Unidad 3 Problemas explicados

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Unidad 3 Problema 9 explicado
9) En un experimento célebre (Rutherford) que ayudó a establecer la estructura del átomo, se
disparaban partículas (núcleos de He) contra una lámina delgada de oro.
a) ¿Cuál es la menor distancia a la que una partícula (carga +2e) puede acercarse a un núcleo de oro
(carga +79e) si su energía cinética inicial es de 4 MeV e incide frontalmente contra el núcleo?
b) ¿Cuál debería ser su energía cinética inicial para hacer contacto con la superficie del núcleo?
Considerar que hay contacto cuando la distancia entre el centro de la partícula  y el centro del núcleo
se encuentran a una distancia menor o igual que 10 – 14 m
En la figura se muestra la partícula alfa que
inicialmente está muy lejos del núcleo de oro
moviéndose hacia él con cierta velocidad inicial. A
medida que la partícula se acerca al núcleo la
fuerza de repulsión electrostática ejercida por el
núcleo de oro la va frenando.
Es decir, la fuerza que el campo eléctrico
producido por la carga Q ejerce sobre la carga q
hace trabajo negativo y por lo tanto la energía
cinética de la partícula alfa disminuye mientras se
incrementa la energía potencial del sistema
formado por la partícula  y el núcleo del átomo
de oro.
Como el campo electrostático es conservativo la energía mecánica de la partícula alfa se conserva y
podemos plantear:
Ko  U o  K  U
En esta ecuación Ko = 4 MeV, es decir 4 millones de electrón-Volt. Esta unidad de energía se obtiene al
multiplicar el valor absoluto de la carga del electrón por una diferencia de potencial de 1 Volt. De esta
manera, su equivalencia en Joules es:
1 eV  1,6 1019 C 1V  1,6 1019 J
La energía potencial es la energía potencial electrostática. Cuando la partícula alfa llega a la posición más
cercana posible el núcleo, por un instante se detiene y por lo tanto su energía cinética es nula. Entonces:
Ko 
1 Qq
1 Qq
 0
4 o ro
4 o d
1 1
1 Qq
1 Qq
1


qQ  
4 o d 4 o ro
4 o
 d ro 
1 Qq
K0 
4 o d
Ko 
ro  d
a) Entonces la distancia mínima a la que la partícula alfa se acercará al núcleo es función de la energía
cinética inicial:


2
2
2
2
1 Qq
158 1,6 1019 C
9 Nm 158 e
9 Nm
d
 9 10
 9 10
 6 1014
2
2
6
19
4 o K o
C 4 MeV
C 4 10 (1,6 10 C ) 1 J / C
m etros
2
b) Para que la partícula  se aproxime más aún al núcleo de oro, es necesario que su energía cinética inicial
sea mayor. Con una energía cinética inicial de 4 Mev se aproxima a una distancia aproximadamente igual a
610-14 metros. Para acercarse a una distancia menor a 110-14 metros, su energía cinética inicial debe ser
por lo menos 6 veces superior ya que como vimos en la parte (a) la distancia mínima y la energía cinética
inicial son inversamente proporcionales.
En efecto, dKo  d `K `o entonces K `o 
6 1014 m  4 Mev
 24 Mev
11014 m
Unidad 3 Problema 16 explicado
16) Resolver los problemas 4 (rombo de cargas) y 5 (péndulos eléctricos) de la Unidad 1, aplicando el
concepto de energía potencial de un sistema de partículas.
PROBLEMAS 4 Y 5 DE LA UNIDAD 1 RESUELTOS POR ENERGÍA
4) Cuatro cuerpos cargados positivamente, dos
con carga Q y dos con carga q, están
conectados mediante cuatro hilos inextensibles
de la misma longitud. En ausencia de fuerzas
externas adoptan la configuración de equilibrio
de la figura.
Q
Demuestre que: tan3= q2/Q2.
Este problema, que se puede resolver aplicando
la ley de Coulomb y la condición de equilibrio
de fuerzas en cada vèrtice, también se puede
resolver utilizando el concepto de energìa potencial
q

Q
q
La energía potencial del sistema es la trabajo necesario para colocar a esas cuatro cargas en esas
posiciones relativas. Luego colocamos los hilos para impedir que las cargas, debido a la repulsión
enter ellas, se alejen entre sí. Es imposible “armar” un sistema que se mantenga en equilibrio sólo con
partículas cargadas. La repulsión o la atracción entre ellas inexorablemente tienden a desarmar el
sistema.
También podemos imaginar que armamos el sistema con los hilos incluidos pero formando un rombo
donde el ángulo entre los lados tenga un valor arbitrario. Entonces si lo liberamos, el sistema tiende a
una forma donde el ángulo  tomará el valor que satisface la expresión tan3= q2/Q2
Esta configuración es la que corresponde al equilibrio estable y por lo tanto a un mínimo
de la función energía potencial.
Escribamos la energía potencial de este sistema de 4 partículas cargadas. La expresión general es
U
1
4 o

i j
qi q j
rij
En este caso tendrá 6 términos. Un término corresponde a la carga Q con la
otra carga Q en el vértice opuesto separada por la distancia D (diagonal mayor del rombo). Otro
término corresponde a la carga q con la carga q del vértice opuesto separadas por la distancia d
(diagonal menor del rombo). Luego Q con q separadas por L (largo del hilo) 4 veces…
3
Q 2 q 2
Qq 

4


4 o  D
d
L 
q2
Qq 
1  Q2
U

4


4 o  2 L cos 2 Lsen
L 
U
1
La única variable de esta expresión es el ángulo , tanto Q, como q y el largo L de los hilos son
constantes. Es decir la energía potencial de la configuración de cargas toma distintos valores según
cuál sea el valor del ángulo . Si este ángulo vale 0 las dos cargas q están “pegadas” y en el centro
entre Q y Q. Es decir D = 2L y d = 0. Si el ángulo es 90, Q está pegada con Q y las otras dos q en los
extremos de un segmento vertical de longitud 2L.
¿Cuál es el ángulo que asegura que el equilibrio será estable? Será aquel valor de  que minimice a
la función U. Entonces:
 Q 2  1

q 2  1
 sen  
cos   0  0

2
2
2 L sen 
 2 L cos 

2
2
Q sen
q cos

0
2
2 L cos  2 L sen 2
dU
1

d 4 0
De esta última expresión fácilmente se obtiene:
q
tg    
Q
2
3
a) ¿Cuánto vale el ángulo  si q = Q? ¿Qué figura se forma? ¿Es plausible que sea así?
b) ¿Cuánto vale el ángulo  si q es la mitad de Q?
c) ¿Y si q es la tercera parte?
d) Si q << Q, ¿a qué valor tiende el ángulo ?
_______________________ . ________________________
5) Dos cargas muy pequeñas de masas iguales m y cargas
iguales q están suspendidas del mismo punto por hilos de
igual longitud L. El sistema se mantiene en equilibrio. a)
Hallar la expresión que debe satisfacer el ángulo  que
cada hilo (de masa nula) forma con la vertical

m
m
q
q
Como ya hemos visto, el ángulo que cumple con esta
condición se puede determinar planteando el equilibrio de fuerzas sobre cada bolita. Es decir la resultante
entre la fuerza de repulsión electrostática, la tensión del hilo y el peso debe ser nula.
Pero si plantemos la energía potencial de este sistema en función del ángulo y minimizamos la
función, deberíamos obtener el mismo resultado. Sólo que en este caso la energía potencial será una
función que tendrá términos electrostáticos y términos gravitatorios.
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Tomaremos como nivel cero para la energía potencial gravitatoria el punto más bajo al que se pueden
encontrar las cargas puntuales. Si no estuvieran cargadas estarían a una distancia L del punto de sujeción
de los hilos. Cuando los hilos están separados un ángulo cada partícula se encuentra a una altura h
respecto al nivel de referencia adoptado. Entonces:
q2
U
 2 m gh
4 o d
1
U
d  2 L sen
h  L  L cos
q2
 2 m g  L(1  cos )
4 o 2 L sen
1
Ya tenemos la expresión de la energía potencial del sistema en función del ángulo Todos los demás
símbolos representan constantes. Para que esta función U= f(tenga un mínimo su derivada debe ser
nula:
dU
1 q2 
1


 cos   2m gL sen  0

2
d 4 o 2 L  sen 

cos
 2m gL sen  0
8 o L sen 2
q2
cos
 4m gL sen
4 o L sen 2
q2
Haciendo algunos pasos matemáticos llegamos a que:
q2
tg  sen  
4 0 4L2 mg
2
1
El mismo resultado que figura en el problema 5 de la unidad 1.