Sucesión de enteros Escuela: Profr. (a):
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Sucesión de enteros Plan de clase (1/3) Escuela: _________________________________________________ Fecha: ___________ Profr. (a):___________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros. Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan sucesiones de números enteros a partir de una regla dada. Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema: La siguiente expresión algebraica es la regla general de una sucesión. 2n 30 a) Encuentren los primeros cinco términos de la sucesión. __________ __________ __________ __________ __________ b) Encuentren los términos de la sucesión que ocupan los lugares 20, 30, 40, 50, respectivamente. __________ __________ __________ __________ c) Determinen si el número 85 pertenece o no a esta sucesión y argumenten su respuesta. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Consideraciones previas: Los alumnos han trabajado con sucesiones y la simbolización de su regla general en primer grado, no obstante, es probable que se les dificulte resolver el problema por lo que se habrá que supervisar el trabajo y apoyarlos en caso necesario, planteando preguntas como: ¿Recuerdan qué significa la n en la regla? ¿Cómo se calcula el primer término de la sucesión?, ¿sustituyendo la n por cuál número? Se espera que cuando identifiquen el significado de la literal superen algunas dificultades y puedan responder los dos primeros incisos. La diferencia con las sucesiones trabajadas en primer grado es que en segundo grado ya se incluyen números negativos. Algunos de los posibles procedimientos para dar respuesta al inciso c) son: Probar al “tanteo” con distintos números. Probar con un “tanteo” sistemático a partir de resultados cercanos. Considerar que todo número que se multiplica por 2 da como resultado un número par y que al restarle un número con terminación en cero (para este caso 30) la cifra de las unidades se conservará y por ello el 85 no es parte de la sucesión. Establecer la ecuación 2𝑛 − 30 = 85 y probar si su raíz es un número entero. Si el tiempo lo permite, después de la puesta en común se les pueden plantear las mismas preguntas para las siguientes reglas generales: n 10.5, 2n 3, 3n 5 Observaciones posteriores 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre Sucesiones que decrecen Plan de clase (2/3) Escuela: _________________________________________________ Fecha: ___________ Profr. (a):___________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros. Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan la regla general de una sucesión de números negativos de la forma an. Consigna: En equipo, comenten y respondan lo que se pide. A partir de la sucesión: -3, -6, -9, -12, -15,… a) ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 10? ____________ b) ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 150? _________________ c) ¿Cuál es la regla general de la sucesión?, escríbela: De manera verbal: _________________________________________ Algebraicamente: __________________________________________ d) ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 528? _____________ Consideraciones previas: Es probable que para encontrar el número que se localiza en la posición número 10 los alumnos no sientan la necesidad de usar la regla general, pero sí para la posición 150, por lo cual se espera que para responder encuentren la siguiente regla: “para determinar cada término se multiplica por −3 el número de la posición y con esto darán respuesta a la primera parte del inciso c). Para la segunda parte del inciso c) se espera que no tengan dificultad en traducir la regla al lenguaje algebraico y en anotar – 3𝑛. Si algunos alumnos insisten en anotar – 3 × 𝑛, se sugiere comentarles la conveniencia de evitar usar el signo “por” para no confundirlo con la letra equis. Otros quizás decidan hacer una tabla como la que se presenta abajo y se pregunten qué hacer a los números de la primera columna para obtener su correspondiente en la segunda columna, con lo que se darán cuenta que se multiplican por -3. Posición del término de la sucesión 1 2 3 4 5 n Sucesión -3 -6 -9 -12 -15 Observe que el trabajo con sucesiones implica que los alumnos: a) Reconozcan el patrón que sigue la sucesión; es decir, la relación entre el lugar que ocupa un término y el término mismo. b) Deducir la regla general distinguiendo entre lo que varía y lo que permanece constante. En este caso es darse cuenta de que los números de la sucesión se obtienen multiplicando el número -3 (lo que no varía) por el lugar que ocupa en la tabla (lo que varía). c) Saber usar el lenguaje algebraico para establecer el patrón que encuentren. En la puesta en común es muy importante que concluya con los alumnos que si una sucesión de este tipo va disminuyendo de 3 en 3, significa que hay que multiplicar por -3 la n. Esto los ayudará para resolver sucesiones como las que se presentan en el siguiente desafío. Puede proponer a los alumnos que encuentren la regla general de las siguientes sucesiones: a) −30, −60, −90, -120,… b) −5, −10, −15, −20,… c) −2, −1, 0, +1, +2,… Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre ¿Por qué aumenta o disminuye? Plan de clase (3/3) Escuela: _________________________________________________ Fecha: ___________ Profr. (a):___________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros. Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan la regla general de una sucesión de números negativos de la forma -an+b. Consigna: Organizados en equipos, obtengan la regla general que corresponde a cada una de las siguientes sucesiones. a) 0, -2, -4, -6, -8,… b) -4, -7, -10, -13,… c) +1, -1, -3, -5, -7,… d) 3, 2, 1, 0, -1, -2,… e) 0, -20, -40, -60, -80,… Consideraciones previas: A continuación se muestran algunos de los posibles procedimientos que los alumnos pueden seguir para encontrar las reglas generales. Cada procedimiento se ejemplifica con una de las sucesiones pero lo pueden seguir con otras. A) Para la sucesión +1, -1, -3, -5, - 7 Analizar lo que se suma o se resta entre dos términos consecutivos. En este caso se resta 2 o lo que es lo mismo se suma -2. Esto quiere decir que hay que multiplicar por -2 los números 1, 2, 3,… Para el primer término de la sucesión, n = 1 Al multiplicar –2 por 1 se obtiene -2, pero el primer término de la sucesión que se está trabajando no es −2, es +1. ¿Cuánto se tiene que sumar o restar a -2 para obtener +1? Se suma +3. Por lo tanto la respuesta es −2n + 3 B) Para la sucesión -4, -7, -10, -13 Analizar lo que se suma o resta entre dos términos consecutivos. En este caso se observa que se suma -3. Hay que multiplicar los términos de la sucesión por -3. Una sucesión en la que sólo se multiplica por -3 tiene por regla general -3n y sería: -3, -6, -9, -12,… La sucesión que tenemos es: -4, -7, -10, -13… Se observa que cada término es uno menos que los términos de la sucesión anterior, entonces la regla general es: −3𝑛 − 1 C) Para la sucesión: 0, -20, -40. -60, -80,… Se puede hacer una tabla como la siguiente. Posición del término (n) Término 2 -20 3 -40 4 -60 5 -80 Se analiza que hay que multiplicar por -20 (porque va disminuyendo de 20 en 20) ¿Cómo se pasa del número del primer renglón para obtener el del segundo? Si se multiplica por -20 se obtienen 20 menos de lo que se observa en la tabla anterior, es decir: Posición del término (n) Término 1 0 1 -20 2 -40 3 -60 4 -80 5 -100 Por último, se observa que al resultado de multiplicar por -20 se le tiene que sumar 20 para obtener lo que está en la tabla de la sucesión, entonces la regla general es: −20𝑛 + 20 Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15