1 Antes de la 2da clase de Física III, es decir,... 1) Estudiar alguno de los siguientes capítulos de los...

Física III
GUÍA DE ESTUDIO
Clase nº 1
CLASE 1
1
U1
Antes de la 2da clase de Física III, es decir, durante la 1ra semana de clases, se recomienda:
1) Estudiar alguno de los siguientes capítulos de los siguientes libros:
a) Capítulo 21 (Carga eléctrica y campo eléctrico) del volumen 2 de Física Universitaria de
Young, Freedman, Sears, Zemansky (El “Sears”)
b) Capítulo 25 (Carga eléctrica y Ley de Coulomb) del volumen 2 de Física de Resnick,
Halliday, Krane (El “Resnick”)
2) Resolver n > 2 problemas de la guía de la U1. Algunos problemas serán explicados en la clase 1,
otros están explicados en el documento “U1 Problemas 9 10 y 11 explicados” que se puede
encontrar en el websia. Cada alumno debe intentar resolver por lo menos 3 problemas de la guía
además de estos.
3) Si el estudio de los capítulos sugeridos en (1) resulta demasiado extenso para una semana, en su
lugar se puede:
a) Repasar completa la clase 1 de la U1
b) Estudiar el siguiente apunte sobre “Ley de Coulomb”
Por supuesto las actividades 1(a), 1 (b), 2, 3 (a) y 3(b) no son excluyentes. Por ejemplo, se puede:
Estudiar el capítulo 25 del “Resnick”
+ el apunte sobre “Ley de Coulomb”
+ resolver, por ejemplo, 6 problemas de la guía
Física III
Clase nº 1
2
LA LEY DE COULOMB
El científico francés Charles Coulomb formuló en 1878 la ley que lleva su nombre. Coulomb
investigó la magnitud de la fuerza de interacción entre pequeñas esferas cargadas eléctricamente. En
aquella época nada se sabía acerca de la constitución interna de los átomos y para la mayoría de los
científicos la existencia de los mismos era sólo una hipótesis. Pero lo que si se conocía era que en
condiciones especiales ciertos cuerpos experimentaban fuerzas de atracción o de repulsión sin
necesidad de estar en contacto. Las otras fuerzas de ese tipo que se conocían eran la gravedad que
siempre es atractiva, y las fuerzas entre imanes. Pero éstas últimas sólo se ponían de manifiesto entre
cuerpos de ciertos materiales especiales, fundamentalmente hierro y otros minerales que contenían
hierro (magnetita).
Pero las fuerzas eléctricas se producían entre cuerpos de una gran diversidad de materiales. En la
época de Coulomb, la investigación acerca de este tipo de fuerzas había conducido a los científicos a
la elaboración de una sencilla teoría que se basaba fundamentalmente en las siguientes ideas
fundamentales:
 Existen dos tipos de carga eléctrica: la positiva y la negativa
 Las cargas eléctricas del mismo signo se repelen, y las cargas de signos opuestos se atraen
 La carga eléctrica no puede ser creada ni destruida. Sólo es posible trasferirla de un cuerpo a
otro. Esta idea se conoce como Principio de conservación de la carga eléctrica y su
enunciado formal es el siguiente: En un sistema eléctricamente aislado, la suma algebraica
de las cargas eléctricas positivas y negativas es constante.
 Respecto al comportamiento eléctrico existen dos tipos de materiales. Lo conductores en los
que la carga eléctrica se puede mover con facilidad, puede fluir, es decir trasladarse por todo
el material. Los aislantes o dieléctricos que se pueden cargar pero la carga queda localizada
en cierta región del material. La carga no puede fluir por ellos.
Este era el estado del conocimiento teórico acerca de la electricidad en la segunda mitad del siglo
dieciocho. Debemos aclarar también que las cargas eléctricas, tanto la positiva como la negativa eran
consideradas como cierta clase fluidos.
¿Qué agregó Coulomb a todo este conocimiento? Él descubrió que las fuerzas eléctricas tanto de
atracción como de repulsión son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que separa
a los cuerpos cargados, si estos son esféricos o de pequeñas dimensiones comparados con la distancia
que los separa. Además la dirección de dicha fuerza coincide con la de la recta que une a ambos
cuerpos.
Podemos apreciar en la figura, un esquema con
tres situaciones distintas con la misma pareja de
cargas. En el primer caso las cargas están separadas
cierta distancia d y se repelen con una fuerza de
intensidad F. Cuando las mismas cargas están
separadas el doble de distancia la fuerza se reduce a la
cuarta parte. Si las mismas cargas se separan a una
distancia 3d entonces ahora la fuerza es F/9.
Además, ley de Coulomb, determina una manera
de definir cuantitativamente el concepto de carga
eléctrica. Suponiendo que los dos cuerpos tengan la misma carga, midiendo la distancia entre ellos y
la fuerza con que se repelen se puede definir la carga eléctrica en función de estas dos magnitudes
conocidas.
Física III
Clase nº 1
3
Vamos a plantear ahora la expresión matemática de la ley de Coulomb que incluye todos los
aspectos mencionados hasta ahora:
F12  k
q1 q2
rˆ12
r122
En esta fórmula q1 y q2 son los valores de las
cargas de los dos cuerpos que interactúan
eléctricamente. La distancia de separación entre ellos
se ha designado como r12. F12 es la fuerza (magnitud
vectorial) que la carga q1 ejerce sobre la carga q2. Esta
fuerza tiene la dirección y el sentido representada por
el versor (vector unitario) r̂12 . Estas magnitudes,
incluidas en la fórmula de la ley de Coulomb, se
muestran en la figura 5.
¿Qué significa la k que está multiplicando el
segundo miembro de la igualdad?
Si se eligen las unidades en que se deben expresar la distancia de separación entre las cargas y la
fuerza entre ellas, se puede definir la unidad de carga eléctrica de manera que k = 1. Pero en el
sistema internacional de unidades la unidad de fuerza debe ser el Newton y el metro como unidad de
distancia. También se elige como unidad de carga el Coulomb y por lo tanto experimentalmente se
determina que k debe valer:
Newton metro 2
9  10
Coulomb2
9
LEY DE COULOMB: La fuerza de atracción o de
repulsión entre dos cargas eléctricas puntuales es
directamente proporcional al producto de la magnitud
de ambas cargas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que las separa. La dirección de
dicha fuerza coincide con la recta que pasa por los dos
puntos de carga. El sentido es de atracción si ambas
cargas son de diferente signo y de repulsión cuando
ambas cargas son del mismo tipo (igual signo)
 qq
F  1 22
r

qq
F12  k 1 22 r̂12
r12
El valor de las cargas se designa con q y se expresa en la unidad Coulomb que se abrevia C (En el
sistema internacional S.I de unidades. MKS). La distancia entre las dos cargas puntuales se designa
con r y se expresa en metros. La constante de proporcionalidad tiene un valor que se determina
experimentalmente y deben ser las que correspondan para que la fuerza quede expresada en Newton:
2
9 N m
k  9  10
C2
Física III
Clase nº 1
4
Para que quede claramente expresado el carácter vectorial de la fuerza, conviene escribir la fórmula
incluyendo un versor (vector unitario) que indique la dirección de la fuerza. Este versor se puede
representar como el cociente entre el vector, que tiene su origen en una carga y su extremo en la otra,
y el módulo de dicho vector. Este módulo es simplemente la distancia entre los dos puntos. Este
cociente siempre tendrá módulo igual a 1 (sin unidades)
 

q1q2
r2  r1
F12  k   2   
r2  r1 r2  r1


r
r12
rˆ  

rˆ12  
r
r12

 
qq
F12  k  1 2 3  r2  r1 
r2  r1

 
y r12  r2  r1
Ejemplo explicado: ¿Cómo se calcula la fuerza entre dos cargas utilizando la ley de Coulomb?
Supongamos que una pequeña esfera está ubicada en el origen de coordenadas y su carga es q1 = 310-6
C. Otra pequeña esfera está ubicada en la posición (0; 4 cm; 3 cm) y su carga es q 2 = 7,210-6 C.
Determinar la fuerza que q1 ejerce sobre q2
Comenzamos por hacer un buen esquema que
represente a la situación que se describe en el
enunciado.
Debemos tener en cuenta que la fuerza es una magnitud
vectorial y por lo tanto tenemos que determinar su
módulo, dirección y sentido. Para realizar el cálculo
completo necesitamos expresar el versor que figura en
la ley de Coulomb en función de sus componentes
cartesianas.
rˆ12 
r12
0,04 m ˆj  0,03 m kˆ

r12
(0,04 m)2  (0,03 m)2
rˆ12  0,8 ˆj  0,6 kˆ
Recordemos que un versor es un vector unitario que permite definir una dirección y un sentido. Para
ello debe cumplir con las siguientes propiedades: a) Su módulo debe ser 1 b) No debe tener unidades.
En nuestro caso debe tener la dirección determinada por la recta que pasa por las posiciones ocupadas
por ambas cargas. Su sentido debe estar orientado desde el origen (desde q 1) hacia el punto (0; 4 cm; 3
cm) que es la posición de q2.
Ya estamos en condiciones de aplicar la fórmula correspondiente a la ley de Coulomb:
Física III
Clase nº 1
F12  k
5
q1 q2
rˆ12
r122
F12  9  109
Nm2 5  106 C  7,2  106 C
0,8 ˆj  0,6 kˆ
2
2
2
C  0,04m    0,03m 


F12  129,6 N 0,8 ˆj  0,6 kˆ


F12  103,68 N ˆj  77,76 N kˆ
Este resultado se puede interpretar de dos maneras equivalentes:
La fuerza que q1 ejerce sobre q2 tiene dos componentes: Una componente horizontal (paralela al eje y)
cuyo valor es de 103,68 N y una componente vertical (paralela al eje z) cuyo valor es de 77,76 N.
La fuerza que q1 ejerce sobre q2 tiene una intensidad (módulo) igual a 129,6 N y una dirección y sentido
0,8 ˆj  0,6kˆ . Esto es lo mismo que decir que la dirección de dicha fuerza
0,6
`
forma con el eje y un ángulo determinado por   arctg
. Es decir   36 50
0,8
determinada por el versor
El campo eléctrico
El campo eléctrico es una magnitud vectorial que se utiliza para la descripción matemática de
las interacciones eléctricas. La fuerza dada por la ley de Coulomb nos proporciona el módulo, la
dirección y el sentido de dichas interacciones. ¿Por qué es necesario definir una nueva magnitud, el
campo eléctrico, que aparentemente cumple la misma función que el concepto de fuerza?
En primer lugar debemos destacar que la fuerza electrostática entre cuerpos cargados es una
interacción a distancia. Esto quiere decir que este tipo de fuerza no requiere que haya contacto entre
los cuerpos cargados que se atraen o se repelen y que tampoco es necesario que exista un vínculo
material entre ellos. La fuerza gravitatoria también es una interacción a distancia. Por ello también
existe el concepto de campo gravitatorio.
Vamos a definir el campo eléctrico utilizando como ejemplo un caso particular: El campo
eléctrico originado por una carga puntual. Supongamos que en algún punto del espacio hay una
pequeña esfera cargada. Elegimos el caso en que su carga Q es negativa.
En algún otro punto del espacio colocamos
otra carga qo, que denominaremos carga de prueba o
carga exploradora, en este caso de signo positivo.
Estas dos cargas se atraen y por lo tanto existe una
fuerza que Q ejerce sobre la carga de prueba qo y
también existe otra fuerza1, de igual módulo, de
igual dirección y sentido opuesto, que la carga de
prueba ejerce sobre Q.
A partir de ahora concentraremos nuestra
atención sólo en la primera de estas fuerzas. Se
entiende que esta fuerza tiene dirección radial, si
1
Principio de acción y reacción: 3ª ley de Newton
Física III
Clase nº 1
6
tomamos como centro a la carga Q, y su sentido apunta hacia Q, por ser ésta negativa. El módulo de
dicha fuerza es inversamente proporcional a la distancia entre Q y el punto donde ubiquemos a la
carga de prueba. En la figura se muestran los vectores que representan a dichas fuerzas para distintas
posiciones de la carga de prueba indicada con, mientras que la carga Q, productora del campo está
representada con una esfera gris sombreada. Observemos que para iguales distancias el módulo de la
fuerza es el mismo. Es decir:
F1  F4  F5  F6
F2  F3
Vamos a definir ahora el campo eléctrico. Esta magnitud es vectorial de igual dirección y
sentido que la fuerza que actúa sobre la carga de prueba y cuyo módulo es igual al cociente entre el
F
módulo de la fuerza y el valor de la carga de prueba. En símbolos: E 
qo
Prestemos atención a lo siguiente. El campo eléctrico E se define como el cociente entre una
magnitud vectorial y una magnitud escalar, entonces la dirección del vector E es la misma que la del
vector F . Pero como, por convención se adopta que la carga de prueba sea siempre positiva, el
sentido del vector E también será el mismo que el sentido del vector F . El módulo de E será el
cociente entre el módulo de F y el valor de la carga de prueba qo. Es decir:
E
F
qo
Entonces el campo eléctrico es una magnitud que resulta independiente del valor de la carga
de prueba. El campo será función del valor de la carga productora del campo Q y de las coordenadas
del punto del espacio. A la posición donde está ubicada la carga productora Q se la denomina “punto
fuente”. A todo punto del espacio donde exista E , independientemente de la presencia en ese lugar
de una carga de prueba, se lo denomina “punto campo”.
Si quitamos la carga de prueba de todas las
posiciones indicadas en la figura anterior, la carga Q
ya no puede estar ejerciendo ninguna fuerza, pero sin
embargo produce (o provoca) en cada uno de los
puntos del espacio la existencia de una magnitud
física llamada campo eléctrico que se representa en la
figura.
Esta figura y la figura anterior, donde están
graficadas las fuerzas, son muy parecidas. Pero antes
había en ciertos puntos cargas de prueba y sobre estas
cargas actuaban fuerzas. Ahora las cargas de prueba
ya no están y el esquema no muestra ninguna fuerza.
Física III
Clase nº 1
7
Para pensar…
Dos estudiantes, Matías y Florencia, que han estudiado el texto “El campo eléctrico” mantienen el
siguiente diálogo:
M: Es evidente que el campo eléctrico es inversamente proporcional a la carga de prueba ya que
está en el denominador de la fórmula.
F: Sin embargo, en el texto dice claramente que el valor del campo eléctrico no depende del valor de
la carga de prueba.
M: No puede ser. Leíste mal. La fórmula está muy clara: E 
F
qo
F: Yo no leí mal. Dice exactamente así: “Entonces el campo eléctrico es una magnitud que resulta
independiente del valor de la carga de prueba. El campo será función del valor de la carga
productora del campo Q y de las coordenadas del punto del espacio”
¿Cómo podrías ayudar a Matías y a Florencia a salir de su confusión?
DEFINICIÓN DE CAMPO ELÈCTRICO
Hemos definido una magnitud vectorial, como la fuerza, pero que no depende de la presencia de una

carga en el punto del espacio. Supongamos que en una posición del espacio r ` ( x`; y`; z`) hay una
carga puntual Q. A dicho punto que lo designamos con las coordenadas “primadas” lo llamaremos
punto fuente del campo eléctrico. Con esto queremos decir que la carga Q ubicada en ese punto
produce o provoca la existencia del campo eléctrico.

Supongamos que en otro punto cualquiera del espacio r  ( x; y; z) , que llamaremos punto campo,
hay una carga puntual que llamaremos carga “de prueba” o carga “exploradora” qo (por convención
positiva) Utilizando la ley de Coulomb calculamos la fuerza que la carga Q ejerce sobre la carga qo,
que se puede expresar de diferentes maneras, como vemos a continuación:

Q qo
F  k 2 rˆ
r
 

Q q2 r  r `
F k   2   
r  r` r  r`

Qq
 
F  k  o 3  r  r `
r  r`
La fuerza que la carga Q, productora del campo, ubicada en el punto fuente, ejerce sobre la carga de

prueba qo depende del valor de ambas cargas, de las coordenadas del punto fuente r ` ( x`; y`; z`) y

de las coordenadas del punto campo r  ( x; y; z) . En esta figura estamos suponiendo que la carga Q
es positiva.

Se define como campo eléctrico E a la magnitud vectorial que resulta de dividir esta fuerza
(magnitud vectorial) por el valor de la carga de prueba positiva qo (magnitud escalar). De este modo
el campo eléctrico resulta independiente del valor de qo y es una función de las coordenadas del
punto campo. Dicho de otro modo es una “propiedad del espacio”. Es decir, el espacio se ve afectado
o modificado por la presencia de una carga Q
Física III
Clase nº 1
8

 
Q
E  k   3 (r  r `)
r  r`
Si la carga Q se encuentra en el origen de coordenadas, podemos ver con claridad que el campo
eléctrico en cualquier punto del espacio es un vector cuyo módulo es directamente proporcional al
valor de Q, inversamente proporcional a la distancia r entre el punto campo y el origen, La dirección
de dicho vector coincidirá con la del versor radial (en coordenadas esféricas) Su sentido dependerá de
si la carga Q es positiva o negativa.

Q
E  k 2 rˆ
r
Esta fórmula expresa el vector campo eléctrico en un
punto del espacio producido por una carga puntual
ubicada en el origen de coordenadas. Es el resultado
de la combinación de la ley de Coulomb y de la
definición de campo eléctrico.
Se puede expresar en coordenadas cartesianas,
haciendo explícita la dependencia de las coordenadas
x, y, z:

Ek
Q
xiˆ  yˆj  zkˆ

2
2
x y z
x2  y2  z 2
2
Si la carga Q es positiva, el campo tiene el sentido indicado en la figura. Si la carga Q es negativa,
tiene el sentido opuesto. Apunta hacia la carga Q.
La constante k
Por razones que se explicaran más adelante, es usual que la constante de proporcionalidad de la ley
de Coulomb se exprese en función de la constante universal εo, conocida como permitividad del
C2
vacío2. Su valor es:  o  8,85 1012
N  m2
1
La constante k, se expresa habitualmente como: k 
4 o
La fórmula del campo eléctrico producido por una carga puntual queda entonces de la siguiente

1 Q
manera: E 
rˆ
4 o r 2
No parece cómodo expresar la constante de una fórmula en función de otras tres constantes. Las
ventajas de hacer esto así se verán más adelante. Por ahora sólo diremos lo siguiente: si escribimos la
 1 Q
rˆ se puede apreciar que el campo es proporcional a la carga que lo produce
fórmula así: E 
 o 4 r 2
Q e inversamente proporcional al área de una esfera, 4πr2, centrada en dicha carga. Además el
módulo del campo tiene el mismo valor en todos los puntos ubicados sobre esa superficie esférica. Si
tomamos una esfera mayor (es decir, nos ubicamos a mayor distancia r de la carga Q) el módulo del
campo será menor.
2
El valor de esta constante está relacionado con el valor de la velocidad de la luz en el vacío:
c  3108 m s
Física III
Clase nº 1
9
Otra manera de decir esto mismo: Para una carga puntual Q, el producto del módulo del campo
eléctrico en un punto de una superficie esférica centrada en la carga, por el área de esa esfera es una
constante independiente del radio de la esfera pero proporcional al valor de la carga ubicada en el

centro. En efecto, vemos que: E  4r 2  Q
o
CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UN CONJUNTO DE CARGAS PUNTUALES
Si queremos determinar el campo eléctrico en un punto del espacio producido por un conjunto de
cargas puntuales, podemos recurrir al principio de superposición. Como la relación entre el campo y
la carga que lo provoca es lineal, podemos calcular el campo que produce una carga qi
independientemente de la presencia de las demás
cargas. Luego podemos repetir el procedimiento
para las demás cargas y finalmente debemos
realizar la superposición, que en este caso es la
suma vectorial de los campos Ei calculados.
Para mayor claridad supongamos que tenemos 4
cargas ubicadas en el plano xy y queremos
calcular el campo en un punto de dicho plano.
Aplicamos para cada carga en forma
independiente de la presencia de las otras la
fórmula3 del campo de una carga puntual.




q3
q1
q2
 
 
 
1
1
1






E1 
r

r
E

r

r
E

r

r
E
etc...
1
2
2
3
1
4
4 o r  r1 3
4 o r  r2 3
4 o r  r3 3

El campo en el punto señalado por el vector posición r  xiˆ  yˆj se obtiene sumando vectorialmente
los cuatro vectores.
En general, para este caso, o para cualquier otro con N cargas ubicadas en el espacio:

E
1
4 o
q
 
 r  r r  r 
N
i
i 1
3
i
i
El campo eléctrico producido por dos cargas o más
Si en un lugar de una sola carga productora de campo tenemos varias, el campo eléctrico en un punto
del espacio será la suma vectorial de los campos que cada una de las cargas produce como si la otra
no estuviera. Este resultado es otra aplicación del principio de superposición. Vamos a aclarar su
significado desarrollando un ejemplo explicado
Ejemplo explicado: Dos cargas Q1 = 51012 C y
Q2 = 51012 C están fijas separadas por una
distancia de 8 centímetros. Determinar el campo
eléctrico en los puntos A, B y C
Comenzamos por determinar el campo en el punto B
producido por la carga Q1 . Para ello suponemos que
3
Ley de Coulomb + definición de campo eléctrico
Física III
Clase nº 1
10
en B colocamos una carga de prueba qo de valor arbitrario y aplicamos la ley de Coulomb:
F1B  k
Q1qo
rˆ1B
r12B
Por lo tanto el campo en B, producido por la carga Q1 , lo obtenemos aplicando la definición de
campo eléctrico:
E1B 
F1B
Q
 k 21 rˆ1B
qo
r1B
Como ya sabemos el campo en el punto B, producido por la carga Q1 , sólo depende del valor de
dicha carga y de las coordenadas del punto B. Su valor es independiente del valor de la carga de
prueba. El módulo del vector cuyo origen es la carga y cuyo extremo es el punto B, lo obtenemos
aplicando el teorema de Pitágoras:
r1B  (0.08 m)2  (0.06 m)2  0.10 m
Expresamos el versor (vector unitario que indica una dirección y un sentido)4:
rˆ1B 
r1B 0.08 miˆ  0.06 m ˆj

 0.8 iˆ  0.6 ˆj
r1B
0.1m
Ya tenemos todos los elemento necesarios para calcular el campo en B, producido por la carga Q1
:
2 5 10 12 C
 (0.8 iˆ  0.6 ˆj)
Q1
9 Nm 
E1B  k 2 rˆ1B  9 10
2
2
r1B
C
0.01m
E1B  4.5
N
(0.8 iˆ  0.6 ˆj )
C
Este resultado se puede expresar de dos maneras.

El campo eléctrico que la carga Q1 produce en el punto B tiene un módulo de 4.5 N/C y
forma un ángulo con el eje x aproximadamente igual a –143º o +217º.

El campo eléctrico que la carga Q1 produce en el punto B es un vector que tiene una
componente en x que vale – 3.6 N/C y una componente en y que vale –2.7 N/C
Ahora, en forma resumida, repetimos todo el procedimiento para calcular el campo eléctrico que
en el punto B produce la carga Q2.
E2 B  k
E2 B
Q2
rˆ2 B
r22B
12
Nm 2  5  10 C  ˆ
 9  10
j
C 2 (0.06 m) 2
E1B  12.5
9
N ˆ
j
C
Hemos calculado E1B , el campo que Q1 produce en B sin tener en cuenta la presencia de la carga
Q2. Luego calculamos el campo que Q2 produce en B, E1B , sin tener en cuenta la presencia de la
4
Cuando se aplica la ley de Coulomb para el cálculo del campo eléctrico, el versor tiene la dirección de la recta que une
el “punto fuente” y el “punto campo”. El sentido es desde el “punto fuente” hacia el “punto campo”.
Física III
Clase nº 1
carga Q1. El campo eléctrico en B es la superposición de estos dos campos. Como se trata de
magnitudes vectoriales lo que debemos hacer es la suma vectorial de E1B y E1B :
N
N
N
(0.8 iˆ  0.6 ˆj )  3.6 iˆ  2.7 ˆj
C
C
C
N
E2 B  12.5 ˆj
C
N
N
N
EB  E1B  E2 B  3.6 iˆ  2.7 ˆj  12.5 ˆj
C
C
C
Nˆ
N ˆ
EB  3.6 i  9.8 j
C
C
E1B  4.5
La aplicación del principio de superposición se puede ilustrar gráficamente. Dibujamos el
campo en B producido por Q1 y el campo en B producido por Q2 y luego realizamos la suma
vectorial
Dejamos como tarea para los estudiantes la determinación del campo eléctrico en los puntos A y
C.
Líneas de campo
Existe una forma muy útil de representación visual del
campo eléctrico. Para ello se utilizan las líneas de campo, también
llamadas líneas de fuerza.
En el caso de una carga negativa puntual el “mapa” de
líneas de campo es el que se muestra en la figura. Las líneas de
campo son radiales. “Nacen” en el infinito y finalizan sobre la
carga negativa. El vector campo eléctrico en cada punto del
espacio tiene la misma dirección y sentido que la línea de campo
que pasa por dicho punto.
En la figura mostramos las líneas de campo para el caso de
una carga puntual positiva. El mapa es análogo al que corresponde
a una carga puntual negativa, pero en este caso las líneas “nacen”
en la carga positiva y no tienen fin. Es decir se dirigen hacia el
infinito.
En las figuras siguientes mostramos otros casos más
11
Física III
Clase nº 1
12
complicados donde las líneas de campo no son rectas. A la derecha podemos observar el caso de dos
cargas de igual valor absoluto separadas por una distancia (dipolo eléctrico). El mapa nos muestra
líneas de campo que “salen” de la carga positiva y terminan sobre la carga negativa. A la izquierda
podemos apreciar el mapa de líneas de campo de dos cargas de igual signo.
En la próxima figura vemos otros mapas de líneas de campo para conjuntos de dos cargas de
distinto valor y/o de distinto signo. Como se puede apreciar estos mapas ya no tienen la simetría de
los de la figura anterior.
Hasta aquí hemos mostrado líneas de campo para distintas configuraciones de carga. ¿Qué es
lo que nos muestran estas líneas? ¿Por qué también se las denomina líneas de fuerza?5
La propiedad fundamental que define a estas líneas es la siguiente:
El vector campo eléctrico en un punto del espacio tiene siempre dirección
tangente a la línea de campo que pasa por dicho punto. El sentido del
vector campo eléctrico es el mismo que el de la línea correspondiente.
5
Ver FÍSICA de Tipler, Mosca. Volumen 2 a. Electricidad y magnetismo. Reverté. Barcelona.2005. Páginas 621,622
Física III
Clase nº 1
13
En base a esta definición se pueden deducir todas las propiedades de las líneas de campo:






Una línea de campo comienza en una carga positiva o no tiene comienzo (viene desde el
infinito). Las cargas positivas son “fuentes” de líneas de campo.
Una línea de campo termina en una carga negativa o no tiene fin (se dirige hacia el infinito).
Las cargas negativas son “sumideros” de líneas de campo.
Si una carga puntual se coloca en un punto del espacio donde existe campo eléctrico, sobre
dicha carga actúa una fuerza que es tangente a la línea de campo. Su sentido coincide con la
de la línea si la carga puntual es positiva. El sentido de la fuerza es opuesto al de la línea si la
carga es negativa.
Las líneas de campo son continuas en las regiones donde no hay cargas. Sólo son discontinuas
en los puntos donde hay cargas.
Las líneas de campo no se pueden cruzar.
La densidad de líneas6 en una región del espacio es proporcional a la intensidad (módulo) del
campo eléctrico en dicha región.
Para aprender más sobre líneas de campo, experimentando en forma virtual, te recomendamos
visitar los siguientes sitios:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo/intro.htm
http://www.cco.caltech.edu/~phys1/java/phys1/EField/EField.html
Campo eléctrico uniforme
Un caso especial por su sencillez y por sus aplicaciones prácticas es el de un campo eléctrico
que tiene el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido en todos los puntos de una región
determinada. En este caso las líneas de campo deben ser paralelas ya que el campo debe tener la
misma dirección en todos los puntos. Además deben estar igualmente espaciadas ya que la densidad
de líneas debe ser uniforme para representar que el módulo del campo no cambia de un punto a otro.
La realización práctica de un campo con estas características se puede lograr, en forma
aproximada, cargando dos superficies planas enfrentadas con cargas iguales y de signo opuesto
uniformemente distribuidas.
Si una partícula cargada se encuentra dentro de una región donde hay un campo eléctrico
uniforme experimenta una fuerza que se mantendrá constante mientras la partícula permanezca en
dicha región. Si la partícula tiene carga positiva la fuerza sobre ella originada por las placas cargadas
tiene la misma dirección y sentido que el campo. Si la carga es negativa la fuerza tendrá sentido
opuesto.
En el primer caso el campo tenderá a llevar la partícula hacia la placa negativa. En el segundo
caso el campo intentará arrastrar a la partícula hacia la placa positiva.
6
Densidad de líneas es número de líneas por unidad de área que atraviesa una superficie transversal a las líneas. Al
número de líneas que atraviesa una superficie determinada se lo denomina flujo del campo eléctrico. Entonces el flujo
para un área suficientemente pequeña es igual al producto de la densidad de líneas por el área.
Física III
Clase nº 1
CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS
Si tenemos que calcular el campo eléctrico en un punto del espacio provocado por un cuerpo
cargado, en principio, podríamos proceder del siguiente modo. Dividimos a todo el cuerpo en
una gran cantidad N de pedacitos. Cada uno de ellos tendrá una pequeña parte de la carga total
del cuerpo. Calculamos el campo producido por cada pedacito como si fuera una carga puntual.
Esto lo hacemos para cada uno de esos “elementos de carga”. Es decir N veces. Luego
sumamos vectorialmente estos N vectores E y obtenemos el campo que buscamos usando la
fórmula que ya vimos:

1 N qi
r  ri 
E



3
4 o i 1 r  ri
Bueno, esto es fácil de decir pero seguramente resultará demasiado laborioso para hacer.
Vamos a tratar de mejorar este método. En primer lugar hacemos que el número de elementos
de carga sea muy grande. Es decir que N  . Por lo tanto cada “pedacito” ahora se convierte
en una porción infinitesimal de carga dq. La suma finita se transforma en una “suma” infinita.
Es decir, en una integral. La posición de cada uno de los elementos infinitesimales

(“puntuales”) de carga la indicamos con un vector posición variable r ` x`iˆ  y` ˆj  z`kˆ . Las
coordenadas x`, y` y z` deben “recorrer” toda la distribución de carga. Son los infinitos puntos
“fuente”. El punto donde queremos calcular el campo es fijo y está indicado por el vector

posición: r  xiˆ  yˆj  zkˆ , donde x, y y z son las coordenadas de dicho punto “campo”.
Entonces:

E
1
4 o
dq  
 r  r` r  r `
3
Si la carga está distribuida en un volumen definimos la densidad volumétrica de carga en
dq
Coulomb/m3:  
, por lo tanto dq   dVOL y…
dVOL

1
 dVOL  
(Integral de volumen)
E
  3 r  r `
4 o 
r

r
`
VOL
Si la carga está distribuida en una superficie (dos dimensiones), definimos la densidad
dq
superficial, en Coulomb/m2, de carga  
, por lo tanto dq   dS y entonces…
dS

1
 dS  
(Integral de superficie)
r  r `
E


4 o SUP r  r` 3
Si la distribución de carga es unidimensional (“línea de carga”), definimos la densidad
dq
longitudinal de carga, carga por unidad de longitud, en Coulomb/m,  
; por lo tanto cada
dl
elemento infinitesimal de carga se expresará como: dq   dl , entonces…

1
 dl  
(Integral de línea o curvilínea)
r  r `
E


4 o r  r` 3
Estas integrales pueden resolverse en coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas. En cada
caso habrá que expresar los elementos infinitesimales en las coordenadas correspondientes.
14
Física III
Clase nº 1
15
EJEMPLO: Campo eléctrico de un disco plano
cargado superficialmente con densidad de
carga uniforme
Supongamos que un disco plano, de radio R y de
espesor despreciable está cargado uniformemente
con una carga Q. En este caso la densidad
dq
Q

superficial de carga será uniforme  
dS R 2
El disco está ubicado en el plano yz con su centro
coincidente con el origen de coordenadas. Vamos
a determinar la expresión del campo eléctrico en
un punto del eje x que en este caso es el eje de
simetría de la distribución de carga (simetría
cilíndrica). El elemento de superficie es un
“rectángulo” con dos lados rectos que son porciones radiales dr` y dos lados curvos que son arcos de
circunferencia r´d´. Las coordenadas “primadas” se refieren a la posición de los elementos de la
distribución de carga. Es decir, a los puntos “fuente”.

El campo será calculado en un punto cuyo vector posición es r  xiˆ  yˆj  zkˆ  xiˆ  0 ˆj  0kˆ  xiˆ
El vector posición de un elemento infinitesimal de carga es

r ` x`iˆ  y`ˆj  z`kˆ  0iˆ  y`ˆj  z`kˆ  r`cos`ˆj  r`sen`kˆ

dE 

dE 

dE 
dq  
`  
r  r `  1  r`d dr
r  r `


3
3
4 0 r  r `
4 0 r  r `
1
1
4 0
1

 r `d `dr`
x y z
2
2
2
 r `d `dr`

3
xiˆ  y` ˆj  z`kˆ 
xiˆ  r`cos ` ˆj  r`sen `kˆ 
4 0  2
2
 x  r ` 


En este caso  es uniforme. No depende de las coordenadas. Su valor es constante en toda la
superficie del disco, por lo tanto no es afectada por la integral. Importante: x también es una
constante ya que la integral está extendida a toda el área del disco y x es la coordenada del punto
“campo”.

1
r `d  dr`
E
 
xiˆ  r `cos ` ˆj  r `sen `kˆ
3
4 0
 x 2  r `2 




2
R
2
R


  2 R
r `dr`
r
`
dr
`
r
`
dr
`
ˆj  sen `d `
E
iˆ   cos `d `
kˆ
 x  d `
3
3
3 


4 0  o
0  x 2  r `2 
o
0  x 2  r `2 
o
0  x 2  r `2 





 






 
Solución de la integral
3

  x
E
 
2 o  x

 iˆ
2
2
x  R 
x

Física III
Clase nº 1
16
Esta expresión nos da el vector campo eléctrico para todo punto del eje x (eje de simetría
perpendicular al disco) en función de la coordenada x. Podemos apreciar que el resultado no tiene
componentes en las direcciones y ni z. Hubiéramos podido predecir esto sin necesidad de resolver la
integrales.
Cada elemento infinitesimal de carga considerado como una carga puntual (punto fuente) provoca en
un punto del eje x (punto campo) un vector campo que tiene una componente en la dirección del eje x
y otra componente perpendicular al eje x. Cuando “sumamos” las infinitas contribuciones de todos
los elementos infinitesimales del disco cargado, todas las componentes transversales al eje x tienen
otra componente de igual módulo y sentido opuesto. Esto se debe a la simetría cilíndrica de la
distribución.
Vamos a analizar la fórmula del campo hallada para puntos del eje x muy alejados del disco. Con
“muy alejados” queremos decir puntos en los cuales x >>> R.
1 R2
x  R  1 R / x 1
2 x2
2
2
2
2
  x

x
 
1 R2  ˆ
ˆ
E
11
i
 
i 
2 o  x
2 o 
2 x 2 
x 2  R 2 
  1 R2
  R2 ˆ
1 Qˆ
ˆ
E
i
i
i
2
2
2 o 2 x
4 0 x
4 0 x 2
Con la condición x >>> R obtenemos una expresión equivalente a la del campo producido por
una carga puntual ubicada en el origen. Es decir, desde un punto del eje x ubicado a gran
distancia del origen (mucho mayor que el radio del disco) el disco “se ve” como un punto
cargado.
En forma análoga podemos averiguar cuál es la expresión aproximada para puntos del eje x
muy próximos al disco. Es decir, para x <<< R…

 x
x
 
x
E
iˆ 
sg ( x)   iˆ
  2


2 o  x
2 o 
R
x  R2 
Pero si x <<< R, entonces x/R <<< 1. Por lo tanto:
E

sg ( x) iˆ
2 o
Es decir que el campo en un punto muy próximo al centro del disco no depende del radio R.
Sólo es función de la densidad superficial de carga, considerada uniforme, y de qué lado del
disco esté ubicado el punto “campo”. Si la densidad  > 0, para x > 0 el campo tiene sentido
“+x”. Para x < 0 el campo tiene sentido “ x”
Este resultado es equivalente a tomar la expresión del campo y considerar el límite para R  .
Entonces el disco se transforma en un plano infinito de carga. En este caso el campo es
independiente de la distancia entre el punto “campo” y el plano cargado. Un resultado que
puede parecer sorprendente, ya que uno esperaría que a medida que nos alejamos de los puntos
“fuente” (es decir, las cargas) la intensidad del campo debería ir disminuyendo.