HISTOGRAMA

Nota: Diferencia entre procesos aleatorios, y determinísticos. Los procesos aleatorios
tienen asociada una función de probabilidad, los determinísticos no. El resultado en un
proceso aleatorio, se rige por una probabilidad. Los procesos determinísticos consideran el
resultado de dicho evento cómo único. El tratamiento digital que haremos a lo largo del
curso, no toma en cuenta el carácter aleatorio del proceso de formación de imágenes.
Histograma
Definición de histograma.
El histograma es una función que muestra para cada valor de pixel D, el número de
pixeles H(D) que en la imagen tienen ese valor. A H(D) también se le llama la
frecuencia. En la forma gráfica del histograma, D se representa por el eje horizontal
(abcisas), y H(D) por el vertical (ordenadas), ver figura 5-2.
El histograma también se puede interpretar como la función de densidad de
probabilidad. Por ejemplo H(3)/16, es la probabilidad de que un pixel, que pertenece a una
imagen de 4x4 elementos, tenga valor 3.
Figura 5-1.- Imagen Original (Debbie)
Figura 5-2. Histograma de Debbie.
Existe una manera alternativa de definir el histograma. Supongamos que D(x, y) es
una imagen continua, ver figura 5-3, que varia suavemente del valor máximo en el centro al
mínimo en los extremos. Podemos elegir un valor de pixel D1, y definir un conjunto de
líneas de contorno que unirán todos los valores D1. Las líneas de contorno, formarán curvas
cerradas que rodean regiones que tienen un valor de pixel mayor o igual a D1. De la misma
manera se pueden definir líneas de contorno que encierren una región con un valor D2. El
valor de D2 es mayor que D1.
El área umbral A(D), de una función continua, es el área encerrada por todas las
líneas de contorno que tienen valor D.
Figura 5-3. El valor del pixel (tono de gris) varia de una manera
continua. El máximo valor se encuentra en el centro. Si se toma el
valor de pixel igual a D1, entonces se encuentra una curva cerrada.
Por lo anterior el histograma puede ser definido de la siguiente manera:
H{D(x , y)} = lim
d
A( D)  A( D  D)

A( D) (5-1).
dD
D
D  0
La ecuación 5-1 muestra que el histograma de una imagen continua se puede
obtener como el negativo de la derivada del área con respecto al valor del pixel. El signo
menos se debe al hecho de que el área decrece conforme el valor del pixel aumenta.
Si la imagen se considera como una variable aleatoria de dos dimensiones, entonces
la función del área es proporcional a la función acumulativa de distribución y el valor del
pixel a su función de probabilidad.
En el caso de funciones discretas - imágenes digitales -, fijamos D a la unidad y la
ecuación 5-1 se convierte en:
H(D) = A(D) – A(D + 1)
(5-2).
Histograma bi dimensional.
El histograma bidimensional es útil, sobre todo cuando se tienen imágenes multi
espectrales. El más común es cuando se tiene imágenes de color descompuestas en sus tres
canales: RGB (componentes roja, verde, y azul).
Propiedades del histograma.
Cuando una imagen se condensa o se representa por su histograma, se pierde toda la
información espacial.
Dada una imagen, su histograma es único, pero el inverso no es verdadero. Esto
quiere decir que imágenes diferentes, pueden tener el mismo histograma.
Haciendo un cambio de variables en la ecuación 5-1 e integrando, obtenemos,

 H (P)dP  [ A(P)]  A(D)

D
(5-3),
D
la función de área.
Asumiendo que no hay valores de pixel negativos, fijamos D=0 y la ecuación (5-3) se
transforma en:

 H (P)dP  área _ de'imagen
(5-4),
0
que representa la el área de la imagen.
Para el caso discreto tenemos:
255
 H ( D)  NcolsxNrens
(5-4 a),
D 0
donde Ncols y Nrens representan el número de columnas y renglones respectivamente.
Si la imagen contiene un objeto único, con el valor de pixel uniforme, en un fondo
de alto contraste, y si además estipulamos que la frontera del objeto es la la línea de
contorno con valor D1, entonces:

 H (P)dP  área _ de'objeto
(5-5)
D1
Si la imagen tiene varios objetos, cuya línea de frontera queda determinada por D1,
entonces la ecuación anterior nos representa el área acumulada. Para obtener la función de
distribución de probabilidad se normaliza el histograma, dividiéndolo por el área de toda la
imagen.
Usos del histograma.
Parámetros para la digitalización. Una vez que la imagen ha sido digitalizada con menos
de 256 valores, la información perdida no puede ser recuperada. Suponemos que la
distribución es homogénea a lo largo del intervalo dinámico.
Elección del umbral para las fronteraa. Al método de usar líneas de contorno como
fronteras, se llama técnica de umbral (del ingles thresholding). A partir del histograma se
puede encontrar el umbral óptimo para la determinación de una frontera, sin necesidad de
ver la imagen.
Densidad Optica Integrada. Un parámetro útil es la medida de ‘la masa de una imagen’,
también llamada “Densidad Optica Integrada”. La densidad óptica integrada se define
como:
a
IOD  
b
 D( x, y)dxdy
0
(5-6),
0
en donde a y b delimitan la región de la imagen.
Para una imagen digital, la densidad óptica se escribe de la siguiente forma:
NL
IOD  
i 1
NS
 D(i, j)
(5-7),
j 1
donde, D(i,j) es el valor del pixel, en el renglón i, columna j. Para simplificar la ecuación
(5-7), supongamos que Nk es el número de pixeles que tienen valor k, y k toma valores
entre 0 y 255, entonces, la densidad óptica se reduce a la siguiente expresión:
255
IOD   k N k
(5-8).
k 1
Para arrivar a la ecuación (5-8) asumimos que nk es el número de pixeles, es decir el
histograma, por lo tanto la ecuación se puede reescribir como:
255
IOD   k H (k )
(5-8-a).
k 1
La ecuación (5-8-a) es una sumatoria del histograma, pesada por el valor de pixel.
Para el caso de las imágenes continuas se puede derivar una expresión similar.
Igualando las ecuaciones (5-7) y (5-8-a), y, considerando que el límite entre los valores del
pixel tiende a cero.

IOD   DH ( D )dD
(5-9)
0
y
a
b

0
0
0
  D( x, y)dxdy   DH ( D)dD
(5-10)
Si el objeto está acotado por una frontera con valor de pixel T, la densidad óptica integrada
del objeto dentro de la frontera está expresada por la siguiente ecuación:

IOD(T )   DH ( D)dD
(5-11)
T
El promedio del valor del pixel dentro de esa región, es la razón de la densidad óptica
integrada ( IOD) con al área:

IOD(T )
MGL 

A(T )
 DH ( D)dD
T

 H ( D)dD
T
,
(5-12)