Dinámica de una partícula

MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN REGIONAL DE VERAGUAS
INSTITUTO PROFESIONAL Y TÉCNICO NOCTURNO DE
VERAGUAS
ASIGNATURA:
AÑO: V1
FACILITADOR:
SILVIA ELENA GONZÁLEZ V.
ESTUDIANTE:_______________________________________________
TEMAS
1. DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA
1.1. Leyes de newton
1.2. Fuerzas que actúan sobre un cuerpo
1.3. Fricción
1.4. Impulso y Momento
1.5. Ley de la gravitación universal
2. TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA
2.1. Trabajo
2.2. Energía cinética
2.3. Energía potencial
2.4. Conservación de la Energía Mecánica
2.5. Potencia
Dinámica de una partícula
1. Leyes de Newton
1.1. Principio de inercia de Galileo o primera ley de Newton
1.2. Ley de la causalidad en la dinámica o segunda ley de Newton
1.3. Ley de acción y reacción o tercera ley de Newton
2. Fuerzas que actúan sobre un cuerpo
2.1. La normal y el peso
2.2. Diagramas de cuerpo libres
3. Fricción
3.1. Fuerzas de fricción estática y cinética
3.2. Coeficientes de fricción
4. Impulso y momento
4.1. Relación entre el impulso y el momento
4.2. Conservación del momento
5. Ley de la gravitación universal
Desarrollo
1. Leyes de Newton
Cuando un automóvil de cambio tiene problema con la batería, una de las formas de echarlo
a andar es empujándolo, es decir, aplicándole una fuerza para que se empiece amover. Pero,
¿qué tenemos que hacer para que un cuerpo que está en movimiento se detenga o para que un
cuerpo se mantenga en movimiento?
Aristóteles pensaba que un cuerpo que se está moviendo por la aplicación de una fuerza, es
suficiente suspender su aplicación para llevarlo al estado de reposo. Por esta razón llamó al
reposo el estado natural de los cuerpos. Este planeamiento es incorrecto, sin embargo, es
común encontrar a personas que no han dado un curso de Física, pensar de forma similar a la
de Aristóteles.
Estas ideas fueron refutadas por el físico italiano Galileo Galilei en el siglo XV11, sentando
desde entonces las bases de la Dinámica (Parte de la mecánica que estudia el movimiento de
los cuerpos en virtud de las fuerzas que actúan sobre él).
1.1.Principio de inercia de Galileo o Primera Ley de Newton
Galileo comprobó experimentalmente que para iniciar el movimiento (cambiar el estado de
reposo) es necesario la aplicación de una fuerza, de tal forma que la sumatoria de todas las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo sea distinta de cero.
Después de muchas experiencias Galileo llegó a las siguientes conclusiones:
 Es necesario una fuerza externa para poner en movimiento aun cuerpo.
 No se requiere una fuerza externa para que el movimiento de un cuerpo se conserve.
 Todo cuerpo tiende a conservar ya sea el reposo o el movimiento, mientras no exista una
fuerza que le modifique este estado.
 La tendencia que tienen los cuerpos a conservar el estado de reposo o el estado de
movimiento se llama inercia.
 La inercia de un cuerpo se vence por la interacción que exista entre él y los cuerpos que
lo rodean, y a esta interacción se le llama fuerza.
La ley de la inercia de Galileo se puede enunciar así: Todo cuerpo tiende a conservar su
estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, siempre que no existan fuerza
externas actuando sobre él, o que la sumatoria de ellas sea igual acero.
De la ley de la inercia se obtiene la siguiente definición de fuerza: fuerza es toda causa capaz
de vencer la inercia de los cuerpos.
Esta ley implica que si la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo
se anulan, el cuerpo se encuentra en reposo o está en movimiento rectilíneo uniforme.
Matemáticamente, la ley de la inercia puede ser escrita así:
Cuando ΣF = 0, entonces a = 0
Medio siglo después, el físico inglés Isaac Newton utilizó la ley de la inercia de Galileo como
punto de partida para sistematizar las leyes de la mecánica, por esta razón se le denomina
también la Primera Ley de Newton.
Ejemplo: Cuando se afloja una coa del mango, tú puedes reapretarla sosteniendo la coa invertida
verticalmente y golpeando su mango contra el piso. ¿Qué ley se ilustra en este ejemplo?
Esta forma de apretar la coa al palo es una aplicación de la ley de la inercia de Galileo.
1.2.Ley de la causalidad en la dinámica o Segunda Ley de Newton
¿Qué fuerza debe aplicar el motor de un automóvil para que pase del reposo a 100 km/h en 10 s?.
Para responder a esta pregunta es necesario que tengamos presente que en él están
implícitamente involucradas tres variables dinámicas, ellas son la fuerza que produce el motor, la
masa del automóvil y la aceleración producto del cambio de velocidad. El concepto de masa
relacionada en este caso y la definición cuantitativa de fuerza la estableció por primera vez Isaac
Newton.
F = ma
Esta expresión es la ley fundamental de la Dinámica y recibe el nombre de Segunda Ley de
Newton. En vista que la causa de la aceleración es la fuerza, a esta relación también se le
denomina la ley de Causalidad de la Dinámica. La Segunda Ley de Newton se puede enunciar
así: Cuando una fuerza resultante actúa sobre un cuerpo, éste adquiere una aceleración en
el sentido de la fuerza resultante aplicada, y su valor es igual en magnitud a la fuerza entre
la masa del cuerpo.
En forma general, podemos señalar que si sobre un cuerpo de masa “m” actúan varias fuerzas
simultáneamente, la Segunda ley de Newton establece que:
ΣF = ma
Donde ΣF es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan simultáneamente sobre el cuerpo
y a es el vector aceleración.
Ejemplo 2: si un automóvil de 1000 kg durante los 10 s iniciales de su partida mantiene una
aceleración media de 2, 778 m/s2, ¿cuál es la fuerza media que el motor aplica sobre el
vehículo?
Aplicando la segunda ley de Newton tenemos:
F = ma (1 000)(2,778) = 2 778 N
 Masa Inercial, peso y masa gravitatoria
La masa inercial (m) se define como el valor que se obtiene al dividir la fuerza resultante que
actúa sobre un cuerpo, entre la aceleración que éste adquiere; es decir: m =F/a .
El peso de un cuerpo es una medida de la fuerza de atracción que la Tierra ejerce sobre él.
Cuando un cuerpo cae y se desprecia la fuerza de rozamiento del aire, la única fuerza que
actúa sobre él es su peso (P = mg). El peso es una magnitud vectorial y se mide con un
dinamómetro.
Cuando un cuerpo cae se moverá hacia la Tierra con una aceleración producto de la atracción
de la fuerza gravitatoria y su aceleración gravitatoria (g = 9,80 m/s2). Por lo planteado
anteriormente, la masa gravitatoria (m) se define como el resultado de dividir el peso del
cuerpo entre la aceleración gravitatoria: m = P/g. La masa gravitatoria de un cuerpo se mide
utilizando una balanza.
Ejemplo 3: ¿Qué magnitud física puede ser utilizada para cuantificar la inercia de un
cuerpo? Mientras más inercia posea un cuerpo, mayor es la tendencia que tendrá para
mantener el estado de reposo o para mantener el estado de movimiento; por lo tanto, la masa
inercial del cuerpo es una forma de cuantificar su inercia.
1.3.Ley de acción y reacción o Tercera Ley de Newton
¿Qué sucede si un joven con patines, parado frente a una pared, la empuja? ¿Qué sucede
ahora, si este joven empuja a otro que también calza patines? Para entender mejor las
situaciones anteriores tengamos presente que el movimiento es consecuencia de la
interacción entre cuerpos, y que esta interacción se manifiesta a través de fuerzas, por lo que
no puede haber fuerza al menos que dos cuerpos interactúen.
La Tercera Ley de Newton o Ley de Acción y Reacción puede ser enunciada así: a cada
fuerza de acción se opone siempre una fuerza de reacción. Es decir, que cuando un
cuerpo “1” ejerce una fuerza sobre un cuerpo “2” (F1), el segundo ejerce sobre el
primero otra fuerza igual en magnitud y de sentido contrario (F2), de tal forma que F2 =
-F1.
En vista que para toda acción debe existir una reacción, no puede existir una fuerza aislada.
Es importante tener presente que la fuerza de acción y reacción no se anulan entre sí, ya que
a pesar de ser iguales en magnitud y de sentidos opuestos, actúan sobre cuerpos distintos.
Para que dos fuerzas de igual magnitud y de sentidos contrarios se anulen, deben actuar sobre
un mismo cuerpo.
Ejemplo 4: supongamos que estás sentado sobre una silla
1. ¿Qué fuerzas ejerces tú sobre la silla que te sostiene?
2. ¿Cuál fue la magnitud y sentido de la fuerza de reacción que ejerce la silla sobre ti?
3. Si estando sentado sobre la silla la atracción gravitatoria desaparecería súbitamente, ¿qué
sucede?
1. La fuerza que ejerces sobre la silla es el peso.
2. La magnitud de la fuerza de reacción que la silla ejerce sobre ti es igual a la magnitud del
peso y su sentido es hacia arriba.
3. Saldrías disparado hacia arriba con una fuerza de magnitud igual al peso.
4. Fuerzas que actúan sobre un cuerpo
Cuando sostienes un libro en tu mano, ¿qué fuerzas actúan sobre el libro? Sobre él se ejerce una
fuerza hacia abajo; a esta fuerza la llamamos peso y es igual a la masa multiplicada por la
aceleración gravitatoria (P = mg). Si sólo actuara esta fuerza, el libro caería, lo que indica que
hay otra fuerza que tu mano ejerce hacia arriba para poder que el libro permanezca en la misma
posición.
2.1. La normal y el peso
Si ahora, colocas un libro sobre una mesa, ¿podrías decir y representar qué fuerzas actúan sobre
él? ¿Por qué el libro ni se hunde en la mesa ni sale disparado una vez que colocas sobre ella?
Una de las fuerzas que actúa sobre el libro cuando lo colocas sobre la mesa es el peso, pero si
solo actuara esta fuerza, el libro se hundiría en la mesa. Esto indica que tiene que estar presente
otra fuerza en sentido contrario al peso y de igual magnitud. A esta fuerza se le conoce como
fuerza normal o la Normal. Como el libro no asciende ni desciende, entonces podemos escribir
que la suma de las fuerzas que actúan sobre él son igual a cero, esto es:
ΣF = ma = m (0) =0
N -P=0
N=P
N
mesa
libro
En esta situación los módulos de la Normal y el peso
son iguales.
P
La normal es el resultado de la Ley de acción y Reacción, por lo que es la fuerza que ejerce una
superficie sobre un objeto colocado sobre ella. Esta fuerza de reacción se le llama normal ya que
siempre es perpendicular a la superficie.
2.2. Diagramas de cuerpos libres
cuando en un problema se tiene más de un cuerpo y sobre ellos actúan fuerzas diversas, se debe
hacer un diagrama de cuerpo libre, lo cual consiste en analizar las fuerzas aplicadas en cada
cuerpo por separado
Ejemplo 1: Un cuerpo de masa m y peso P, está siendo tirado, a través de una cuerda, por una
fuerza F de tal manera que le produce una aceleración a hacia la derecha. Analicemos las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Para esto hagamos un diagrama de cuerpo libre.
m
F
N
F
a
P
ΣFx = ma
F = ma
ΣFy = 0
N–P=0
Esto es así porque el movimiento es horizontal.
ΣF = ma
Ejemplo 2: Una esfera de masa m y peso P cuelga en reposo sujeta por una cuerda, que a su vez
esta anclada al techo. Analicemos las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Para esto hagamos
un diagrama de cuerpo libre.
T
m
Esfera colgada
ΣFx =0
fuerzas, por lo tanto
P
ΣFy = ma
T – P = ma donde las fuerzas solamente actúan en y, y en x no hay
T – P = mg , porque esta actuando la fuerza de gravedad.
2. Fricción
Si simultáneamente, le das un empujón de igual magnitud a dos cajas idénticas, una que está
sobre una superficie lisa y a otra que está sobre una superficie rugosa, ¿cuál de las cajas se
detendrá primero? Si haces la experiencia, observarás que se detiene primero la caja que está
sobre la superficie rugosa. En vista que ambas cajas se detienen después de recorrer cierta
distancia, significa que debe haber una fuerza que va en sentido contrario al desplazamiento de
las cajas. A esta fuerza se le conoce como fuerza de fricción o fuerza de rozamiento.
.
Rozamiento
El rozamiento se debe a las irregularidades microscópicas de las superficies. Cuando dos superficies están
en contacto, sus irregularidades tienden a encajarse, lo que impide que ambas superficies se deslicen
suavemente una sobre otra. Un lubricante eficaz forma una capa entre las superficies que impide que las
irregularidades entren en contacto.
Las fuerzas que actúan sobre la caja, después que le das el empujón son: el peso (P), la normal
(N) y la fuerza de fricción (f), la cual actúan en sentido contrario al movimiento de la caja. Estas
fuerzas se representan en la siguiente figura:
N
f
sentido del movimiento
P
4.1. Fuerzas de fricción estática y cinética
Para empezar a mover cualquier objeto, si no es muy pesado lo logramos mover, pero si es
muy pesado, no lo movemos porque existe una fuerza de fricción que se opone al
movimiento. Si lo logramos mover, ya el objeto sigue moviéndose con mayor facilidad, ya
que la fuerza que se aplica al principio es mayor, entonces la fuerza que se necesita para
mantenerlo en movimiento es menor que la que se aplica para iniciar el movimiento. En este
momento podemos decir que se ha rebasado la fuerza de fricción estática máxima (fem).
Si la fuerza aplicada a un cuerpo es insuficiente para causar su deslizamiento sobre una
superficie, la fuerza de fricción que impide el desplazamiento se llama fuerza de fricción
estática (fe).
A la fuerza de fricción que se produce por el desplazamiento de un cuerpo sobre una
superficie se denomina fuerza de fricción cinética (fc). Esta fuerza de fricción cinética
siempre es un poco menor que la fuerza de fricción estática máxima, por esta razón es más
difícil iniciar el movimiento de un cuerpo, que mantenerlo en movimiento con velocidad
constante.
Ejemplos de fuerza de fricción: no podríamos caminar si no existiera la fuerza de fricción
entre nuestros zapatos y el suelo; no podríamos encender un fósforo si no existiera la fuerza
de fricción entre la cabeza del fósforo y la lija de la cajetilla; un clavo no se mantendría
clavado en una pared; no podríamos conducir un auto si no existiera la fuerza de rozamiento
entre las llantas y la carretera. ¿Puedes mencionar otros caso en que la fuerza de fricción
juega un papel importante? Señálalos y discútelos con tus compañeros y el profesor.
4.2. Coeficientes de fricción
La fuerza de fricción estática máxima es directamente proporcional a la normal del sistema,
por lo que podemos escribir: fem = µeN. La constante de proporcionalidad “µ” depende de
los materiales que estén en contacto y recibe el nombre de coeficiente de fricción estática
máxima. Recuerda que solo cuando la superficie sobre la que reposa el cuerpo es horizontal,
la normal es igual al peso del cuerpo.
Al igual que la fuerza de fricción estática máxima, la fuerza de fricción cinética es
proporcional a la normal del cuerpo; la diferencia está en que la constante de
proporcionalidad entre la fuerza de fricción cinética y la Normal es el coeficiente de fricción
cinética, es decir: fc = µcN .
Los dos coeficientes de fricción son magnitudes sin unidades, pero siempre se cumple que el
coeficiente de fricción estática máximo es mayor que el coeficiente de fricción cinética.
Ejemplos: suponga que una caja de madera de 40,0 kg se encuentra sobre un piso también de
madera.
1. Cuando la caja está en reposo, ¿Cuál es la fuerza de fricción entre ella y el piso?
2. ¿Cuál es el valor de la fuerza mínima que se debe aplicar para que la caja se empiece a
mover?
3. Si la fuerza aplicada es FA = 300N, ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción?
fc = µcN = 0,
4. ¿Cuál es el valor de la aceleración que adquiere la caja, bajo la condición anterior?
1. Como no hay fuerza aplicada sobre la caja, la fuerza de fricción es cero.
2. Esta fuerza mínima será igual a la fuerza de fricción estática máxima, y como el
coeficiente de fricción estática máximo es 0,600 para madera sobre madera, tenemos:
FA = fem = µeN = 0,600(40,0 x 9,8) =235 N
3. Como la fuerza aplicada es mayor que la fuerza de fricción estática máxima, la caja se
moverá con aceleración constante y el coeficiente de fricción que actúa será el cinético
(0,400). Por lo tanto:
fc = µcN = 0,400(40,0 x 9,8) = 157 N
4. Aplicando la Segunda ley de Newton:
ΣF = ma
FA - fc = ma
a=
FA -fc = 300 - 157
m
40,0
= 3,57 m/s2
4.Impulso y momento
4.1. Relación entre el impulso y el momento
Cuando un futbolista cobra un tiro libre, él ejerce una fuerza (F) sobre el balón de masa
“m”, la cual actúa sobre un breve intervalo de tiempo (∆t). Esta fuerza causa que el
balón se acelere y que su velocidad cambie desde el reposo (Vi = 0), hasta una
velocidad final VF. Utilizando la segunda ley de Newton es:
F ∆t = m ( VF -Vi )
F ∆t: se le denomina impulso (I), es una cantidad vectorial que resulta al multiplicar la
fuerza media que se ejerce sobre un cuerpo por el intervalo de tiempo en el que actúa.
Su dirección y sentido es de la fuerza media y su unidad de medida es N. s .
m ( VF -Vi ): Se le denomina cambio en el momento (∆ P) y es una cantidad vectorial
que resulta al multiplicar la masa del cuerpo por el cambio de velocidad. Su dirección
y sentido es la del cambio de velocidad y su unidad de medida es kg(m/s) = N . s .
Cuando una partícula de masa “m” posee velocidad V decimos que su momento P es:
P = mV. Por ser el momento un vector, puede ser expresado en función de sus
componentes cartesianos así, P = Px + Py + Pz
Donde Px = m Vx; Py = m Vy; Pz = m Vz
Podemos escribir I = ∆P;
final e inicial.
I = PF -Pi . En donde PF -Pi representan el momento
Ejemplo: Un automóvil de 2 000 kg viaja en línea recta a 100,0 km/h, si en 4,00 s
reduce su rapidez a 80,0 km/h, determine:
1. La fuerza media que tarda su rapidez.
F = m ( VF -Vi )
∆t
F = (2 000)( 22,2 – 27,8 ) = -2,80 x 103 N
4,00
El signo negativo de la fuerza media indica que su sentido es contrario al movimiento
del automóvil.
2. La aceleración media que retarda su rapidez.
a = F = - 2,80 x 103 N = -1,40 m/s2
m
2 000
3. La distancia que recorre en los 4,00 s.
d = Vit + ½ a t2
d = (27,78)(4,00) + ½ (-1,40)(1,00)2 = 99 m
4.2. Conservación del momento
El principio de conservación del momento y se expresa así: si sobre un cuerpo no
actúan fuerzas o si la suma vectorial de las fuerzas que actúan es cero, el movimiento
del cuerpo permanecerá constante.
La suma de los momentos antes de la colisión, son iguales a la suma de los momentos
después de la colisión.
Ejemplo: Un rifle de 3,00 kg dispara una bala de 20,0 g a una rapidez de 500 m/s. Si
el rifle no está apoyado sobre el hombro, ¿cuál es la rapidez con que el rifle golpea el
hombro?
La conversación del momento establece que:
mRifle VRifle, I + mBala VBala, I = mRifle VRifle, F + mBala VBala, F
Como inicialmente el rifle y la bala están en reposo,
0 = mRifle VRifle, F + mBala VBala, F
VRifle, F = - mBala VBala, F
= -(0,020)(500)
= -3.33 m/s
mRifle
3,00
El signo negativo indica que el rifle se mueve en sentido opuesto a la bala.
5. Ley de la gravitación universal
Los trabajos de Copérnico, Galileo y Kepler fueron las bases sobre la cual se erigió la Teoría
de la Gravitación Universal de Newton. Él dedujo que la fuerza de atracción gravitatoria
entre los cuerpos (FG) es proporcional a sus masas (m1 y m2) e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia de separación entre los cuerpos (r12), es decir:
FG = G m1 m2 El valor de G es constante G = 6,673 x 10-11 N m2/kg2.
r212
El valor de G fue determinado por el físico británico Henry Cavendish, utilizando una
balanza de torsión.
PRÁCTICA
1. Una masa de 2 kg recibe la acción de una fuerza de 8 N. encuentre la aceleración.
2. Una fuerza resultante de 10 N produce una aceleración de 5 m/s2. ¿Cuál es la masa del
objeto que se acelera? ¿Cuál es su peso?
3.
¿Qué fuerza resultante es necesaria para dar a un martillo de 4 kg una aceleración de 6 m/s2?
4. Encuéntrese el peso de un cuerpo cuya masa es de 8 kg
5. Encuéntrese la masa de un cuerpo cuyo peso es de 40 N
6. Un bloque, cuya masa es de 20 kg, posee una aceleración de 4,5 m/s 2. ¿Cuál es el valor de la
resultante de las fuerzas?
7. Una fuerza horizontal de 100 N arrastra un bloque de 8,00 kg horizontalmente a lo largo
del suelo. Si µc entre el bloque y el suelo es de 0,2, encontrar la aceleración del bloque.
8. Una carga de 15,0 N cuelga del extremo de una cuerda. Encontrar su aceleración si la
tensión de la cuerda es de: a) 15,0 N b) 25,0 N
9.
Una masa de 10,0 kg se levanta mediante un cable ligero. ¿Cuál es la tensión en el cable
si la aceleración es de: a) 0 m/s2; b)6 m/s2
10. Un cordel ligero que pasa por una polea sin fricción está atado en sus extremos a dos
masas m1 y m2. ¿Cuáles serán la aceleración del sistema y la tensión en el cordel sí
m1=12,0 kg y m2 =10,0 Kg
11. Un bloque recubierto por una capa de teflón de masa igual a 1,00 kg se lanza sobre una
superficie horizontal de madera a una rapidez inicial de 4,00m/s. Debido a la fuerza de
fricción por desplazamiento el bloque se detiene después de haber recorrido 15,0 m.
Determina:
a. La aceleración del movimiento.
b. El coeficiente de fricción cinético.
c. El tiempo que dura el bloque en movimiento
d. Si se desea que el cuerpo tenga una rapidez de 7,00 m/s después de haber
recorrido 15,0 m, ¿qué fuerza adicional se le debe aplicar al bloque?
12. A un bloque de madera de masa m = 10,0 kg se le aplica una fuerza F = 40,0 N haciendo
un ángulo de inclinación de 30,0º con la horizontal. Si la superficie sobre la que descansa el
bloque es de madera, determina:
a. El valor de la normal
b. El valor de la fuerza de fricción cinética.
c. La aceleración del bloque de madera
13. Un cuerpo de 1,00 kg está situado sobre un plano inclinado de 37,0º de inclinación. Si el
coeficiente de fricción estática máximo entre la superficie y el plano y el cuerpo es de
0,700 y el coeficiente de fricción cinético es de 0,600
a. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
b. ¿Cuál es el valor de la componente del peso que empuja al cuerpo hacia la parte
de abajo del plano inclinado?
c. ¿Cuál es el valor de la normal?
d. Determina el valor de la fuerza de fricción estática máxima.
e. ¿Se moverá el cuerpo hacia abajo?
f. ¿Qué distancia ha recorrido el cuerpo al cabo de 2,00 s?
14. Un rifle de 2,5 0 kg dispara una bala de15,0 g a una rapidez de 400 m/s. Si el rifle
no está apoyado sobre el hombro, ¿cuál es la rapidez con que el rifle golpea el
hombro?