El tío Petros y la conjetura de Goldbach; Apostolos Doxiadis

• Lista de nombres mencionados en la novela y breve biografía :
• DAVID HILBERT: (1862−1943)
Matemático alemán. Se le debe la formulación de la noción de cuerpo y creación de al teoría de los
cuerpos para los números algebraicos. Desarrolló los fundamentales de la llamada teoría de
invariantes y estableció las bases de la teoría de prototipo de polinomios. Sus fundamentales de
geometría (1899) están considerados el punto de partido de la axiomatización de varias ramas de las
matemáticas.
◊ BERTRAND RUSSELL: (1872−1970)
Filósofo, matemático y sociólogo ingles. Creador el logicismo y de la llamada teoría de los tipos,
además de sus aportaciones fundamentales a la filosofía del conocimiento, destacan sus
contribuciones en los campos de la matemática, la filosofía de la ciencia, la teoría del conocimiento,
etc.
− VON NEUMAN: (1903−1957)
Matemático estadounidense de origen húngaro. Fundamentalmente se el deben contribuciones muy
notables a la teoría de conjuntos, a la teoría de juegos y al desarrollo de maquinas de calcular
electrónicas.
− ZENÓN: (490 a.c.− 430 a.c.)
Principal discípulo de Parménides, cuyo pensamiento defendió mediante sus famosas aporías
(paradojas), con las cuales reducía al absurdo las tesis que pretendía demostrar. Por ello Aristóteles le
consideró el creador de la dialéctica.
− GOTTLOB FREGE: (1848−1925)
Filosofo, lógico y matemático alemán. Considerado el fundador de la lógica moderna o matemática,
cuyos trabajos tuvieron una notable influencia en pensadores como Carnal, Husserl, Russell y
Wittgenstein.
− GIUSEPE PEANO: (1858−1932)
Lógica y matemático italiano. Además de la exposición rigurosamente deductiva de diversos campos
de las matemáticas, creó un sistema de símbolos para la descripción y enunciado de las proposiciones
lógicas y matemáticas sin necesidad de recurrir al lenguaje ordinario.
− EUCLIDES (300 a.c.)
Matemático griego fundador de la escuela de Alejandría. Además de sus aportaciones a otros campos
del saber como la óptica, su principal obre fue la llamada Elementos, considerada la obra de
geometría por excelencia, y que contiene el famoso postulado que lleve su nombre.
− LEONARD EULER: (1707−1783)
1
Matemático suizo. Fue el mas famoso de la familia de matemáticos a al que perteneció. Entre sus
obras destacan su Tratado completo de mecánica (aplicación del análisis matemático al movimiento),
su Teoría del movimiento de los planetas y cometas y, sobre todo, su Introducción al análisis de
infinitésimos (1748) y sus Instituciones de calculo integral (1755), consideradas clásicas.
◊ KURT GÖDEL: (1906−1978)
Lógico estadounidense de origen austriaco. En su tesis, relativa a los fundamentos lógico
matemáticos, estableció la completitud del llamado calculo de predicados. Sin embargo, goza de fama
mundial por la formulación de sus dos teoremas de incompletitud, que afirman que no puede
demostrarse la completitud de una teoría matemática utilizando únicamente procedimientos
formalizables en el seno de dicho sistema.
◊ GEOGE BOOLE: (1815−1864)
Lógico y matemático británico. Se le debe la introducción del calculo algebraico en el campo de la
lógica, es decir, el algebra de la lógica y el calculo de clases conocido como algebra de Boole de las
clases.
◊ GEORGE CANTOR: (1854−1918)
Matemático alemán de origen ruso. Se le considera el creador de la llamada teoría de conjuntos y de
la teoría de los números transfinitos. Su obra impulsó una revisión en profundidad de los fundamentos
de las matemáticas.
• PARADOJA DE RUSSELL:
¿Existe un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos?
Los conjuntos parecen ser de dos tipos: los que se contienen a sí mismos como miembros y los que
no. Un ejemplo de los primeros sería el conjunto de las cosas pensables, pues a su vez es una cosa
pensable. Un ejemplo de los segundos sería el conjunto de los matemáticos, pues el conjunto en sí no
es un matemático y, por tanto, no pertenece al conjunto como miembro.
Consideremos ahora el conjunto todos los conjuntos que no se contiene a sí mismos como miembro.
Llamémosle T. ¿está T contenido en sí mismo como miembro? Si lo está, por definición no se
contiene a sí mismo, luego no lo está. Pero si no lo está, por definición, debe estar.
• Lista de problemas matemáticos no resueltos presentados por David Hilbert:
Los problemas de Hilbert son una lista de 23 problemas matemáticos compilados por el matemático
alemán David Hilbert para la conferencia en París del Congreso Internacional de Matemáticos de
1900. Los problemas estaban todos por resolver en aquel momento, y varios resultaron ser muy
influyentes en la matemática del siglo XX. Hilbert presentó diez de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13,
16, 19, 21 y 22) en la conferencia, en un acto el 8 de agosto en La Sorbona. La lista completa se
publicó más adelante.
Problema Explicación breve
La hipótesis del continuo (esto es, no
existe conjunto cuyo tamaño esté
1er
estrictamente entre el de los enteros y el
de los números reales)
2º
Estado
Se ha probado la imposibilidad de probarlo
como cierto o falso mediante los axiomas de
Zermelo−Fraenkel. No hay consenso al respecto
de considerar esto como solución al problema.
2
Probar que los axiomas de la aritmética
son consistentes (esto es, que la
aritmética es un sistema formal que no
supone una contradicción).
3er
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
11º
12º
13º
14º
15º
16º
17º
18º
Parcialmente resuelto: hay quienes sostienen
que se ha demostrado imposible de establecer
en un sistema consistente, finitista y axiomático
[2] Sin embargo, Gentzen probó en 1936 que la
consistencia de la aritmética se deriva del buen
fundamento del ordinal , un hecho sujeto a la
intuición combinatoria.
¿Se puede probar que dos tetraedros
Resuelto. Resultado: no, probado usando
tienen igual volumen (bajo ciertas
invariantes de Dehn
asunciones)?
Construir todas las métricas cuyas
rectas sean geodésicas.
¿Son los grupos continuos grupos
Resuelto por Andrew Gleason
diferenciales de forma automática?
Axiomatizar toda la física
Sin resolver. No matemático
¿Es a b trascendental, siendo a " 0,1
Resuelto. Resultado: sí, ilustrado por el teorema
algebraico y b irracional algebraico?
de Gelfond o el teorema de Gelfond−Schneider
La hipótesis de Riemann (la parte real
de cualquier cero no trivial de la
función zeta de Riemann es ½) y la
Abierto
conjetura de Goldbach (cada número
par mayor que 2 se puede escribir como
la suma de dos números primos).
Encontrar la ley más general del
teorema de reciprocidad en cualquier
Parcialmente resuelto
cuerpo numérico algebraico
Encontrar un algoritmo que determine
Resuelto. Resultado: no, el teorema de
si una ecuación diofántica polinómica
Matiyasevich implica que no existe tal
dada con coeficientes enteros tiene
algoritmo.
solución entera.
Resolver las formas cuadráticas con
Parcialmente resuelto
coeficientes numéricos algebraicos.
Extender el teorema de Kronecker sobre
extensiones abelianas de los números
Abierto
racionales a cualquier cuerpo numérico
de base.
Resolver todas las ecuaciones de 7º
grado usando funciones de dos
Resuelto. Lo probó posible Vladimir Arnold.
parámetros.
Probar la finitud de ciertos sistemas
Resuelto. Resultado: no, en general, debido a un
completos de funciones.
contraejemplo
Fundamento riguroso del cálculo
Parcialmente resuelto
enumerativo de Schubert.
Topología de las curvas y superficies
Abierto
algebraicas.
Expresión de una función definida
Resuelto. Resultado: se estableció un límite
racional como cociente de sumas de
superior para el número de términos cuadrados
cuadrados
necesarios
Resuelto
3
19º
20º
21er
22º
23er
¿Existe un poliedro irregular y que
construya otros poliedros? ¿Cual es el
apilamiento compacto más denso?
¿Son siempre analíticas las soluciones
de los Lagrangianos?
¿Tienen solución todos los problemas
variacionales con ciertas condiciones de
contorno?
Probar la existencia de ecuaciones
lineales diferenciales que tengan un
grupo monodrómico prescrito
Uniformización de las relaciones
analíticas por medio de funciones
automórficas
Extensión de los métodos del cálculo de
variaciones
Resuelto.
Resuelto. Ha supuesto un área importante de
investigación durante el siglo XX, culminando
con las soluciones al caso no lineal.
Resuelto. Resultado: sí o no, dependiendo de
una formulación más exacta del problema
Resuelto
Resuelto
• C1: todo numero par se puede escribir como suma de dos números primos
C2: Todo número entero puede expresarse como suma de tres números primos
Demuestra que si se cumple C2 se cumplirá C1
Los números pares entran dentro de los números enteros por lo que si se haya la combinación de
números primos que dan números enteros también se podrá aplicar a los números pares; aunque tenga
distinto numero de sumandos, ya que supongo que la solución será desde la combinación en la suma
de numero primo par + numero primo impar + numero primo impar = numero par o impar o algo
parecido a esto. Y si en esta suma suprimimos un sumando nos dará una solución mediante la cual
hallaríamos la solución de C1.
B) Biografía de Christian Goldbach:
Christian Goldbach nació en 1.690 en Konigsberg, Prusia (ahora Kaliningrado, Rusia), y murió
en 1.764 en Moscú.
Fue profesor de matemáticas e historia en San Petersburgo. Viajó a lo largo de toda Europa y
tuvo contacto con Leibniz, Nicolás Bernoulli, Daniel Bernoulli, De Moivre o Hermann, pero la
mayor parte de sus trabajos los desarrolló en correspondencia con Euler.
Goldbach trabajó en sumas infinitas, teoría de curvas y teoría de ecuaciones, pero sus mejores
trabajos fueron en teoría de números, siendo conocido sobre todo por la famosa Conjetura de
Goldbach.
En una carta a su amigo Leonard Euler, Golbach hace la siguiente afirmación, aunque sin
poder demostrarlo matemáticamente.
"Todo número par mayor que dos es la suma de dos números primos"
= 5+ 3
• − Segunda conjetura de Goldbach:
4
Todo número impar mayor que 5 puede escribirse como suma de tres primos
− Hipótesis de Riemann:
Todo número impar mayor que 5 se puede escribir como suma de tres primos.
− Conjetura de Fermat sobre números primos:
Fermat establece que para cualquier nº entero "a" y cualquier primo "p" existe un exponente más
pequeño "d" tal que:
Si "p" es divisor de
Y "d" es divisor de
5
Entonces "p" es divisor de
Por ejemplo, si a = 2 y p = 7, el teorema predice que 7 es un divisor de
, es decir, de 63.
− Conjetura de Poincaré:
Toda n−variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a Sn
− Hipótesis de Riemann:
La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½
E) Noticia de la resolución de una famosa conjetura por dos chinos:
Dos científicos chinos resuelven uno de los grandes enigmas de las matemáticas
El matemático Henri Poincaré.
Dos matemáticos chinos, Zhu Xiping y Cao Huaidong, resolvieron la Conjetura de Poincaré, un
problema matemático enunciado en 1904 y que durante más de un siglo ha sido uno de los grandes
6
enigmas de las ciencias exactas, informó el lunes el periódico oficial Diario del Pueblo.
El trabajo de los dos matemáticos fue publicado en la edición de junio del Asian Journal of
Mathematics, revista estadounidense que informa sobre el desarrollo de esta ciencia en Asia, donde
chinos e indios están considerados entre los mejores matemáticos del mundo.
La resolución del problema apareció el lunes con un gran titular en letras rojas del "Diario del
Pueblo", que considera este hallazgo como uno de los mayores de la ciencia china, aunque todavía
queda que la comunidad matemática internacional reconozca el trabajo como válido y lo someta a
años de prueba.
Otras investigaciones
En 2002, el científico ruso Grigori Perelman anunció que había encontrado la solución al enigma,
aunque nunca ha publicado los resultados completos de sus investigaciones (sí se publicaron dos
documentos preliminares en 2002 y 2003).
Perelman se ha mostrado siempre reacio a participar en actos públicos y mostrar en ellos la solución
al problema
Perelman se ha mostrado siempre reacio a participar en actos públicos y mostrar en ellos la solución
al problema, por lo que los dos científicos chinos han continuado sus pasos y aseguran haber
completado la solución, ayudados también por las investigaciones del matemático estadounidense
Richard Hamilton.
Los nombres de Perelman (profesor del Instituto de Matemáticas Steklov de San Petersburgo) y
Hamilton (de la Universidad de Columbia) aparecen en el título de la solución publicada por los
matemáticos chinos, de 300 páginas.
El profesor Zhu
Zhu es profesor de matemáticas en la Universidad de Zhongshan, en la provincia de Cantón (sur de
China), mientras que Cao trabaja en La Universidad Lehigh de Pensilvania (Estados Unidos).
La estatal Academia China de Ciencias afirmó que el ruso estableció las líneas generales
Ante la posible polémica sobre si la solución real del enigma pertenece a Perelman o los científicos
chinos, la estatal Academia China de Ciencias afirmó que el ruso "estableció las líneas generales para
probar la conjetura, pero no dijo específicamente cómo resolver el enigma".
Zhu y Cao trabajaron en la solución de la conjetura durante dos años, declaró el segundo de ellos en
declaraciones a la agencia Xinhua.
El profesor Yau
Shing−Tung Yau, profesor de la Universidad de Harvard, dirigió las investigaciones de los dos
matemáticos chinos, y ha anunciado que explicará el método de resolución del enigma en una
conferencia internacional de matemáticos que se celebrará en Pekín este mes.
El congreso madrileño invitó a Perelman para que explicara el desarrollo de su teoría, pero el ruso
rechazó la invitación
7
En agosto se celebrará en Madrid, la capital española, un Congreso Internacional de Matemáticos en
el que la conjetura de Poincaré es uno de los temas centrales de discusión.
El congreso madrileño invitó a Perelman para que explicara el desarrollo de su teoría, pero el ruso
rechazó la invitación.
Más de un siglo de enigma
La conjetura fue enunciada por el matemático francés Henri Poincaré en 1904, uno de los iniciadores
de la rama de las matemáticas llamada topología geométrica, que establece y mide las superficies del
universo.
La esfera tridimensional es el único espacio limitado de tres dimensiones sin orificios
El enunciado de Poincaré, difícil de comprender para los no iniciados, intenta demostrar que la esfera
tridimensional es el único espacio limitado de tres dimensiones sin orificios.
Ni siquiera el propio Poincaré pudo demostrar este enunciado, por lo que, durante más de 100 años,
ha sido "conjetura" y no ha podido alcanzar el nivel de "teorema", cosa que podría suceder si la
comunidad matemática reconoce el trabajo de sus colegas chinos.
La forma del cosmos
La demostración de la Conjetura podría ayudar a comprender la forma del cosmos o a catalogar todas
las formas tridimensionales del Universo.
Es uno de los siete Problemas del Milenio establecidos por el Instituto Clay de Massachussetts
(Estados Unidos), que ofrece un millón de dólares de premio a quien que sea capaz de resolverlos.
Para poder optar al premio, es necesario que se publique el trabajo en una revista científica y se
superen dos años de revisiones de la comunidad matemática, premisas que no se han cumplido en el
caso de Perelman
Todo numero par es suma de un numero primo mas un impar
2n = Np + (2n − 1)
Np numero primo
2, 3, 5, 7, 11, 13,17,
Todos los números primos, menos el dos, son impares, ya que todos los números acabados en dos
(pares) son divisibles entre este y por lo tanto no son primos.
TODO NÚMERO PAR ES IGUAL A LA SUMA DE:
* 2 NUMEROS PARES
* 2 NUMEROS IMPARES
4 = 2+2 / 1+3
8
6 = 3+3 / 4+2 / 5+1
8 = 4+4 / 6+2 / 5+3 / 7+1
Con la regla anterior demostramos el enunciado, ya que si todos los números primos (menos el 2) son
IMPARES, la suma de dos números impares da un numero par.
• griego inventor de una criba de un números naturales para obtener números primos:
CRIBA DE ERATÓSTENES.
Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia) el 276 a.C.
Entre otras cosas fue astrónomo y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año
255 a.C fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría...
Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método para hallar números
primos pequeños conocido como "CRIBA DE ERATÓSTENES".
Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la medición de la
circunferencia de la Tierra.
Eratóstenes al final de su vida fue afectado por la ceguera y murió de hambre por su propia voluntad
en el año 194 a.C. en Alejandría.
• Vamos a hallar los números primos menores que 100. Para ello haz en tu cuaderno una tabla como la
siguiente en la que aparecen los números naturales desde el 2 hasta el 100 (el 1 no lo incluimos pues
hemos dicho que no se considera primo ni compuesto).
Sigue los pasos siguientes:
• El primer número que aparece sin tachar es el 2, que es primo (rodéalo con una circunferencia en
rojo). Tacha, a partir del 2, todos los números de 2 en 2; éstos (4, 6, 8, 10, 12,...) no son primos pues
son todos divisibles por 2. La tabla te debe haber quedado como sigue:
• El siguiente número que aparece sin tachar es el 3, que es primo (rodéalo con una circunferencia en
9
rojo).Tacha, a partir del 3, todos los números de 3 en 3, incluso los ya tachados anteriormente; éstos
(3, 6, 9, 12, 15,...) no son primos pues son todos divisibles por 3. La tabla te debe haber quedado
como sigue:
• El siguiente número que aparece sin tachar es el 5, que es primo (rodéalo con una circunferencia en
rojo). Tacha, a partir del 5, todos los números de 5 en 5, incluso los ya tachados anteriormente; éstos
(5, 10, 15, 20, 25,...) no son primos pues son todos divisibles por 5. La tabla te debe haber quedado
como sigue:
• Continúa este proceso mientras te sea posible seguir tachando números: El siguiente número que
aparece sin tachar es el...
Llegarás a la tabla siguiente que contiene todos los números primos menores que 100
Números de Marsenne:
Número primo de Mersenne
Se dice que un número M es un número primo de Mersenne si es primo y M+1 es una potencia de
2. Así, 7 es un primo de Mersenne (7 + 1 = 8 = 2³, y 7 es primo), pero 13 no lo es (por no ser 14 una
potencia de 2) y 15 tampoco lo es (por no ser un número primo).
Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin Mersenne quien en su Cognitata
Physico−Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que sólo pudo refinarse tres siglos
después. Los ocho primeros números primos de Mersenne son:
3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647.
Los números primos de Mersenne están íntimamente relacionados con los números perfectos, en
efecto Euclides había demostrado siglos antes que si M es un número primo de Mersenne
(obviamente no se llamaban así en su época), entonces M· (M+1)/2 es un número perfecto. Euler
demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la forma M· (M+1)/2. No se
conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no exista ninguno.
No se sabe si existen un número infinito di primos de Mersenne.
La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos:
#
n
Mn
1
2
3
4
5
6
7
2
3
5
7
13
17
19
3
7
31
127
8191
131071
524287
Número de
dígitos Mn
1
1
2
3
4
6
6
Fecha de
descubrimiento
antigüedad
antigüedad
antigüedad
antigüedad
1456
1588
1588
Descubridor
desconocido
desconocido
desconocido
desconocido
anónimo
Cataldi
Cataldi
10
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
31
61
89
107
127
521
607
1,279
2,203
2,281
2147483647
2305843009213693951
618970019449562111
162259276010288127
170141183884105727
686479766115057151
531137992031728127
104079321168729087
147597991697771007
446087557132836351
10
19
27
33
39
157
183
386
664
687
18 3,217
259117086909315071
969
19 4,253
190797007350484991
1,281
20 4,423
285542542608580607
1,332
21
22
23
24
25
26
9,689
9,941
11,213
19,937
21,701
23,209
478220278225754111
346088282789463551
281411201696392191
431542479968041471
448679166511882751
402874115779264511
2,917
2,993
3,376
6,002
6,533
6,987
1772
1883
1911
1914
1876
30 de enero 1952
30 de febrero 1952
25 de junio 1952
7 de octubre 1952
9 de octubre 1952
8 de septiembre
1957
3 de noviembre
1961
3 de noviembre
1961
11 de mayo 1963
16 de mayo 1963
2 de junio 1963
4 de marzo 1971
30 de octubre 1978
9 de febrero 1979
27 44,497
854509824011228671
13,395
8 de abril 1979
28 86,243
536927995433438207
25,962
29 110,503
521928313465515007
33,265
30 132,049
512740276730061311
39,751
31 216,091
746093103815528447
65,050
32 756,839
33 859,433
174135906544677887
129498125500142591
227,832
258,716
34 1,257,787
412245773089366527
378,632
35 1,398,269
814717564451315711
420,921
36 2,976,221
623340076729201151
895,932
37 3,021,377
127411683024694271
909,526
38 6,972,593
437075744924193791
2,098,960
39 13,466,917 924947738256259071
4,053,946
25 de septiembre
1982
28 de enero 1988
20 de septiembre
1983
6 de septiembre
1985
19 de febrero 1992
10 de enero 1994
3 de septiembre
1996
13 de noviembre
1996
Euler
Pervushin
Powers
Powers
Lucas
Robinson
Robinson
Robinson
Robinson
Robinson
Riesel
Hurwitz
Hurwitz
Gillies
Gillies
Gillies
Tuckerman
Noll & Nickel
Noll
Nelson &
Slowinski
Slowinski
Colquitt & Welsh
Slowinski
Slowinski
Slowinski & Gage
Slowinski & Gage
Slowinski & Gage
GIMPS / Joel
Armengaud
GIMPS / Gordon
24 de agosto 1997
Spence
GIMPS / Roland
27 de enero 1998
Clarkson
GIMPS / Nayan
1 de junio 1999
Hajratwala
14 de noviembre GIMPS / Michael
2001
Cameron
11
40 20,996,011 125976895855682047
6,320,430
41 24,036,583 299410429733969407
7,235,733
42 25,964,951 122164630577077247
7,816,230
43 30,402,457 315416475652943871
9,152,052
44 32,582,657 124575026053967871
9,808,358
17 de noviembre
2003
GIMPS / Michael
Shafer
GIMPS / Josh
15 de mayo 2004
Findley
GIMPS / Martin
18 de febrero 2005
Nowak
GIMPS / Curtis
15 de diciembre
Cooper & Steven
2005
Boone
GIMPS / Curtis
4 de septiembre
Cooper & Steven
2006
Boone
Biografía de Mersenne
Nacido en una familia de campesinos cerca de Oizé (hoy Sarthe), en la provincia francesa de Maine,
fue educado en Le Mans y en el colegio jesuita de La Flèche, donde coincidió con René Descartes,
pero es sumamente improbable que su amistad provenga de esos años, porque se llevaban ocho años.
Aunque en ocasiones se afirma que fue jesuita, lo cierto es que nunca llegó a ingresar en la Sociedad
de Jesús. El 17 de julio de 1611 se hizo miembro de los Mínimos dedicándose al estudio de la teología
y el hebreo. Después de este período recibió la orden sacerdotal en París en 1613.
Tras su consagración estuvo un tiempo enseñando filosofía y teología en Nevers, pero en 1619
regresó a París. Allí entró en el convento de L'Annonciade y, en compañía de personajes como
Étienne Pascal, Gilles de Robeval y Nicholas−Claude Fabri de Peiresc, estudió matemáticas y música.
Tuvo una nutrida correspondencia con diversos eruditos de Francia, Italia, Inglaterra y Holanda, tales
como Descartes, Pierre de Fermat, Galileo Galilei, Giovanni Doni y Constantijn Huygens. Durante la
estancia de Descartes en Holanda, Mersenne fue su principal corresponsal y su intermediario con los
sabios de la época. Desde 1620 hasta 1623 se dedicó exclusivamente a escribir en materia de filosofía
y teología, y en 1623 publicó Quaestiones celeberrimae in Genesim, a la que rápidamente siguieron
otras obras como L'Impieté des déistes (1624) y La Vérité des sciences (1624).
Visitó Italia en tres ocasiones, en 1640, 1641 y 1645.
Murió después de una serie de complicaciones que se derivaron de una intervención quirúrgica. En su
testamento vital, pidió que su cuerpo fuera sometido a autopsia como último servicio al interés de la
ciencia
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