γ a partir de:
4
4 2 m V
 
A 2 P
2
0
Nuestro dispositivo experimental:
El desarrollo del experimento requería de lo que se conoce como un tubo de precisión de
vidrio, que no se consigue en plazax. Con él conectado a un recipiente de vidrio de 10l, la esfera
oscila con poca amortiguación, grandes amplitudes y baja frecuencia, por lo cual el período de
oscilación puede determinarse contando las oscilaciones por observación y accionando un
cronómetro de mano. Lo anterior introduce, como es de esperar, incertezas en la determinación del
período que son importantes así como su peso relativo en la determinación del coeficiente γ. La
duración de las medidas también atenta contra los supuestos del experimento.
Para poder desarrollar el experimento, ideamos sustituir el montaje original por una jeringa
de vidrioxi, donde el émbolo sustituía a la esfera. Esta modificación producía, por el pequeño
volumen de gas encerrado (utilizamos una jeringa de 20 ml), frecuencias mucho mayores que las
del diseño original (unas decenas de Hertz), lo cual nos obligaba a registrar
las oscilaciones con métodos alternativos, optando por utilizar una interface
para ello.
La decisión siguiente consistió en elegir qué magnitud medir para registrar
la oscilación y así determinar los valores del coeficiente b y el período de
oscilación amortiguada , para calcular el valor del período sin amotiguar
o ;

El sensor de posición no podía utilizarse ya que las amplitudes eran del
orden de magnitud de la apreciación del mismo. No se disponía de sensor
de presión que aparece como el más apropiado luego del anterior xii. Un
artículo referido al temaxiii sugería el registro de la aceleración en función del tiempo con un
acelerómetro, por lo cual se optó por este sensor, ya que contábamos con él. El laboratorio
disponía de un sensor acelerómetro (“Low-g Accelerometer”) conectado a la interface “Lab Pro” de
Vernier Software & Technologyxiv , que fue el que decidimos utilizar.
Procedimiento:
1. Se monta una jeringa de vidrio de 20 ml limpia y seca con tapón
removible en la punta (o mejor, válvula de tres pases) en un
soporte como se muestra. Se le adhiere al émbolo el sensor
acelerómetro con adhesivo removiblexv como muestra la figura.
2. Se determina la masa del conjunto émbolo-sensor, con las
precauciones que haya discutido previamente.
3. Se remueve el tapón y se selecciona el máximo volumen,
colocándolo nuevamente.
4. Se gira el conjunto jeringa-sensor hasta apoyar el tapón en la
base, de tal forma que no se permita oscilar a la estructura de
soporte.
5. Se ejecuta el programa Logger Pro. La frecuencia de muestreo
mínima debe elegirse de acuerdo a que registraremos frecuencias
del orden de las decenas de oscilaciones por segundo. Discuta la
posibilidad de fijar un valor de disparo (“trigger”) a partir del cual
comenzar el registro.
6. El émbolo puede girar. Elija la posición óptima de tal forma que al
presionarlo y liberarlo, se observen la mayor cantidad de
oscilaciones posibles.
7. “Encere” el sensor, comience la recolección de datos, presione el émbolo y libérelo.
8. La gráfica a= f(t) debe corresponder a un movimiento oscilatorio amortiguado donde la
envolvente es una exponencial inversa. Use su olfato adquirido hasta el momento para
decidir si lo ha conseguido o no. Otórguese la libertad de repetir su medida hasta lograrlo.
No va a encontrar en esta guía el ok para detenerse en ese intento.
9. Repita el procedimiento para el conjunto de volúmenes que elija.
10. Determine los valores de b,
 , y calcule el valor de  o
como se le ocurra, y justifique sus
procedimientos. Realice las medidas necesarias para determinar el valor del coeficiente a
calcular.
11. Calcule γ del gas utilizado.
12. Discuta y determine la incertidumbre que afecta al valor calculado. Si no obtuvo el valor
esperado (bajo qué supuestos?) explique cuál o cuáles pueden ser las fuentes de la posible
discrepancia.
Referencias:
Puede encontrarse también como Ruchhardt, Rüchardt, Rüchhard, Ruchardt, o Ruchard.
Un grado de libertad es cualquier coordenada o componente de velocidad que aparezca a la segunda potencia en la
expresión para la energía de un sistema. Por ejemplo, la energía de una partícula puntual (como un átomo aislado) tiene
tres grados de libertad, una por componente de su velocidad de traslación. Un sistema masa resorte que esté forzado a
oscilar en el eje x posee dos grados de libertad, uno asociado a la energía potencial elástica y el otro a la cinética de
traslación. Una molécula diatómica, si se considera como un par de esferas unidas por un resorte poseería siete grados de
libertad, tres traslacionales, tres asociados a cada componente por eje de rotación y dos asociados a la vibración de los
átomos a lo largo del eje que los une.
iii
Zemansky, M.W., “Calor y Termodinámica”, Ed. Aguilar, 4ª ed., 1973. (Ed. original: “Heat and thermodynamics”, Mc
graw-Hill, inc, 1968).
iv
J. de phys. 89, 321, 428 (1819)
v
E. Rüchhardt, “Eine einfache methode zur bestimmung von Cp/Cv”, Phys. Z. 30, 58-59 (1929).
vi
El equipo se vende en catálogos de empresas de venta de material didáctico, como por ejemplo: “Apparatus of
i
ii
determining the ratio of specific heat capaties Cp/CV “ (37105), pag. 121, General Catalogue Physics, LEYBOLD
DIDACTIC GMBH, Germany, 1992.
El experimento está descrito en “Instrucciones de servicio 371 05, “Tubo de oscilación para determinar C p/Cv”, LEYBOLD
DIDACTIC GMBH, Leyboldstrasse 1, Germany”.
vii
Este supuesto está justificado para oscilaciones donde la presión y el volumen experimentan pequeñas variaciones
porcentuales y cuando la frecuencia es de algunos Hertz.
viii
Una transformación termodinámica reversible es un proceso ideal que supone una sucesión de estados de equilibrio,
donde las derivadas temporales de la presión y el volumen deben ser pequeñas. Pueden considerarse reversibles, con buena
aproximación, aquellos procesos reales que involucren grandes cambios de Presión y Volumen que sucedan muy lentamente
o muy pequeños cambios de P y V que sucedan muy rápidamente (G. Torzo, G. Delfitto, B. Pecori, P. Scatturin, “A new
microcomputer-based laboratory version of the Rüchardt experiment for measuring the ratio γ = Cp/CV in air”, Am. J. Phys.
69 (11), November 2001.)
ix
Estrictamente no se trata de una constante, ya que depende del cociente P/V que varía, pero para variaciones pequeñas,
se trata de un aproximación razonable.
x
Agradecemos la colaboración del técnico en vidrio de la Facultad de Química (UdelaR) Daniel Acosta y Lara por la ayuda
que nos brindó en la búsqueda del tubo.
xi
También vaya nuestro agradecimiento al Prof. Eduardo Núñez del Liceo Solymar 1 por la sugerencia de utilizar una
jeringa de vidrio como sustituto. Un equipo alternativo más similar al adaptado por nosotros puede encontrarse en
“Ruchhardt´s method of measuring the ratio of specific heats”, EX-9910, pág. 399, 2004 Physics worldwide Catalog and
experiments guide, PASCO scientific, CA, USA. (www.pasco.com).
xii
Intentamos utilizar el “Sensor de presión sanguínea” (524050) de la interface CASSY (Leybold Didactic) con la
modificación sugerida en el artículo “Proyecto para termodinámica” de Collado, O., Prieto, O., Delgado, A., Ramirez, S. y
Falcón, S. (Revista “Educación en Física”, V. 6, Nº1, Mayo de 2000, APFU), pero tenía un tiempo de respuesta
excesivamente largo, no pudiendo medir presiones a la frecuencia requerida (1000 Hz).
xiii
J.L. Hunt, “Accurate experiment for measuring the ratio of specific heats of gases using an accelerometer”, Am.J.Phys.
(7), July 1985.En este artículo se fotografiaba la pantalla del osciloscopio que registraba la señal del acelerómetro en
función del tiempo, para luego digitalizarla.
xiv
www.vernier.com
xv
En nuestro caso utilizamos “TACK-ITTM” de Faber-Castell®, pudiéndose utilizar cualquier equivalente.