Física de Semiconductores (333) Curso 2005

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Física de Semiconductores (333)
Curso 2005
Ing. Electrónica- 3er. Año, V cuat.
Trabajo Práctico Nro. 2: Modelo del electrón libre. Modelo de Kronig-Penney:
electrón en un potencial periódico.
Objetivos:
Analizar y discutir las diferencias entre los modelos del electrón libre y el electrón en la
red cristalina sujeto a un potencial periódico. Introducir los conceptos de bandas de
energía permitidas, bandas prohibidas y masa efectiva.
1- Modelo del electrón libre
Consideremos una red lineal en la cual los electrones se pueden mover libremente en
forma independiente unos de otros. Suponiendo nula la energía potencial:
a) Demostrar que la energía de un electrón libre es proporcional al cuadrado del
número de onda k. El número de onda k puede relacionarse con el momentum p de
la partícula por:
pk
b) Graficar E = f(k). ¿Existe alguna restricción a la energía que puede tener la
partícula?
c) ¿Qué significa un valor negativo de k? ¿Y un valor positivo?
2- Modelo del electrón en una red periódica: modelo de Kronig-Penney
El modelo del electrón libre no tiene en cuenta los efectos debidos a interacciones de los
electrones con la red cristalina. Recordemos que cuando un electrón pasa cerca de un
átomo es acelerado, y cuando se aleja es desacelerado hasta que entra dentro del campo
de acción del próximo átomo, estableciéndose niveles de energía potencial que
delimitan el movimiento del electrón a través de la red. Desde el punto de vista de la
mecánica cuántica un electrón en un cristal se encuentra en un potencial periódico del
tipo mostrado en la Figura 1a).
L
Figura 1a)
Potencial real
Figura 1b)
Modelo de Kronig-Penney
a
L
b
Para estudiar el comportamiento del electrón en una red periódica unidimensional se
utiliza un modelo de potencial periódico formado por un arreglo de pozos y barreras
rectangulares de potencial que tienen la periodicidad de la red, como se muestra en la
Figura 1b). Este es el modelo de Kronig-Penney.
2
La Figura 2 muestra el potencial periódico unidimensional utilizado para estudiar el
comportamiento del electrón en este modelo.
V(x)
Vo
E
I
Figura 2
II
x
-b
0
a
a+b
L=a+b
La solución del sistema requiere resolver la ecuación de Schrdinger:
d 2
dx
2

2 m (E - Vo)
2
 0
sujeta a las condiciones en las regiones I (V(x) = 0) y II (V(x) = Vo), resultando:
Región I:
 1  A e (i  x)  B e (-i  x)
Región II:
 2  C e (  x)  D e (-  x)
A, B, C y D son coeficientes constantes.  y  están dados por:
2 
2mE
2
y
2 
2m (Vo - E)

2
Como la red cristalina es periódica se introduce el factor de periodicidad por medio del
teorema de Bloch1, por lo cual:
 (x)  u(x) e(ikx)
donde la periodicidad de la red ,L, requiere que:
u(x) = u(x + L) = u(x + nL),
n es entero.
Se obtienen funciones periódicas en las regiones I y II:
u1  A ei(  k) x  B e- i(  k) x
u2  C e(  - ik) x  D e- (   ik) x
Los coeficientes A, B, C y D se obtienen de las condiciones de continuidad para la
función de onda y su primera derivada, las que deben ser continuas donde ocurre un
1
Ecuación de una onda plana cuya amplitud es modulada por el factor u(x) que expresa
la periodicidad de la red cristalina.
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cambio abrupto de potencial. Es decir:
u1(0)  u2(0)
du1
dx
y

x0
du2
dx
x0
y además:
u1(a)  u2(-b)
y
du1
dx

du2
dx
xa
x  -b
Aplicando estas condiciones resulta un sistema de cuatro ecuaciones cuya resolución
matemática se deja como ejercicio para el alumno. La solución del sistema2 se puede
expresar como:
cos ( a) cosh( b) -
2 -  2
sen ( a) senh( b)  cos k(a  b)  cos kL
2
El lado derecho de la ecuación se puede convertir en una función de la energía f(E):


2mE 
2 m (Vo - E) 
 cosh  b
 
f(E)  cos  a
2 
2










Vo
2mE 
2 m (Vo - E) 
 senh  b

sen  a
2 
2


E (Vo - E)






Esta función queda limitada entre los valores +1 y -1 por la condición impuesta por el
segundo miembro de la ecuación, se debe cumplir f(E) = cos kL. La Figura 3 muestra
una representación esquemática de dicha relación, para valores positivos de k.
f(E)
Banda permitida
Figura 3
Banda prohibida
k = 2/L
k = 2/L
k = 4/L
k=0
+1
0
E1
E2 E3
E4
E5
E6
E7
E8
-1
k = /L
2
k = /L
k = 3/L
Dispositivos semiconductores, J. Singh
Física de los semiconductores, J. McKelvey
k = 3/L
E
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Como puede verse f(E) permanece dentro del rango [-1, 1] sólo para ciertos valores de
energías. Estos valores de "energías permitidas" forman las denominadas "bandas de
energía permitidas". Los valores restringidos de energía forman las denominadas
"bandas de energía prohibidas" o "gap" de energía. El agrupamiento de los valores de
energía permitidos en bandas es una de las características más importantes del
comportamiento de los electrones en las redes periódicas.
Utilizando la curva obtenida anteriormente se puede graficar la energía E como una
función de k, como se muestra en forma esquemática en la Figura 4, donde se la
compara con la obtenida para el electrón libre (línea de trazos).
gap
Banda permitida
gap
Banda permitida
gap
Banda permitida
gap
E(k)
Figura 4
k

4
L

3
L

2
L


L
0

L
2
L
Primera zona
de Brillouin
Segunda zona de Brillouin
3
L
4
L
Bandas de
energía
5

¿Para qué valores de k ocurren las discontinuidades? ¿Qué sucede con la zona
intermedia entre las discontinuidades? ¿Cómo se comporta el electrón?
El movimiento de los electrones en la red se puede asimilar a la propagación de una
onda electromagnética en un cristal. La dispersión de la onda electromagnética por los
átomos de la red da lugar a una onda dispersada que se refuerza cuando se cumple la
condición de Bragg3:
2 L =  = 2  = 3  = …n 

¿Cómo se relacionan los valores de k con la condición de Bragg para reflexión
constructiva?
Se define la velocidad del electrón representado por un paquete de ondas centrado
alrededor de la energía E y con un número de onda k por la relación:
v
1 dE
 dk
Si sobre el electrón actúa una fuerza externa F, el trabajo realizado por esta fuerza en un
intervalo de tiempo dt será: F v dt, produciendo una variación en la energía del electrón
de magnitud dE:
 dE 
dE  F v dt    dk
 dk 
entonces:
dk
F
dt
Diferenciando la velocidad respecto al tiempo se obtiene la aceleración del electrón:
a
dv
1 d 2 E dk
1 d 2E


F
dt
 dk 2 dt
 2 dk 2
Asemejando la anterior a la forma de la segunda ley de Newton se obtiene: F = m* a
donde m* se denomina masa efectiva y está dada por:
m*
2
d 2E
dk 2
De este modo, asignando a los electrones en la red periódica una masa efectiva m*
podemos tratarlos como si fuesen libres, y describir su movimiento en presencia de un
campo aplicado de la misma forma que para un electrón libre. Las propiedades de la red
cristalina determinan el valor de m* ya que determinan la forma de la función E(k) y de
su derivada segunda d2E/dk2.

3
De acuerdo a la definición anterior para la masa efectiva ¿cuánto vale m* para un
electrón libre?
Alonso-Finn, Vol III, Cap. 6, págs. 262-263
6

La Figura 5 muestra el gráfico de energía en función de k para la primera y
segunda zona de Brillouin. Analizar el movimiento de un electrón bajo la acción de
una fuerza externa F y obtener gráficos aproximados para la velocidad, aceleración
y masa efectiva m* para la primera zona de Brillouin.

¿Podrá un electrón que se encuentra en la primera zona de Brillouin pasar a la
segunda zona?. Justificar la respuesta.
Figura 5
E(k)
Banda prohibida
6
4
5
3
Banda prohibida
2
1
k

2
L


L
0

L
Bibliografía sugerida:
Física vol. III - Alonso-Finn, Cap. 6.3, 6.4, 6.5
Física Cuántica - Eisberg-Resnick, Cap. 13.5, 13.6, 13.7
Física de los semiconductores- Mc Kelvey- Cap. 8.1, 8.2, 8.3, 8.4
Physical principles of microelectronics - Yepifanov- 5.2, 5.3, 5.4
2
L