Ecuaciones y funciones de primer grado

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.
Actividad nº: 7
Nivel: 2º ciclo.
Tema: Ecuaciones I.
Objetivos: O54-O60
Metodología: Aula, Individual.
Alumno: _____________________________________ Curso/Grupo: _____ Nº: ____
Ecuaciones de primer grado.
Conceptos:
 Identidad: Es una igualdad algebraica que se cumple para cualquier valor que
le demos a las variables.
 Ejemplo: x  32  x2  6x  9 , si damos valores a x construiríamos la siguiente tabla:
x x  32 x 2  6x  9
-2
1
1
-1
4
4
0
9
9
1
16
16
2
25
25
Como puedes observar, se obtiene siempre el mismo valor en ambos miembros de la
igualdad, por lo tanto se trata de una identidad.
 Variable: es toda letra que figura en la expresión.
 Miembros de una ecuación: son las expresiones que se encuentran a ambos
lados de la igualdad. El que está a la izquierda es el 1er miembro, y el que
está a la derecha es el 2º miembro.
 Cada miembro de la ecuación es un polinomio, con su grado y sus variables.
 Clasificación de las ecuaciones:
 Por el número de variables:
 De una, dos, tres, etc. ... variables. (nº de letras)
 Por el grado del término de mayor grado:
 De 1er grado, 2º grado, 3er grado, etc. ...
 Una ecuación de primer grado es una igualdad algebraica que solo se cumple
para determinados valores de la variable, y ésta está elevada a exponente uno.
 Ejemplo: 2 x  3  x  5 , si damos valores a x construiríamos la siguiente tabla:
x 2x  3 x  5
-2
-1
3
-1
1
4
0
3
5
1
5
6
2
7
7
Como puedes observar, se obtienen valores distintos para un mismo valor de la variable,
solo cuando coinciden ambos, estamos hablando de la solución de la ecuación.
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 La forma general de una ecuación de primer grado es a  x  b . También
se escribe en ocasiones como: a  x  d  0
 Se nos pueden presentar los siguientes casos:
 Que a y b sean los dos distintos de cero. En este caso hay una única solución.
 Que a sea cero y b distinto de cero. En este caso no hay solución.
 Que a y b sean los dos cero. En este caso hay infinitas soluciones.
 Que b sea cero y a distinto de cero. En este caso la solución es x = 0.
 Ecuación equivalente: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas
soluciones.
 Principios de equivalencia:
 Si a los dos miembros de una ecuación se le suman o restan las mismas
cantidades la ecuación no varía, tiene las mismas soluciones.
 Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por una
misma cantidad, distinta de cero (  0 ), la ecuación no varía, tiene las
mismas soluciones.
 Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de las variables para los
cuales se cumple la igualdad.
 Los métodos de resolución son muy variados, pero, en general, se pueden
resumir en tres:
 Métodos numéricos.
 Métodos gráficos.
 Métodos analíticos o algebraicos.
 Método numérico:
 Consiste en generar una tabla de valores, lo suficientemente amplia como para
ver dónde o para que valores de x se cumple la igualdad a  x  d  0 , o si
ambos miembros de la igualdad a  x  b , coinciden.
 Ejemplo:
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y=2x-4
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
y=--x-2
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y=x/2-12/6
-5
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
Los valores de x donde obtenemos como valor resultante de la ecuación el valor nulo,
son las soluciones de la ecuación.
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 Método gráfico:
 Si representamos éstos valores en un sistema de ejes cartesiano (dos ejes
perpendiculares entre sí, uno vertical, eje OY o eje de ordenadas, y otro
horizontal, eje OX o eje de abscisas) obtendremos, al unir los puntos, una
gráfica, y el o los puntos en los cuales dicha gráfica corte al eje de
abscisas, esos valores de x serán la o las soluciones.
 Método analítico:
 Para resolver una ecuación de primer grado, lo primero que hay que
hacer es llegar a obtener la expresión general de una ecuación de 1er grado del
apartado anterior aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos
del cálculo en general:





Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad
distributiva del producto respecto a la suma.
Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos
miembros a común denominador.
Reducir términos semejantes en ambos miembros.
Transponer términos, pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no la contengan, y volver a reducir
términos. (Aplicar los principios de equivalencia de ecuaciones)
Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modo que la variable quede aislada en el 1er miembro y con
coeficiente la unidad, 1)
 Ejemplo:







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2   x  1

x4
1  x 
3   x  2
3
15
5
Quitar paréntesis: (Propiedad distributiva)
2x  2 x  4
3x  6

1  x 

3
15
5
Quitar denominadores: (Reducir a común denominador)
10x  10  x  4  15 15x  9x  18


15
15
Reducir términos semejantes en ambos miembros:
 9 x  1  6 x  18
Transponer términos: (Principios de equivalencia)
 9x  1  6x  1  6x  18  6x  1
Reducir términos semejantes en ambos miembros:
 3x  17
Despejar la variable: (Principios de equivalencia)
1
1
 3x   17 
3
3
Simplificar los coeficientes:
17
 x
solución de la ecuación.
3
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 Todo seguido, quedaría:
2   x  1

x4
1  x 
3   x  2

2x  2 x  4
3x  6

1  x 

3
15
5
3
15
5
10 x  10  x  4  15 15 x  9x  18
17


 9x  1  6x  18  3x  17  x 
solu15
15
3
ción de la ecuación.
 Escritura algebraica de un enunciado literal en cualquier idioma:
 Casi cualquier frase se puede traducir a lenguaje matemático, por ejemplo:
 El doble de un número: 2  n
 El anterior a un número: n  1
 Un número par: 2  n
 El cuadrado de un número: n 2

El cuadrado de una suma: a  b2




Una suma de cuadrados: a 2  b 2
Una diferencia de cuadrados: a 2  b 2
2
El cuadrado de una diferencia: a  b
Etc. ....
 Resolución de problemas mediante ecuaciones.
 Debemos plantear el problema correctamente, para ello:
 Leer atentamente el enunciado, al menos tres veces, una para ver de
que va, otra para anotar lo que nos dan y una tercera para elegir la o
las incógnitas o variables de nuestra ecuación.
 Traducir toda la información a lenguaje matemático o algebraico.
 Establecer la igualdad correspondiente.
 Proceder con los pasos establecidos para la resolución analítica de una
ecuación de 1er grado.
 Comprobar que la solución no carece de sentido y cumple con el planteamiento del problema, y en su caso discutir el significado de ésta.
 Ejemplo: La suma de las edades de una familia compuesta por un matrimonio
y sus dos hijos es de 88 años. Averiguar la edad de cada miembro de la familia
sabiendo que el marido es tres años mayor que la esposa, la edad de los hijos
difiere también en tres años y el hijo mayor nació cuando la madre tenía veinticuatro años.
 Pasaremos todos los pasos a una tabla en la que se harán varias elecciones distintas de la variable, y en consecuencia, distintos planteamientos del mismo.
Padre (37)
x+3
x + 24 + 3
x + 3 + 24 + 3
x
Madre (34)
x –3
x + 24
x + 3 + 24
x
Hijo 1º (10)
x – 3 – 24
x – 24
x+3
x
Hijo 2º (7)
x – 3 – 24 – 3
x – 24 – 3
x–3
x
x + x – 3 + x – x + 3 + x + x – x + 24 + 3 + x + x + 3 + 24 + 3 +
3 – 24 + x – 3 – 24 + x – 24 – 3 24 + x + x – 3 = x + 3 + 24 + x +
Planteamiento
24 – 3 = 88  = 88  x = 34 88  x = 10
3 + x = 88  x
x = 37
=7
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Actividades de aplicación.
P1.- Resolver las siguientes ecuaciones enteras de 1er grado:
1.)
3.)
5.)
x
x
x  4



2
3
6
2.)
x
x
3x
1

1 


3
5
4
2
4.)
x 1
5
6.) 1 


2x  1
5
7 
3
x
3
4
x




2
5
3
6
x  2 1  3x x  2



10
15
30
2x  8
21
8.)
4x  4

3x
7
x
x 5

7.)
3
x2
3

x4
5

x 6

7
3
 x  1 2x  3 x  1  x  3  1
 x  4  


   x  3  2  x   0 
4
3
3
 4
 3
P2.- En el bar del Instituto en un grupo de ocho alumnos, tres toman un refresco y cinco un trozo de empanada. Si el refresco cuesta 0,40 € más que la empanada y la
consumición total cuesta 7,60 €, ¿Cuánto tiene que pagar cada uno?.
P3.- Hallar dos números naturales consecutivos, sabiendo que la suma de la cuarta
parte y quinta parte del primero, y la suma de la tercera parte y séptima parte del
segundo, son también dos números naturales consecutivos.
P4.- Ángel repartió sus fotos en tres álbumes. En el primero puso la cuarta parte de las
fotos más ocho fotos. En el segundo la mitad menos dos y en el tercero puso la
quinta parte. ¿Cuántas fotos tenía?. ¿Cuántas puso en cada álbum?.
P5.- Buscar dos números naturales consecutivos tales que, añadiendo al mayor la mitad del menor, el resultado excede en 13 a la suma de la quinta parte del menor
con la onceava parte del mayor.
P6.- Buscar un número tal que la diferencia entre su cuádruplo y la tercera parte del
número dado, menos cuatro, es triple de la suma de la mitad del número dado,
más diez.
P7.- Se quieren repartir 70 € entre tres personas, de modo que la segunda reciba cinco
euros más que la tercera, y la primera tanto como las otras dos juntas. ¿Cuánto
debe recibir cada una?.
P8.- Se quieren repartir 9 € de forma que Ángeles tenga tantas monedas de cincuenta
céntimos como Luz tenga de euro. ¿Cuánto recibe cada una?.
P9.- Se desea saber cuál es el número que excede en ciento cuatro a la suma de su tercera parte, más su cuarta parte y más su quinta parte.
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P10.- Un camión transporta huevos para vender en un mercado. Se venden la mitad de
ellos a 0,84 € la docena, se rompen la décima parte de los que quedan y se venden
los restantes a 0,81 € la docena. Al final se han cobrado un total de novecientos
cuarenta y un euros con cuarenta céntimos. ¿Cuántos huevos transportaba el
camión?.
P11.- Pablo es un viajero que el primer día de su recorrido ha hecho la cuarta parte del
camino, el segundo día los cinco novenos y el tercer día termina el viaje recorriendo veintiún Kilómetros. ¿Cuántos Kilómetros recorre en total?.
P12.- Nuria emplea en comer la mitad de su sueldo, en otros gastos las dos quintas partes del resto y ahorra al mes doscientos setenta con cuarenta y seis euros. ¿Cuál es
el sueldo mensual de Nuria?.
P13.- Pedro gastó un tercio del dinero que tenía y después dieciséis con sesenta y dos
euros. Al final le queda la quinta parte de lo que tenía al principio. ¿Cuánto dinero tenía Pedro?.
P14.- Me faltan sesenta céntimos para comprar mi revista de informática preferida. Si
tuviera el doble de lo que tengo ahora me sobrarían un euro con veinte. ¿Cuánto
cuesta la revista?.
P15.- Un pantalón y una camisa cuestan cuarenta y ocho con cero ocho euros. El pantalón cuesta treinta y tres con cero seis euros más que la camisa. ¿Cuánto cuesta la
camisa?.
P16.- De un recipiente se saca la mitad de su contenido y luego la tercera parte de lo
que queda, quedando finalmente cuatro litros. ¿Cuál era el contenido inicial del
mismo?.
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