LOS NÚMEROS NATURALES

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LOS NÚMEROS NATURALES
1.
INTRODUCCIÓN
Número (matemáticas), palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o
entidades que se comportan como cantidades.
Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a
la anterior y es más completa que ella y con mayores posibilidades en sus
operaciones. Estos se enumeran a continuación.
2.
NÚMEROS NATURALES
Son los que sirven para contar y sus elementos del conjunto son:
N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}
Hay infinitos. Se pueden sumar y multiplicar y con ambas operaciones el resultado
es, en todos los casos otro número natural. Sin embargo, no siempre pueden
restarse ni dividirse (ni 3 - 7 ni 7: 4 son números naturales).
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES SOBRE UNA RECTA
Podemos representar sobre una recta los números naturales, para lo cual
elegimos la distancia entre el 1 y el 2, y la llevamos a lo largo de dicha recta hasta
alcanzar el número que deseemos representar.
A esa recta la llamamos la recta numérica.
Los números naturales forman un conjunto que representamos con la letra N.
Observa que en este conjunto N no se encuentran los números negativos: no
forman parte de los números naturales. Para poderlos incluir, tendremos que
ampliar el conjunto N y definir un nuevo conjunto, que es el conjunto de los
números enteros identificado como Z, cuyo conjunto es:
z = {…… -1,-2,-3,0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}
TAMBIEN SE PUEDE REPRESENTAR COMO UNA RECTA NUMERICA.
ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES
Un número natural es mayor que otro (lo que se indica con el símbolo >) si está
situado más a la derecha sobre la recta numérica.
Por ejemplo, 5 > 3, 12 > 7 y 15 > 11:
2
De la misma forma, un número natural es menor que otro (símbolo <) si está
situado más a la izquierda sobre la recta numérica.
Por ejemplo, con las mismas parejas de números anteriores, podemos escribir 3 <
5; 7 < 12 y 11 < 15:
Si quieres, puedes practicar ordenando los números naturales siguientes: 3, 1, 10,
5 y 7.
Los representamos sobre la recta numérica:
Si los escribimos de menor a mayor, resulta: 1 < 3 < 5 < 7 < 10
CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES: Q.
Es el conjunto formado por las expresiones de tipo fracciones, es decir, de la
forma a/b
CONJUNTO DE LOS NUMEROS DECIMALES: D.
Es el conjunto formado por el resultado de llevar a cabo la divisiòn de las
fracciones, por ejemplo:
½= 0,5 es una fracciòn finita. 1/3 = 0,3333….. fracciòn periòdica.
CONJUNTO DE LOS NUMEROS DECIMALES REALES: R.
Es el conjunto formado por todos los nùmeros pertenecientes a los conjuntos N,Z,
Q y D, es decir, todos ellos son subconjunto de R.
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES
Con los números naturales siempre podemos sumar y multiplicar.
Para poder restar dos números naturales, el primer número (que se llama
minuendo) ha de ser mayor que el segundo (que se llama sustraendo).
Para poder dividir dos números naturales, el primer número (que se llama
dividendo) ha de ser mayor que el segundo (que se llama divisor).
Sobre la recta numérica podemos representar la suma de dos números naturales.
Por ejemplo, 5 + 7 = 12:
A partir del punto que representa el 5, damos 7 saltos de una unidad hacia la
derecha, y llegamos hasta el punto que representa el número 12.
De la misma forma, podemos representar la resta de dos números naturales (con
minuendo mayor que sustraendo). Por ejemplo, 11 – 4 = 7:
3
A partir del punto que representa el número 11, damos 4 saltos de una unidad
hacia la izquierda, y llegamos hasta el punto que representa el número 7.
LA SUMA
En muchas ocasiones necesitamos añadir una cantidad a otra o juntar varias
cantidades de algo: tenemos que calcular el total o, lo que es lo mismo, tenemos
que sumar.
Cada número que se suma se llama sumando, y al resultado lo llamamos suma o
total. Para sumar dos o más números, debemos aprender primero a sumar cada
dos de las diez cifras con las que escribimos todos los números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
Así pues: a) 36 + 42 = 78 y b) 47 + 58 = 105.
Las sumas son: c) 16 + 9 + 35 = 60; d) 27 + 54 + 63 = 144; e) 105 + 347 + 529 =
981.
SUMA DE NÚMEROS DECIMALES
Para sumar dos o más números decimales seguimos los mismos pasos que para
sumar números naturales, añadiendo las cifras decimales.
Por ejemplo, vamos a realizar estas dos sumas: a) 36,3 + 42,5 y b) 47,6 + 58,5.
Así resulta: a) 36,3 + 42,5 = 78,8 y b) 47,6 + 58,5 = 106,1.
4
La suma es: g) 27,54 + 63,66 + 39,73 = 130,93 y h) 145,7 + 238,6 + 983,5 =
1.367,8.
LA RESTA
Si en un paquete de golosinas que hemos comprado entran cincuenta unidades, y
nos hemos comido siete, ¿cuántas quedan en el paquete? Si queremos parar
cuando lleguemos a quince, ¿cuántas más podemos comer?
Cuando necesitamos quitar una cantidad de otra mayor, o calcular cuánto nos falta
para alcanzar una cantidad, tenemos que restar. El minuendo, que es el primer
término de la resta, es la cantidad de la que se resta; el sustraendo, el segundo
término, es la cantidad que se resta, y la diferencia es el resultado de la
operación. A la resta también se le llama sustracción.
RESTA DE NÚMEROS NATURALES
Para restar dos números naturales seguimos estos pasos:
1. Comparamos ambos números, para asegurarnos de que el minuendo es mayor
que el sustraendo. En caso de que el sustraendo sea mayor, la resta no se puede
realizar.
2. Los escribimos uno debajo del otro, de manera que queden alineadas las cifras
de las unidades, las de las decenas, las de las centenas…, y trazamos una raya
horizontal debajo de ellos.
3. Efectuamos la resta de las unidades, de las decenas…, pudiendo resultar una
resta sin llevar o llevando una unidad de la cifra de las decenas, de las
centenas…Veámoslo con varios ejemplos.
Efectuemos primero una resta sin llevar: 97 – 54. Colocamos el sustraendo debajo
del minuendo, trazamos la raya y comenzamos restando las unidades:
Como la cifra de las unidades del minuendo (7) es mayor que la del sustraendo
(4), restamos sin más, escribimos la diferencia justo bajo las unidades y pasamos
a restar las decenas:
Al final, debemos escribir así el resultado: 97 – 54 = 43
Vamos a calcular ahora una resta en la que hay que llevar una unidad de la cifra
de las decenas a las unidades, por ejemplo, 63 – 45:
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Como la cifra de las unidades del sustraendo (5) es mayor que la del minuendo
(3), para poderlas restar hemos de pasar una de las decenas del minuendo (6) a
unidades.
Escribimos así el resultado: 63 – 45 = 18
Si quieres puedes practicar con estos otros dos ejemplos: 234 – 67; 1.004 – 9.
La primera resta, 234 – 67, se realiza llevando una unidad de la cifra de las
decenas y otra de la de las centenas. Como la cifra de las unidades del
sustraendo (7) es mayor que la del minuendo (4), para poderlas restar hemos de
pasar una de las decenas del minuendo (3) a unidades:
Como la cifra de las decenas del sustraendo (6) es mayor que la del minuendo (2),
para poderlas restar hemos de pasar una de las centenas del minuendo (2) a
decenas:
Como el sustraendo no tiene centenas, es como si efectuásemos la resta de 1 – 0
= 1.
El resultado entonces es: 234 – 67 = 167
La resta 1.004 – 9 se realiza llevando una unidad de la cifra de las decenas a
unidades, para lo cual hay que pasar a centenas una unidad de millar, una
centena a decenas, y por último, una decena a unidades:
Escribimos así el resultado: 1.004 – 9 = 995
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RESTA DE NÚMEROS DECIMALES
Para restar dos números decimales seguimos los mismos pasos que para restar
dos números naturales, añadiendo las cifras decimales. Así, escribiremos el
sustraendo debajo del minuendo, de manera que queden alineadas las cifras de
las milésimas, las de las centésimas, las de las décimas, las de las unidades…, y
efectuaremos la resta de las milésimas, centésimas, décimas, unidades…,
pudiendo resultar una resta sin llevar o llevando una unidad de cualquier orden.
Veámoslo con varios ejemplos.
Efectuamos estas dos restas sin llevar: 23,69 – 1,5 y 437,956 – 125,63.
Como el primer sustraendo no tiene centésimas y el minuendo sí, para restar
escribimos un cero en las centésimas del sustraendo. Como el segundo
sustraendo no tiene milésimas y el minuendo sí, para restar escribimos un cero en
las milésimas del sustraendo.
Comenzamos restando las cifras del primer orden que aparece en los términos de
cada resta: centésimas en la primera (9 – 0 = 9) y milésimas en la segunda (6 – 0
= 6):
Restamos ahora la segunda pareja de cifras:
Seguimos con las cifras del orden inmediato anterior, y así hasta las del orden
superior que aparezca (en este caso, decenas y centenas):
Al restar las unidades, hemos de escribir la coma a la derecha de la cifra que
resulta de diferencia.
Al final, debemos escribir así los resultados: 23,69 – 1,5 = 22,19 437,956 – 125,63
= 312,326
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Vamos a efectuar ahora una resta en la que hay que llevar una unidad de la cifra
de las centésimas a milésimas, por ejemplo: 2,354 – 0,237.
Como la cifra de las milésimas del sustraendo (7) es mayor que la del minuendo
(4), para poderlas restar hemos de pasar una de las centésimas del minuendo (5)
a milésimas. Como las restantes cifras del sustraendo son menores que las del
minuendo, las restamos sin llevar.
El resultado es: 2,354 – 0,237 = 2,117
Si quieres, puedes practicar con este otro ejemplo: 34,675 – 24,897, que se realiza
llevando una unidad de la cifra de las centésimas, de la cifra de las décimas, de la
cifra de las unidades y de la cifra de las decenas:
Escribimos así el resultado: 34,675 – 24,897 = 9,778
LA PRUEBA DE LA RESTA
Si una resta está bien hecha, al sumar el sustraendo más la diferencia nos debe
dar el minuendo.
Como ejemplo, hacemos la prueba a algunas de las restas anteriores:
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a) 97 – 54 = 43:
Como 43 + 54 = 97, que es el minuendo, la resta está bien hecha.
b) 234 - 67 = 167:
c) 23,69 – 1,5 = 22,19:
d) 2,354 – 0,237 = 2,117:
e) 34,675 – 24,897 = 9,778:
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LA MULTIPLICACIÓN
“He comprado 5 sobres de cromos, y en cada uno vienen 4 cromos. ¿Cuántos
cromos he comprado en total?” Podemos calcular el número de cromos de dos
maneras:
1. Sumando cuatro cinco veces,
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 8 + 4 + 4 + 4 = 12 + 4 + 4 = 16 + 4 = 20
2. Efectuando la multiplicación de cuatro por cinco, 4 × 5 = 20
Como ves, es más fácil y rápido hacer la multiplicación que la suma.
A los números que intervienen en una multiplicación los llamamos factores, y al
resultado, producto. También se le llama producto a la misma multiplicación.
LAS TABLAS DE MULTIPLICAR.
Para multiplicar dos o más números, primero has de aprender a multiplicar cada
cifra por las diez cifras que usamos para escribir todos los números.
Deberías memorizar estas multiplicaciones “básicas” para realizar con facilidad
otras más complicadas. Son las tablas de multiplicar.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Para multiplicar dos números naturales seguimos estos pasos:
1. Escribimos los factores uno debajo del otro, arriba el de más cifras, de manera
que queden alineados: las unidades con las unidades, las decenas con las
decenas…, y trazamos una raya horizontal por debajo de ellos.
2. Multiplicamos la cifra de las unidades del factor de abajo por cada una de las
cifras del factor de arriba, y en los casos en que el producto resulte 10 o mayor
que 10, nos llevamos la decena a sumársela al producto siguiente.
Por ejemplo, vamos a efectuar paso a paso los productos: a) 25 × 8 ; b) 329 × 7.
a)
Por tanto, 25 × 8 = 200.
10
3. Si el segundo factor tiene dos cifras, después de multiplicar por su cifra de las
unidades, pasamos a multiplicar por la de las decenas. Veámoslo con un ejemplo:
576 × 23.
Multiplicamos por la primera cifra, el 3, y a continuación por la segunda, el 2,
teniendo en cuenta que el primer resultado (2 × 6 = 12) se escribe debajo,
desplazado un lugar a la izquierda, en la columna de las decenas:
Al terminar de multiplicar por el 2, trazamos una raya horizontal y sumamos por
columnas:
11
El resultado es: 576 × 23 = 13.248.
4. Si el segundo factor tuviera más cifras, proseguiríamos la operación
multiplicando por su tercera cifra (la de las centenas), desplazando su primer
producto un lugar hacia la izquierda, y así sucesivamente. Al terminar de
multiplicar, sumaríamos por columnas. Veámoslo con este ejemplo: 937 × 856.
12
El resultado es: 937 × 856 = 802.072.
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5. En el caso de que en el segundo factor haya uno o más ceros intermedios
entre sus cifras, efectuamos la operación siguiendo los pasos anteriores, pero
cada vez que haya que multiplicar por uno de los ceros, se pasa a la siguiente
cifra, moviendo los resultados una posición más a la izquierda.
Veámoslo con un ejemplo; efectuamos la multiplicación 214 × 105:
Ahora habría que multiplicar por el 0, pero no lo hacemos: pasamos a multiplicar
por la siguiente cifra, el 1, y el primer resultado, 1 × 4 = 4, lo situamos una
columna más a la izquierda.
El resultado es: 214 × 105 = 22.470.
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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Para multiplicar un número decimal por un número natural, o por otro número
decimal, se siguen los mismos pasos que para multiplicar dos números naturales,
únicamente debemos tener en cuenta que el resultado será otro número decimal,
cuya coma hemos de colocar en el lugar que le corresponda.
Para multiplicar un decimal por un natural, elegimos como segundo factor el que
menos cifras tiene, independientemente de que sea el decimal o el natural, y
operamos como si fueran números naturales.
En el producto, contamos de derecha a izquierda tantas posiciones como cifras
decimales tenga el número decimal, y escribimos ahí la coma.
Veámoslo con un ejemplo; efectuamos la multiplicación 25,42 × 6:
Contamos el número de cifras decimales del primer factor: dos, y partiendo de la
última cifra del producto hacia la izquierda, contamos dos cifras y escribimos
delante de ellas la coma.
Para multiplicar un decimal por otro decimal, seguimos los mismos pasos que
en el caso anterior. Y para situar la coma en el producto, contamos el número de
cifras decimales de ambos factores, y los sumamos; a partir de la última cifra del
resultado contamos hacia la izquierda ese número de posiciones, y escribimos
delante la coma.
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Veámoslo con un ejemplo; efectuamos la multiplicación 67,4 × 4,35:
Como el primer factor tiene 1 cifra decimal y el segundo 2, habrá que contar 1 + 2
= 3 posiciones a partir de la cifra más a la derecha del resultado.
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Por tanto: 67,4 × 4,35 = 293,190.
LA DIVISIÓN
Entre seis amigos hemos comprado treinta y ocho caramelos, que ahora
queremos repartir en partes iguales. Si empezamos a repartir uno a uno, ¿cuántos
caramelos tendremos al final cada uno de los seis amigos? ¿Sobrará algún
caramelo? ¿Se te ocurre otra forma de hacer el reparto que no sea ir dando uno a
uno?
LOS TÉRMINOS DE LA DIVISIÓN
Para efectuar repartos en partes iguales de una cantidad entre otra, efectuamos
una operación llamada división. Los términos o componentes de una división son:
El dividendo es la cantidad que se reparte. El divisor son las partes entre las que
se reparte el dividendo. El cociente es la cantidad que le corresponde a cada
parte del dividendo. El resto es la cantidad que sobra tras el reparto, y que es
siempre menor que el divisor.
Cuando el resto es cero, decimos que la división es exacta. En este caso
podemos escribir la división en una línea horizontal, usando el símbolo “:” entre el
dividendo y el divisor. Por ejemplo, 6 : 2 = 3.
Cuando el resto es distinto de cero, decimos que la división es entera o inexacta.
Si escribimos la división en horizontal, con el símbolo “:”, hemos de añadir tras el
cociente que el “resto es igual a...” Por ejemplo, 7 : 2 = 3 y resto = 1.
En el caso del reparto de caramelos, si dividimos 38 (que es el dividendo) entre 6
(que es el divisor), a cada amigo le corresponden 6 (que es el cociente) y sobran 2
(que es el resto) caramelos: 38 : 6 = 6, resto = 2
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DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Para dividir un número natural entre otro, por ejemplo 285 entre 15, se siguen
unos pasos que vemos a continuación.
1. Nos fijamos en cuántas cifras tiene el divisor: dos. Tomamos entonces del
dividendo tantas cifras como tiene el divisor, empezando desde la cifra que está
más a la izquierda, en este caso la de las centenas; el número formado es 28.
2. Comparamos ese número (28) con el divisor (15). Como 28 > 15, podemos
dividir 28 entre 15, y para ello buscamos un número que multiplicado por 15 dé 28
o un número menor, pero el más próximo a él. Como 15 × 2 = 30, el número
buscado es 1 (se suele decir “cabe a 1”), y lo escribimos en el cociente. Hacemos
la multiplicación 1 × 15 = 15, y escribimos el producto bajo el dividendo:
3. Efectuamos la resta (28 – 15 = 13), y bajamos a continuación la siguiente cifra
del dividendo, en este caso la de las unidades (5):
4. Ahora dividimos el número formado (135) entre el divisor (15); operamos igual
que en el paso 2: como 15 × 8 = 120 y 15 × 9 = 135, el número buscado es el 9, y
lo colocamos en el cociente, a continuación del 1. Efectuamos la multiplicación 15
× 9 = 135, y escribimos el producto debajo del nuevo dividendo, y restamos:
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Ya hemos dividido 285 entre 15, el resultado es 19, y vemos también que la
división es exacta porque el resto = 0.
Veamos ahora otro ejemplo, 367 entre 41, en el que el divisor también tiene dos
cifras (41), pero al tomar las dos cifras correspondientes del dividendo (36)
observamos que el número formado es menor que el divisor: 36 < 41.
Como no podemos dividir, hemos de tomar la siguiente cifra del dividendo (7):
Efectuamos la división, para lo cual probamos multiplicando 41 × 8 = 328 y 41 × 9
= 369, que es mayor que el dividendo, 367. Así pues, colocamos el 8 en el
cociente, escribimos el producto (328) bajo el dividendo y restamos.
Como el resto = 39, que es distinto de cero, la división es inexacta o entera.
En una división en la que el divisor tuviera 3 cifras o más, el proceso sería similar,
teniendo en cuenta únicamente que para empezar a dividir hay que tomar del
dividendo las cifras necesarias para tener un número igual o mayor que el divisor.
Verás que, en la práctica, las restas que se efectúan en las divisiones se realizan
mentalmente, de forma que, por ejemplo, esta última división se expresaría:
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DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
En una división de números decimales puede suceder que solo el dividendo o el
divisor sea un número decimal, o que ambos sean números decimales. Veamos
algunos ejemplos.
El dividendo es un número decimal: en este caso, se efectúa la división de la
parte entera del dividendo, hasta que, al bajar la primera cifra decimal, se escribe
una coma en el cociente.
Por ejemplo, dividimos 12,5 entre 3:
Al bajar la cifra de las décimas del dividendo (5), y dividir entre el divisor,
escribimos la coma en el cociente.
En el caso de dividir, por ejemplo, 0,7 entre 5, como la primera cifra del dividendo
que podemos dividir entre el divisor es la de las décimas (7), la primera cifra del
cociente será también la de las décimas. Por eso tenemos que poner cero
unidades y la coma (0,):
El divisor es un número decimal: en este caso, antes de empezar a dividir,
hemos de quitar la coma del divisor y añadir en el dividendo tantos ceros como
cifras decimales tenga el divisor. Así quedan dos números naturales, que
dividimos normalmente, como ya sabemos.
Por ejemplo, para dividir 36 entre 1,2:
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Suprimimos la coma del divisor, y como éste tiene una cifra decimal, le añadimos
un cero al dividendo. A continuación dividimos los dos números naturales que
resultan (360 entre 12). Observa que hemos puesto un cero en el cociente porque
la cantidad que teníamos que dividir (0) era más pequeña que el divisor.
En el caso de que el divisor tuviera dos decimales, por ejemplo 12 entre 0,03:
Suprimimos igualmente la coma del divisor y le añadimos dos ceros al dividendo.
A continuación dividimos los dos números naturales que resultan (1.200 entre 3).
El dividendo y el divisor son números decimales: en este caso, antes de
empezar a dividir, hemos de quitar la coma del divisor y mover la coma del
dividendo tantas posiciones hacia la derecha como cifras decimales tenga el
divisor. Si el dividendo tiene menos cifras decimales que el divisor, habrá que
completarlas con ceros.
Por ejemplo, veamos cómo dividir 0,85 entre 0,005. Quitamos la coma del divisor,
que tiene tres cifras decimales. Como el dividendo solo tiene dos, además de
quitarle la coma, hemos de añadirle un cero. Así resulta una división entre dos
números naturales:
En el caso de que el dividendo tenga más cifras decimales que el divisor, por
ejemplo 28,35 entre 6,3:
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Como el divisor tiene una cifra decimal, tras quitarle la coma, movemos la coma
del dividendo una posición. Como el dividendo tiene dos cifras decimales, queda
solo con una. Dividimos sabiendo que al bajar la cifra de las décimas hemos de
colocar una coma en el cociente.
LA PRUEBA DE LA DIVISIÓN
Si una división está bien hecha se debe cumplir que: Dividendo = divisor ×
cociente + resto
Si la división es exacta, entonces, como el resto es cero, debe cumplirse que:
Dividendo = divisor × cociente
Como ejemplo, podemos hacer la prueba a algunas de las divisiones anteriores.
Al dividir 285 entre 15 obteníamos: cociente = 19 y resto = 0. Multiplicando divisor
por cociente: 15 × 19 = 285 = dividendo
es decir, la división está bien hecha.
En la división 367 : 41 obteníamos 8 de cociente y 39 de resto. Multiplicamos
divisor por cociente, 41 × 8 = 328, y le sumamos el resto: 328 + 39 = 367 =
dividendo
luego, la división está bien hecha.
Al dividir 12,5 entre 3 obteníamos: cociente = 4,1 y resto = 0,2.
Multiplicamos divisor por cociente, 3 × 4,1 = 12,3, y le sumamos el resto: 12,3 +
0,2 = 12,5 = dividendo.
Comprobamos así que esta división también está bien hecha.
POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES
En la planta baja de mi colegio hay seis clases, y en cada clase las mesas están
ordenadas en seis filas con seis mesas en cada fila. Si mi colegio tiene seis
plantas iguales, ¿cuántas mesas hay en total en el colegio? La respuesta es 6 × 6
× 6 × 6 = 1.296 mesas.
Podemos expresar esta multiplicación de una forma más breve, que llamamos
potencia: 6 × 6 × 6 × 6 = 64
22
¿QUÉ ES UNA POTENCIA?
Una potencia es la manera abreviada en la que escribimos una multiplicación en la
que todos sus factores son iguales.
Se llama base al factor que se repite en la multiplicación y exponente al número
de veces que se debe multiplicar por sí misma la base. Por ejemplo:
Que se leería “cinco elevado a dos” o “cinco al cuadrado”. Si el exponente fuera
un 3, sería: 53 = 5 × 5 × 5 = 125y se leería “cinco elevado a tres“ o “cinco al
cubo”.
Elevar un número al cuadrado es lo mismo que multiplicar ese número por sí
mismo. Los cuadrados de los quince primeros números naturales son:
Elevar cualquier número al cubo es lo mismo que multiplicar por sí mismo tres
veces ese número. Los cubos de los diez primeros números naturales son:
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Potencias con exponente mayor que 3, por ejemplo 4, 5, 6…, se leen: “a la
cuarta”, “a la quinta”, “a la sexta”…
Si quieres, puedes practicar con los siguientes ejemplos:
Algunas potencias de números naturales
Potencia Base Exponente Se lee...
Y vale...
72
7
2
Siete al cuadrado 7 x 7 = 49
43
4
3
Cuatro al cubo
4 x 4 x 4 = 64
24
2
4
Dos a la cuarta
2 x 2 x 2 x 2 = 16
65
6
5
Seis a la quinta
6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7.776
16
1
6
Uno a la sexta
1x1x1x1x1x1=1
37
3
7
Tres a la séptima 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2.187
POTENCIAS DE BASE 10
Para escribir números grandes de forma abreviada usamos las potencias de
base 10, que son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indica el
exponente. Así,
 El número cien: 100 = 10 × 10 = 102
 El número mil: 1.000 = 10 × 10 × 10 = 103
 El número diez mil: 10.000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 4
 El número cien mil: 100.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105
 El número un millón: 1.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10 6
 El número diez millones: 10.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 =
107 ,y así sucesivamente.
Por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol, que es de unos 150.000.000 km, la
podemos escribir como 15 × 107 km.
24
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUMA DE POTENCIAS DE BASE 10
Podemos descomponer cualquier número natural como suma de los productos
de cada una de sus cifras por la potencia de base 10 que corresponde al orden de
unidad que ocupa cada cifra.
Fijándonos en la tabla, en la que aparecen los seis primeros órdenes de unidades,
vamos a descomponer, por ejemplo, los números: a) 608.912, y b) 45.768.
a) 608.912 = 6 CM + 0 DM + 8 UM + 9 C + 1 D + 2 U
608.912 = 600.000 + 0 + 8.000 + 900 + 10 + 2 = 6 × 100.000 + 8 × 1.000 + 9 × 100
+ 1 × 10 + 2 = 6 × 105 + 8 × 103 + 9 × 102 + 1 × 10 + 2
b) 45.768 = 4 DM + 5 UM + 7 C + 6 D + 8 U
45.768 = 4 × 10.000 + 5 × 1.000 + 7 × 100 + 6 × 10 + 8 = 4 × 10 4 + 5 × 103 + 7 ×
102 + 6 × 10 + 8
Órdenes de unidades
Centena
millar
1
CM
100.000 U
105 U
de Decena
millar
= 1
DM
= 10.000 U
104 U
de Unidad
millar
de
Centena
Decena
Unidad
= 1 UM = 1.000 1 C = 100 U 1 D = 10 1U
= U = 103 U
= 102 U
U
RAÍCES CUADRADAS DE NÚMEROS NATURALES
La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado da el
primero.
La raíz cuadrada de 25 es 5 porque 52 = 5 × 5 = 25. Se escribe así:
Donde
es el símbolo de la raíz, el radical, 25 es el radicando y 5 es la raíz
cuadrada, el dos se sobreentiende y es el ìndice de la raìz..
RAÍZ CUADRADA EXACTA
Calcular la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.
Veámoslo para los 12 primeros números naturales:
25
Las raíces cuadradas de los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y
144, son exactas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, respectivamente. A los
números cuya raíz cuadrada es exacta se les llama cuadrados perfectos. En
nuestro caso, 1, 4, 9, 16…, son cuadrados perfectos.
RAÍZ CUADRADA APROXIMADA
Cuando el número del que queremos hallar su raíz cuadrada no es un cuadrado
perfecto, podemos calcular entre qué dos números naturales va a estar
comprendida su raíz cuadrada. Para ello buscamos los dos cuadrados perfectos
entre los que está comprendido el radicando.
Veámoslo con varios ejemplos.
1. Hallamos la
Probamos con varios cuadrados perfectos que sean menores que 20:
32 = 9 y 9 < 20
42 = 16 y 16 < 20
52 = 25 y 25 > 20
Por tanto, como 16 < 20 < 25:
La raíz cuadrada de 20 será un número decimal comprendido entre 4 y 5.
Es decir, 4,472135………
26
2. Hallamos la
Probamos con varios cuadrados perfectos que sean menores que 68:
72 = 49 y 49 < 68
82 = 64 y 64 < 68
92 = 81 y 81 > 68
Por tanto, como 64 < 68 < 81:
La raíz cuadrada de 68 será un número decimal comprendido entre 8 y 9.
3. Ángel quiere colocar sus 45 soldaditos de plomo alineados formando un
cuadrado. ¿Cuántos soldaditos tendrá que poner en cada fila y en cada columna
del cuadrado?
Por ser un cuadrado, el número de soldaditos en cada fila será igual al número de
soldaditos en cada columna. Ese número al cuadrado será igual al número total de
ellos que formarán el cuadrado, que tiene que ser menor que o igual a 45.
Como 36 < 45 < 49
Tendrá que hacer filas de 6 soldaditos, con lo que utilizará a 6 × 6 = 36 de ellos, y
le sobrarán 45 – 36 = 9. Decimos que la raíz cuadrada de 45 tiene de resto 9.
4. Teresa ha cubierto completamente el piso de un salón cuadrado con 81
baldosas cuadradas. ¿Cuántas ha puesto en cada lado del salón?
En este caso la raíz es exacta:
= 9.
Teresa ha puesto 9 baldosas en cada lado, lo que en total suman las 9 × 9 = 81
baldosas.
LOS NÚMEROS ENTEROS
Con los números naturales podemos contar todo cuanto nos rodea: una caravana
de 5 coches, una pandilla de 11 amigos, una bandada formada por 47 pájaros...,
pero no manejamos el número 0, ni podemos representar situaciones como estas:
Estamos a 5 grados bajo cero: - 5 ºC.
El garaje está en el segundo sótano del edificio: - 2.
La mina está a 80 metros de profundidad: - 80 m.
En estos casos estamos usando números enteros negativos, números precedidos
del signo menos (-).
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS SOBRE UNA RECTA
27
Los números enteros son:
 Los enteros positivos (o números naturales): +1, +2, +3, +4, +5...
 El 0, que no es ni positivo ni negativo.
 Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5...
Se representan sobre una recta, llamada recta numérica, así:
El cero en mitad de la recta, los enteros negativos a la izquierda del cero y los
enteros positivos a su derecha. Normalmente no escribimos el signo + que
precede a los enteros positivos.
ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Un número entero es mayor que otro (lo que se indica con el símbolo >) si está
situado más a la derecha sobre la recta numérica.
Por ejemplo, 5 > 3; 5 > -1; -1 > -3:
De la misma forma, un número entero es menor que otro (símbolo <) si está
situado a la izquierda sobre la recta numérica.
Por ejemplo, 2 < 4; -7 < -1; -3 < 0:
Si quieres, puedes practicar ordenando los números enteros: - 3, 4, -5, 0, 5, -1, 3 y
1.
Los representamos sobre la recta numérica:
Si los escribimos de menor a mayor, resulta: –5 < -3 < -1 < 0 < 1 < 3 < 4 < 5
SUMA DE UN ENTERO POSITIVO SOBRE LA RECTA NUMÉRICA
Para sumarle a cualquier número entero otro entero positivo, nos situamos sobre
el punto que representa el primer sumando y avanzamos hacia la derecha tantas
unidades como nos indique el segundo sumando.
Por ejemplo, para efectuar la suma -5 + 3:
1. Nos situamos en el punto de la recta que representa – 5:
28
2. Avanzamos desde ese punto tres unidades hacia la derecha:
3. Hemos alcanzado el punto –2. Así pues: -5 + 3 = -2.
Si, por ejemplo, hemos aparcado el coche en la planta –2 de unos grandes
almacenes y subimos 6 plantas:
–2 + 6 = 4llegaremos a la 4ª planta.
SUMA DE UN ENTERO NEGATIVO SOBRE LA RECTA NUMÉRICA
Para sumarle a cualquier número entero otro entero negativo, nos situamos sobre
el punto que representa el primer sumando y avanzamos hacia la izquierda tantas
unidades como nos indique el segundo sumando.
Por ejemplo, para efectuar la suma 5 – 6:
1. Nos situamos en el punto de la recta que representa 5:
2. Avanzamos desde ese punto seis unidades hacia la izquierda:
3. Hemos alcanzado el punto –1. Así pues: 5 - 6 = -1.
29
Si, por ejemplo, estamos en la planta 6ª del edificio y descendemos 8 plantas,
6 - 8 = -2bajaremos a la planta - 2.
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS SOBRE EL PLANO
Para describir la posición de cualquier punto sobre un plano, usamos unos ejes de
coordenadas, de forma que cada punto tendrá dos coordenadas: una sobre el eje
horizontal y la otra sobre el vertical.
Dichas coordenadas serán números enteros.
Por ejemplo, el punto A tiene 3 unidades de coordenada horizontal y –2 de
coordenada vertical. El punto B tiene –2 unidades de coordenada horizontal y 4
unidades de coordenada vertical.
NÚMEROS RACIONALES
Son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El
conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y
por los fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero)
y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre
otro número racional.
30
NÚMEROS REALES
A diferencia de los naturales y de los enteros, los números racionales no están
colocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. Es decir, no existe
“el siguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales
cualesquiera hay otros infinitos, de modo que si se representan sobre una recta,
ésta queda densamente ocupada por ellos: si tomamos un trozo de recta, un
segmento, por pequeño que sea, contiene infinitos números racionales. Sin
embargo, entre medias de estos números densamente situados sobre la recta
existen también otros infinitos puntos que no están ocupados por racionales. Son
los números irracionales.
El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de
los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora
(naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales. Estos números ocupan la
recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real.
Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los
racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).
NÚMEROS IMAGINARIOS
El producto de un número real por sí mismo es siempre 0 o positivo, por lo que la
ecuación x2 = -1 no tiene solución en el sistema de los números reales. Si se
quiere dar un valor a la x, tal que x = Á, éste no puede ser un valor real, no ya en
sentido matemático sino tampoco en sentido técnico. Un nuevo conjunto de
números (diferente del de los números reales), el de los números imaginarios, se
usa para este fin. El símbolo i representa la unidad de los números imaginarios y
equivale a Á. Estos números permiten encontrar, por ejemplo, la solución de la
ecuación
, que se puede escribir como
X = 3 × i o x = 3i
Los números bi, b ≠ 0, se llaman imaginarios puros.
Un número imaginario se obtiene al sumar un número real y un número imaginario
puro.
NÚMEROS COMPLEJOS
En su forma general, un número complejo se representa como a + bi, donde a y b
son números reales. El conjunto de los números complejos está formado por todos
los números reales y todos los imaginarios.
Los números complejos se suelen representar en el llamado diagrama de Argand.
Las partes real e imaginaria de un número complejo se colocan como puntos en
dos líneas perpendiculares o ejes. De esta manera, un número complejo se
representa como un punto único en un plano, conocido como plano complejo.
31
Los números complejos son de gran utilidad en la teoría de la corriente eléctrica
alterna así como en otras ramas de la física, en ingeniería y en ciencias naturales.
LAS FRACCIONES
Si partimos una pizza en ocho trozos iguales y comemos dos de ellos, decimos
que hemos comido de la pizza “dos octavas partes”:
En un partido de baloncesto, que está dividido en cuatro tiempos iguales de diez
minutos, se han jugado ya tres tiempos; decimos que se llevan jugadas del partido
“tres cuartas partes”:
En la vida diaria, usamos las fracciones con más frecuencia de lo que pensamos...
TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN
Las fracciones representan partes de una unidad. Constan de dos términos:
 el numerador, que indica las partes iguales que se toman de la unidad;
 el denominador, que indica las partes iguales en que se divide la unidad.
REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES
Podemos representar una fracción, por ejemplo, mediante un círculo, un
rectángulo o un cuadrado: dividimos la figura en tantas partes iguales como
indique el denominador y sombreamos tantas partes como indique el numerador.
Por ejemplo:
32
Si quieres, puedes practicar hallando la fracción que representa cada uno de los
dibujos siguientes:
¿CÓMO SE LEEN LAS FRACCIONES?
Para leer una fracción primero se nombra el numerador y después el
denominador, de la siguiente forma:
1. El numerador se nombra tal cual.
2. Si el denominador es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, se lee, respectivamente: medios,
tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos o décimos. Si es un
número mayor que 10, se lee el número terminado en avo, por ejemplo: 11,
onceavos; 12, doceavos; 90, noventavos (ten en cuenta que, si el nombre del
número del denominador termina en a, se elimina esta letra).
Si quieres, puedes practicar con las fracciones de la siguiente tabla:
33
¿CÓMO INTERPRETAMOS UNA FRACCIÓN?
Podemos interpretar una fracción de tres maneras, como parte de la unidad, como
cociente o como operador:
Como parte de la unidad: una fracción representa un valor (dado por el
numerador) con respecto a un “total” (dado por el denominador) que llamamos
“unidad” (no lo confundas con el número 1). Por ejemplo, si nos hemos comido
de una pizza, eso supone que del total, que son las cinco partes en que la hemos
dividido, hemos tomado tres. Así pues, esta fracción representa “a tres de cada
cinco”.
Como cociente (divisiòn): una fracción representa el cociente entre dos
números, el numerador y el denominador. Por ejemplo, la fracción representa el
cociente de tres entre seis, es decir, el resultado de dividir 3 entre 6, que es 0,5.
Como operador: una fracción actúa sobre cualquier número como si fuera un
operador que actúa sobre el número multiplicándolo por el numerador, y
dividiéndolo por el denominador. Por ejemplo, si queremos hallar las tres quintas
partes de diez caramelos, haríamos:
34
Si quieres, puedes practicar efectuando los cálculos de la siguiente tabla:
CLASES DE FRACCIONES
Hay dos clases o tipos de fracciones:
 Las fracciones propias: son aquellas en las que el numerador es menor
que el denominador (su cociente es un número menor que la unidad); por
ejemplo:

Las fracciones impropias: son aquellas en las que el numerador es igual o
mayor que el denominador (su cociente es un número igual o mayor que la
unidad); por ejemplo:
35
Cualquier número natural se puede escribir en forma de fracción impropia,
dividiéndolo entre la unidad; por ejemplo:
NÚMEROS MIXTOS
Si en una fracción impropia dividimos el numerador entre el denominador, puede
ocurrir una de estas dos cosas:
1. Que obtengamos un número natural, por ejemplo:
2. Que obtengamos un número mixto, que se llama así porque está
compuesto de un número natural y de una fracción.
Por ejemplo, en la fracción
obtenemos:
al dividir el numerador entre el denominador
Y la fracción la podemos expresar así, como un número mixto:
Si quieres, puedes practicar con las fracciones siguientes:
36
FRACCIONES DECIMALES
Cualquier fracción, o equivale a un número natural, o se puede expresar como un
número decimal, sin más que dividir el numerador entre el denominador. Por
ejemplo:
Pero también al revés: podemos expresar cualquier número decimal como una
fracción, que se llama fracción decimal. Para hallarla se siguen estos dos pasos:
1. Se escribe el número decimal sin la coma (y sin el cero, si era la cifra de las
unidades).
2. Se divide entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenía el
número decimal. Por ejemplo:
37
Las fracciones decimales son las que tienen por denominador la unidad seguida
de ceros.
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Los números nos sirven para contar seres, objetos..., cualquier cantidad de todo lo
que nos rodea. Para poder escribir cualquier número, hemos de usar caracteres o
símbolos, que hemos de combinar según unas reglas que forman lo que llamamos
un sistema de numeración.
A lo largo de la historia ha habido distintos sistemas de numeración, como el
maya, el chino o el sistema romano, con símbolos y reglas diferentes a los
nuestros. Nuestro sistema de numeración decimal procede de la India, aunque
fueron los árabes los que lo introdujeron en Europa.
REGLAS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Utilizamos diez caracteres, llamados cifras, que son:
Se llama sistema decimal porque 10 unidades de un orden cualquiera forman 1
unidad del orden inmediato superior. Te puedes imaginar cada orden de unidades
como si fuera el peldaño de una escalera. Para subir un peldaño hay que reunir 10
unidades en el peldaño en el que estés situado. En cambio, si bajas la escalera, 1
unidad del peldaño en el que estés equivale a 10 unidades del peldaño siguiente,
al que bajas.
Los seis primeros órdenes de unidades son:
38
Es un sistema posicional porque el valor de una cifra depende de la posición que
ocupe dentro del número que estemos considerando. Por ejemplo, cuando
escribimos el número 235.733:



el primer 3 que escribimos pertenece a las decenas de millar (DM), y vale
30.000 unidades;
el segundo 3 pertenece a las decenas (D), y vale 30 unidades;
el tercer y último 3 pertenece a las unidades (U).
Así pues, podemos descomponer un número como suma de los valores de sus
cifras. Por ejemplo, el número 456.789 es la suma de:
456.789 = 4 centenas de millar + 5 decenas de millar + 6 unidades de millar + 7
centenas + 8 decenas + 9 unidades = 4 CM + 5 DM + 6 UM + 7 C + 8 D + 9 U
Para números más grandes, con más de seis cifras, hemos de usar órdenes de
unidades superiores a la centena de millar:
Por ejemplo, el número 42.345.678 es la suma de:
39
42.345.678 = 4 decenas de millón + 2 unidades de millón + 3 centenas de millar +
4 decenas de millar + 5 unidades de millar + 6 centenas + 7 decenas + 8 unidades
= 4 Dm + 2 Um + 3 CM + 4 DM + 5 UM + 6 C + 7 D + 8 U
¿CÓMO SE LEEN LOS NÚMEROS?
Para leer cualquier número hemos de formar grupos de tres cifras, contándolas
desde la derecha y recorriendo el número hacia la izquierda. Después se lee cada
uno de los grupos, empezando por el primero de la izquierda y avanzando hacia la
derecha.
Por ejemplo, para leer el número 215.367.498:
1. Formamos grupos de tres cifras:
2. Leemos los grupos empezando por el primero de la izquierda: “doscientos
quince millones trescientos sesenta y siete mil cuatrocientos noventa y ocho”.
Fíjate que entre el primer y el segundo grupo va la palabra “millones” y entre el
segundo y el tercer grupo la palabra “mil”.
Si quieres, puedes practicar leyendo algunos números con diferente número de
cifras:
40
COORDENADAS DE PUNTOS EN EL PLANO
¿Has oído hablar alguna vez de “un sistema de coordenadas”? Vamos a aprender
aquí a interpretar y representar puntos en un sistema de coordenadas, pero antes
hemos de saber representar un punto sobre un eje…
REPRESENTACIÓN DE PUNTOS SOBRE UN EJE
Un eje es una línea recta, horizontal o vertical, sobre la que señalamos un punto
de referencia, llamado origen, y sobre el que representamos los números enteros:
 Si el eje es horizontal, hacia la derecha se representan los enteros
positivos, y hacia la izquierda los enteros negativos.
 Si el eje es vertical, hacia arriba se representan los enteros positivos, y
hacia abajo los enteros negativos.
Por ejemplo, si representamos los puntos A(3), B(-2), C(5), D(-3), E(-1) y F(1),
tendremos que contar desde el origen, el cero, tantas unidades hacia la derecha
(si el número es positivo) o hacia la izquierda (si el número es negativo) como
indique el valor sin signo (a ese valor se le llama valor absoluto) del número que
queremos representar:
41
SISTEMA DE COORDENADAS
Un sistema de coordenadas está formado por dos ejes perpendiculares, que se
cortan en un punto O, que se llama origen de coordenadas. Sobre cada eje se
señalan unas marcas o que se corresponden con los números enteros, positivos y
negativos, tal y como acabamos de ver, al representar puntos sobre un eje.
Al eje horizontal se le llama eje de abscisas, y se le representa por la letra X.
Al eje vertical se le llama eje de ordenadas, y se le representa por la letra Y.
Si prolongamos los dos ejes, vemos que el plano queda dividido en cuatro
regiones, llamadas cuadrantes, que se numeran así:
Un punto P del plano quedará determinado por un par de números (x, y), que son
las coordenadas cartesianas del punto P.
Para facilitar la lectura de las coordenadas de cualquier punto marcado en el
plano, o para representar un punto del que conocemos sus coordenadas, a veces
el sistema de coordenadas aparece cuadriculado.
Veamos ahora, con algunos ejemplos, las coordenadas de puntos en cada uno de
los cuadrantes, y sobre los ejes de coordenadas.
Primer cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas positivas (+, +). Por
ejemplo, los puntos A(3, 1), B(2, 2) y C (4, 3) pertenecen al I cuadrante:
42
Segundo cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son negativa la x y positiva la y
(-, +). Por ejemplo, los puntos D (-3, 1), E (-2, 2) y F (-4, 3) pertenecen al II
cuadrante:
43
Tercer cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas negativas (-, -). Por
ejemplo, los puntos G (-3, -1), H (-2, -2) e I (-4, -3) pertenecen al III cuadrante:
Cuarto cuadrante.
Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son positiva la x y negativa la y
(+, -). Por ejemplo, los puntos J (3, -1), K (2, -2) y L (4, -3) pertenecen al IV
cuadrante:
44
Sobre los ejes de coordenadas.
En este caso, de coordenadas de puntos que están sobre los ejes de
coordenadas, pueden darse dos situaciones: que el punto esté sobre el eje X o
que esté sobre el eje Y.
Si está sobre el eje X, las coordenadas del punto serán (x, 0), siendo x positiva o
negativa, según si está a la derecha o a la izquierda del origen. Por ejemplo, los
puntos M(1, 0), N (-1, 0) y P (4, 0) están sobre el eje X:
45
Si el punto está sobre el eje Y, las coordenadas del punto serán (0, y), siendo y
positiva o negativa, según si está por encima o por debajo del origen. Por ejemplo,
los puntos Q (0, -3), R (0, 1) y S (0, -1) están sobre el eje Y:
46
Si quieres practicar, puedes representar los puntos siguientes (además,
uniéndolos obtendrás un dibujo…): A (0, 9), B(5, 2), C(0, 2), D(-8, 2), E(0, 8), F (0,
0), G(8, 0), H(6, -3), I(-6, -3), J(-8, 0), K(0,0)
47
ECUACIÓN
Ecuación. (Del lat. aequatĭo, -ōnis). f. Astr. Diferencia que hay entre el lugar o
movimiento medio y el verdadero o aparente de un astro. || 2. Mat. Igualdad que
contiene una o más incógnitas. || Mat. ecuación algebraica con una o más
incógnitas y coeficientes enteros, de la que interesan únicamente sus soluciones
enteras. || ~ indeterminada. f. Mat. Aquella en que la incógnita puede tener un
número ilimitado de valores. || ~ lineal. f. Mat. Aquella cuyas variables son de
primer grado. V. sistema de ecuaciones.
TEORÍA DE ECUACIONES
1. INTRODUCCIÓN
Teoría de ecuaciones, rama de las matemáticas que estudia la naturaleza de las
raíces de ecuaciones polinómicas y los métodos de búsqueda de dichas raíces. La
teoría de las ecuaciones tiene aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas
y de las ciencias.
Una ecuación polinómica tiene la siguiente forma general a0 + a1x1 + a2x2 + ... anxn
= 0en donde los coeficientes a0, a1, ..., an son números cualesquiera. El grado de
una ecuación polinómica es igual al número entero positivo n, si an ≠ 0. Una raíz
es un valor de la x tal que al sustituir dicho valor en la ecuación polinómica se
obtiene 0 = 0. Para resolver una ecuación polinómica, hay que encontrar todas las
raíces de la ecuación.
Una ecuación lineal es una ecuación de primer grado que sólo tiene una raíz. La
única raíz de la ecuación lineal ax + b = 0 es x = -b/a. La ecuación cuadrática, o de
segundo grado, ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces, dadas por la fórmula
2. COMIENZOS
Hasta el siglo XVII, la teoría de ecuaciones estuvo limitada pues los matemáticos
no fueron capaces de aceptar que los números negativos y complejos podían ser
raíces de ecuaciones polinómicas. Sólo los antiguos matemáticos indios, como
Brahmagupta, conocían las raíces negativas, pero fuera de China e India no se
trabajaba con coeficientes negativos en los polinomios. En vez de un solo tipo de
ecuación de segundo grado, el mencionado más arriba, había seis tipos distintos,
según cuáles fueran los coeficientes negativos.
Un método de resolución de ecuaciones que puede encontrarse en antiguos libros
egipcios y chinos, es el de la falsa posición. Por ejemplo, para resolver la ecuación
x + x/7 = 19, primero se toma una aproximación de la x que simplifique el cálculo
del primer término, como x = 7. Al sustituir la x por 7 en esta ecuación, el resultado
es 8 en vez de 19. Por tanto, se necesita un factor corrector que se obtiene
dividiendo 19 por 8. Este factor, 2–, se multiplica por el primer valor, 7, con lo que
se encuentra que la raíz de la ecuación original es 16š. Los egipcios utilizaban el
método de la falsa posición para encontrar una raíz en ecuaciones de segundo
grado sencillas. Para ecuaciones cuadráticas con un término en x, como x2 - 5x =
48
6, las primeras soluciones no se encuentran hasta en los libros de matemáticas
babilonios del 2000 a.C. Aunque los babilonios no conocían las raíces negativas ni
las complejas, su método de búsqueda de las raíces positivas reales es el mismo
que se utiliza en la actualidad.
Otro importante descubrimiento del mundo antiguo, que se puede encontrar en los
escritos del matemático y científico griego Herón de Alejandría en el siglo I, es un
método de aproximación de la raíz positiva de ecuaciones como x2 = 2. En este
método, primero se toma una aproximación como ” para calcular una nueva
aproximación utilizando la regla [” + 2/(”)]/2, o 17/12. Si se repite este
procedimiento se obtiene 577/408, que es una buena aproximación de Ã. Estas
aproximaciones y cálculos repetidos se denominan iteraciones. Un método
iterativo muy útil, que se encuentra en los trabajos de los matemáticos chinos Liu
Hui (en el siglo III) y Chu Shih-Chieh (en el siglo XIII), fue redescubierto en Europa
hacia 1800 por el matemático inglés W. G. Horner. También había sido usado por
el matemático árabe Yamschid al-Kaschi. Entre otros matemáticos árabes que
hicieron importantes contribuciones a la teoría de ecuaciones se incluyen alJwarizmi y Omar Jayyam, que desarrollaron la primera teoría de las ecuaciones
cúbicas. Sin embargo, esta teoría estaba definida en términos geométricos y era,
por tanto, incompleta.
3. SOLUCIONES GENERALES
En 1545 el matemático italiano Gerolamo Cardano publicó una solución algebraica
para las ecuaciones de tercer grado en función de sus coeficientes y Niccolò
Tartaglia la desarrolló. Poco después, Ludovico Ferrari, alumno de Cardano,
encontró una solución algebraica para las ecuaciones de cuarto grado.
En 1629 el matemático francés Albert Girard aceptó raíces de ecuaciones tanto
negativas como complejas y fue, por tanto, capaz de finalizar el aún incompleto
estudio que François Viète había realizado sobre la relación entre las raíces de
una ecuación algebraica y sus coeficientes. Viète había descubierto que si a y b
son las raíces de x2 - px + q = 0, entonces p = (a + b) y q = a·b.
Generalizando, Viète demostró que si el coeficiente del término de mayor grado de
la ecuación p(x) = 0 es la unidad, entonces el coeficiente del segundo término de
mayor grado cambiado de signo es igual a la suma de todas las raíces; el
coeficiente del tercer término es igual a la suma de todos los productos formados
al multiplicar las raíces de dos en dos; el coeficiente del cuarto término cambiado
de signo es igual a la suma de todos los productos que resultan de multiplicar las
raíces de tres en tres. Si el grado de la ecuación es par, el coeficiente del último
término es igual al producto de todas las raíces; si es impar, es el producto de
todas las raíces cambiado de signo. Viète también aportó importantes métodos
numéricos para encontrar aproximaciones a las raíces de una ecuación.
En 1635 el matemático y filósofo francés René Descartes publicó un libro sobre la
teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de
raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el
físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para
encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y
el método iterativo de Herón mencionado más arriba es un caso particular de éste.
49
A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró que
cualquier ecuación polinómica tiene al menos una raíz. Sin embargo, quedaba aún
por saber si era posible expresar esta raíz con una fórmula algebraica utilizando
los coeficientes de la ecuación, como se había encontrado para las de segundo,
tercer y cuarto grado. El astrónomo y matemático francés Joseph Lagrange dio un
paso importante para resolver esta cuestión con su método de permutación de las
raíces de una ecuación para el estudio de sus soluciones. Este fructífero concepto,
junto con los trabajos del matemático italiano Paolo Ruffini, del noruego Niels Abel
y del francés Évariste Galois, condujo a una teoría completa de los polinomios.
Entre otras cosas, esta teoría demuestra que un polinomio sólo se puede resolver
utilizando una fórmula algebraica general si es de cuarto grado o menor. El trabajo
de Galois también sirvió para resolver dos famosos problemas que se remontaban
a los antiguos griegos: Galois demostró que es imposible dividir algunos ángulos
en tres partes iguales utilizando sólo el compás y la regla recta, y que es imposible
construir un cubo cuyo volumen sea dos veces el de un cubo dado.
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derechos.
1. INTRODUCCIÓN
Ecuación, igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es
decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas.
Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la
ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.
Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de
valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación
puede tener una, ninguna o varias soluciones. Por ejemplo:
3x – 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita. Tiene una única solución: x = 4.
x2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de
dos cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0
sumándole 5.
2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones,
algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.
Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas
carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0
porque ambas tienen como solución única x = 4.
2. TIPOS DE ECUACIONES
Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones.
Las ecuaciones con varias incógnitas, sin embargo, suelen tener infinitas
soluciones; por ello, estas ecuaciones interesa estudiarlas cuando forman
sistemas de ecuaciones. Las ecuaciones con una incógnita pueden ser de
distintos tipos: polinómicas, racionales, exponenciales, trigonométricas…
50
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio
en x. O bien, son de tal forma que al trasponer términos y simplificar adoptan esa
expresión. 3x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.
Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones
lineales. 5x + 7 = 3 es lineal y también lo es (x - 5)2 + 3 = x2 - 1 porque al
desarrollar y simplificar se obtiene -10x + 29 = 0.
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman
cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo:
x2 - 5x + 3 = 0, (x – 2)2 + 7x =5 + x.
Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo
radical, como
Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de
polinomios; por ejemplo:
En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente:
2x + 4x + 1 - 18 = 0
En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función
trigonométrica; por ejemplo: sen (p/4 + x) – cos x = 1
3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no
tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya
fisonomía sea más sencilla. Así, mediante una serie de pasos sucesivos se llega a
una última ecuación del tipo x = s en la que la incógnita está despejada (es decir,
aislada en el primer miembro), con lo que la solución es evidente.
Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x – 6 = 3x + 12 se procede como se
explica a continuación.
Para pasar los términos en x al primer miembro y los números al segundo
miembro, se resta en ambos miembros 3x y se suma 6, con lo que queda:
5x – 3x = 12 + 6
Y simplificando, 2x = 18.
Para despejar la x se divide por 2 en ambos miembros: x = 18/2 = 9
La solución es, evidentemente, x = 9.
Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas
especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.
51
3.1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
La expresión general de una ecuación cuadrática (polinomio de segundo grado)
es: ax2 + bx + c = 0
Con a ≠ 0. Para resolverla se aplica la fórmula:
Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x – 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = -3, se
resuelve así:
Hay dos soluciones: x1 = 1/2; x2 = -3.
Esta misma ecuación se podría haber resuelto despejando la x. Para ello, se
multiplica la ecuación por 2: 4x2 + 10x – 6 = 0
Se pasa el 6 al segundo miembro: 4x2 + 10x = 6
Se suman 25/4 para completar un cuadrado perfecto (el cuadrado de una suma)
en el primer miembro: 4x2 + 10x + 25/4 = 6 + 25/4
Simplificando: (2x + 5/2)2 = 49/4
Extrayendo la raíz cuadrada y recordando que si A2 = B2 entonces A = ±B:
2x + 5/2 = ±7/2
Como consecuencia del signo ±, la igualdad da lugar a dos ecuaciones:
2x + 5/2 = 7/2 2x + 5/2 = -7/2
Resolviéndolas se obtiene:
4x + 5 = 7 → 4x = 2 → x1 = 1/2
4x + 5 = -7 → 4x = -12 → x2 = -3
Siguiendo este largo proceso se obtienen las mismas soluciones que mediante la
fórmula inicial. Es claro que la aplicación de ésta es un procedimiento mucho más
cómodo. De hecho, la fórmula se obtiene algebraicamente a partir de la ecuación
general mediante un proceso similar al que se ha seguido para resolver esta
ecuación concreta.
Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas
porque les falta uno de los términos:
ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0
52
Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas
despejando directamente la x.
En el primer caso,
ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0
Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0.
Por ejemplo:
3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0
Las soluciones son: x = 0; x = -5/3.
En el segundo caso,
ax2 + c = 0 → ax2 = -c → x2 = -c/a
Por ejemplo:
3x2 – 17 = 0 → 3x2 = 17
Las soluciones son:
3.2 Resolución de ecuaciones bicuadradas
Se llama bicuadrada la ecuación de la forma: ax4 + bx2 + c = 0 (1), es decir, una
ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado impar. Si se
realiza el cambio de variable x2 = y, con lo cual x4 = y2, entonces se transforma en
una ecuación de segundo grado: ay2 + by + c = 0 (2)
Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna solución de la
ecuación inicial. Así, si y es solución de la ecuación (2), se verifica que:
Si y1 > 0, entonces x1 = √y1, x2 = -√y1 son raíces de (1);
Si y1 = 0, también x1 = 0 es raíz de (1);
Si y1 < 0, x2 = y1 no da lugar a ninguna solución real de x.
Por ejemplo, la ecuación bicuadrada: x4 - x2 – 12 = 0
Se transforma, mediante el cambio de variable x2 = y, en la ecuación de segundo
grado: y2 - y - 12 = 0
Cuyas soluciones son
53
y1 = 4, y2 = -3
Para y1 = 4: x2 = 4
Luego, x1 =2, x2 = -2 son soluciones de la ecuación bicuadrada.
Para y2 = -3: x2 = -3
Por tanto, las únicas raíces de la ecuación x4 - x2 – 12 = 0 son x1 = 2, x2 = -2.
54
RAÍZ (MATEMÁTICAS)
1. INTRODUCCIÓN
Raíz (matemáticas), enésima de un número real, a, es otro número, b, cuya
potencia enésima es a. Se expresa así
La expresión
se llama radical, a es el radicando y n el índice de la raíz. El
índice es un número entero mayor que 1: n ≥ 2.
La raíz de índice dos se llama raíz cuadrada y se escribe sin explicitar el índice:
.
La raíz de índice tres se llama raíz cúbica.
Si el índice es par y a es positivo, existen dos raíces enésimas reales de a, una
positiva y otra negativa. Pero la expresión
sólo se refiere a la positiva. Es decir,
las dos raíces n-ésimas de a son
y–
. Sin embargo, los números reales
negativos no tienen ninguna raíz real de índice par.
Por ejemplo, 25 tiene dos raíces cuadradas, 5 y –5, pues 52 = 25 y (-5)2 = 25; y el
número 10 tiene dos raíces cuartas
y–
. Sin embargo, –25 no tiene
ninguna raíz cuadrada porque ningún número real elevado al cuadrado da –25.
Por lo mismo, –10 no tiene ninguna raíz cuarta.
Si el índice es impar, cualquiera que sea el número real, a, tiene una única raíz nésima. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, la raíz cúbica de –8 es –2, y 20 tiene
una única raíz cúbica que se denomina
.
2. FORMA EXPONENCIAL DE UNA RAÍZ
La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:
Por tanto,
3. RAÍZ DE UNA ECUACIÓN
En una ecuación algebraica, si sustituimos la incógnita por un número y la
igualdad se cumple, dicho número se denomina raíz de la ecuación. Por ejemplo,
3 es raíz de la ecuación x4 – 3x2 – 5x – 39 = 0 porque 34 – 3·32 – 5·3 – 39 es igual
a 0.
4. RAÍZ DE UN POLINOMIO
Si un polinomio P(x) se anula cuando se sustituye x por el número a, P(a) = 0, se
dice que a es raíz de P(x). Por ejemplo, 3 es raíz del polinomio x4 – 3x2 – 5x – 39.
55
SISTEMA DE ECUACIONES
1. INTRODUCCIÓN
Sistema de ecuaciones, conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se
pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca
el conjunto de todas ellas con una llave.
Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada
una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una
solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de
ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos
sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de
solución, se dice que son equivalentes.
Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen
solución, compatibles.
Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x - 5y = 16 y 4x + y = 10 se
expresa así
La solución de este sistema es x = 3, y = -2 porque es solución de ambas
ecuaciones. Es, por tanto, un sistema compatible.
El sistema
es incompatible, pues no tiene solución.
Los sistemas de ecuaciones lineales (es decir, ecuaciones del tipo ax + by = c, ax
+ by + cz = d,…) son especialmente interesantes por las múltiples aplicaciones
que tienen en diversas ciencias.
2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma ax + by = c, ax + by
+ cz = d,…, es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1).
Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es
determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).
Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el
método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A
continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas.
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las
ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una
ecuación con una incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de
dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra. Para resolver el
sistema
56
por el método de sustitución conviene despejar la y de la segunda ecuación: y =
10 - 4x
Ahora se sustituye su valor en la primera: 2x - 5(10 - 4x) = 16
Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene una incógnita:
2x – 50 + 20x = 16
22x = 66
x = 66/22 = 3
Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes: y = 10 - 4x =
10 - 4·3 = 10 - 12 = -2
Se ha obtenido así la solución x = 3, y = -2.
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos
ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una
incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.
Para resolver por igualación el sistema anterior:
se puede despejar la x en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones:
Ahora se resuelve esta ecuación:
2(16 + 5y) = 10 – y
32 + 10y = 10 – y
11y = -22
y = -2
Por último, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x:
Se ha obtenido la solución x = 3, y = -2.
57
El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el
mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a
miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra
incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una
de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra
incógnita.
Para resolver por reducción el mismo sistema:
Se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el
coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones:
4x - 10y = 32
4x + y = 10
Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente: -11y = 22
Se resuelve: y = -2
Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales:
2x - 5(-2) = 16
2x + 10 = 16
2x = 6
x=3
La solución es x = 3, y = -2.
2.1. Representación gráfica
Una ecuación lineal con dos incógnitas, ax + by = c, se representa mediante una
recta.
La representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
consiste en un par de rectas. Si éstas se cortan, el sistema es compatible
determinado y las coordenadas del punto de corte son la solución del sistema. Si
las rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Si las rectas son coincidentes
(son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado: sus soluciones son
los puntos de la recta.
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones
58
Se representa del siguiente modo:
El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solución del sistema: x = 2, y = 1.
Una ecuación lineal con tres incógnitas, ax + by + cz = d, se representa mediante
un plano. La representación de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres
incógnitas consiste en tres planos cuya posición relativa determina que el sistema
sea compatible o incompatible. Si los tres planos se cortan en un punto, el sistema
es compatible determinado y si se cortan en una recta, el sistema es compatible
indeterminado, pues tiene infinitas soluciones.
59
ECUACIONES DE RECTAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático, desarrolló el método para
resolver un problema de geometría sustituyéndolo por un problema de cálculo
numérico, utilizando las llamadas ecuaciones cartesianas.
¿Cómo determinar la ecuación de una recta? ¿De qué manera nos ayuda la
ecuación de una recta a resolver problemas de paralelismo o de ortogonalidad?
En este tutorial desarrollaremos estas dos cuestiones.
También veremos que un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas se puede interpretar mediante las ecuaciones de dos rectas. Las
coordenadas del punto de corte de estas dos rectas son la solución de este
sistema.
I. Determinar la ecuación de una recta
Sean A(xA, yA) y B(xB, yB) dos puntos dados en un sistema de coordenadas
cartesianas xy. Para determinar la ecuación de la recta que pasa por esos dos
puntos (la recta AB) hemos de hallar la condición necesaria y suficiente para que
un punto cualquiera M(x, y) esté alineado con A y B: esta condición supone que
los vectores
y
deben tener la misma dirección, es decir, deben ser
colineales.
Las coordenadas del vector
son (xB - xA, yB - yA), y las coordenadas del vector
son (x - xA, y - yA). Para que dichos vectores sean colineales, se debe cumplir
que: (x - xA)(yB - yA) = (y - yA)(xB - xA).
Se dan los dos casos siguientes:
—si los puntos A y B tienen el mismo valor de la abscisa, k, entonces xB - xA = 0, y
la ecuación de la recta AB es x = k, que es una recta paralela al eje de ordenadas
(eje y);
—si xB - xA ≠ 0, podemos calcular la pendiente de la recta AB:
y la
ordenada en el origen: n = yA - mxA. La ecuación explícita de la recta AB es: y =
mx + n.
Recíprocamente, en un sistema de coordenadas cartesianas xy, el conjunto de
puntos M de coordenadas (x, y) tales que y = mx + n es una recta que no es
paralela al eje y.
Ejemplo:
Sean los dos puntos A(4, 2) y B(-1, 3), y un punto M cualquiera de coordenadas
(x, y).
60
Si calculamos las coordenadas de los vectores
y
, obtenemos
(x – 4, y
– 2) y
(–5, 1).
Decimos que M está alineado con A y B si los “productos cruzados” son iguales, lo
que se traduce en la siguiente ecuación: (x – 4) · 1 = (y – 2) · (–5), que es la
ecuación de la recta AB.
Transformando esa igualdad, llegamos a la ecuación:
II. Utilizar la ecuación de una recta
Para averiguar si un punto pertenece a una recta: sustituimos en la ecuación de
dicha recta el valor de la x por el valor de la primera coordenada del punto, y
verificamos si el valor de y que se obtiene coincide o no con la segunda
coordenada del punto. Por ejemplo, ¿pertenece el punto E de coordenadas (2, -1)
a la recta de ecuación y = –2x + 3?
Para resolver este problema, sustituimos x por 2 en la fórmula –2x + 3; si
obtenemos –1, el punto está sobre la recta, de lo contrario no lo está.
Por tanto, si sustituimos x por 2, obtenemos: –2 · 2 + 3 = –1; por tanto, el punto E
sí pertenece a la recta dada.
Para dibujar una recta de la que conocemos su ecuación, distinguimos dos
casos:
—si la ecuación es de la forma x = k, la recta es paralela al eje y; situamos el
punto de coordenadas (k, 0) y dibujamos la recta;
—si la ecuación es de la forma y = mx + n, le damos a x dos valores diferentes x1 y
x2, y dibujamos la recta que pasa por los puntos de coordenadas (x1, mx1 + n) y
(x2, mx2 + n). Si le damos a x los valores x = 0 y
puntos (0, n) y
, la recta pasará por los
.
Ejemplo: queremos dibujar la recta de ecuación
.
Le damos a x el valor x = 6, que es divisible entre 3, y calculamos y:
. Obtenemos el punto A de coordenadas (6, 2).
Le damos de nuevo a x otro valor, por ejemplo -3; calculamos y para este valor, y
obtenemos el punto B de coordenadas (-3, 5).
Situamos estos dos puntos en el plano cartesiano y dibujamos la recta.
61
III. Resolución de problemas de geometría con ecuaciones de rectas
Comprobar si dos rectas son paralelas.
Dos rectas de ecuaciones y = mx + n e y = m’x + n’ son paralelas si y solamente si
tienen la misma pendiente, es decir, si m = m’.
Por ejemplo, la recta de ecuación
y la recta de ecuación y = 0,4x - 1 son
paralelas porque podemos escribir
y
, que es la
pendiente de ambas rectas.
Se puede hallar la ecuación de la paralela a una recta dada, que pase por un
punto dado.
Por ejemplo, la paralela a la recta de ecuación y = 2x + 3 que pase por el punto
A(1, 4) también tendrá de pendiente 2. Su ordenada en el origen, n, valdrá: n = 4 2 · 1 = 2. Así, hemos obtenido la ecuación: y = 2x + 2.
IV. Determinar el punto de intersección de dos rectas
La ecuación de una recta D se puede escribir de la forma ax + by = c donde a y b
no pueden ser ambos nulos a la vez. Este tipo de ecuación se llama ecuación
lineal con dos incógnitas. Las soluciones a esta ecuación son las coordenadas de
los puntos pertenecientes a la recta D.
Hallar las coordenadas del punto donde se cortan dos rectas es lo mismo que
resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, formado por
las ecuaciones de las dos rectas. Es un sistema de la forma:
Resolver este sistema es hallar todos los pares (x, y) que son solución de las dos
ecuaciones a la vez. Si tales pares existen, los puntos que vienen dados por estos
pares pertenecen a las dos rectas de ecuaciones ax + by = c y a’x + b’y = c’.
Distinguimos tres casos, presentados en la tabla siguiente.
62
Existen tres métodos de resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas:
— el método de sustitución, que consiste en despejar de una de las dos
ecuaciones una de las incógnitas, expresándola en función de la otra, y sustituirla
en la otra ecuación;
— el método de igualación, que consiste en despejar una de las dos incógnitas,
la misma, en cada una de las dos ecuaciones, expresándola en función de la otra
incógnita, e igualar las expresiones obtenidas;
— el método de reducción, que consiste en combinar las dos ecuaciones en una
sola ecuación con una única incógnita. Resolviendo esta ecuación obtendremos el
valor de dicha incógnita, y sustituyendo este valor en cualquiera de las dos
ecuaciones originales, obtendremos el valor de la otra incógnita.
Recuerda
— Si una recta es paralela al eje vertical, su ecuación es de la forma x = k; de no
ser así, su ecuación es de la forma y = mx + n, donde m es la pendiente de la
recta y n es su ordenada en el origen.
— Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
— Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.
— Para hallar las coordenadas del punto en donde se cortan dos rectas, hemos de
resolver el sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones de las dos
rectas.
63
RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO
2x – 7 = 4 es una ecuación que contiene un número desconocido representado
mediante la letra x.
Decimos que 2x – 7 = 4 es una ecuación con una incógnita (la x).
¿Cómo podemos resolver una ecuación con una incógnita? En otras palabras,
¿cómo encontramos los valores de la incógnita para los cuales la ecuación se
cumple?
I. Definición
Supongamos los números a y b, siendo a distinto de cero. Una ecuación de primer
grado, o ecuación lineal con una incógnita, es una ecuación que puede escribirse
de la forma ax = b, donde x es la incógnita.
También podemos decir que una ecuación es una igualdad de dos expresiones
algebraicas, cada una de ellas escrita a los lados del signo igual; por ejemplo:
La expresión que se escribe a la izquierda de la igualdad recibe el nombre de
“primer miembro de la ecuación”, y la expresión de la derecha “segundo
miembro”.
Los términos que llevan x se denominan “términos en x” y aquellos que no van
multiplicando a la x se llaman términos independientes.
Resolver una ecuación consiste en encontrar un valor para la incógnita que al
sustituirlo en la ecuación haga que la igualdad se cumpla. Por ejemplo, el valor –2
es la solución de la ecuación 5x + 5 = 3x + 1 porque al sustituirlo en el lugar de la
x:
5 · (–2) + 5 = 3 · (–2) + 1, hace que la igualdad sea cierta: –10 + 5 = –6 +1; –5 = –
5.
Nota: podemos usar cualquier letra en lugar de la x (las más utilizadas son x, y, z o
t).
Ejemplos:
3x = 7 es una ecuación lineal con la incógnita en x.
–2,7t = 4,8 es una ecuación lineal con la incógnita en t.
x + 4 = –3x + 7 es también una ecuación lineal con la incógnita en x, que además,
como hemos visto, puede ser escrita, por simplificación, de la forma 4x = 3.
Por otra parte, x² = 3 no es una ecuación lineal, o de primer grado, porque la
incógnita x está elevada al cuadrado.
II. Método
Lo primero que tenemos que tener en cuenta es que una ecuación es una
igualdad. Por este motivo, cualquier alteración que realicemos al primer miembro
de la ecuación, también debemos hacerla en el segundo miembro. Esto significa
que si sumamos, restamos, dividimos o multiplicamos una cantidad al primer
64
miembro, tenemos que hacer lo mismo en el segundo miembro. Así
conseguiremos que la igualdad que se expresa en la ecuación siga siendo
verdadera. Es decir:
—podemos sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la ecuación
sin que por ello cambie su solución; así, a + x = b es equivalente a: a + x – a = b –
a, y por lo tanto también a: x = b – a;
—si multiplicamos o dividimos cada miembro de la ecuación por un mismo número
distinto de cero, la solución de la ecuación no cambia. Así, ax = b es equivalente a
ya
.
Para resolver una ecuación tan solo tenemos que simplificar las expresiones
algebraicas de ambos miembros hasta dejarlas en la forma ax = b. Para
conseguirlo vamos a tener en cuenta los siguientes pasos:
1) Si la ecuación tiene paréntesis, hay que eliminarlos aplicando la propiedad
distributiva o si es necesario los productos notables. Por ejemplo, en la ecuación
, aplicamos la propiedad distributiva en el primer miembro:
.
2) Si la ecuación tiene fracciones, reducimos a mínimo común denominador (ver
artículo Reducir fracciones a común denominador), de manera que podamos
eliminarlo
de
ambos
miembros:
;
;
eliminamos 4 en ambos miembros,
, y obtenemos: 12x – 24 =
5x + 1 –32.
3) Agrupamos términos semejantes. Es decir, conseguimos dejar agrupados en un
miembro todos los términos en x, y en el otro miembro todos los términos
independientes. Esto podemos hacerlo sumando y restando cantidades a
conveniencia en ambos miembros. Si añadimos -5x en ambos miembros:
12x – 24 – 5x = 5x + 1 – 32 – 5x; y simplificando, obtenemos: 7x – 24 = 1 – 32. Si
ahora añadimos 24, tenemos que: 7x – 24 + 24 = 1 – 32 + 24, y simplificando: 7x =
1 – 32 + 24; 7x = – 7.
Ya tenemos la ecuación 7x = – 7 escrita en la forma ax = b. Ahora vamos a dejar a
la x sola en el primer miembro. Para conseguirlo, dividimos toda el ecuación entre
7, y nos queda:
, que simplificando da: x = – 1
Nota: una ecuación lineal con una incógnita generalmente tiene solo una solución.
III. Ejemplos de resolución de ecuaciones
1. Ejemplo 1
Queremos resolver la ecuación 3x + 4 = 0.
Primero restamos 4 en ambos miembros de la ecuación y obtenemos:
3x + 4 – 4 = 0 – 4
3x = – 4
Nota: Después de restar 4 en ambos miembros, la ecuación 3x + 4 = 0 ha
quedado así: 3x = – 4.
65
Observa el +4 del primer miembro: es como si hubiese “saltado” al otro lado del
igual (=) y aparece como -4 en el segundo miembro. Es decir, un término puede
“saltar” de un lado a otro de la ecuación cambiando de operación: si suma, pasa
restando; si resta, pasa sumando; si divide, pasa multiplicando; si multiplica, pasa
dividiendo. De esta manera, podemos mover términos de un lado a otro de la
igualdad de una manera mucho más ágil y sencilla.
Si hacemos caso de lo dicho, podemos pasar el 3 que multiplica a x al segundo
miembro, pero dividiendo. Por lo tanto, como 3x = – 4;
;
.
es la solución de la ecuación 3x + 4 = 0.
2. Ejemplo 2
Queremos resolver la ecuación 2x + 5 = 7.
Agrupamos términos semejantes, pasando el 5 al segundo miembro: 2x = 7 – 5 ;
2x = 2.
Pasamos el 2 que multiplica a x al segundo miembro, dividiendo:
; por tanto, x
= 1.
1 es la solución de la ecuación 2x + 5 = 7.
3. Ejemplo 3
Queremos resolver la ecuación 3(x + 2) = 5 – 4x.
Eliminamos el paréntesis, aplicando la propiedad distributiva: 3x + 6 = 5 – 4x.
Agrupamos términos semejantes, pasando -4x al primer miembro y +6 al segundo:
3x + 4x = 5 – 6, y simplificamos: 7x = - 1.
Pasamos el 7 al segundo miembro, dividiendo:
;
.
es la solución de la ecuación 3(x + 2) = 5 – 4x.
4. Ejemplo 4
Queremos resolver la ecuación
.
Reducimos toda la ecuación a común denominador:
y eliminamos los
denominadores: 20x + 24 = 15.
Agrupamos términos semejantes: 20x = 15 – 24, y simplificamos, 20x = – 9.
Despejando la x:
;
.
es la solución de la ecuación
.
66
RESOLVER UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es aquella ecuación en la que la incógnita está
elevada al cuadrado. Pero para que esta afirmación sea cierta, la ecuación tiene
que estar simplificada al máximo. Por ejemplo, la ecuación (x - 7)² - (1 + x)² = 2(3x
- 4) no es de segundo grado, ya que si la simplificamos obtenemos una ecuación
de primer grado: 49 – 14x – 1 – 2x = 6x – 8. Es decir, la x2 desaparece durante la
simplificación. Entonces, ¿cómo podemos saber si una ecuación es de segundo
grado?
I. Definición y tipos
1. Definición
Una ecuación de segundo grado es aquella en la que la incógnita aparece elevada
al cuadrado, es decir, no tiene términos de mayor grado. Y al simplificarla, su
forma más compleja siempre se podrá expresar según esta estructura: ax2 + bx +
c = 0.
Cuando una ecuación de segundo grado la expresamos de esta forma, decimos
que la hemos escrito en su forma general.
Notas:
— a, b y c son valores numéricos conocidos y reciben el nombre de coeficientes.
— El coeficiente a ≠ 0.
— El coeficiente c también recibe el nombre de término independiente.
— Resolver una ecuación de segundo grado consiste en encontrar las raíces del
polinomio del primer miembro de la ecuación (escrita en su forma general). En
otras palabras, encontrar cuáles son los valores de x que hacen que el valor
numérico de la expresión sea cero.
2. Ecuaciones de segundo grado incompletas
Al igual que sucede con los polinomios, puede ocurrir que en una ecuación de
segundo grado falte alguno de sus términos. No por ello deja de ser una ecuación
de grado dos, mientras conserve el término ax2. Es decir, si los coeficientes b o c
toman el valor cero estaremos ante una ecuación de segundo grado incompleta.
Ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2 = 0. Podemos escribir esta
ecuación de la forma siguiente: x · (a · x) = 0. De lo que deducimos que x = 0, o a ·
x = 0, y como a ≠ 0, entonces x = 0. Es decir, esta ecuación tiene dos soluciones,
que son la misma: x = 0.
Ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2 + bx = 0. Resolvemos
sacando factor común a x; de ese modo obtenemos que x · (ax + b) = 0. Si
observamos esta expresión, tenemos dos factores que multiplicados son igual a
cero, por lo que tenemos dos posibles soluciones:
— que x sea cero: por lo tanto ya tenemos una de las soluciones, x1 = 0;
— que ax + b = 0: por lo que ax = –b; por lo tanto, la otra solución será:
Ejemplo: resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: 4x2 – 12x = 0.
Solución: sacando factor común a x, x · (4x – 12) = 0, de donde:
67
Ecuación de segundo grado incompleta del tipo ax2 + c = 0. Resolvemos
despejando: ax2 = –c;
;
Por lo que obtenemos dos posibles soluciones:
Ejemplo: resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: 7x2 – 28 = 0.
Solución:
3. Ecuación de segundo grado completa
Ya hemos visto que la forma general de una ecuación de segundo grado completa
es ax2 + bx + c = 0.
Vamos a intentar resolverla. Para ello, vamos a realizar dos operaciones
aparentemente arbitrarias, pero que tienen como objetivo dejar el primer miembro
de la ecuación como el desarrollo del cuadrado de una suma. Es decir, como una
expresión del tipo: a2 + b2 + 2ab.
68
Ejemplo 1: resuelve la siguiente ecuación de segundo grado: 6x2 – x – 1 = 0.
Solución:
Las soluciones de la ecuación 6x2 – x – 1 = 0, son:
69
Ejemplo 2: resuelve esta ecuación de segundo grado:
Solución:
— Simplificamos la ecuación hasta dejarla expresada en su forma general:
; x (6x + 16) = 9 + x; 6x2 + 16x = 9 + x; 6x2 + 16x – x – 9 = 0;
6x2 + 15x – 9 = 0
— Aplicamos la fórmula:
Y obtenemos:
— Las soluciones de la ecuación
, son:
3. Análisis del discriminante y los tipos de soluciones de una ecuación de
segundo grado
Se denomina discriminante al radicando de la fórmula general. Es decir, la
expresión contenida dentro de la raíz cuadrada que forma parte de la fórmula: b2 –
4 · a · c.
El valor del radicando de la raíz cuadrada va a condicionar el posible resultado de
la misma. Un rápido análisis del valor de esta expresión, del discriminante, nos
puede dar mucha información acerca de cómo van a ser las soluciones de la
ecuación que tengamos delante. Veamos:
70
— Si el valor numérico del discriminante es mayor que cero, entonces la raíz
cuadrada se podrá calcular. La raíz cuadrada tendrá dos soluciones y, por lo tanto,
la ecuación también tendrá dos soluciones.
— Si el discriminante es cero, la ecuación tendrá una sola solución. Ya que solo
dependerá del valor de .
— Si el valor del discriminante es negativo, ya hemos visto que la raíz cuadrada
no tendría solución y en consecuencia la ecuación tampoco.
Ejemplo 1: comprueba cuántas soluciones tiene la ecuación x2 – x – 6 = 0.
Solución: calculamos el valor del discriminante: (–1)2 –4 · 1 · (–6) = 1 + 24 = 25.
Se trata de un número mayor que cero, por lo que la ecuación tendrá dos
soluciones diferentes.
Ejemplo 2: comprueba cuántas soluciones tiene la ecuación 3x2 – 6x + 3 = 0.
Solución: calculamos el valor del discriminante: (–6)2 – 4 · 3 · 3 = 36 – 36 = 0. La
raíz cuadrada de cero es cero, luego la solución quedaría:
Es decir, esta ecuación tiene una sola solución, el 1.
Ejemplo 3: analiza cuántas soluciones tiene la ecuación 5x2 - 2x + 1 = 0.
Solución: calculamos el valor del discriminante: (–2)2 – 4 · 5 · 1 = 4 – 20 = – 16. La
raíz cuadrada de –16 no tiene solución, luego esta ecuación no tiene solución en
el conjunto de los números reales.
II. Propiedades de las soluciones de una ecuación de segundo grado
1. Suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado
Ya hemos visto que en una ecuación de segundo grado, x1 y x2 son:
Vamos a ver qué ocurre cuando las sumamos:
; expresamos con un solo denominador:
; reordenamos el numerador:
71
; sumamos, teniendo en cuenta que:
= 0. Luego, nos queda:
.
Por lo tanto, la suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es:
Ejemplo: dada la ecuación 3x2 + 2x + 1 = 0, calcula el valor de la suma de sus
soluciones.
Solución: como sabemos que
, entonces:
2. Producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado
Tenemos que las soluciones de una ecuación de segundo grado son:
Vamos a ver qué ocurre cuando las multiplicamos:
; multiplicamos:
; tenemos en el numerador una suma por
una diferencia (diferencia de cuadrados):
; resolvemos:
72
Por lo tanto, el producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es:
Ejemplo: dada la ecuación 3x2 + 2x + 1 = 0, calcula el valor del producto de sus
soluciones.
Solución: como sabemos que
, entonces:
3. Dadas las soluciones de una ecuación de segundo grado, construir la ecuación
Vistas las dos propiedades anteriores:
El uso de estas propiedades nos permitirá construir una ecuación conociendo sus
soluciones. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo 1: escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones:
Aplicando la propiedad de la suma, tenemos que:
;
Aplicando la propiedad del producto:
;
Tenemos que calcular los tres coeficientes de la ecuación a partir de estas dos
igualdades:
Para ello, damos un valor cualquiera a a, por ejemplo a = 3, y obtenemos b = –16
y c = 5.
73
Por lo tanto, una ecuación de segundo grado que tiene las siguientes soluciones:
Será: 3x2 – 16x + 5 = 0.
Podemos comprobarlo resolviendo la ecuación:
Nota: también podemos escribir una ecuación de segundo grado si nos dan una
de las soluciones y uno de los coeficientes de la ecuación.
Ejemplo 2: escribe una ecuación de segundo que tenga por solución x1 = 5 y cuyo
coeficiente de x, b, sea igual a –3.
Por la propiedad de la suma de las soluciones, sabemos que:
;
Por la propiedad del producto, podemos escribir que:
;
Igualando las dos ecuaciones, tenemos que:
;
;
Es decir, c = 15 – 25a. Y si hacemos a = 1, entonces: c = 15 – 25; c = -10.
La ecuación podría ser: x2 – 3x – 10 = 0.
III. Interpretación gráfica de las soluciones de una ecuación de segundo grado
Al igual que ocurría con las ecuaciones de primer grado, las cuales podían ser
representadas gráficamente como funciones lineales o afines, las ecuaciones de
segundo grado también pueden ser representadas en los ejes de coordenadas
cartesianas.
Cuando una ecuación de segundo grado es expresada en forma de función (f(x) =
ax2 + bx + c), recibe el nombre de función cuadrática. Veamos mediante un
ejemplo las principales características de la función cuadrática.
Ejemplo: representa la función:
.
Solución: creamos una tabla de valores para la función y la representamos
gráficamente:
74
Notas:
— Como podemos comprobar, la representación gráfica de una función cuadrática
es una curva, a la que llamamos parábola.
— También podemos apreciar el valor de la abscisa de los puntos (–6, 0) y (4, 0),
allí donde la parábola corta al eje de abscisas. Se trata de los valores de x que
hacen que el valor de la función sea cero:
Es decir, serían las soluciones de la ecuación correspondiente de segundo grado.
— Si observamos el lugar donde la parábola corta al eje de ordenadas,
comprobaremos que se trata del punto (0, –12). Y el valor –12 es, precisamente, el
valor del término independiente de la ecuación de segundo grado.
Por último, vamos a resolver analíticamente la ecuación de segundo grado para
comprobar la validez de las soluciones obtenidas gráficamente:
75
RESOLVER ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES
Para resolver una ecuación o inecuación lineal con una incógnita, aislamos el
término que contiene la incógnita en un miembro de la ecuación o inecuación.
Ahora vamos a estudiar cómo hallar la solución de dos ecuaciones o dos
inecuaciones a la vez. Esta situación ocurre cuando queremos resolver un sistema
de ecuaciones o inecuaciones, un producto de ecuaciones o inecuaciones, o una
ecuación o inecuación con valores absolutos.
I. Resolver un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita,
resolvemos cada una de las inecuaciones, obteniendo para cada una un intervalo
como solución. A continuación, buscamos la intersección o parte común de esos
dos intervalos. Si existe, es la solución del sistema de inecuaciones.
Ejemplo:
Queremos resolver el sistema de inecuaciones
.
Estas inecuaciones se pueden simplificar, quedando
.
El conjunto solución del sistema de inecuaciones es la intersección de los dos
intervalos:
, es decir,
. (Para obtener la
intersección es útil representar ambos intervalos.)
II. Resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Existen tres métodos para resolver estos sistemas de ecuaciones: sustitución,
igualación y reducción.
—Si una de las incógnitas tiene un coeficiente de 1 o -1, es preferible usar el
método de sustitución.
En una de las ecuaciones despejamos la incógnita cuyo coeficiente es 1 o -1 en
función de la otra incógnita, y a continuación sustituimos la expresión de esa
incógnita en la segunda ecuación.
Ejemplo:
En el sistema de ecuaciones
, si expresamos x en función de y en
la primera ecuación, obtenemos el sistema siguiente:
Ahora sustituimos x por
en la segunda ecuación, resultando:
.
, que simplificando queda
, de donde
podemos calcular el valor de y, y sustituirlo en la primera ecuación para obtener x:
.
Es decir, la solución del sistema es: x = -1, y = 2.
76
—Si una de las incógnitas tiene de coeficientes 1 o –1 en las dos ecuaciones, es
preferible usar el método de igualación.
En las dos ecuaciones despejamos la incógnita cuyo coeficiente es 1 o -1 en
función de la otra incógnita, y a continuación igualamos las expresiones obtenidas.
Ejemplo:
En el sistema de ecuaciones
, si expresamos x en función de y en las
dos ecuaciones, obtenemos el sistema siguiente:
.
Igualando ambas expresiones, resulta: 3 - 2y = 7 + 2y, de donde -2y – 2y = 7 – 3.
Operando con esta igualdad, obtenemos el valor de la variable y: -4y = 4, de
donde y = -1.
Sustituyendo este valor en cualquiera de las dos expresiones anteriores de x,
resulta: x = 3 - 2·(-1) = 3 + 2 = 5.
Así pues, la solución del sistema es: x = 5, y = -1.
—Si los coeficientes de las incógnitas son distintos de 1 o de -1, usamos el
método de reducción para no tener que operar con fracciones.
Este método consiste en lograr que los coeficientes de una de las dos incógnitas
sean iguales, pero con signos opuestos en las dos ecuaciones. Para ello,
multiplicamos cada ecuación por el número que convenga para lograr que ambas
tengan una de las variables con el mismo coeficiente cambiado de signo. Al
sumarlas después, se anulará esa incógnita, quedando una ecuación con la otra
incógnita, ecuación que ya podemos resolver.
Llevando el valor obtenido a una cualquiera (la más sencilla) de las dos
ecuaciones iniciales, obtendremos el valor de la otra incógnita.
Ejemplo:
En el sistema de ecuaciones
, multiplicamos los términos de la
primera ecuación por 2 y los de la segunda por 3, resultando:
.
Sumando ahora ambas ecuaciones obtenemos: 13x =16, de donde x = 2.
Y sustituyendo este valor en la primera ecuación: 2·2 + 3y = 7, de donde 3y = 3,
resultando y = 1.
La solución del sistema es pues: x = 2, y = 1.
—Un sistema de ecuaciones puede no tener solución o tener infinitas soluciones.
Sea el sistema de ecuaciones
en el que los coeficientes de x y
de y son proporcionales, es decir,
, de donde
. Este sistema no
tiene solución o tiene infinitas soluciones:
—Si
, entonces el sistema anterior no tiene solución.
—Si
(los coeficientes de las dos ecuaciones son proporcionales), entonces
el sistema tiene infinitas soluciones.
III. Efectuar un producto de ecuaciones o inecuaciones de primer grado
77
Para resolver una ecuación que es producto de dos monomios, hallamos los
valores que anulan cada uno de los factores (sus raíces).
Así,
tiene dos soluciones, para
y para
.
Resolviendo cada una de estas dos ecuaciones obtenemos las dos soluciones: x =
-3, x = -0,5.
Para hallar el conjunto de soluciones de un producto de inecuaciones, usamos
una tabla de signos.
Ejemplo:
Para resolver la inecuación
, estudiamos el signo de cada
factor.
La función f(x) = -x - 3 es decreciente porque su pendiente es negativa, m = -1.
Para valores de x menores que (a la izquierda de) x = -3, los correspondientes
valores de y son positivos; para valores de x mayores que (a la derecha de) x = -3,
los valores de y son negativos.
La función f(x) = 2x + 1 es creciente porque su pendiente es positiva, m = 2. Para
valores de x menores que (a la izquierda de) x = -0,5, los correspondientes valores
de y son negativos; para valores mayores que (a la derecha de) x = -0,5, los
valores de y son positivos.
El signo del producto viene dado por la regla de los signos al multiplicar:
El producto de los factores es, por tanto, negativo o cero en los intervalos
y
.
El conjunto solución de la inecuación es la unión de estos dos intervalos. Por
tanto,
.
IV. Resolver una ecuación o una inecuación con valores absolutos
Para resolver una ecuación con valores absolutos, nos basamos en que dos
números iguales pero con signos opuestos tienen el mismo valor absoluto.
Si
,
implica que
o
.
Por ejemplo, de la ecuación
se deduce que
o
.
De donde: x = 5 o x = -1, que son las soluciones de la ecuación.
Gráficamente, se trata de averiguar qué dos puntos de la recta real distan 3
unidades del valor 2.
Para resolver una inecuación con valores absolutos, se plantean dos casos
diferentes.
Cuando
,
es equivalente a
.
78
Por ejemplo,
obtiene que
es la misma expresión que
, de donde se
. Por tanto, el conjunto de soluciones es el intervalo
.
Gráficamente, se trata de averiguar qué puntos de la recta real distan dos
unidades o menos del valor -3.
Cuando
,
es equivalente a
o
.
Por ejemplo,
es lo mismo que
o
, de donde se
obtiene que
o
.
Por tanto, el conjunto de soluciones es:
.
Gráficamente, se trata de averiguar qué puntos de la recta real distan dos
unidades o más del valor -3.
Recuerda
—Para resolver un sistema de inecuaciones tenemos que obtener los valores
comunes a los conjuntos que son la solución de cada inecuación. Hallamos pues
la intersección de estos conjuntos (representada por el símbolo ). Ver también el
artículo Resolver inecuaciones lineales con una incógnita.
—Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas solo tiene una
pareja de soluciones si los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales. Si
los coeficientes de ambas ecuaciones son proporcionales, el sistema tiene infinitas
parejas de soluciones.
—Para resolver una ecuación que es producto de monomios, hallamos las raíces
de cada uno de los factores del producto. En el caso de una inecuación, usamos
una tabla de signos para deducir el intervalo o unión de intervalos que son la
solución.
—Se puede interpretar la expresión
como la distancia entre un punto M de
abscisa igual a x y un punto A de abscisa igual a a sobre la recta real. Esta
interpretación nos permite resolver gráficamente ecuaciones e inecuaciones que
contienen valores absolutos.
79
RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
Un sistema de ecuaciones contiene varias ecuaciones para ser resueltas al mismo
tiempo y puede tener varias incógnitas en cada ecuación.
¿Cómo podemos resolver de forma sencilla un sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas?
I. Definiciones
1. Sistema de ecuaciones con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene esta
estructura:
donde x e y son incógnitas.
a, b, c, d, e y f son valores conocidos que cumplen la siguiente condición: a o b ≠ 0
y d o e ≠ 0.
Ejemplo:
es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas.
2. Resolver un sistema de ecuaciones
Decimos que un par de valores (u, v) es solución de un sistema de ecuaciones si
las igualdades de ambas se cumplen cuando sustituimos x por u e y por v en cada
ecuación.
Ejemplo: queremos comprobar si el par (2, –1) es una solución de este sistema:
Sustituyendo x por 2 e y por –1, obtenemos:
, es decir,
Las igualdades de ambas ecuaciones son ciertas, por lo que podemos afirmar que
el par (2, –1) es la solución de este sistema.
Nota: el orden de los números en el par ordenado es importante. Por ejemplo, si
expresamos la solución como (–1, 2) estaríamos equivocados, ya que la solución
correcta es (2,-1). Esto es así porque la primera componente de un par ordenado
siempre hace referencia a la x, mientras que la segunda componente se refiere
siempre a la y.
II. Métodos de resolución
1. Método de sustitución
Podemos explicar este método mediante un ejemplo.
Resuelve este sistema de ecuaciones:
—Tomamos una de las dos ecuaciones para expresar una de las incógnitas en
función de la otra. Por ejemplo, vamos a expresar la x en función de y usando la
primera ecuación.
Despejando la x en la primera ecuación, el sistema quedaría así:
80
—A continuación, sustituimos la x de la segunda ecuación por el valor que
hemos obtenido en la primera (2y + 3). Por eso llamamos a este método de
“sustitución”.
De manera que ahora tenemos el sistema de la siguiente forma:
—Observa que la segunda ecuación ha quedado como una ecuación de primer
grado con una incógnita, la y, la cual podemos resolver (reservaremos su valor
para utilizarlo más tarde en la primera ecuación). El proceso de simplificación y
resolución de la segunda ecuación quedaría así:
;
;
;
—Ahora que hemos encontrado el valor de la y, lo sustituimos en la primera
ecuación para obtener el valor de x:
, es decir:
La solución de este sistema de ecuaciones es (1, –1).
2. Método de reducción
Explicaremos este método mediante un ejemplo.
Resuelve este sistema de ecuaciones:
—Multiplicamos por 2 los dos miembros de la primera ecuación, de manera que
tengamos el mismo coeficiente para la y en ambas ecuaciones.
El sistema quedaría así:
.
—Ahora, si restamos las dos ecuaciones, observaremos cómo la incógnita
desaparece en ambas:
Observa:
y si despejamos:
.
—Ya solo nos queda sustituir este valor en cualquiera de las dos ecuaciones
iniciales para obtener el resultado de la y.
Tomamos el sistema desde el principio
cualquiera de ellas :
;
;
;
La solución del sistema es (3,5, 1,5).
3. Método de igualación
Explicaremos este método mediante un ejemplo.
Resuelve este sistema de ecuaciones:
y sustituimos la x en
;
;
.
81
—Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones. La que queramos, por
ejemplo la y:
—Como las dos ecuaciones son iguales a y, igualamos el segundo miembro de
ambas y construimos así una ecuación de primer grado con una incógnita:
Simplificamos y resolvemos para hallar x:
;
;
;
;
.
—Solo nos queda sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema
y obtendremos el valor para y:
;
;
;
.
La solución del sistema es (–1, 3).
Nota 1: los tres métodos, sustitución, reducción e igualación, pueden ser usados
para resolver cualquier sistema de ecuaciones. Sin embargo, dependiendo de las
ecuaciones, nos interesará elegir un método u otro, según cuál nos resulte más
sencillo de utilizar.
Nota 2: cuando nos encontremos con que algunos de los coeficientes de las
ecuaciones sean fraccionarios, es conveniente reducir las fracciones a común
denominador y eliminar denominadores antes de empezar a aplicar cualquiera de
los tres métodos.
82
ESCRIBIR EL TEXTO DE UN PROBLEMA COMO ECUACIÓN (1)
La masa total de una botella con su tapón es 110 g. La botella sola pesa 100 g
más que el corcho. ¿Cuál es la masa del corcho?
Si respondiéramos sin pensar, diríamos que la masa del corcho es 10 g, lo cual es
erróneo. Como la botella pesa 100 g más, esto es 110 g, la masa total de la botella
y el corcho debería ser 120 g (110 + 10 = 120). De hecho, la masa del corcho es 5
g y la masa de la botella de 105 g.
¿Cómo usamos una ecuación para resolver un problema y evitar equivocaciones
de este tipo?
I. Un problema analítico
1. Enunciado
Un jardinero planta bulbos de tulipanes en un parterre. Un tercio de esos bulbos
serán tulipanes rojos, la cuarta parte serán blancos, una sexta parte serán negros
y otra sexta parte amarillos. Finalmente, planta 3 bulbos de tulipanes rosas.
¿Cuántos bulbos ha plantado el jardinero?
2. Seleccionar la incógnita
Digamos que x será el número total de bulbos plantados, siendo x, por lo tanto, un
número entero positivo (natural).
Nota: elegimos una incógnita e imaginamos que estamos preparados para
conocer la respuesta.
3. Escribir un problema como una ecuación
Escribir un problema como una ecuación significa escribir el enunciado literal
como una expresión algebraica.
El jardinero planta
de los tulipanes rojos,
de los tulipanes blancos,
de los
tulipanes negros,
de los tulipanes amarillos y finalmente planta 3 tulipanes de
color rosa.
En total, ha plantado x bulbos de tulipanes.
Podemos expresar el número total de bulbos de una forma diferente, mediante la
suma del número de bulbos de cada color. Es decir, han sido plantados, los
siguientes bulbos:
Esto nos permite escribir la ecuación:
Es decir, establecemos una igualdad entre la incógnita (x), o número total de
bulbos plantados, y la suma de cada uno de los tipos de bulbo.
4. Resolver la ecuación
Agrupamos todos los términos en x en el primer miembro de la ecuación (lo cual
significa que los términos
manera que la ecuación quedaría así:
pasan restando al primer miembro). De
83
Sacamos factor común a x:
Reducimos los términos dentro del paréntesis a común denominador y obtenemos:
Resolvemos el paréntesis:
Como último paso despejamos, pasando el 12 multiplicando al segundo miembro:
x = 3 · 12; x = 36.
5. Volviendo al problema: comprobación del resultado
El jardinero planta un total de 36 tulipanes.
En efecto, hay 12 tulipanes rojos
, 9 tulipanes blancos
, 6
tulipanes negros, 6 tulipanes amarillos
, y 3 tulipanes de color rosa.
Por último, comprobamos que la igualdad de la ecuación se cumple: 12 + 9 + 6 + 6
+ 3 = 36.
II. Un problema de geometría
1. Enunciado
Queremos excavar en un parque, un estanque rectangular rodeado por un camino
de 2 m de ancho. El estanque tiene 8 m de ancho. ¿Cuántos metros de largo
deberá tener el estanque para que su área sea igual a la del camino?
2. Seleccionar la incógnita y escribir la ecuación
Llamaremos x al largo del estanque, en metros; x deberá ser un número positivo.
Los lados exteriores del camino forman un rectángulo (ABCD de la figura 1), cuya
anchura será de 12 m, porque 2 + 8 + 2 = 12. Ahora vamos a expresar el largo de
este rectángulo que forma el camino, y para ello haremos uso de x: el largo, en
metros, será x + 4, ya que 2 + x + 2 = x + 4.
El área de este rectángulo mayor (en m²) es 12(x + 4).
84
El área del estanque (en m²) es 8x.
Si observas detenidamente el dibujo, comprobarás que el área del rectángulo
grande sería equivalente a la suma de las áreas del estanque y del camino. Como
resulta que el problema nos dice que camino y estanque tienen la misma área,
tenemos otra forma de expresar el área del rectángulo grande: diciendo que es la
suma de estas dos últimas, que además son iguales.
Por lo tanto tenemos dos ecuaciones que nos hablan del rectángulo grande:
Y si las igualamos, tenemos la ecuación: 12(x + 4) = 2 · 8x.
3. Resolver la ecuación
Aplicamos la propiedad distributiva en el primer miembro y hacemos la
multiplicación de los términos del segundo miembro. Así, obtenemos:
12x + 48 = 16x.
Si agrupamos los términos en x en el segundo miembro, la ecuación quedaría así:
48 = 16x – 12x.
Simplificamos, 48 = 4x, y despejamos:
.
Por lo tanto, x = 12 m.
4. Volviendo al problema: comprobación del resultado
El estanque debe tener 12 m de largo para que las áreas del camino y del
estanque sean iguales.
Podemos comprobar que el área del estanque es de 96 m² (8 × 12 = 96) y que el
área del camino también es de 96 m² ((12 × 16) – 96 = 96); para calcular el área
del camino le hemos restado al rectángulo grande el área del estanque.
ESCRIBIR EL TEXTO DE UN PROBLEMA COMO ECUACIÓN (2)
En matemáticas, y en cualquier disciplina científica, hay muchos problemas que
pueden ser resueltos usando las ecuaciones.
¿Cómo podemos escribir un problema como una ecuación?
Una vez que la ecuación ha sido resuelta, ¿cómo podemos interpretar el resultado
para responder al problema?
I. Seleccionar la incógnita y escribir la ecuación
El primer paso para escribir la ecuación de un problema es encontrar la incógnita.
Dependiendo del problema, o de si hay varias alternativas para la incógnita,
elegiremos aquella que nos proporcione la construcción de una ecuación lo más
sencilla posible.
Ejemplo: dos hermanos tienen una diferencia de edad de 12 años (uno es 12 años
mayor que el otro). La edad del mayor es cuatro veces la edad del pequeño. ¿Cuál
es la edad de los dos hermanos?
Llamaremos x a la edad del hermano pequeño (hemos elegido la incógnita). Por lo
tanto, a la edad del hermano mayor podemos llamarla 4x.
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Si ahora interpretamos la frase que habla de la diferencia de edades entre el
mayor y el pequeño, podemos escribir: 4x – x = 12. Ya tenemos planteada la
ecuación; solo quedaría resolverla.
Si hubiéramos elegido la edad del hermano mayor como incógnita (x), no
habríamos estado tan acertados, porque habríamos expresado la edad del
pequeño como y la ecuación obtenida habría sido más compleja:
.
II. Resolver la ecuación y responder al problema
Volvamos de nuevo al problema anterior, donde identificamos x con la edad del
hermano pequeño, y resolvamos la ecuación obtenida: 4x – x = 12, que
simplificada es 3x = 12; despejando x obtenemos que:
Por lo tanto, x = 4.
Una vez resuelta la ecuación, debemos dar respuesta a la pregunta del problema.
El hermano pequeño tiene 4 años. Según el texto del problema, el hermano mayor
le cuadruplica en edad, es decir, tiene 4 · 4 = 16 años.
Por último, es muy importante comprobar que los dos resultados dan respuesta al
problema.
16 – 4 = 12, esta igualdad nos demuestra que se cumple el enunciado inicial del
problema, que habla de que sus edades se diferencian en 12 años.
III. Otros ejemplos
1. Ejemplo 1
Problema: encuentra tres números consecutivos cuya suma sea 351.
Escribimos la ecuación: llamemos x al más pequeño de los tres números.
Entonces, los otros dos números podríamos escribirlos así: x + 1 y x + 2, ya que la
palabra clave de este enunciado es “consecutivos” (x + 1 es el número que sigue
—el consecutivo— a x). El enunciado termina diciendo que la suma de los tres
número es 351, por lo tanto, ya podemos escribir la ecuación:
x + (x +1) + (x + 2) = 351.
Solución: simplificamos la ecuación y resolvemos:
x + x + 1 + x + 2 = 351
3x + 3 = 351
3x = 351 – 3
3x = 348
x = 116
Respuesta: el número más pequeño de los tres es 116. Los otros dos números
son, por lo tanto, 117 y 118. Podemos comprobar la certeza del resultado
resolviendo la suma de los tres números: 116 + 117 + 118 = 351.
2. Ejemplo 2
Problema: una alfombra rectangular es tres veces más larga que ancha, y tiene
una superficie de 2,43 m². Calcula las dimensiones de la alfombra en metros.
Escribimos la ecuación: x es el ancho de la alfombra en metros. Por consiguiente,
podemos expresar el largo de la alfombra como 3x. Ahora usaremos la fórmula
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que calcula el área de un rectángulo
, introduciendo en ella los datos que
nos ofrece el enunciado, y así ya tendremos la ecuación:
Solución: simplificamos y resolvemos.
3x² = 2,43
x² = 0,81
Las posibles soluciones de esta ecuación son
y
, esto es: 0,9 y –0,9.
Respuesta: en nuestro problema, la incógnita x hace referencia a una magnitud
física que no puede tomar valores negativos: la longitud. Por lo tanto, la única
solución válida para este problema es aquella que tiene un valor positivo. Es
decir, la única solución aceptable para el ancho de la alfombra es 0,9. De aquí
deducimos que su largo es 3 × 0,9 = 2,7 m. Comprobemos ahora los resultados
calculando el valor del área de la alfombra: 0,9 m × 2,7 m = 2,43 m2.
Este ejemplo nos ha servido para demostrar que las soluciones de la ecuación que
usamos para resolver un problema, no siempre son las soluciones del problema.
3. Ejemplo 3
Problema: en la terraza de una cafetería, un grupo de amigos han tomado 3 cafés
y 2 batidos. El coste total de la consumición ha sido de 5,10 €. En la mesa de al
lado, otros clientes han tomado 2 cafés y 3 batidos y han pagado 5,40 €. Calcula
el precio de un café y de un batido.
Escribimos la ecuación: vamos a llamar x al precio de un café. Llamaremos y al
precio de un batido, en euros. La cuenta pagada en cada mesa puede ser escrita
en forma de ecuación, con lo que obtenemos dos ecuaciones que juntas forman
un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
Solución: este sistema de ecuaciones podemos resolverlo usando el método de
reducción. Si multiplicamos la primera ecuación por -3 y la segunda por 2, el
sistema quedaría así:
Sumamos ambas ecuaciones:
Y, despejando,
; x = 0,9.
Ahora sustituimos el valor x = 0,9 en cualquiera de las dos ecuaciones:
Simplificamos, 3,6 + 6y = 10,80, y agrupamos términos semejantes:
Volvemos a simplificar, 6y = 7,2, y despejamos:
; y = 1,2.
.
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Respuesta: el precio de un café es de 0,9 € y el precio de un batido es de 1,2 €.
Podemos comprobar la exactitud de los resultados calculando el precio pagado en
cada mesa:
—en la primera mesa: 3 × 0,90 + 2 × 1,20 = 2,70 + 2,40 = 5,10, esto es: 5,10 €;
—en la segunda mesa: 2 × 0,90 + 3 × 1,20 = 1,80 + 3,60 = 5,40, esto es: 5,40 €.
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LÍMITE
Límite. (Del lat. limes, -ĭtis). m. Línea real o imaginaria que separa dos terrenos,
dos países, dos territorios. || 2. Fin, término. U. en aposición en casos como
dimensiones límite, situación límite. || 3. Extremo a que llega un determinado
tiempo. El límite de este plazo es inamovible. || 4. Extremo que pueden alcanzar lo
físico y lo anímico. Llegó al límite de sus fuerzas. || 5. Mat. En una secuencia
infinita de magnitudes, magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los
términos de la secuencia. Así, la secuencia de los números 2n/(n+1), siendo n la
serie de los números naturales, tiene como límite el número 2. || ~ inferior. m.
Mat. En un conjunto de magnitudes, magnitud máxima que es inferior a todas las
del conjunto. || ~ superior. m. Mat. En un conjunto de magnitudes, magnitud
mínima que es superior a todas las del conjunto. || sin ~, o sin ~s. locs. adjs. Que
carece de límites. || 2. Muy grande, enorme. || 3. locs. advs. Con desmesura.
Límite
Límite, en matemáticas, valor que toma una expresión cuando una de sus
variables tiende hacia un valor dado, que generalmente es infinito.
CÁLCULO
1. INTRODUCCIÓN
Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en
las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la
determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre
todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma
continua.
2. EVOLUCIÓN HISTÓRICA
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen
de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número
infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y
Arquímedes utilizaron el 'método de agotamiento' para encontrar el área de un
círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin
embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas
de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el
siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los
infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para encontrar
el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos).
Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban
relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz
(hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como
teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su
teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación
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aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por
adoptarse la notación de Leibniz.
En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del
cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así
como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus
fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés George
Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades
por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y
Augustin Louis Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas; Cauchy
y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl
Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones
diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables,
aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional,
legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los
ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.
3. CÁLCULO DIFERENCIAL
El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos
variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la
dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo
e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño
incremento h en la x, de un valor x0 a x0 + h, produce un incremento k en la y que
pasa de y0 = f(x0) a y0 + k = f(x0 + h), por lo que k = f(x0 + h) - f(x0). El cociente k/h
representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x0 a x0 + h. La gráfica
de la función y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta
AB entre los puntos A = (x0,y0) y B = (x0 + h, y0 + k) en esta curva; esto se muestra
en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo
BAC.
Si h tiende hacia 0, para un x0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio
instantáneo de la y en x0; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva
y = f(x), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT, en el punto A. Por
esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A.
Así, se define la derivada f′(x0) de la función y = f(x) en x0 como el límite que toma
k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:
Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva
en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada
representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f′(x0)
indican que f(x) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x0. La
derivada de una función es a su vez otra función f′(x) de x, que a veces se escribe
como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f(x) = x2 (parábola), entonces
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Por lo que k/h = 2x0 + h, que tiende hacia 2x0 cuando h tiende hacia 0. La
pendiente de la curva cuando x = x0 es por tanto 2x0, y la derivada de f(x) = x2 es
f′(x) = 2x. De manera similar, la derivada de xm es mxm-1 para una m constante.
Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla
adjunta con algunos ejemplos).
Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos
detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero
siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada en todas
las x0, pues k/h puede no tener un límite cuando h → 0; por ejemplo, f(x) = |x| no
tiene derivada en x0 = 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0 o h < 0;
geométricamente, la curva tiene un vértice (y por tanto no tiene tangente) en A =
(0,0). Tercero, aunque la notación dy/dx sugiere el cociente de dos números dy y
dx (que indican cambios infinitesimales en y y x) es en realidad un solo número, el
límite de k/h cuando ambas cantidades tienden hacia cero.
Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al
combinar dos funciones u y v, su derivada f′ se puede obtener a partir de u, v y sus
respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la
suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f(x) =
u(x) + v(x) para todas las x) entonces f′ = u′ + v′. Una regla similar se aplica para la
diferencia: (u - v)′ = u′ - v′. Si una función se multiplica por una constante, su
derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, (cu)′ = cu′ para
cualquier constante c. Las reglas para productos y cocientes son más
complicadas: si f = uv entonces f′ = uv′ + u′v, y si f = u/v entonces f′ = (u′v-uv′)/v2
siempre que v(x) ≠ 0. Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones
complicadas; por ejemplo, las derivadas de x2 y x5 son 2x y 5x4, por lo que la
derivada de la función 3x2 - 4x5 es (3x2 - 4x5)′ = (3x2)′ - (4x5)′ = 3·(x2)′ - 4·(x5)′ =
3·(2x) - 4·(5 x4) = 6x - 20x4. En general, la derivada de un polinomio cualquiera f(x)
= a0 + a1x + ... + anxn es f′(x) = a1 + 2a2x + ... + nanxn-1; como caso particular, la
derivada de una función constante es 0. Si y = u(z) y z = v(x), de manera que y es
una función de z y z es una función de x, entonces y = u(v(x)), con lo que y es
función de x, que se escribe y = f(x) donde f es la composición de u y v; la regla de
la cadena establece que dy/dx = (dy/dz)·(dz/dx), o lo que es lo mismo, f′(x) =
u′(v(x))·v′(x). Por ejemplo, si y = ez en donde e = 2,718... es la constante de la
exponenciación, y z = ax donde a es una constante cualquiera, entonces y = eax;
según la tabla, dy/dz = ez y dz/dx = a, por lo que dy/dx = aeax.
Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por
ejemplo, sea y la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el
instante x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en
la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir,
dy/dx = ay con una cierta constante negativa a. Para hallar y en función de x, hay
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que encontrar una función y = f(x) tal que dy/dx = ay para cualquier x. La forma
general de esta función es y = ceax en donde c es una constante. Como e0 = 1,
entonces y = c para x = 0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo x = 0) de
material en la muestra. Como a<0, se tiene que eax → 0 cuando x crece, por lo que
y → 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este
es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si a es una
constante positiva, se obtiene la misma solución, y = ceax, pero en este caso
cuando el tiempo transcurre, la y crece rápidamente (como hace eax si a>0). Esto
es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b y que se pone de
manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales
donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población.
4. CÁLCULO INTEGRAL
El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado
integración. Dada una función f, se busca otra función F tal que su derivada es F′ =
f; F es la integral, primitiva o antiderivada de f, lo que se escribe F(x) = ∫f(x)dx o
simplemente F = ∫f dx (esta notación se explica más adelante). Las tablas de
derivadas se pueden utilizar para la integración: como la derivada de x2 es 2x, la
integral de 2x es x2. Si F es la integral de f, la forma más general de la integral de f
es F + c, en donde c es una constante cualquiera llamada constante de
integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que (F +
c)′ = F′ + c′ = f + 0 = f. Por ejemplo, ∫2xdx = x2 + c.
Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de
la diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma (o
diferencia) de sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una
constante. Así, la integral de x = ½·2x es ½x2, y de forma similar ∫xm dx = xm+1/(m +
1) para cualquier m ≠ -1 (no se incluye el caso de m = -1 para evitar la división por
0; el logaritmo neperiano ln|x| es la integral de x-1 = 1/x para cualquier x ≠ 0). La
integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las
funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la
tabla).
Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea A el
área de la región delimitada por la curva de una función y = f(x) y por el eje x, para
a ≤ x ≤ b. Para simplificar, se asume que f(x) ≥ 0 entre a y b. Para cada x ≥ a, sea
L(x) el área de la región a la izquierda de la x, así es que hay que hallar A = L(b).
Primero se deriva L(x). Si h es una pequeña variación en la x, la región por debajo
de la curva entre x y x + h es aproximadamente un rectángulo de altura f(x) y
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anchura h (véase figura 3); el correspondiente incremento k = L(x + h) - L(x) es por
tanto, aproximadamente, f(x)h, por lo que k/h es, aproximadamente, f(x). Cuando h
→ 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores exactos, así es que k/h → f(x)
y por tanto L′(x) = f(x), es decir, L es la integral de f. Si se conoce una integral F de
f entonces L = F + c para cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0 (pues el área a
la izquierda de la x es cero si x = a), con lo que c = -F(a) y por tanto L(x) = F(x) F(a) para todas las x ≥ a. El área buscada, A = L(b) = F(b) - F(a), se escribe
Éste es el teorema fundamental del cálculo, que se cumple siempre que f sea
continua entre a y b, y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo
del eje x es negativa, pues f(x) < 0. (Continuidad significa que f(x) → f(x0) si x→ x0,
de manera que f es una curva sin ninguna interrupción).
El área es una integral definida de f que es un número, mientras que la integral
indefinida ∫f(x)dx es una función F(x) (en realidad, una familia de funciones F(x) +
c). El símbolo ∫ (una S del siglo XVII) representa la suma de las áreas f(x)dx de un
número infinito de rectángulos de altura f(x) y anchura infinitesimal dx; o mejor
dicho, el límite de la suma de un número finito de rectángulos cuando sus
anchuras tienden hacia 0.
La derivada dy/dx = f′(x) de una función y = f(x) puede ser diferenciada a su vez
para obtener la segunda derivada, que se denota d2y/dx2, f′′(x) o D2f. Si por
ejemplo x es el tiempo e y es la distancia recorrida, entonces dy/dx es la velocidad
v, y d2y/dx2 = dv/dx es el incremento en la velocidad, es decir, la aceleración.
Según la segunda ley del movimiento del Newton, un cuerpo de masa constante m
bajo la acción de una fuerza F adquiere una aceleración a tal que F = ma. Por
ejemplo, si el cuerpo está bajo la influencia de un campo gravitatorio F = mg
(donde g es la magnitud del campo), y entonces ma = F = mg por lo que a = g, y
por tanto dv/dx = g. Al integrar, se tiene que v = gx + c, en donde c es una
constante; sustituyendo x = 0 se ve que c es la velocidad inicial. Integrando dy/dx
= v = gx + c, se tiene que y = ½gx2 + cx + b en donde b es otra constante;
sustituyendo de nuevo x = 0 se tiene que b es el valor inicial de la y.
Las derivadas de orden superior f(n)(x) = dny/dxn = Dnf de f(x) se calculan
diferenciando n veces sucesivamente. El teorema de Taylor muestra que f(x) se
puede aproximar como una serie de potencias f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn +
..., donde los coeficientes a0,a1, ... son constantes tales que an = f(n)(0)/n! (en
donde 0!=1 y n!= 1 × 2 × 3 × ... × n para cualquier n ≥ 1). Las funciones utilizadas
más a menudo pueden aproximarse por series de Taylor; por ejemplo si f(x) = ex
se tiene que f(n)(x) = ex para cualquier n, y que f(n)(0) = e0 = 1 por lo que:
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5. DERIVADAS PARCIALES
Las funciones con varias variables tienen también derivadas. Sea z = f(x, y), es
decir, z es función de x e y. Si se mantiene y constante temporalmente, z es una
función de x, con lo que al diferenciar se obtiene la derivada parcial δz/δx = δf/δx;
de la misma manera, si se toma la x como constante y se diferencia con respecto
de la y se obtiene δz/δy = δf/δy. Por ejemplo, si z = x2 - xy + 3y2 se tiene que δz/δx
= 2x - y y que δz/δy = -x + 6y. Geométricamente, una ecuación z = f(x, y) define
una superficie en un espacio tridimensional; si los ejes x e y son horizontales y el
eje z es vertical, entonces δz/δx y δz/δy representan los gradientes de dicha
superficie en el punto (x, y, z) en la dirección de los ejes x e y, respectivamente.
Las derivadas parciales también se pueden calcular para funciones con más de
dos variables, considerando que todas las variables menos una son constantes y
derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular
derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son importantes en
las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas
variables, como el espacio y el tiempo.