cap3partA v7 def sin cap esf

CAPÍTULO III
CAPACITANCIAS, CAPACITORES Y MATERIALES
ELÉCTRICOS
A. CAPACITANCIAS Y CAPACITORES
3.1.- Definición de capacitancia. Capacitores.En el siglo XVIII, cuando ya eran conocidos varios fenómenos electrostáticos
con los cuales se hacían muchos experimentos en particular con máquinas de fricción
que generaban importantes cantidades de carga eléctrica, surgió la idea de almacenar
de alguna forma esa carga. Fue así como Von Kliest usó por primera vez una botella
llena de agua hasta la mitad, y tapada con un corcho, el cual era atravesado por un
clavo que llegaba hasta el agua, para aproximarla a una máquina electrostática y así
pasarle carga. Luego probó descargarla sobre sí mismo y experimentó una violenta
sacudida. Se había construido el primer condensador.
Años más tarde, en la ciudad de Leyden, Holanda, Van Musschenbrook
realizó una serie de experimentos muy parecidos, y construyó el capacitor que hoy se
lo conoce con el nombre de botella de Leyden. Era, en efecto, una simple botella de
vidrio a la que le cortó el pico, conservando la parte cilíndrica. La cubrió con una
hoja metálica por fuera y con otra por dentro, sin contacto eléctrico entre sí. Ambas
tenían electrodos separados que permitían cargarla con una máquina electrostática.
Luego de transferirle una importante cantidad de carga, la desarmaba
cuidadosamente, sin que los electrodos se tocaran. Las tres piezas podían ser tocadas
sin problema ninguno, pero separadamente. Luego volvía a armar la botella, y al unir
los electrodos se producía una chispa. Ello mostraba que la carga quedaba
almacenada en el vidrio que estaba entre ambos cilindros metálicos. En lo que sigue,
se tratará de explicar en detalle el funcionamiento de éste y de otros capacitores.
Se denomina capacitancia a la propiedad que tienen dos conductores
próximos, separados por un dieléctrico, de almacenar carga eléctrica. Al dispositivo
que se utiliza para tal fin, se lo denomina capacitor. Todavía se suele usar los
términos equivalentes que son capacidad y condensador, respectivamente.
El espacio que separa a los dos conductores, puede ser el vacío, o cualquier
otro dieléctrico. A los dos conductores, se los suele denominar las armaduras del
capacitor. Los dieléctricos juegan en este tipo de dispositivo un rol fundamental, por
lo que se estudiarán detenidamente.
III A 1
Un cuerpo conductor cargado con carga q es equipotencial, y su potencial es
V. Éste a su vez, es proporcional a la carga q, como se desprende de la ecuación
(1.28). O sea que el potencial de un conductor aislado es proporcional a su carga
total. Cuando se dispone de dos cuerpos conductores, conectados a los terminales de
una fuente de tensión constante, ocurre una transferencia de carga que produce carga
neta: +q en un conductor o armadura, y -q en el otro.
La capacitancia C es la relación entre la cantidad de carga que el capacitor es
capaz de retener, y la diferencia de potencial V entre las armaduras. Cada línea de
campo parte de una carga positiva +q, en una de las armaduras y termina en una
negativa -q, en la otra armadura. Por lo tanto, cada línea tiene asociada el par de
cargas. Si la diferencia de potencial entre los electrodos aumenta es porque la carga
ha aumentado. Hay una proporcionalidad entre carga y diferencia de potencial que
expresamos como:
qV
y a la constante de proporcionalidad la llamaremos C, capacitancia del sistema:
q=CV
es decir que:
C =
q
V
(3.1)
La capacitancia dependerá de la geometría del capacitor y del material del
dieléctrico que se utilice. Queda claro que C será constante para un capacitor
determinado. Es decir que si se varía q, también variará V proporcionalmente:
C=
q q1 q 2
= = = 
V V1 V2
Además, debemos remarcar que la suma de las cargas del capacitor, será cero,
ya que una armadura estará a +q y la otra a -q. La figura 3.1 muestra el símbolo usado
para el capacitor, y su conexión a una batería. En este caso si V = V2 – V1 , queda:
C
q
V
III A 2
La unidad de capacitancia es el
Farad, que se simboliza con F. Por lo
tanto es:
[C] = farad = coulomb / volt
es decir
Fig. 3.1
[C] = F = C / V
3.2.- Capacitor de caras planas.Dos placas metálicas planas e iguales,
ambas de superficie , paralelas entre sí, y
separadas por una distancia d, entre medio de las
cuales hay un dieléctrico de constante dieléctrica
, constituyen un capacitor de caras planas. La
figura 3.2 muestra un esquema del mismo. El
vector campo eléctrico va desde la armadura
positiva a la negativa. Calculemos la
capacitancia. Para ello, utilizaremos la expresión
(3.1).
Fig. 3.2
La diferencia de potencial V entre las armaduras la podemos expresar como:
V = V2 – V1 = E d
La carga q la obtenemos aplicando el Teorema de
Gauss a una de las armaduras:
q = D  = E 
Reemplazando en (3.1) se obtiene:
C=
C=
q
E
=
V
Ed

d
(3.2)
expresión que, como se ve, depende solo de la geometría
(, d) y del material aislante (). En la figura 3.2 se puede
apreciar la variación del potencial entre las armaduras del
capacitor.
III A 3
Fig. 3.3
 
Los gráficos de la figura 3.3 muestran los vectores E y D y el potencial V en
un capacitor de caras planas, separadas por una distancia d, cuando se coloca en todo
el espacio entre las armaduras, un dieléctrico de constante dieléctrica .
3.3.- Asociación de capacitores en serie y en paralelo.En la figura 3.4, se puede ver una
asociación de 3 capacitores en serie, y el
gráfico de las caídas de potencial en cada
uno de ellos.
La caída total de potencial es la
suma de las caídas en cada uno de ellos, es
decir:
V2 - V1 = V = V1 + V2 + V3
Fig. 3.4
Si los capacitores están descargados
antes de su conexión, es fácil probar que
luego de ésta adquirirán cargas iguales.
Entonces, si se utiliza la (3.1) se obtiene:
q
q
q
q
= +
+
Ceq C1 C2 C3
es decir que:
N
1
1
=
C eq i =1 C i
(3.3)
La inversa de la capacitancia equivalente en la conexión serie, es igual a la
suma de las inversas de las capacitancias.
La figura 3.5 muestra una conexión
paralelo de 3 capacitancias. Se puede observar que
la caída de potencial entre los bornes de ellas es la
misma. En este caso, la carga total entre los
extremos de las armaduras será la suma de las
cargas de cada una de las capacitancias conectadas
en paralelo.
Es decir:
q = q1 + q 2 + q 3
Fig. 3.5
III A 4
y reemplazando por la (3.1):
Ceq V = C1 V + C2 V + C3 V
resulta:
C eq =  C i
N
(3.4)
i =1
lo que significa que, cuando hay varios capacitores conectados en paralelo, la
capacitancia equivalente es igual a la suma de la capacitancias.
3.4.- Energía eléctrica almacenada en un capacitor.El proceso de cargar un capacitor requiere el pasaje de cargas de la armadura
de menor potencial a la de mayor potencial, y por lo tanto se deberá consumir
energía.
Inicialmente ambas armaduras se supone que están completamente
descargadas. Luego, llevamos pequeñas cantidades de carga dq’ de una de las
armaduras hacia la otra.
También supongamos que nuestro capacitor tiene una capacitancia C. En un
determinado instante de este proceso de carga, esta adquiere el valor q’ y el potencial
el valor V’. Entonces:
q’= C V’
y el trabajo para transportar una pequeña carga
adicional dq’ será:
dU = V’dq’ = (1/C) q’dq’
El trabajo total que se deberá realizar hasta
alcanzar la carga final Q en el capacitor será:
Fig. 3.6
q
1
Q2
U =  V dq  =  dq  =
q dq  =
C
C 0
2C
0
0
Q
Q
Q
y reemplazando por la 3.1:
U =
1
QV
2
III A 5
o bien:
U =
1
CV 2
2
(3.5)
que nos permite calcular la energía que es posible almacenar en un capacitor C,
conectado a una diferencia de potencial V, y que alcanza una carga final Q. Las tres
expresiones halladas son equivalentes.
Con respecto a la unidad de U, es fácil verificar que es el joule. En efecto:
[ U ] = (C/V)V2 = C V = J.
Calculamos ahora la energía entregada por la fuente. Si su potencial se
mantiene constante durante la entrega de toda la carga, la energía elemental entregada
para transferir al capacitor la carga dq es:
dUf = V dq
Y la energía total entregada por la fuente es:
Q
U f  V  dq  VQ  CV 2  2U
(3.5’)
0
es decir que es doble de la almacenada en el capacitor. La diferencia, como veremos
en el párrafo 3.14 es obligatoriamente disipada en los hilos conductores y de una
forma más general en la resistencia del circuito de carga, cualquiera sea.
3.5.- Densidad de energía eléctrica en un capacitor.Calcularemos la densidad de energía eléctrica para el caso de un capacitor de
placas planas y paralelas. Para ello utilizaremos la (3.5), donde reemplazaremos la
capacitancia C por la expresión (3.2) y el potencial V por Ed. En efecto:
U=
1
1 
1
1
CV 2 =
( E d ) 2 =  E 2 ( d ) = E D 
2
2 d
2
2
donde  es el volumen del capacitor. Como se puede observar, la energía ha quedado
expresada en función de los vectores campo eléctrico e inducción eléctrica. La
energía por unidad de volumen será:
ue =
1
ED
2
III A 6
Para situaciones más complejas, puede probarse que la expresión que permite calcular
u es:
ue 
1 
ED
2
(3.6)
 
que es válida para los casos en los cuales los vectores E y D son constantes en todo el
volumen . En el caso en que no lo fueran, es decir que varíen dentro del volumen,
deberemos volver a escribir la energía así:
1
2
U =
 
 E  D d
(3.7)

3.6.- Propiedades electrostáticas de los dieléctricos.Para comprender mejor el rol que juegan los dieléctricos en la capacitancia,
vamos a estudiar el capacitor de caras planas en dos casos diferentes: a) con carga
constante, y b) con tensión constante.
a) Con carga constante.En la figura 3.7 se puede observar que en la primera conexión, el capacitor
tiene como dieléctrico el vacío, y la tensión aplicada es V0. En la segunda conexión,
se ha introducido entre las placas del capacitor un dieléctrico, de constante dieléctrica
, que ocupa todo el volumen disponible. Se ha mantenido la carga q0 constante, por
lo cual, cuando se mide el potencial entre los bornes del capacitor, se obtiene V < V0.
Es evidente que ahora C > C0 .
De la primera
conexión se ve que:
C0 =
q 0 0
=
V0
d
U0 =
1
2
C 0 V0
2
Fig. 3.7
y de la segunda conexión:
C=
q0  
=
V
d
U=
1
C V2
2
III A 7
obteniéndose, después de calcular V:
CK e C 0
(3.8)
U0  Ke U
(3.9)
Resulta que la energía U < U0 . Se ha reducido en un factor Ke debido a que al
introducir el dieléctrico hay un gasto de energía, y además, la fuente de tensión V0 no
está conectada. La diferencia de potencial que queda entre los bornes luego de
introducir el dieléctrico es menor, como ya se dijo, y se cumple que:
V0 = Ke V
El gasto energético en el dieléctrico se debe a que las moléculas del mismo se
han polarizado, es decir que los dipolos eléctricos que constituyen el material se han
ordenado por influencia del campo eléctrico aplicado entre las placas. Esto será
explicado en el párrafo 3.9.
b) Tensión constante.En la figura 3.8 se ven ahora otras dos conexiones, ambas manteniendo V0
aplicado. En la primera el dieléctrico es el vacío, y en la segunda se introduce en todo
el volumen, un dieléctrico de constante dieléctrica .
De la primera conexión se ve que:
q0

= 0
V0
d
1
U0 =
C V2
2 0 0
C0 =
y de la
conexión:
segunda
Fig. 3.8
q

C=
=
V0
d
U=
1
2
C V0
2
obteniéndose:
C  Ke C0
U  Ke U0
III A 8
(3.10)
En este caso la energía aumenta en un factor Ke. Pero ahora, al estar
conectada, la batería V0 suministra la energía necesaria que el dieléctrico toma para
la polarización de sus moléculas.
3.7.-Fuerza entre las placas de un capacitor.Para calcular las fuerzas entre las armaduras de un capacitor, sería posible
utilizar la ley de Coulomb que rige para la fuerza entre dos cargas puntuales. Pero
cuando el sistema es complejo como el que nos ocupa, ya que se trata de cuerpos con
muchas cargas, el uso de dicha ley podría resultar tedioso. Para ello utilizaremos un
método conocido con el nombre del desplazamiento virtual. Por otra parte, hemos de
distinguir dos casos como antes: a) con carga constante, y b) con tensión constante.
Ello se debe a que en el primero la batería está desconectada, y en el segundo
conectada, suministrando así energía adicional al sistema en estudio.
a) Carga constante.
Suponemos que el capacitor de capacitancia C está cargado con carga q = cte,
y que la batería está desconectada. Las placas del capacitor se atraen mutuamente. Si
se supone un pequeño desplazamiento virtual x, la variación de energía mecánica
producida por las fuerzas eléctricas es:
Umec = Fx x
Al mantenerse q = cte, sin la batería conectada como se dijo más arriba, la
variación de la energía total del sistema debe ser cero. Esto quiere decir que la
energía mecánica aumentará a expensas de la energía eléctrica:
Umec + Uelec = 0
donde Uelec responde a la (3.5). Queda entonces:
Fx x = -Uelec
que podríamos escribir como:
Fx  
dUelec
dx
q  cte
Por otra parte
U eléc 
1 Q2
2 C
como vimos en el párrafo 3.4.
III A 9
(3.11)
Entonces quedará:
Fx  
dU eléc
d  1 Q2 
Q2 d  1 
 

 
dx
dx  2 C 
2 dx  C 
y aplicándola al caso del capacitor de placas planas y paralelas (expresión 3.2 donde
d = x en este caso):
Q2 d  x 
Q2
Fx  
 
2 dx   
2
y recordando de (1.31) que D= Q, se obtiene:
Fx  
 E 2
2
(3.12)
Como Fx es cte., resulta:
1 Q2
U eléc  Fx x  
x
2 
(3.13)
Esto significa que si las placas se acercaran, (x0), la energía eléctrica
almacenada por el capacitor disminuirá.
b) Tensión constante.
En este caso se produce un cambio muy importante: la batería se mantiene
conectada. El balance de energía se puede expresar en este caso como:
Umec + Uelec = Ubat
(3.14)
donde Ubat es la energía suministrada por la batería dada por la (3.5’), es decir
Ubat = V Q
Si además ahora la capacidad C aumenta un valor C por la vía de una
disminución x de la distancia entre armaduras, la carga debe aumentar en Q, ya
que V = cte. Consecuentemente la energía almacenada en el capacitor aumentará en
(ver párrafo 3.4):
Uelec =
1
V Q
2
III A 10
Reemplazando en (3.14) por las dos expresiones obtenidas, se ve que la mitad
de la energía de la batería se gasta en aumentar la energía eléctrica y la otra mitad en
aumentar la energía mecánica. Resultará entonces que:
Fx x +
1
V Q = V Q
2
Fx x 
1
VQ
2
quedando entonces:
Fx x = Uelec
Esto significa que:
Fx 
dU elec
dx
V  cte
y contrariamente al caso anterior (con carga constante) ahora tiene signo positivo.
Para calcular la fuerza hacemos (teniendo en cuenta que V = cte.):
dU eléc
d 1
V2 dC
2
Fx 

 CV  
dx
dx  2
2 dx

y aplicándola como antes al caso del capacitor de caras planas y paralelas:
V 2 d   
V 2
Fx 
 
2 dx  x 
2x 2
y como
V
 E resulta
x
 E 2
Fx  
2
(3.15)
que es completamente similar a la (3.12), salvo que se debe tener en cuenta que E es
ahora variable si se cambia la distancia entre placas.
Para calcular la variación de la energía eléctrica ahora debemos hacer:
U eléc
E 2
V 2
V 2
1
 Fx x  
x 
dx  
  
2
2
2
2x
x
III A 11
(3.16)
Expresión que nos indica que si x disminuye, Ueléc aumenta a V = Cte. En este
caso es la batería la encargada de suministrar la energía para que aumenten la energía
mecánica y la energía eléctrica.
Debe recalcarse que la carga Q y el campo E varían cuando x varía, pues V =
E x, con V = Cte, y Q =  E .
A modo de observación final podemos señalar que las expresiones de las
fuerzas para carga q constante y para tensión V constante son iguales, como se puede
ver de las expresiones (3.12) y (3.15).
III A 12