LOGICA DE ENUNCIADOS

LOGICA DE ENUNCIADOS
La lógica de enunciados o proposicional es la parte más elemental de la lógica, y estudia la
formalización, composición y leyes de deducción de los enunciados. Así deben distinguirse:
- Los enunciados a componer, que se toman como un todo, sin analizar la estructura interna
- Los símbolos primitivos: variables de enunciado y nexos o conectores.
- Reglas de derivación
1.- Formalización de enunciados:
Formalizar consiste en traducir las expresiones del lenguaje ordinario a un lenguaje formal o
simbólico. Para ello se sustituyen los enunciados del lenguaje por variables de enunciado y nexos o
partículas que enlazan los enunciados por símbolos lógicos.
Enunciado, juicio, proposición, frase, oración, es cualquier segmento lingüístico del que podamos
decir que es verdadero o falso.
Los enunciados se dividen en atómicos (no llevan ningún nexo o conector) y moleculares
(compuestas por enunciados atómicos y enlazados por algún nexo)
El Turia es un río
La catedral de León es Gótica
El mosquito Anófeles propaga el paludismo
atómicos
Si luce el sol, iremos a la playa
Antón y Marina son hermanos de Juan
Tengo sed y tengo frio
moleculares
1.1 Variables de enunciado:
Para simplificar la enorme complejidad del lenguaje ordinario la lógica (igual que la física, la
química o la matemática) sustituye los enunciados atómicos por una variable de enunciado.
Normalmente se conviene en usar: p, q, r, s t, u, w. (x, y, z y a, b, c, d, e, se reservan para otro tipo
de variables) Ejemplos:
Machado es poeta p
Las rosas son rojas q
Joan miró nació en Barcelona r
1.2 Conectores:
Son los símbolos lógicos que representan las partículas que, exceptuando el negador, unen los
enunciados atómicos dando lugar así a enunciados moleculares. Estos signos suelen llamarse
conectores, conectivas o juntores.
Son los siguientes:
NEGADOR: signo que representa la partícula “no” del lenguaje ordinario. Expresiones como “ni”,
“no es cierto que”, No es el caso que”, es falso que” o a veces en prefijos: “impreciso” es no
preciso,” inmortal” es no mortal
p p
V F
F V
Definición del negador: Si un enunciado es verdadero su negación es falsa
CONJUNTOR: signo que representa la partícula “y” del lenguaje ordinario o cualquier otra que
encierre la idea de conjunción:”aunque”, “pero”, sin embargo” “además”. Para representar la
conjunción utilizamos el signo ᴧ.
Definición del conjuntor: una conjunción es verdadera cuando sus dos componentes son verdaderos,
falsa en los demás casos.
p
q
pᴧq
V V
V
V F
F
F
V
F
F
F
F
DISYUNTOR: signo que representa la partícula “o” del lenguaje ordinario o cualquier otra que
encierre la idea de disyunción. Para representar la disyunción empleamos el signo V.
Definición del disyuntor: una disyunción es falsa cuando sus dos términos son falsos, verdadera en
los demás casos.
p
q
pVq
V V
V
V F
V
F
V
V
F
F
F
IMPLICADOR: Es el signo que representa las partículas “si.... entonces” del lenguaje ordinario o
cualesquiera otras que encierren la idea de condición, tales como sólo si... entonces”, “cuando....
entonces”, etc. Para representar la implicación emplearemos el signo “→”. En la formalización de
enunciados la partícula “si” introduce el antecedente, mientras que la partícula “entonces” (que a
veces puede ir elíptica, es decir, no aparecer) introduce el consecuente. Así, en un enunciado como
“si acierto una quiniela, me haré rico”, “acierto una quiniela” (p) es el antecedente, y es condición
suficiente, que no necesaria, de que se dé “me haré rico” (q), que se convierte de esta manera en el
consecuente; es decir, si se da el antecedente debe darse el consecuente; pero el consecuente puede
darse aunque no se dé el antecedente: yo puedo hacerme rico sin que haya acertado una quiniela,
por ejemplo por una herencia, o por la lotería etc.
Se formalizaría así: p → q
“Condición suficiente” quiere decir que exista al menos un caso posible de que me pueda hacer
rico si me toca la quiniela, “condición necesaria” quiere decir que sólo me haré rico si acierto la
quiniela, es decir que para que se de el consecuente tiene necesariamente que darse el antecedente.
Cuando a la partícula “si” se le antepone la partícula “sólo”: “sólo si” en tal caso se invierte el
orden:
“sólo si acierto la quiniela me haré rico” se formalizaría así: q → p
Definición de implicador: Una implicación es falsa cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente falso, y verdadera en todos los demás casos, Sus valores de verdad son:
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
COIMPLICADOR: Es el signo que representa la partícula “si y sólo si” del lenguaje ordinario o
cualquier otra que encierre la idea de una doble condición tal como “equivale a”, “cuando y
solamente cuando” etc.
Para representar la coimplicación emplearemos el signo “↔”. Mediante el coimplicador se pretende
poner de manifiesto que un enunciado es condición suficiente y a la vez necesaria para otro. De esta
manera en un enunciado tal como “si y sólo si acierto una quiniela me haré rico “ocurre lo
siguiente:
La partícula “si”, decíamos que introduce el antecedente de una implicación, por tanto “p→q”
La partícula “sólo si” invertía el orden, por tanto “q→p”
Y la partícula “y”, la conjunción de ambos condicionales, por tanto (p→q) ᴧ (q→p), o mejor
representado:
p↔q
Definición de coimplicador: Una coimplicación es verdadera si y sólo si ambos miembros tienen
el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario.
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
1.3 Alcance de los conectores y uso de los paréntesis.
Cuando formalizamos enunciados atómicos, no es necesario usar paréntesis porque la conexión
entre enunciados es clara, pero puede darse el caso de que los enunciados enlacen un enunciado
molecular con uno atómico, dos enunciados moleculares, o incluso, varios enunciados moleculares.
En estos casos hace falta saber qué enunciados se enlazan, es decir, cuál es el alcance o dominio de
los conectores. Ejemplos:
“Si el abono es adecuado y el riego se realiza en su momento, la cosecha será excelente.”
pɅq→r
“Si tenemos la mañana libre y hace buen tiempo, entonces no es cierto que nos quedemos en casa o
veamos el programa de televisión”
pɅq→rvs
Esta formalización es ambigua, no sabemos qué implica qué y además es incorrecta. Para evitar
estos errores hace falta recurrir a los paréntesis.
A) En el primer ejemplo el primer enlace se realiza entre los enunciados “el abono es adecuado” y
“el riego se realiza en su momento” que se enlazan mediante una conjunción. Por tanto p Ʌ q.
B) este enunciado molecular se enlaza ahora con uno atómico, “la cosecha será excelente”, cuyo
enlace es una implicación. Por tanto, la formalización sería (p Ʌ q) → r
En el segundo ejemplo:
A) el primer enlace se realiza entre los enunciados “tenemos la mañana libre” y “hace buen
tiempo”. Al ser una conjunción, su formalización sería p Ʌ q. Pero luego, y a un mismo nivel,
también hay enlazados otros dos enunciados atómicos, “nos quedemos en casa y “veamos el
programa de televisión”, unidos por una disyunción; por tanto, su formalización sería r v s.
B) El segundo de los enunciados aparece negado, por tanto la negación alcanza todo el enunciado y
se formaliza así (r v s).
C)Observemos ahora que el primer enunciado molecular viene precedido todo él de “si”, y, por
tanto, es el antecedente de una implicación, y que la negación del segundo enunciado molecular
viene precedida de “entonces”, lo cual la convierte en el consecuente de dicha implicación, de esta
manera obtenemos (p Ʌ q) → (r v s).
El uso adecuado de los paréntesis nos permite poner de manifiesto cuál o cuáles son los conectores
que, en la formalización de distintos enunciados, dominan sobre otros, evitando así cualquier
ambigüedad o incorrección.
El uso de los paréntesis en lógica se rige por las mismas reglas que en matemáticas. No obstante en
ocasiones se adoptan determinadas convenciones para evitar el uso exagerado de paréntesis, pero no
es necesario que tratemos esto en el curso.
1.4 Formalización
La traducción del lenguaje ordinario al lenguaje lógico no es una cosa mecánica. No hay una regla
que nos indique automáticamente cómo debe efectuarse la traducción, sino que hay que confiar en
algunas reglas generales, que ya hemos visto, y sobre todo en la pericia, imaginación y
conocimiento de ambos lenguajes por parte del lógico. Ni a cada conector le corresponde una y sólo
una conjunción del lenguaje ordinario, ni a cada conjunción le corresponde un sólo conector.
Veamos ejemplos:
1) los animales, como las plantas son seres vivos.
p˄q
[Los animales son seres vivos (p) y las plantas son seres vivos (q)]
2) Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección
q→p
[si tienen la misma dirección (q) entonces dos rectas son paralelas (p)]
3) El hidróxido de aluminio es maleable y, a igualdad de peso, mejor conductor de la
electricidad que el cobre.
p˄(q→r)
[El hidróxido de aluminio es maleable (p) y si tiene igual peso que el cobre (q), entonces es mejor
conductor que éste (r)]
4) En no habiendo armas , no habrá hambre
p→q
Haber armas …....p
Haber hambre.......q
[Si no hay armas entonces no hay hambre]
5) Lloraré a menos que me apruebes
Lloraré..................p
Me apruebes.........q
[Si no me apruebas entonces lloraré]
ó
[O me apruebas o lloro]
p→q
p vq
6) El camino es largo o corto
el camino es largo …......................p
el camino es corto ( no es largo)... .p
pvp
Usaremos la negación siempre que aparezca en el enunciado y, como en este último caso, cuando el
segundo enunciado sea necesariamente lo contrario del primero.
1.5 Deducción
Todas las ciencias están compuestas en última instancia por juicios, y habíamos dicho que un juicio
es una proposición o enunciado susceptible de ser verdadero o falso. Los juicios a su vez, se unen
formando razonamientos. Un razonamiento es un proceso en el que, a partir de unas premisas o
enunciados, se obtiene por inferencia una conclusión. La lógica, en su aspecto deductivo, posee
unos mecanismos por medio de los cuales es capaz de determinar si el razonamiento es válido o no;
es decir, si de la unión de los términos de las premisas se puede concluir lógicamente la conclusión.
Para construir una deducción formal procedemos de la siguiente manera:
Escribimos primero los supuestos iniciales o premisas designándolos con una línea horizontal a la
izquierda del número correspondiente teniendo en cuenta que su orden de colocación es indiferente.
La conclusión se escribe en la parte derecha de la línea correspondiente al último supuesto
utilizando el símbolo “˫” denominado deductor y que se lee “por tanto”.
Ejemplo: (p ˄ t) → (r ˄ s), q → t, q ˄ w, luego p→ s
 1 (p ˄ t) → (r ˄ s)
 2 q→t
 3 q˄w
˫ p→ s
Después, inferiremos, si es posible, nuevas líneas enfocadas a la obtención de la conclusión,
aplicando las reglas de inferencia a las premisas iniciales. Para indicar las reglas de inferencia
aplicadas colocamos a la derecha de la línea pertinente la abreviatura de la regla seguida del
número o números de la línea o líneas de derivación precedentes en las que nos hayamos apoyado al
aplicar la regla. Así tendríamos:
 1 (p ˄ t) → (r ˄ s)
 2 q→t
 3 q˄w
4 q
5 t
˫ p→ s
Simp¹ 3
MP 2,4
En caso de que no se pudieran aplicar las reglas de inferencia sobre premisas iníciales, o si, como en
el presente ejemplo, una vez aplicadas no se hubiera obtenido la conclusión, entonces, y con miras a
esta, se introducen los supuestos subsidiarios necesarios, que deberán ser cancelados y se continúa
aplicando las reglas de inferencia hasta obtener la conclusión deseada:
 1 (p ˄ t) → (r ˄ s)
 2 q→t
 3 q˄w
4 q
5 t
6 p
7 p˄t
8 r˄s
9 s
10 p→ s
˫ p→ s
Simp¹ 3
MP 2,4
Prod 6,5
MP 1,7
Simp² 8
TD 6-9
Para designar los supuestos subsidiarios utilizaremos un corchete colocado a la parte izquierda, que
comienza con la línea donde se introduce el supuesto subsidiario y termina en la línea donde se
cancela dicho supuesto.
Hay que tener en cuenta que cuando se introducen dos o más supuestos subsidiarios, los corchetes
de cancelación no deben interferirse:
SI
SI
NO
NO
Puede ocurrir que se nos pida obtener una conclusión sin que para ello dispongamos de premisas.
En tal caso debemos comenzar por introducir cuantos supuestos subsidiarios sean necesarios para
obtener la conclusión, debiendo ser cancelados correctamente. Así:
├ p → (q → p ˄ q)
1p
2q
3p˄q
Prod 1,2
4q→p˄q
TD 2,3
5 p → (q → p ˄ q) TD 1,4
Observa que se debe suponer en el orden de la conclusión, primero “p” después “q” e ir cancelando
en la medida en que van apareciendo en la conclusión “q” cuando implica “ p ˄ q” y “p” cuando
implica “q → p ˄ q”.
Reglas básicas:
Las reglas básicas son de dos tipos: Reglas de introducción y reglas de eliminación. Como los
conectores principales son cuatro (˄,v,→,↔) y hay dos reglas por conector, una para introducirlo y
otra para eliminarlo tenemos un total de ocho reglas básicas que son las siguientes:
a) Reglas básicas de implicación:
1. Modus Ponens (MP)
A→B
A
B
Esta regla nos permite eliminar una implicación: si en una línea de una derivación contamos con
una implicación, A→B, y en otra línea tenemos el antecedente, A, de dicha implicación, entonces
podemos escribir en una nueba línea su consecuente, B.
2. Teorema de Deducción (TD)
A
.
.
.
B
A→B
Esta regla nos permite introducir el implicador, y nos dice que si en una línea de una derivación
introducimos un supuesto, A, del que derivamos la conclusión B en otra línea, entonces podemos
escribir A→B en una nueva línea.
b) Reglas básicas de la conjunción:
3. Simplificación (Simp)
A˄B
A
(Simp¹)
A ˄ B (Simp²)
B
Esta regla nos permite eliminar el conjuntor: si en una línea de una derivación tenemos una
conjunción de dos enunciados, A ˄ B, podemos escribir cualquiera de sus miembros en una nueva
línea.
4. Producto ( Prod.)
A
B
A˄B
Esta regla permite introducir el conjuntor: si en una línea de una derivación tenemos un enunciado,
A, y en otra línea tenemos un enunciado, B, entonces podemos escribir su conjunción, A ˄ B, en
una nueva línea.
c) Reglas básicas de disyunción:
5. Adición (Ad)
A
Av B
A
BvA
Esta regla nos permite introducir el disyuntor, y nos dice que si en una línea de una derivación,
tenemos un enunciado, A, entonces podemos escribir en una nueva línea dicho enunciado unido
mediante el disyuntor a otro enunciado cualquiera, así A v B.
6. Prueba por casos (Cas): A v B
A
.
.
C
B
.
.
C
C
Esta regla nos permite eliminar el disyuntor, y nos dice que si en una línea de una derivación
tenemos una disyunción, A v B, y en otra línea introducimos el supuesto A, primer miembro de la
disyunción, del que se sigue la conclusión C, y en otra línea introducimos el supuesto B, segundo
miembro de la disyunción, del que se sigue la misma conclusión C, entonces podemos escribir C en
una nueva línea.
7. Doble negación (DN):
A
A
Esta regla permite eliminar el negador, y nos dice que si en una línea de una derivación tenemos un
enunciado con doble negación, entonces podemos escribir en una nueva línea el mismo enunciado
afirmado.
8. Reducción al absurdo (Abs)
A
B˄B
A
Esta regla permite introducir el negador, y nos dice que si en una línea de una derivación
introducimos un supuesto A, y a partir del él obtenemos como conclusión una contradicción B ˄ B
en otra línea, entonces podemos escribir la negación de dicho supuesto, A, en una nueva línea.