DEFINICIONES BÁSICAS I GUALDAD.- Es la relación que nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor en un cierto orden de ideas. CLASES DE IGUALDADES Igualdad absoluta Formalmente son identidades que se verifican para cualquier valor numérico de sus letras, en la cual están definidos. Ejemplos: x 2 2 x 3 6x 2 12x 8 x a x a x2 a 2 Igualdad relativa o ecuación Se llaman también igualdades condicionales y se verifican para algunos valores de sus variables. Ejemplos: 3x 2 x 2 se verifican para: x 2 5 x 1 0 se verifican para: x 1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita. Ejemplos: ECUACIONES ALGEBRAICAS 2 x x20 4 1 0 x x 1 : ecuación polinomial : ecuación fraccionaria x 1 3 x 0 : ecuación irracional ECUACIONES NO ALGEBRAICAS x 2 : : ecuación exponencial ecuación logarítmica 1 0 2 : ecuación trigonométrica 2 1 x 0 log x 1 0 Sen x SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Una solución de una ecuación es una colección de valores (de las incógnitas) que al ser reemplazadas en la ecuación transforman a esta en una proposición verdadera. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN (C.S) Es aquel conjunto formado por todas las soluciones de dicha ecuación. Si la ecuación no tiene conjunto solución, entonces su conjunto solución es el conjunto vacío ( ). Ejemplo: x 3 5 x 5 x 7 8 0 Vemos que las soluciones son 5 ; 3; 7 entonces su conjunto solución es: C.S. 5;3;7 Para determinar el conjunto solución de una ecuación se utiliza el siguiente teorema. ab 0 a 0 b 0 En caso la ecuación no presenta soluciones entonces el conjunto solución será el conjunto nulo o vacío. Así: C.S C.S. En caso la ecuación presente infinitas soluciones entonces el conjunto de valores en el cual existe la ecuación será el que se denomina universo. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES Existen varias formas de clasificar a una ecuación: A.- ATENDIENDO AL GRADO Las ecuaciones pueden ser, de primer grado, segundo grado, de tercer grado, etc. Ejemplos: primer grado 5x 3 0 2 3x 11x 5 0 segundo grado 3 tercer grado B.- POR EL NÚMERO DE INCÓGNITAS Las ecuaciones pueden ser, de una incógnita, de dos, de tres, etc. Ejemplos: 9x x 2 0 4 2 5x x 3 0 3x 5y 2 II.- De dos incógnitas: 4x 3y 7 I.- De una incógnita: C.- ATENDIENDO A SUS COEFICIENTES Las ecuaciones pueden ser numéricas o literales. Ejemplos: 2 Numérica: 2x 6x 7 0 ; Literal: D.- ATENDIENDO A SU ESTRUCTURA ALGEBRAICA Las ecuaciones pueden ser. Ecuaciones polinomiales Ecuaciones fraccionarias Ecuaciones irracionales Ecuaciones trascendentes E.- ATENDIENDO A SU SOLUCIÓN 4 3 ax bx c 0 Las ecuaciones pueden ser compatibles o incompatibles. 1.- ECUACIONES COMPATIBLES Son aquellas que poseen al menos una solución, esta pueden ser: 1.1.- ECUACIONES COMPATIBLES DETERMINADAS Una ecuación es compatible determinada, si es posible determinar la cantidad de sus soluciones o tiene un número limitado de elementos de su conjunto solución. Ejemplos: x 3 5 tiene C.S. 2 Sea: x 1 x 2 x 3 x 4 0 C.S. 1;2;3;4 1.2.- ECUACIONES COMPATIBLES INDETERMINADAS Es aquella que tiene un número ilimitado de elementos en su conjunto solución. Ejemplos: x 3 x 3 x x 0x 0 Ecuación compatible indeterminada pues tiene infinitas soluciones. Sea: x 1 C.S. 1;2;3; 2;... 0 2.- ECUACIONES INCOMPATIBLES (INCONSISTENTES) Es aquella que no tiene ningún elemento en su conjunto solución, es decir su conjunto solución es el vacío. C.S Ejemplos: Sea: 0x 2 C.S. 3.- ECUACIONES EQUIVALENTES Dos o más ecuaciones son equivalentes si están en una misma incógnita y tienen el mismo conjunto solución. x 2x 14 C.S. 12 Ejemplos: 2 3 5x 36 2x C.S. 12 EN RESUMEN: En la ecuación ax b 0 , de acuerdo a los valores que tomen a y b, se tienen las siguientes consideraciones: La ecuación es compatible determinada b y el valor de “x” es único: x . a La ecuación es compatible determinada y Si: a ≠ 0 y b = 0 la ecuación tiene solución única: x=0. Si: a = 0 y b ≠ 0 La ecuación es incompatible. Si: a = 0 y b = 0 La ecuación es compatible indeterminada. Pueden ser de 1 er , 2 do , 3 er...hasta enésimo grad o. Ejemplo: De acuerdo 9 8 7 5 4 3 2 x x 2x x x x x x 1 0 al grado no ecuación polinomial de 9 grado Pueden ser ecuaciones con coeficientes n uméricos o literales. Ejemplo: De acuerdo 2 a sus m n x m n x mn 0 coef. literal Si: a ≠ 0 y b ≠ 0