TEORÍA DE CAMPOS. Campo gravitatorio

Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
IES Ramón y Cajal. Zaragoza
Introducción a la teoría de campos. Campos escalares y vectoriales ________
Lectura histórica
La teoría de los campos de Faraday y las que vinieron después ofrecían nuevas soluciones a un
viejo problema que ya había sido planteado en tiempos de los antiguos griegos o incluso antes. El
problema es cómo un cuerpo puede actuar sobre otro. La teoría ayuda a dar respuesta a alguna
de las cuestiones más concretas, entre las que podrían citarse: ¿Por qué un cuerpo empuja a otro en
vez de penetrar en él?¿Por qué un imán es capaz de hacer que un trozo de hierro a cierta distancia
se mueva?¿Cómo es posible que un cuerpo electrizado haga que el polvo se mueva hacia él?
Otras cuestiones afines serían, por ejemplo, la causa de la combustión y la razón por la que
algunos cuerpos cortan a otros. Filósofos de la Grecia antigua, Tales, Demócrito y Platón por
ejemplo, ya se habían hecho estas preguntas y propusieron algunas soluciones interesantes que
implicaban teorías sobre la naturaleza del mundo. Demócrito, por ejemplo, decía que los cuerpos
interactuaban por contacto entre sus átomos. Cuando el pensamiento griego fue recogido de nuevo
en el Renacimiento, Descartes, Galileo y otros pensadores del siglo XVII mejoraron las teorías de
los griegos y desarrollaron otras nuevas. Descartes lanzó la teoría de que el mundo está
completamente lleno de materia y toda acción de un cuerpo sobre otro se realiza por contacto
directo o indirecto. Pensaba que un imán actúa sobre un trozo de hierro a través de \un flujo
invisible de materia que sale del imán y vuelve a él. Sin embargo, el éxito iba a ser para otra
teoría, aparecida a finales del siglo XVII y cuyo autor era Isaac Newton.
La teoría de Newton establecía que los cuerpos están formados por corpúsculos que actúan a
distancia unos sobre otros instantáneamente. La intensidad de la acción depende del inverso del
cuadrado de la distancia entre los cuerpos. Esta ley se aplicaba también a la gravitación, una fuerza
que Newton suponía que existía entre todos los cuerpos, incluyendo los cuerpos celestes, los
pequeños cuerpos en la Tierra y la Tierra propiamente dicha. Aplicando esta ley, Newton pudo
calcular el movimiento de los planetas con gran aproximación y también deducir correctamente
algunas leyes descubiertas por Kepler y Galileo. La teoría de Newton era sorprendentemente
superior, en la predicción de nuevos resultados, a cualquier teoría precedente en la historia del
pensamiento humano y conoció gran éxito en sus predicciones. Se convirtió en un punto de
referencia que no podía ser ignorado por ninguna otra teoría posterior.
La teoría de Newton no predecía sin embargo nada sobre otros muchos modos de acción de un
cuerpo sobre otro. No explicaba, por ejemplo, la cohesión, fuerza que mantiene unidos a los
cuerpos, ni tampoco las fuerzas eléctricas, magnéticas o químicas. Aunque los continuadores de
Newton lograron extender su teoría de la «acción a distancia» de la gravitación a otras fuerzas, a
principios del siglo XIX empezaron a desarrollarse teorías de campos para explicar la acción de
un cuerpo sobre otro. Lo que tienen de común las nuevas teorías de campos es que toda acción
de un cuerpo sobre otro a cierta distancia se hace a través de un medio como sustrato de la
interacción. En el caso de Faraday, este medio era simplemente la fuerza misma, mientras que
para muchos otros el medio era como una sustancia sólida o viscosa que verificaba la ley de
Newton y que se llamaba éter.
Es cierto que Laplace y otros habían desarrollado matemáticamente la teoría de Newton
utilizando la idea de campos de fuerzas (y potenciales), pero utilizaba los campos como mero
recurso matemático para calcular la fuerza ejercida por una serie de cuerpos sobre un objeto de
prueba. Se suponía que sólo había fuerzas en puntos del espacio donde había materia. En cambio, las
teorías de campos sostenían que los campos de fuerzas, o el éter, existe incluso allí donde no hay
materia.
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¿Se
Michael Faraday (1791-1867) trabajando en el laboratorio. En la fotografía pequeña, el genio
de la física teórica, Albert Einstein (1879-1955).
pueden distinguir experimentalmente estos dos puntos de vista? Como veremos, un experimento crucial lo iba
a hacer posible. Las teorías de campos predecían que todas las acciones de un cuerpo sobre otro requerían
un cierto tiempo, mientras que las teorías de acción a distancia decían que la acción era instantánea. Los
teóricos partidarios de los campos veían en la finitud del tiempo de propagación de una acción una prueba
evidente de que los campos existen en lugares donde no hay materia. La velocidad finita de propagación
de los efectos de un cuerpo sobre otro distante es también una característica diferenciadora entre la teoría
de Faraday y discípulos y la de Descartes.
La teoría de campos alcanzó su gran triunfo con el descubrimiento por Hertz de las ondas
electromagnéticas hacia finales del siglo XIX. La existencia de las ondas demostró que la propagación de los
efectos eléctrico y magnético dura un cierto tiempo, como ya predecía la teoría de campos. Fue
precisamente entonces cuando aparecieron nuevas dificultades para esta teoría, dificultades que llevaron a
la creación de dos nuevas teorías sobre las leyes básicas que gobiernan la acción de un cuerpo sobre otro-,
la relatividad y la teoría cuántica. La relatividad no es sino una teoría de campos, y cosechó su gran triunfo
cuando se vio que la teoría relativista de la gravitación de Einstein superaba a la de Newton. Pero al
mismo tiempo, la teoría de campos se veía socavada por la recién estrenada teoría cuántica, que niega que
la materia o la energía se distribuyan continuamente a través del espacio , como quería la teoría de campos.
La teoría de campos es el modelo más general del mundo que jamás se haya conocido. Ha tenido que
soportar serios desafíos, pero todavía no ha sido superada por ningún modelo nuevo de altura similar.
BERKSON, W., 1981, Las teorías de los campos de fuerza. Desde Faraday hasta Einstein (Alianza:
Madrid)].
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ACTIVIDAD
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a) a) ¿Cuántas teorías o modelos se proponen en el texto anterior para expli car
las interacciones de los cuerpos?
b) ¿Qué característica fundamental diferencia a las teorías citadas?
c) ¿Se describe algún experimento crucial a favor de alguna de las teorías?
El comportamiento de una nave que circula por el espacio y se ve atraída por un
planeta se puede explicar aceptando que en esa región del espacio existe una
perturbación de las propiedades del medio (o del vacío), esto es, suponiendo que en
dicha región existen propiedades eléctricas, magnéticas, gravitatorias o de cualquier otro
tipo, que hacen que la nave esté sometida a fuerzas. A la región del espacio que tiene
determinadas propiedades físicas se le denomina campo. Cabe preguntarse entonces
por el agente responsable de la perturbación, es decir, ¿quién crea el campo? En el
ejemplo citado el agente es desconocido, aunque, en los casos reales, el campo es
originado por sistemas de partículas.
Precisemos la idea de campo con un ejemplo. De acuerdo con la teoría de campos, un
cuerpo cargado modifica las propiedades del espacio circundante. Esta región
perturbada tiene ahora propiedades eléctricas y decimos que se ha creado un campo
eléctrico, el cual se pone de manifiesto por la acción del campo sobre otras partículas
cargadas (consideradas como «testigos»).
El campo de presiones atmosféricas es un
campo escalar.
En general, siempre que en todos los puntos
de una región del espacio se pueda asignar
o definir el valor de una magnitud física,
diremos que existe un campo. Un campo es
toda magnitud física que tiene un valor
determinado en cada punto del espacio.
Si la magnitud física definida en cada punto
es una magnitud escalar, tendremos un
campo escalar. Matemáticamente, estará
descrito por una función del tipo A = f(x, y,
z). Ejemplos:
• Campo de temperaturas en el interior de la Tierra, representado por T = f (x, y, z).
Más concretamente, se sabe que la temperatura aumenta, aproximadamente
1 °C por cada 33 m de profundidad; dicho campo estará definido por T = To + (z/33),
siendo T o la temperatura en la su perf icie y z la pr of un didad
• Campo de presiones en la atmósfera: p = f(x, y, z).
• Campo de intensidad luminosa alrededor de un foco de luz: I = f (x, y, z).
• Campo de concentraciones de un soluto alrededor de un cristal disolviéndose: c =
f(x y z).
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Si en cada punto del espacio se define una magnitud vectorial tenemos un campo
vectorial. Matemáticamente, estará descrito por tres funciones escalares,
componentes de una función vectorial:
A(x, y, z) = A x(x, y, z)i + A y(x, y, z)j + A z(x, y, z)k
Ejemplos
• Campo de velocidades de un fluido que
circula por una tubería, representado
por v(x, y, z).
• Campo de fuerzas gravitatorias en torno
a un planeta: F(x, y, z).
• Campo eléctrico alrededor de un cuerpo
cargado: E(x, y, z).
• Campo magnético en las proximidades
de una corriente eléctrica: B(x, y, z).
El campo magnético de una corriente puede
ponerse de manifiesto mediante pequeños imanes
«testigo».
Entre los campos vectoriales son especialmente importantes los campos de fuerzas.
Se dice que en cierta región del espacio existe un campo de fuerzas cuando en todo
punto de la misma hay definida una fuerza que toma un valor determinado para
cada punto.
¿Cómo poner de manifiesto la existencia de un campo de fuerzas? Es preciso colocar
en el punto correspondiente un agente sensible (o testigo) de naturaleza adecuada a
la de la fuerza. Por ejemplo, para detectar un campo gravitatorio se precisa una
partícula de masa m; para un campo electrostático, una partícula cargada; para un
campo magnético, una carga en movimiento, etc. En consecuencia, la fuerza que
actúa sobre una partícula dependerá, no sólo de las características del campo de
fuerzas, sino también del agente sensible. La fuerza que la Tierra ejerce sobre una
manzana depende del campo gravitatorio terrestre y de la masa de la manzana.
Matemáticamente, esto se expresa mediante F(x, y, z, k), donde k indica el valor del
agente sensible.
Los campos de fuerzas se suelen caracterizar por la llamada intensidad de campo,
definida en cada punto como la fuerza por unidad de agente sensible situado en dicho
punto, es decir,
F(x,y,z,k)
k
Todos los campos mencionados anteriormente pertenecen a la categoría de campos
estáticos, ya que no dependen del tiempo. En general, un campo es función de la
posición y del tiempo.
Campos conservativos
Hemos visto que, en general, el trabajo asociado a un campo de fuerzas depende de la
trayectoria seguida. Existen, sin embargo, unas fuerzas —o campos de fuerzas— para
los cuales no se cumple dicha restricción: son los llamados campos conservativos.
Concepto
Un campo de fuerzas F(x, y, z) es conservativo cuando el trabajo realizado por las
fuerzas del mismo al actuar sobre una partícula que se desplaza desde un punto
inicial A hasta otro punto final B, no depende del camino seguido para ir de A a B. Se
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debe verificar (fig 1) que
W A-B,C1= W A-B,C2= W A-B,C3=……= W A-B,Cn
Fig. 1
A partir de esta definición se deduce que
es nulo el trabajo realizado por las fuerzas
conservativas sobre una partícula cuando
ésta recorre una trayectoria cerrada o ciclo.
En efecto, en la figura un ciclo sería, por
ejemplo, ir de A a B por la trayectoria C1 y
de B a A por la c 1’, que es la misma
trayectoria C2 recorrida en sentido
contrario; se cumpliría entonces que:
Wciclo = W A-B,C1+ W A-B,C2’=
W A-B,C1-W
Matemáticamente,
expresa:
A-B,C2=
esta
0
condición
se
Wciclo = 0
por lo que también puede decirse que un campo de fuerzas es conservativo cuando su
circulación es nula.
ACTIVIDAD
Para cada una de las siguientes situaciones, indica en qué casos el trabajo
realizado depende del camino seguido.
a) Una ama de casa clavando una alcayata para colgar un cuadro.
b) Un electrón girando alrededor del núcleo atómico.
c) Miguel arrastrando una pesada caja por el pasillo de su casa (al tiempo que
raya la tarima barnizada).
d) Un ladrillo cayendo sobre un muelle relajado.
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La ley de la gravitación universal
Un largo y sinuoso camino
Como reza el título de este apartado, el camino histórico que nos lleva hasta el
establecimiento de la ley de la gravitación universal es largo y sinuoso. Pero es, a la vez,
uno de los ejemplos más interesantes que se pueden encontrar en la Historia de la
Ciencia. De ahí que nos parezca oportuno dedicar algún tiempo, siquiera breve, al
relato y análisis de sus principales hitos. En este proceso de construcción del saber
científico cabe distinguir dos etapas: en primer lugar, la descripción del movimiento
planetario y, en segundo, el análisis de las causas del mismo.
Ya desde la escuela pitagórica, los
astrónomos griegos se preocuparon por dar
una interpretación al movimiento de los
astros, procurando describir el Universo en
términos geométricos y numéricos.
Después de la propuesta de Eudoxo
(408-355 a.C.) y Calipo (330 a.C): la teoría
de las esferas homocéntricas, una de las
primeras teorías capaces de explicar la cinemática del Sistema Solar, fue la
defendida por Hiparco (190-120 a.C). Se
trata de la teoría geocéntrica, según la cual
la Tierra se encontraba estacionaria en el
centro, mientras que los planetas, el Sol y
la Luna giraban en torno a ella (fig.2).
Fig.2
Como las órbitas circulares simples no podían explicar los complicados movimientos
de los planetas, Hiparco supuso que el planeta describe, con movimiento uniforme,
una circunferencia —llamada epiciclo— alrededor de un punto D, el cual, a su vez, se
mueve sobre otra circunferencia mayor con centro en la Tierra—de nombre
deferente—. La trayectoria resultante es una epicicloide (fig. 3a y b).
Fig. 3
epiciclo
deferente
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Claudio Ptolomeo (85-165 d.C.) adoptó y desarrolló el sistema utilizado por Hiparco. El
número de movimientos periódicos conocidos
Fig 4
en aquel momento era ya enorme: hacían falta
unos ochenta círculos para explicar los
movimientos aparentes de los cielos. El propio
Ptolomeo llegó a la conclusión de que tal
sistema no podía tener realidad física,
considerándolo una conveniencia matemática.
Su famoso tratado de astronomía, el
Almagesto, fue una obra capital durante toda
la Edad Media y, aún hoy, constituye la fuente
de nuestro conocimiento acerca de las ideas
de los astrónomos griegos.
En el siglo XVI, Nicolás Copérnico (1473- 1543), con la publicación en 1543 de su obra
De Revolutionibus Orbium Caelestium, inaugura un profundo cambio en el
pensamiento astronómico: frente a la teoría geocéntrica, propuso la llamada teoría
heliocéntrica. En ella el Sol era el centro del Sistema Solar y la Tierra, al igual que el
resto de los planetas, giraba en torno a él. Con esta teoría, Copérnico, que seguía
utilizando circunferencias, epiciclos y distribuciones similares, proporcionó una
descripción más simple del movimiento planetario (fig. 4). Sobre todo, estableció las
bases para el futuro desarrollo de la imagen del Sistema Solar.
En el lenguaje actual, y dado que el Sol es el
cuerpo más pesado del Sistema Solar y que en él
se encuentra su CDM, lo que hizo Copérnico fue
elegir un sistema de referencia más adecuado. El
Sol puede ser considerado como un sistema de
referencia inercial.
Las ideas de Copérnico estimularon a algunos
astrónomos, entre los que se encontraba Tycho
Brahe (1546-1601). Brahe pasó su vida
recopilando datos referentes al movimiento de
los planetas; sus medidas eran de una precisión
extraordinaria para la tecnología de la época,
máxime si consideramos que aún no se había
inventado el telescopio. Su ayudante Johannes
Kepler (1571-1630), a partir de los datos
obtenidos por Brahe y con el modelo de
Copérnico, enunció las leyes que llevan su
nombre y que describen cinemáticamente el
movimiento de los planetas:
Johannes Kepler (1571-1630). Tras numerosísimos cálculos,
logró expresar las leyes que rigen el movimiento de los
planetas.
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Leyes de Kepler
1.a Los planetas describen órbitas elípticas, estando el Sol en uno de los focos (ley de
las órbitas). Se termina así con las órbitas circulares, la más antigua premisa que hasta ese momento unía al sistema copernicano con el modelo griego.
2.a El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en
tiempos iguales (ley de las áreas).
3.a Los cuadrados de los períodos de revolución son proporcionales a los cubos de las
distancias promedio de los planetas al Sol (ley de los períodos).
Planeta
Distancia al Sol
(r en U.A.)
Período de revolución
(T en años)
Relación de Kepler
(T2/r3)
Tierra
Mercurio
Marte
Júpiter
1
0,3885
1,53O2
5,2215
1
0,2405
1,8797
11,8354
1
0,986
0,986
0,984
Dos cuestiones
El hecho de que la Tierra se mueve más rápidamente (o que el Sol, visto desde la Tierra, se desplaza
con mayor rapidez sobre el fondo de las estrellas) en invierno que en verano, era bien conocido por los
astrónomos mucho antes de Kepler. ¿Qué puede decirse, a partir de las leyes de Kepler, acerca de la
distancia entre el Sol y la Tierra durante estas dos estaciones?
Dos satélites de un planeta determinado se mueven en órbitas cuyos diámetros están en una relación de
1'7 a 1. ¿En qué proporción se hallan sus períodos?
La siguiente etapa fue la discusión de la dinámica del movimiento planetario para
determinar la fuerza responsable del mismo. Desde la época de los griegos había dos
fenómenos que eran objeto de investigación:
1. La tendencia de los cuerpos a caer hacia la Tierra cuando se les deja en
libertad.
2. Los movimientos de los planetas y otros cuerpos celestes, como el Sol y la
Luna.
Se pensaba entonces que estos dos fenómenos no tenían ninguna relación. Fue
Newton el encargado de establecer, basándose en los resultados obtenidos por sus
antecesores, que ambos tienen la misma causa: la fuerza de interacción
gravitatoria. Veamos la manera en que llegó a proponer semejante conclusión.
El propio Kepler supuso, siguiendo las ideas sobre el magnetismo de Gilbert
(1544-1603), que los planetas eran arrastrados en sus órbitas por una fuerza
procedente del Sol. Esta idea de una acción a distancia, que durante mucho tiempo
tuvo cierto carácter mágico, chocaba con la opinión vigente en aquellos momentos.
Nos referimos a la teoría de los torbellinos de materia, debida al gran filósofo y
matemático francés Rene Descartes (1596-1650). Éste mantenía que todo el espacio
estaba lleno de un fluido sutil e invisible, consistente en pequeños corpúsculos
materiales, que en su movimiento en torbellinos alrededor del Sol arrastraba a los
planetas.
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La trayectoria del cometa Halley es elíptica, tal como lo había calculado Newton.
Poco a poco, no obstante, comenzaron a surgir voces disconformes con esta visión de
las cosas. Así, el matemático francés Gilles de Roberval (1602-1675) tomó partido a
favor de la acción a distancia, proponiendo que «la gravedad llena el Universo con
una atracción mutua entre toda la materia».
En 1645, Ismael Bullialdus, astrónomo francés, aseguraba que «la atracción solar
que actuaba sobre un planeta se situaba a lo largo de la línea que une su centro al del
Sol y disminuía con el cuadrado de la distancia».
Las ideas de Kepler fueron reavivadas por Giovani Borelli (1608-1678), profesor de
matemáticas en Pisa y discípulo de Galileo. Borelli suponía que los cuerpos tendían a
moverse, de forma natural, en línea recta y no en círculo, como Kepler y Galileo
pensaban, de modo que para que los planetas describieran órbitas cerradas era
preciso que actuara sobre ellos una fuerza de gravedad desde el Sol. Pero Borelli fue
incapaz de hallar cuál era la magnitud de dicha fuerza.
En 1665, las claves para resolver el enigma de la gravedad estaban presentes, aunque
dispersas. Por aquel entonces, el joven Newton trabajaba en su casa de Wooldsthorpe
Manor, pues había tenido que abandonar la Universidad de Cambridge debido a la
peste de 1665-66. Según comentó 30 años después, durante ese tiempo dedujo la ley
de la gravitación, lo que le permitió comparar la fuerza necesaria para mantener a la
Luna en su órbita con los valores de la gravedad en la superficie terrestre. En sus
cálculos obtuvo una concordancia entre ambos bastante aproximada. El caso es que
no hizo públicos sus datos.
En 1679, otros científicos habían establecido la forma en que variaba la gravedad con
la distancia. Robert Hooke, Cristopher Wren y Edmund Halley aseguraban que la
fuerza gravitatoria debe ser, al igual que otras «emanaciones que florecen
esféricamente», proporcional al inverso del cuadrado de la distancia. Ese mismo
año, Hooke, en su calidad de secretario de la Royal Society, escribió a Newton
preguntándole si podía deducir las leyes de los movimientos celestes a partir del
principio de la inversa del cuadrado. Newton pasó de responder a esta misiva, pero, en
1684, Wren ofreció un premio por una solución al problema planteado a Newton. En
agosto del mismo año, Halley fue a Cambridge para consultar con Newton. Ante la
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obsesiva pregunta: «¿cuál sería la curva descrita por los planetas en la hipótesis de
que la fuerza gravitacional actuase en proporción inversa al cuadrado de la
distancia?», Newton contestó inmediatamente: «una elipse». Dichoso y sorprendido,
Halley le preguntó cómo había llegado a saberlo. «¿Cómo?», respondió Newton, «lo
he calculado». Sin embargo, al requerimiento de Halley de que le entregara los
cálculos, no pudo encontrarlos, prometiéndole que se los enviaría más adelante.
Como señala Hecht, «la ironía de aquel momento es maravillosa. Mientras que otros en
Europa buscaban ávidamente la ley de la gravedad, Newton la había perdido».
Metido de nuevo en el problema, Newton completó y recogió sus cálculos en un texto
titulado De Motu Corporum, que envió a Halley en noviembre. Con su nueva
herramienta matemática, el cálculo diferencial, pudo demostrar que la fuerza de
atracción actuaba desde el centro de la Tierra. Además, en los últimos años se
habían obtenido nuevas y mejores mediciones del radio de la Tierra, del tamaño de la
Luna y de su distancia a nuestro planeta. Ahora la concordancia era perfecta: la
Luna era atraída por la Tierra y mantenida en su órbita por la gravedad, igual que
otros objetos —como la famosa manzana— próximos a la superficie terrestre.
Halley le animó a que hiciera una exposición más profunda del tema y le aseguró la
financiación de la obra, ya que la Royal Society no disponía de dinero suficiente. Pero
existía otra dificultad para su publicación: Hooke estaba empeñado en que la idea era
suya y quería que así le fuera reconocido en el texto, cosa a la que Newton no
estaba dispuesto. En julio de 1687, por fin, salieron de la imprenta los tres libros de
los Principia, al precio aproximado de 16 chelines. En ellos, como ya sabéis, enunció
también sus tres leyes del movimiento.
Todavía hoy muchos consideran esta obra como el mayor texto científico jamás escrito.
Su influencia, desde luego, fue enorme. No sólo en el ámbito científico, donde se
constituyó en el modelo a seguir por toda teoría con pretensiones de ser científica,
sino en el terreno filosófico, social y político.
Tres cuestiones
Señala las teorías fundamentales que aparecen en el texto, tanto las relativas a los aspectos
cinemáticos, como las referidas a la dinámica del movimiento planetario.
¿Cuáles crees que son las aportaciones verdaderamente esenciales de Newton?
Como ya se ha comentado, Robert Hooke se enfadó mucho con Newton al reclamar la prioridad en el
descubrimiento de la ley de la gravedad. ¿Tenía alguna razón para sentirse engañado?
La deducción de la Ley
Newton dedujo la ley de la gravitación,
probablemente, de la ley de la fuerza
centrípeta y de las leyes de Kepler.
Presentaremos aquí, por razones obvias,
una versión simplificada del método
seguido por Newton. Consideraremos,
inicialmente, un planeta de masa m p
girando alrededor del Sol.
Fig 5
Christian Huygens, un caballero holandés aficionado a la ciencia, había descubierto
ya en 1659 que se precisaba una fuerza centrípeta para mantener un cuerpo en
movimiento circular. Averiguó, incluso, la expresión matemática que regía dicha fuerza:
Fc = mv2/r. Por otra parte, la 1.a ley establece que la órbita de un planeta es una elipse;
un caso particular de la elipse es la circunferencia, que es la trayectoria simple que
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Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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vamos a considerar.
La 2.a ley significa, en este caso, que la fuerza de atracción gravitatoria F (fig. 5) está dirigida hacia el centro de la circunferencia. Así pues, la fuerza de atracción gravitatoria
hace de fuerza centrípeta del movimiento circular del planeta, por lo que:
F = m p v2/r = m pw2r = mpr (4π2) / T 2
(1)
Si aplicamos la 3. a ley de Kepler a nuestro ejemplo, se cumple que:
T2 = kr3 (2)
Sustituyendo (2) en (1) nos queda:
F = 4 π2mp /kr2
La fuerza que actúa sobre el planeta es proporcional a la masa del mismo e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al Sol. Por la 3. a ley de
Newton, esta fuerza es igual a la ejercida sobre el Sol por el planeta y es razonable
suponer que dicha fuerza sea proporcional a la masa del Sol. Haciendo 4 π2/k = GMS,
siendo G una constante independiente de la masa del Sol o de los planetas,
tenemos:
F = G M s m p /r 2
que demuestra que para satisfacer las leyes de Kepler la interacción gravitacional debe
ser central e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Una cuestión real, pero complicada
Para comprobar la validez de esta ley, Newton comparó la aceleración de la Luna en su órbita: aL con la
aceleración de objetos próximos a la superficie terrestre g (de nuevo la manzana).
La aceleración de la Luna la llamó: aL
La aceleración de un cuerpo de masa m en las proximidades de la Tierra la denominó: g
Para contrastar su Ley, Newton demostró que la relación g/ aL debía ser 602.
a) Indica el por qué de dicha relación
b) Determina la evidencia de dicho valor y si se cumplen las expectativas de Newton
Datos; rTL = 60 RT; g= 9,81m/s2; T luna=27 días; rTL = 3,84.108m
Sin embargo, hay un eslabón débil en el razonamiento que se ha seguido hasta aquí, ya que hemos
asimilado al modelo de partícula tanto los cuerpos celestes —Sol, Tierra, Luna—, como los situados en las
cercanías de la superficie terrestre (la manzana). Esto puede hacerse sin problemas en el primer caso,
dado que sus tamaños son pequeños en relación con la distancia que los separa. Si ésta se toma de
centro a centro, el error que se comete es despreciable.
Pero en el segundo caso, la manzana está demasiado cerca de un objeto muy grande, la Tierra. Unas
partes de la misma se encuentran a pocos metros, mientras que otras se hallan muy alejadas. Para
determinar la fuerza de atracción sobre la manzana habría que descomponer la Tierra en elementos de
masa más pequeños y luego calcular la suma de los efectos individuales. Se puede demostrar que la
Tierra atrae a los cuerpos próximos como si toda la masa estuviera concentrada en su centro. El propio
Newton encontró serias dificultades para demostrar este supuesto; de ahí, tal vez, la tardanza en
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Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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comunicar sus resultados. En la próxima lección introduciremos una herramienta matemática,
desarrollada siglo y medio después de Newton —la ley de Gauss—, que nos permite probar esta hipótesis
de una forma sencilla y útil.
Ley de Gravitación universal y determinación de la constante de
gravitación universal G
El siguiente paso fue generalizar este resultado, obtenido en el movimiento planetario,
a cualquier pareja de masas. Así, podemos enunciar la ley de la gravitación universal
del siguiente modo:
La interacción gravitatoria entre dos cuerpos puede expresarse mediante una fuerza cen tral
proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que los separa.
Esto es (fig. 6),
Fig. 6
F= -G
m1m 2
ur
r2
Si la ley de la gravitación formulada por Newton es de validez general —él mismo dijo
que todo atraía a todo—, la constante de proporcionalidad G que aparece en ella debe
ser una constante universal, es decir, independiente de la composición de los cuerpos
que se atraen: Una comprobación directa de tal hipótesis fue llevada a cabo por Henry
Cavendish, físico y químico inglés, en el año 1798. Algo más de un siglo después de
Newton, pudo medir la interacción gravitacional entre dos pequeñas esferas de plomo y,
a partir de ésta, determinar un valor suficientemente exacto para la constante G. Para
ello utilizó una balanza de torsión de gran sensibilidad (fig. 7).
En la figura se muestra un esquema
Fig. 7
simplificado de la balanza de Cavendish.
Consta de dos pequeñas esferas, cada
una de masa m, fijas a los extremos de una
varilla ligera horizontal, la cual está
suspendida por su punto medio mediante
una fina fibra de cuarzo. Cerca de estas
esferitas se colocan dos esferas grandes,
cada una de masa M, las cuales atraen
gravitatoriamente
a
las
primeras
haciéndolas girar un cierto ángulo. La fibra
de cuarzo presenta un momento de torsión
que se opone al momento del par de fuerzas gravitatorias. Una vez alcanzado el
equilibrio, al cabo de varias horas, se mide el ángulo 6 que se ha torcido la fibra por
medio de la observación de la desviación de un haz de luz reflejado en un pequeño
espejo fijado a dicha fibra. Si se conocen las masas, sus distancias de separación y la
constante de torsión de la fibra, se puede calcular G a partir de la medida del ángulo 6. El
mejor valor actual de G es, aproximadamente, 6'67 . 10-11 Nm2/kg2, valor que permanece
constante cualquiera que sea el material del que estén hechas las esferitas de la balanza.
Por consiguiente, y mientras no exista evidencia contraria, puede decirse que todos los
cuerpos de la parte conocida del Universo están sometidos a la ley de la gravitación.
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Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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¿Qué consecuencias se pueden sacar del hecho de que G sea tan pequeña? Compara la atracción
existente entre dos de tus compañeros con la que hay entre uno de ellos y la Tierra.
EJEMPLO 1
Las esferitas de la balanza de Cavendish tienen una
masa de 10 g cada una; la varilla que las une es de 50
cm de longitud. Las esferas grandes, de 10 kg de masa
cada una, se colocan en las proximidades de las
pequeñas, de forma que el hilo alcanza su máxima torsión
cuando los centros de las esferas grandes y pequeñas
están separados una distancia de 10 cm. En estas
condiciones, el ángulo girado es de 3'96-10-3 rad.
Sabiendo que la constante de torsión de la fibra es b =
8'34-10-8 kg m2/s2, calcula el valor de la constante G.
(Ayuda: Momento de torsión: M = bθ).
EJEMPLO 2
Calcula la masa M de un planeta, sabiendo que un satélite de masa m describe con un período T una órbita circular
de radio r alrededor del planeta. Aplica el resultado al caso de la Tierra y la Luna.
Descripción vectorial del campo gravitatorio
Intensidad del campo gravitatorio
La gravedad puede ser considerada
como un campo de fuerzas. Todo objeto
con masa afecta al espacio que lo rodea,
impregnándolo de un campo gravitatorio
que se extiende hasta el infinito y que
disminuye según el inverso del cuadrado de la
distancia.
Para poner de manifiesto el campo creado por
una masa cualquiera m, basta con situar en
algún punto de su dominio una segunda masa
m' (que podemos denominar masa de prueba).
Fig.8
Ésta interaccionará directamente con el campo, experimentando una fuerza atractiva de
acuerdo con la ecuación (fig. 8)
F = G M s m p /r 2 u r
Por supuesto, en cada posición de m', la masa m experimenta una fuerza igual y
opuesta debida al campo creado por m'. Sin embargo, solamente estamos interesados
en el campo creado por m.
El campo gravitatorio creado por la masa m no depende de la presencia o
ausencia de la masa de prueba m'; por eso, es más conveniente describirlo
mediante una nueva magnitud que sea independiente de m'. Aparece así el vector
intensidad del campo gravitatorio g , que para la masa m y en un punto P
13
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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cualquiera se define como la fuerza ejercida sobre la unidad de masa colocada en P,
es decir,
g=
donde se ha utilizado la ecuación
derecha.
F
m
=-G 2 u r
m'
r
F = G mm’/r 2 u r para obtener el término de la
Se observa que el vector g , que se mide en
N/kg o m/s2, tiene siempre sentido opuesto al
vector unitario u r o sea, g señala en toda
ocasión hacia la masa que crea el campo
(figura 9).
Fig.9
 Determina el módulo del vector intensidad del campo gravitatorio en la superficie terrestre — go —. ¿Tendrá el
mismo valor en todos sus puntos?
 Imagina que la Tierra se pudiera comprimir, reduciéndose su diámetro a la mitad. ¿Qué valor adquiriría la
intensidad del campo gravitatorio en su superficie?
Recíprocamente, conocido el campo por medio de los vectores g
(fig. 9), la fuerza
gravitatoria ejercida sobre cualquier masa m' colocada en su interior se obtiene
mediante
F = m' g
Para el caso de la Tierra, esta fuerza recibe el
nombre de peso.
El hecho de que las masas inercial y
gravitacional sean iguales para cualquier
objeto, nos lleva a una conclusión de gran
interés: todos los cuerpos situados en el
mismo lugar de un campo gravitatorio
experimentan aceleraciones idénticas.
Fig. 10
Este resultado es fácilmente demostrable. Como acabamos de ver, en un punto donde
la intensidad del campo gravitatorio sea g , la fuerza gravitatoria que actúa sobre una
masa m' —su peso— vale: F = m' g
Fig.11
De conformidad con la 2. a ley de Newton, su
aceleración es:
a = F/m’=g
la cual es independiente de la masa del cuerpo sometido a la acción del campo
gravitatorio. Adviértase, también, que el valor de tal aceleración, que denominaremos de
caída libre, coincide con el de la intensidad del campo gravitatorio.
Siguiendo con el vector intensidad del campo gravitatorio, cuando éste se debe a la
presencia de varias masas, su cálculo se hace aplicando el principio de superposición,
14
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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el cual establece que la interacción, del tipo que sea, entre dos partículas es
independiente de la presencia de una tercera
Supongamos que disponemos de varias masas: m1, m2, m3, ..., cada una produciendo su
propio campo gravitatorio (fig. 11).
La fuerza total que experimenta una partícula de masa m' situada en P es
F = F1 +F2 +F3 +... =m'g1 +m'g2 + m'g3 + ...
ya que, en virtud del principio de superposición, cada sumando de la ecuación
F=Gmm’/r 2 u r se calcula como si las demás masas no estuvieran; podemos escribir:
F= m'(g1 +g2 +g3 +...)= m'gT
La intensidad del campo gravitatorio resultante en el punto P es, por lo tanto, el vector
suma:


m
g T = g1 +g 2 +g3 + ... = Σgi= Σ  -G 2i u ri 
ri


EJEMPLO 3
Dos masa iguales están fijas en los puntos (2a, 0) y (—2a, 0), respectivamente. Calcula la intensidad del campo
gravitatorio en los puntos (— a, 0) (0, 3a) y (3a, 0)
EJEMPLO 4
Determina cómo variará el campo gravitatorio cuando nos elevamos una altura h sobre la superficie terrestre.
EJEMPLO 5
Determina a qué altura sobre la superficie terrestre el peso de un cuerpo se reduce un 25%.
EJEMPLO 6
La masa de una persona en la superficie de la Tierra es de 70 Kg. Calcula.
a)
b)
c)
su masa en la superficie lunar.
Su peso en la superficie lunar.
La distancia a la que debe ascender sobre la superficie lunar para que su peso se reduzca ala mitad
Datos: Masa de la Luna M L= 7,47.1022 kg. RL=1740 km.
15
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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Visualización del campo gravitatorio: líneas de fuerza (líneas de campo)
Es útil representar gráficamente un campo gravitatorio, ya que, como cualquier otro campo
de fuerzas físico, es invisible. Si con una masa m colgada de un dinamómetro nos movemos
alrededor de la masa M, podremos anotar la fuerza en cada punto. La dirección del
dinamómetro coincidirá con la de la fuerza y con la del campo; su sentido siempre es de
atracción. Esto nos permitirá dibujar el campo g en distintos puntos, El conjunto de
vectores g en diferentes puntos forma un campo vectorial.
La representación que asigna un vector a cada punto del espacio es poco ágil, por lo que
dibujaremos líneas continuas con puntas de flecha marcando el sentido del campo. Estas
líneas se llaman líneas de campo o de fuerza, y se dibujan teniendo en cuenta dos
requisitos:
1. El vector intensidad del campo gravitatorio tiene que ser tangente a la línea en cualquier
punto.
2 La intensidad del campo debe ser proporcional al número de líneas por unidad de área,
de manera que las zonas donde las líneas de fuerza están más apretadas serán
aquellas donde el campo es más intenso y viceversa.
a) De muestreo con el
dinamómetro: g
Disminuye conforme
nos alejamos de M.
b) El campo gravitatorio
es vectorial.
c) Líneas de campo
correspondientes a
una masa puntual y a
una masa esférica.
16
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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La representación gráfica del campo creado por una carga puntual muestra claramente que
el campo tiene simetría esférica y que es menos intenso (menor densidad de líneas de
fuerza) cuanto más nos alejamos de la masa.
En la figura c) se representa el campo alrededor de una masa puntual. Todas las líneas de fuerza
son radiales, es decir, dirigidas hacia la masa que crea el campo, ya que este campo es central y
atractivo- y la densidad de líneas disminuye con la distancia 1/r 2.
EJEMPLO 7
Razona por qué dos líneas de fuerza nunca pueden cortarse
Descripción escalar del campo gravitatorio .
Energía potencial gravitatoria
Todo campo de fuerzas conservativo lleva asociada una función energía potencial. Como ya se ha
dicho, el campo gravitatorio es conservativo. Así pues, dedicaremos las siguientes líneas a la
determinación de la energía potencial asociada a la fuerza gravitatoria.
La utilización de la energía potencial gravitatoria a la hora de describir el campo gravitatorio nos
permite:
-
Por una parte, trabajar con un escalar en lugar de hacerlo con el vector g .
Por otra, calcular el trabajo que realizan las fuerzas gravitatorias sin necesidad de
calcular la integral correspondiente, pues se cumple que Wpeso=-ΔEp
Ahora bien, este artificio matemático sólo es válido cuando la fuerza que describe el campo (la
gravitatoria, en este caso) es conservativa.
La fuerza gravitatoria es conservativa
Por definición, una fuerza es conservativa si existe una función energía potencia que depende de la
posición, de manera que el trabajo que realiza la fuerza cuando se mueve entre dos puntos es igual
al incremento, cambiado de signo, que experimenta la energía potencial.
Si este trabajo realizado por lal fuerza gravitatoria, sólo depende de la energía potencia en los
puntos inicial y final, no depende de la trayectoria y se trata de un campo de fuerzas conservativo.
WFcons =-ΔEp = -(Epf – Epi) = Epi -Epf
Esto, tal como hemos dicho, significa que el trabajo realizado no depende del camino seguido, sino
de los puntos inicial y final.
17
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza conservativa gravitatoria?
Consideremos un objeto de masa m que se mueve desde un punto inicial A al punto final B,
alejándose de una masa M. Esta masa la atrae con una fuerza dada por la ley de gravitación,
de manera que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria será:
Figura
a) Un cuerpo, animado, por ejemplo, de
una velocidad inicial, se mueve desde A
hasta B, alejándose de M.
b) Ir desde A hasta B por este nuevo
camino es equivalente a hacerlo en
dirección radial, directamente. Esto se
debe a que, en los tramos no radiales, el
desplazamiento y la fuerza forman 90° y,
por tanto, ésta no realiza trabajo en
ellos, lo que demuestra que el trabajo
que realizan las fuerzas gravitatorias no
depende del camino seguido; así pues,
son conservativas.
rB
rB
rB
rA
rA
rA
WA B =  f .dr   f.dr.cos180º   G
r
B
rB dr
Mm
 1
dr.cos180º=-GMm
=-GMm
rA r 2
 r 
r2
rA
Mm Mm
-G
rB
rA
Como puede verse, el trabajo viene expresado por la resta de una función de la posición, lo cual
indica que las fuerzas gravitatorias son conservativas y, por lo tanto, podemos escribir:
WA B =G
WAB =G
 Mm   Mm 
Mm Mm
-G
=E pA -E pB  -G
  -G

rB
rA
rA  
rB 

EpA
EpB
Esta ecuación permite calcular la diferencia de energía potencial entre dos puntos cualesquiera.
Fíjate bien en lo siguiente:
Si nos movemos del punto A al B, la fuerza gravitatoria tira de nosotros hacia la Tierra y nosotros
avanzamos en sentido contrarios. El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria es: W = F.Δx cos 180.
Dicho trabajo es negativo. Como el trabajo es igual a la menos variación de energía potencial
W=-ΔEp; la variación de energía potencial es positiva y, por tanto, la energía en el punto final E pB >
EpA.
18
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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Cuando nos alejamos de la masa que crea el campo, se incrementa su energía potencial y, por el
contrario, el trabajo que hace la fuerza gravitatoria es negativo.
Por el contrario, si vamos desde un punto B, más lejano a uno A, mas cercano, el trabajo realizado
por las fuerzas del campo es positivo (cos 0º =1) y la variación de energía potencial sufrida es
negativa: la energía potencial final de A es menor que la inicial en B.
W f campo < 0; ΔEp > 0 (nos alejamos de la masa que crea el campo)
W f campo > 0; ΔEp < 0 (nos acercamos de la masa que crea el campo)
Energía potencial en un punto –nivel de referencia r →∞ -.
Mm Mm
-G
=E pA -E pB nos permite calcular la diferencia de potencial
rB
rA
entre dos puntos A y B o el trabajo necesario para trasladar una masa m desde un punto A a otro B.
Pero en muchas ocasiones nos interesa conocer la energía potencial que tiene una masa m situada a
una distancia r de una masa M que crea un campo g .
La ecuación: WAB =G
Ya has estudiado que en física lo importante no son los valores de energía potencial sino sus
diferencias, que son independientes de la situación a la que decidamos asignar energía potencial
cero.
Si movemos la masa m desde un punto inicial A hasta un hipotético b situado en el infinito, se cumplirá
que:
WAB =G
Mm Mm
-G
=E pA -E p

rA
Si asignamos una energía potencial cero a la situación en la que m se encuentra a una distancia
infinita de M, tenemos Ep =0 y obtenemos
E pA =-G
Mm
cuando E p  0
rA
y representa el trabajo necesario para trasladar la masa m
desde el punto P al infinito
Esta función se encuentra representada en la figura siguiente:
Representación de la energía potencial gravitatoria Ep en función de r.
En ella puede observarse que Ep = 0 cuando r = ∞ Para posiciones
más cercanas, la energía potencial tiene valores negativos hasta
hacerse infinitamente negativa para r = 0. La Ec de un cuerpo (en
amarillo) puede calcularse gráficamente si sabemos su Em y su
posición (es decir, su Ep)
19
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
IES Ramón y Cajal. Zaragoza
La energía potencial de un cuerpo a una altura h de la superficie terrestre es:
E p =-G
MT m
M m
= -G T
rT
R T +h
cuando E p  0
Gráfica Ep frente a r.
Esta gráfica es igual a la de la figura anterior, salvo por
el hecho de que comienza en el punto r = R T, que
corresponde a una altura h = 0.
En este punto, el sistema tiene “la mínima” energía
potencial.
Para puntos próximos a la superficie terrestre, y tomando como sistema de referencia el radio de la
tierra EpRT =0 para r=RT, sigue teniendo validez la expresión Ep= mgoh.
Energía potencial gravitatoria para un sistema de masas.
Mm
puede aplicarse a un sistema de dos masas cualesquiera. Para el caso
r
de un sistema compuesto de más de dos cuerpos, la energía potencial será la suma de las energías
potenciales de cada pareja que se pueda formar en el mismo. Así, la energía potencial gravitatoria
de tres objetos de masa m 1, m2 y m3, situados a la distancia reflejada en la figura, será:
La ecuación E p =-G
m1
r13
m3
E p =-G
mm
mm
m1m2
-G 1 3 -G 2 3
r12
r13
r23
r23
r12
m2
20
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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EJEMPLO 8
Un sistema está formado por tres partículas de masa m1, m2 y m3 y que se encuentran sobre la misma recta y
separadas entre ellas una distancia d 12, d13 y d23 tal como se muestra en la figura:
a) determina la energía potencial gravitatoria del sistema.
m1
m2
m3
r23
r12
r13
b) ¿Cuál será el trabajo necesario para la formación del sistema si, en el instante inicial, las
partículas se encontraran infinitamente alejadas? Aplica el resultado al caso de que m 1 fuera el Sol,
m2 la Tierra y m 3 la Luna.
Potencial gravitatorio
Al igual que se hizo en la descripción vectorial del campo, es posible definir, a partir de la energía
potencial gravitatoria, una nueva magnitud que no depende de la ausencia o presencia de la masa de
prueba. Se trata del potencial gravitatorio, definido como la energía potencial gravitatoria por unidad
de masa situada en el campo gravitatorio. De este modo, si en un punto del campo una partícula de
masa m tiene una energía potencial Ep(r), el potencial gravitatorio en dicho punto, representado por
V(r), está dado por:
V(r)=-G
Ep(r)
m
El potencial gravitatorio, que se mide en julios por kilogramo (J/kg), nos permite realizar una
descripción escalar del campo.
Para el campo gravitatorio terrestre, en virtud de la ecuación E p =-G
gravitatorio se obtiene mediante: V(r)=-G
MT m
r
el potencial
MT
r
Cuando el campo gravitatorio está creado por varias masas, el potencial gravitatorio en un punto es
la suma de los potenciales que cada masa crea por separado en dicho punto, es decir,
21
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
Vp =V1  V2  V3  ....  -G(
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m1 m2 m3
+

+...)
r1
r2
r3
Superficies equipotenciales
Una forma de representar —gráficamente— el campo escalar de potenciales gravitatorios consiste en
trazar las superficies equipotenciales. Éstas se dibujan uniendo los puntos en los que el potencial
gravitatorio tiene el mismo valor. En el caso de una sola partícula —por ejemplo, la Tierra—, dado que
el potencial está dado por la ecuación
M
V(r)=-G T , las superficies equipotenciales
r
Fig.
corresponden a superficies esféricas de radio
constante fig.
Se puede demostrar fácilmente que las superficies equipotenciales son perpendiculares a las
líneas de fuerza. Si desplazamos una partícula de
un punto a otro muy próximo en una superficie
equipotencial, el trabajo realizado por la fuerza de
la gravedad sobre la partícula es cero. Esto es así
ya que W = — ΔEp y, en este caso, ΔEp = 0, por
tener los dos puntos el mismo potencial.
WA→B = 0
¿Cómo demostrarías que el trabajo realizado al movernos por una superficie
equipotencial es nulo?
Movimiento de cuerpo bajo la acción de fuerzas centrales gravitatorias: órbitas
Centraremos esta cuestión en los campos gravitatorios terrestres, pero sin perder de vista que los
resultados que obtengamos pueden aplicarse a cualquier campo central conservativo.
Supongamos que una partícula de masa m mucho más pequeña que la masa de la Tierra, m ‹‹MT sale
de un punto de la superficie terrestre r=RT con una velocidad v0. Su energía potencial gravitatoria será:
1
M m
mientras que su energía cinética valdrá Ec= mv 02 . En definitiva, la energía
E p =-G T
2
RT
M m
1
mecánica de dicha partícula está dada por: E 0 = mv02 - G T
2
RT
En cualquier otro instante, en que la posición de la masa y la velocidad hayan cambiado, tomando
valores r y v, respectivamente, su energía mecánica vendrá dada por:
M m
1
E = mv 2 - G T
2
r
Puesto que la partícula se mueve en el seno de un campo de fuerzas conservativo, su energía
mecánica debe ser constante, es decir, habrá de verificarse la ecuación:
22
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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M m 1
M m
1
mv02 - G T = mv2 - G T
2
RT
2
r
De esta última expresión se pueden deducir, de modo cualitativo, algunos aspectos de interés
sobre las posibles trayectorias de la partícula.
Si E>0, la ecuación indica que incluso a grandes distancias del punto de partida la velocidad de la
Mm
1
partícula no se anula, ya que mv 2 - G T  0 y, por lo tanto, por muy alto que subamos, r muy
2
r
1
grande, el primer miembro de la suma mv 2 siempre tiene que ser mayor que el segundo, es
2
decir, por muy alto que subamos siempre la masa lleva velocidad. Se dice que objetos cuya energía
mecánica es mayor que cero, alcanzarán, en el transcurso del tiempo posiciones infinitamente
alejadas. Se dice entonces que la partícula ha escapado de la influencia de la Tierra.
La trayectoria descrita por una partícula cuya energía mecánica sea positiva (E>0) es una curva
abierta, una rama de hipérbola con el foco en el centro de fuerzas.
Si E=0, se cumple que:
M m 1
M m
1
mv02 - G T = mv2 - G T = 0
2
RT
2
r
M m
1
mv 2 - G T = 0
vemos que cuando
2
r
llegue a alturas muy altas, infinitamente alejadas de la Tierra (r=∞), su velocidad deberá ser cero,
es decir, permanecerá allí en reposo.
Y analizando el segundo término de la igualdad,
Esta circunstancia (que a distancias infinitamente alejadas de la Tierra la velocidad de la partícula
M m
1
–satélite- sea nula) se da cuando mv02 - G T = 0 A esta v0 se la denomina velocidad de
2
RT
escape, o velocidad mínima que debe poseer el objeto que lanzado desde la Tierra pueda
escapar de su interacción gravitatoria. (Si lo comparas con el caso anterior E>0, es la situación
de velocidad mínima para poder escapar de la interacción gravitatoria).
Cuál es el valor de esta velocidad de escape:
vescape = G
M m
1
2
mvescape
-G T =0
2
RT
MT m
= 1,12.104 m/s
RT
Hay que tener en cuenta que este resultado es el módulo de la velocidad de escape, ya que la
dirección con que se lance la partícula es indiferente (siempre, claro está, que no se dirija hacia la
Tierra).
En este caso, la forma de la trayectoria es la de una parábola.
23
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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Si E<0, o de otro modo, si la velocidad en la superficie terrestre es menor que la escape, la
partícula no puede alejarse indefinidamente de la Tierra, por lo que alcanzará una altura máxima a
partir de la cual comenzará a caer sobre el centro de fuerzas. Para este valor de la energía
mecánica se puede probar que la trayectoria es cerrada; en particular, se trata de una elipse con el
centro de la Tierra en uno de sus focos.
Según lo que acabamos de decir, si un satélite artificial es lanzado mediante un cañón con una
v0<vescape, su trayectoria será una elipse que cortará a la superficie del Planeta en un punto – el
lugar de lanzamiento— y que, por consiguiente, la volverá a cortar en otra posición. En resumen, el
satélite colisiona con la Tierra.
Una solución podría consistir en disparar el satélite horizontalmente. Aunque la elipse no
intersectara con la Tierra, correríamos el riesgo de ser despeinados. No es una alternativa realista.
Lo que se suele hacer, por el contrario, es utilizar un cohete propulsor. Éste se lanza verticalmente
para poco a poco ir inclinándose hasta situar el satélite en la altura —órbita— prevista, A continuación,
el artefacto recibe un último impulso, con el que adquiere la velocidad horizontal precisa para describir
la órbita deseada. Naturalmente, se le ha de proporcionar una velocidad lateral que no haga la energía
mecánica igual o mayor que cero, ya que, en tales casos el satélite se escaparía de la Tierra.
Asimismo, el impulso habrá de tener un valor suficiente para que nuestro artilugio no choque con la
superficie terrestre.
EJEMPLO 9
Si el satélite de la actividad anterior tiene una -masa de 50 kg y el radio de la órbita es el doble que la de la Tierra.
Calcula:
a)
b)
c)
d)
La energía mínima que hay que comunicarle.
El suplemento de energía que habría que aportarle para, que una vez en la órbita, mandarlo al infinito.
La velocidad de escape (utiliza únicamente los resultados de los apartados a) y b).
Compara el resultado con la ecuación que determina la velocidad de escape.
Algunos casos de interés
1. Análisis dinámico del movimiento de un satélite en órbita circular.
¿qué ocurre con la energía mecánica de un satélite que está girando alrededor de la Tierra?
Éste es un problema conocido: un objeto de masa m girando en órbita circular de radio r en torno a un planeta
de masa M por efecto de la fuerza de la gravedad. La fuerza gravitatoria es la fuerza normal que da cuenta de
la aceleración normal del satélite:
Mm
v2
M
F=G 2 =m ; por tanto, G =v2
r
r
r
de donde se deduce que la velocidad lineal con que gira el satélite es: v = G
M
r
Esto significa que un satélite gira a una velocidad que no depende de su masa, sólo de la masa M del
planeta anfitrión y del radio r de su órbita. Evidentemente, cuanto más pequeño sea el radio de la órbita,
mayor será la velocidad con que girará el satélite.
24
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
IES Ramón y Cajal. Zaragoza
El período de rotación del satélite será:
T=
2π 2π 2πr
2πr
= =
=
v
ω
v
M
G
r
r
T=2π
r3
GM
La red mundial de satélites
meteorológicos agrupa dos
sistemas complementarios,
un grupo de cinco satélites
geoestacionarios y otro de
tres o cuatro satélites en
órbita baja y casi polar, que
pasan cerca de los polos.
Algunos satélites artificiales son colocados en órbita justo encima del ecuador, girando en el mismo sentido
que la Tierra con un período T igual a un día. Se llaman satélites geoestacionarios porque, al estar su giro
sincronizado con el de la Tierra, un observador terrestre «los ve» siempre en la misma posición. Cubren, por
tanto, una zona fija y parcial déla superficie terrestre. Esto los hace adecuados para su uso como satélites de
comunicaciones (radio, TV, sistemas GPS de posicionamiento global, etc.) o de observación meteorológica. No
obstante, hay que usarlos en grupos de tres o más para poder cubrir toda la superficie terrestre.
EJEMPLO 10
Un satélite de masa m gira alrededor de un planeta de masa M, en una órbita circular de radio R.
Demuestra que lo hace con velocidad constante.
EJEMPLO 11
a) ¿Qué período de rotación posee un satélite geoestacionario?
b) Calcula el radio de su órbita y a qué altura sobre la superficie terrestre órbita.
c) ¿Con qué velocidad lineal gira?
25
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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2. Análisis energético del movimiento de un satélite que describe una órbita circular
Un satélite como el del apartado anterior tendrá una energía cinética y potencial. Su energía mecánica será la
suma de ambas Em = Ec +Ep:
Su energía potencial, tomando como punto de referencia en el infinito, será
E p =-G
Mm
r
Y su energía cinética:
2
1
1 
M
1 Mm
E c = mv 2 = m  G   E c = G
2
2 
r 
2
r
Que como se ve, es la mitad del valor de la potencial y de signo contrario, E c =
1
E p . Su energía mecánica
2
será igual a:
1 Mm
Mm
E m =E c +E p = G
-G
2
r
r
1 Mm
E m =- G
2
r
Que, como se ve, es la mitad de la energía potencial, E m =
1
Ep
2
EJEMPLO 12
Calcula las energías cinética y potencial de un satélite de 600kg que gira alrededor de la Tierra en una órbita de
8,00.106m
EJEMPLO 13
¿Qué trabajo hay que hacer para situar un satélite de 600 kg en una órbita circular de 8,00.106m de radio?
EJEMPLO 14
Un satélite de masa m gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de radio r. Demuestra que, si pierde
energía por cualquier motivo, pasará a una órbita más cercana a la Tierra y aumentará su velocidad.
26
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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Lectura
Un satélite sometido a la acción gravitatoria de un planeta o estrella puede seguir tres tipos de trayectorias: una
elipse (el círculo es un tipo de elipse), una parábola o una hipérbola. Los dos últimos tipos de tra yectorias
corresponden a órbitas abiertas de objetos celestes que pasan cerca del planeta una sola vez y no vuelven nunca
más. ¿Qué hay que hacer para poner en órbita una nave espacial o satélite artificial?
Órbitas.
Podemos considerar que las órbitas de los planetas del
sistema solar son circulares iodo que sus excentricidades,
recogidas en la tabla 2, son casi cero. La excentricidad de
una elipse mide su grado de achatamiento. El círculo es
una elipse de excentricidad cero. Como puede verse, la
aproximación de órbitas circulares es excelente, excepto en
el caso de Mercurio y Plutón
Datos del sistema solar.
Datos básicos del sistema solar
Los datos orbitales de la Luna se han medido respecto a la Tierra.
27
Campos. Campo gravitatorio. Ley de Gravitación
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Velocidad de escape
Se denomina velocidad de escape a la mínima velocidad inicial con que hay que lanzar un objeto hacia
arriba, desde la superficie de un planeta, para que el objeto no vuelva a caer.
Si desde la superficie de un planeta -la Tierra, por ejemplo- lanzamos
una pelota hacia arriba, ésta se elevará a una cierta altura: su
energía potencial aumentará al tiempo que su velocidad disminuye
hasta anularse. A partir de ese momento, la pelota volverá a caer, aumentando su energía cinética a expensas de la energía potencial acumulada por el sistema Tierra-pelota. Si consiguiésemos que en el punto
más alto la energía potencial del sistema fuese nula, la pelota no
retornará. En ese caso, en el punto más alto se cumple que E c = 0 y Ep
= 0. Su energía mecánica es cero.
Velocidades de escape de los planetas
del sistema solar.
Una cuestión final
La velocidad de escape de la Tierra es de 11,2 km s -1. ¿Podríamos escapar de ella y llegar a Marte en una
nave espacial que se moviera a velocidad constante de 1 km s-1?
Solución
La velocidad de escape es la velocidad que hay que comunicar a un objeto en la superficie de un planeta para
que éste escape de su acción gravitatoria. Esto hace que, conforme su energía potencial aumenta, su
energía cinética disminuya.
Si hago que la nave espacial se mueva con velocidad constante, es evidente que tiene que haber una fuerza
exterior ejercida por los motores de la nave, que compense la atracción gravitatoria. Obviamente, mientras la
nave se mueva a velocidad constante, irá avanzando en el sentido de la velocidad, y podrá llegar, tarde o
temprano, a cualquier punto.
La NASA explora la posibilidad de acelerar
sus
lanzaderas
espaciales
hasta
velocidades próximas a la del sonido
(mach 1,0), en un carril de levitación
magnética (carril maglev), antes de
encender los motores de la lanzadera. Ello
podría ahorrar entre un 30 y un 40 % de
combustible.
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