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27. Transformadores Cálculo de transformadores Se sigue considerando un toroide equivalente. Cualquier transformador puede diseñarse haciendo uso de tres ecuaciones generales. Primera ecuación. Definición de densidad de flujo magnético (inducción de campo magnético). Φ = B ⋅ Ae Segunda ecuación. Ley de Ampère. ∫ H dl = ∑ N ⋅ I 27. Transformadores Particularización de la ley de Ampère. Aplicación de la segunda ecuación al caso aquí indicado. i1 u1 µc B B B ⋅ g + ⋅ l e = N1 ⋅ l1 + N2 ⋅ l 2 µ0 µc N1 g Hg ⋅ g + Hc ⋅ l e = N1 ⋅ l1 + N2 ⋅ l 2 Ae N2 le i2 u2 Φ Ae ⎛g l ⋅ ⎜⎜ + e ⎝ µ0 µc ⎞ ⎟⎟ = N1 ⋅ l1 + N2 ⋅ l 2 ⎠ Φ ⋅ R = N1 ⋅ i1 + N2 ⋅ i 2 Los terminales correspondientes indican por dónde debe entrar la corriente en cada devanado para generar flujo con el mismo sentido R= g l + e = cte µ0 ⋅ Ae µc ⋅ Ae 1 27. Transformadores Tercera ecuación. Ley de Faraday. u1 = N1 ⋅ dΦ dt u 2 = N2 ⋅ dΦ dt Obtención del sistema de ecuaciones de diseño. Derivando [2] y sustituyendo en [3]: dΦ N1 di1 N2 di 2 = ⋅ + ⋅ dt R dt R dt N12 di1 N1 ⋅ N 2 di 2 ⎫ ⎛ di 1 ⎞ ⋅ + ⋅ ⎪ u L L ⎛ 1 ⎞ ⎛ 11 12 ⎞ ⎜ dt ⎟ R dt R dt ⎪ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ ⇔ ⎬ i d u L L 2 N1 ⋅ N 2 di1 N 22 di 2 ⎪ ⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 21 22 ⎠ ⎜ ⋅ + ⋅ u2 = ⎝ dt ⎠ R dt R dt ⎪⎭ u1 = L11 y L22 son las inductancias propias del circuito y L12=L21, las inductancias mutuas. Estas ecuaciones son válidas para cualquier tipo de excitación. 27. Transformadores Circuito equivalente de un transformador real Ecuaciones de un transformador ideal. i2 i1 u1 N1 N2 P1 = P2 ; u1 ⋅ i1 = u 2 ⋅ i 2 u2 u2 = N2 ⋅ u1 N1 ⇓ N i 2 = 1 ⋅ i1 N2 Un transformador ideal podría transferir incluso energía en forma de corriente continua, cosa que los transformadores reales no consiguen. dΦ i = cte ⇒ Φ = cte ⇒ e = -N ⋅ dt =0 Se puede llevar a cabo una aproximación al funcionamiento del transformador real incluyendo una inductancia magnetizante. corriente magnetizante es la ula por la inductancia nsformador. tra del o La corriente que circ núcle el en a crear flujo que se necesita par 2 27. Transformadores Circuito equivalente de transformador con inductancia magnetizante. u1 LM N1 N2 La presencia de esta inductancia ya evita que el transformador pueda funcionar con corriente continua. u2 ideal En este modelo se sigue cumpliendo que la relación entre tensiones es la relación entre el número de vueltas. N12 LM = = R N12 le g + µc ⋅ Ae µ0 ⋅ Ae En condiciones normales, LM tendrá un valor suficientemente elevado como para poder despreciar la corriente que circula por ella. 27. Transformadores Ejemplo: Transformador excitado con tensión senoidal. i1 i1’ iM V u1 LM Del transformador ideal: i2 ideal N2 N1 u2 RL u1 N1 i 2 = = u 2 N 2 i 1' Balance de corrientes: i1 = i M + i1' = i M + N2 ⋅ i2 N1 2 ⎛N ⎞ V V i1 = ⋅ sen (ω ⋅ t ) + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⋅ ⋅ cos (ω ⋅ t ) ω ⋅ LM ⎝ N1 ⎠ RL Flujo en el núcleo: ⎛ ⎞ N N1 ⋅ ⎜⎜ i M + 2 ⋅ i 2 ⎟⎟ - N2 ⋅ i 2 N N ⋅i - N ⋅i N ⋅ (i + i ') - N2 ⋅ i 2 ⎝ ⎠ 1 Φ= 1 1 2 2 = 1 M 1 = R R R LM = N12 R Φ= N1 ⋅ i M N1 V V = ⋅ ⋅ sen (ω ⋅ t ) ⇒ Φ M = R R ω ⋅ LM ω ⋅ N1 3 27. Transformadores Efecto de la disposición de los devanados: inductancia de dispersión Ejemplo: - Transformador reductor 2:1 - 4 capas de primario con n vueltas por capa - 2 capas de secundario con n vueltas por capa - Núcleo de material con permeabilidad infinita - Corriente por el primario i, por secundario 2·i Primario ∫ H ·dl = ∑ I Secundario µ=∞ lh Devanado simétrico H= B µ núcleo ≈0 H= B µ0 ≈ n⋅i lh 27. Transformadores Efecto de la disposición de los devanados: inductancia de dispersión Primario Energía almacenada en los devanados: Secundario µ=∞ lh E = ∫∫∫ B·H ·dV lw E ∝ ∫ H ( x ) ·dx 2 0 H n·i lh A x La inductancia de dispersión del transformador se encuentra directamente relacionada con la energía almacenada en los devanados 4 27. Transformadores Efecto de la disposición de los devanados: inductancia de dispersión Prim. Sec. Energía almacenada en los devanados: Prim. µ=∞ E = ∫∫∫ B·H ·dV lw E ∝ ∫ H ( x ) ·dx 2 H 0 Del orden de la octava parte del ejemplo anterior n·i lh (sin entrelazado de capas) Interleaving 27. Transformadores Efecto de la disposición de los devanados: efecto proximidad Prim. Sec. µ=∞ Distribución de la corriente en los devanados: - El campo existente dentro de la ventana hace que la corriente se concentre en los bordes del conductor j i - Las corrientes inducidas son tanto más altas cuanto más elevado resulta H H 5 27. Transformadores Efecto de la disposición de los devanados: efecto proximidad Prim. Sec. Prim. Distribución de la corriente en los devanados: µ =∞ - El ‘interleaving’ hace que el aprovechamiento de los conductores sea mejor lh j El ‘interleaving’ disminuye la resistencia serie de los devanados i H 27. Transformadores Circuito equivalente completo de un transformador real. R1 Ld2 Ld1 R1 y R2 R2 Pérdidas en los devanados Ld1 y Ld2 C1 LM Rp N1 N2 Inductancias de dispersión C2 LM Inductancia magnetizante Rp ideal Pérdidas en el núcleo C 1 y C2 Capacidades parásitas En la mayoría de los casos se simplifica el circuito equivalente eliminando las capacidades parásitas de los devanados y agrupando los efectos de pérdidas en devanados y de inductancia de dispersión en el primario (por ejemplo). Rs Ld LM Rp N1 N2 ideal 6