Comentarios a “La filosofía de la matemática del segundo

Eleonora Cresto – Diciembre 5, 2002
Desventuras de un convencionalista poco convencional.
Comentarios a “La filosofía de la matemática del segundo Wittgenstein: El
problema de la objetividad de la prueba matemática”.
Según algunos autores (Dummett, por ejemplo), la posición característica de Wittgenstein
en filosofía de la matemática puede entenderse como un convencionalismo de cierto tipo.
De qué tipo de convencionalismo se trata, y si tiene consecuencias aceptables, son
algunos de los puntos que analiza Marcelo en su trabajo. Antes de pasar a las tesis de
Marcelo propiamente dichas quisiera situar muy rápidamente a Wittgenstein en el
universo de las concepciones más conocidas sobre el conocimiento matemático. Entiendo
que esta estrategia va a ser útil para la discusión que sigue después. Creo que, para
mostrar hasta qué punto la posición de Wittgenstein es del todo heterodoxa en filosofía de
la matemática, nada mejor que ponerla en contexto, por ejemplo recordando el artículo
clásico de Benacerraf de 1973, “Mathematical Truth”.
Benacerraf nos ofrece allí un dilema, moldeado sobre la dicotomía entre
Platonismo y Constructivismo en matemática: el primero nos permite entender cómo es
que los enunciados matemáticos son verdaderos, pero no cómo es que los conocemos; el
segundo explica el conocimiento matemático, pero no la verdad. En este último rubro se
ubican varias posiciones anti-Platónicas, como el intuicionismo de Hilbert y algunas
perspectivas convencionalistas. Según Benacerraf, todas ellas intentan un análisis de la
verdad matemática que se apoya en raíces epistemológicas, (en particular en la noción de
prueba) pero en última instancia fracasan a la hora de explicar la verdad de un enunciado
en estilo tarskiano, esto es, en términos de referencia y satisfacción.
Independientemente de que acordemos o no con el diagnóstico de Benacerraf, o
con sus premisas básicas acerca de qué cuenta como una teoría semántica o
epistemológica satisfactorias, es claro que Benacerraf en 1973 ha trazado un mapa básico,
y muy amplio, de perspectivas usuales en filosofía de la matemática. Y es interesante
notar que la posición de Wittgenstein no parece encajar en ninguna de ellas. Aparece aquí
inmediatamente un problema exegético, porque los apuntes de Wittgenstein sobre
matemática son fragmentarios y hasta cierto punto caóticos. Pero, al menos bajo las
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exégesis más habituales, parece cierto que Wittgenstein se cae del mapa, por así decir.
Veamos por qué.
El dilema de Benacerraf es posible, entre otras cosas, porque presupone que toda
perspectiva matemática que se precie debe dar cuentas de la verdad de sus enunciados y
del conocimiento que tenemos de ellos. Pero podría argumentarse que en Wittgenstein
tales pretensiones de verdad y conocimiento simplemente desaparecen. De acuerdo con
una interpretación posible de Wittgenstein, (que, dicho sea de paso, me parece de las más
razonables) “conocer” que p (donde p es un enunciado matemático) es ser capaces de
llevar a cabo ciertos procedimientos – dicho de otra manera, ser capaces de seguir una
regla. Pero seguir una regla es una práctica, y no tiene sentido hablar de prácticas
verdaderas o falsas. Así pues, en esta interpretación los enunciados matemáticos no
tendrían valor de verdad, y, en realidad, en sentido estricto no podríamos hablar aquí de
conocimiento, sino simplemente de prácticas. Puede contrastarse esto, por ejemplo, con la
idea muy diferente de que el conocimiento matemático es un conocimiento de segundo
orden, que surge a partir de reflexiones sobre nuestras propias actividades. Pero esto ya
no es Wittgenstein: recuérdese que “pensar que estamos obedeciendo una regla no es
obedecer una regla” (IF #202); de manera análoga, reflexionar sobre lo que hacemos
cuando seguimos una regla es algo muy diferente de seguir una regla. En resumen, la idea
de conocimiento matemático, en un sentido relevante para el dilema de Benacerraf, no
puede ser construido en clave Wittgensteiniana.
Una interpretación alternativa de Wittgenstein (aunque no tan diferente de la que
acabo de sugerir, si uno lo piensa bien) consiste en afirmar lo siguiente. De cada
enunciado surgido de nuestra práctica matemática (por ejemplo, de cada paso de una
prueba) debemos decir, no ya que tales enunciados no son ni verdaderos ni falsos, sino
que son verdaderos por convención, esto es, son verdaderos por el mero hecho de haber
sido un producto de nuestra práctica. (En terminología de Wittgenstein, como recuerda
Marcelo, estos serían enunciados “gramaticales”, o normativos). Este tipo de
convencionalismo, sin embargo, no es comparable con el convencionalismo estándar
según el cual decidimos aceptar un punto de partida (digamos, axiomas y reglas de
inferencia), y el resto (lo que se sigue de allí) se nos impone. Por el contrario, en el caso
de Wittgenstein la práctica relevante en la que nos hemos embarcado va quedando
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determinada a partir de cada uno de los pasos que damos, y por ende estamos obligados a
decir que cada paso de una prueba responde a una nueva convención. Esto se opone a la
idea mucho más natural de que a la hora de realizar una prueba matemática poseemos
criterios objetivos, externos, para determinar su corrección o incorrección. Observemos
que bajo esta interpretación la posición de Wittgenstein tampoco es asimilable al “mapa”
de Benacerraf, precisamente porque bajo el convencionalismo de Wittgenstein la
matemática no intenta brindar lo que usualmente entendemos por conocimiento objetivo.
En otras palabras, el convencionalismo de Wittgenstein abandonaría precisamente
aquello que, como hemos visto, había sido la piedra de toque del convencionalismo
tradicional: esto es, la capacidad de explicar cómo es que poseemos conocimiento
matemático. Este es precisamente el contexto del artículo de Dummett de 1959,
“Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics”. Allí Dummett interpreta a Wittgenstein
como un convencionalista radical, que se separa drásticamente de posiciones
constructivistas más tradicionales (y más razonables), como el intuicionismo.
En síntesis, la filosofía de la matemática de Wittgenstein es altamente peculiar, y
no parece ser fácilmente enmarcada en el mapa habitual de la filosofía de la matemática
más tradicional. El punto es si esta peculiaridad está bien expresada mediante la idea de
Dummett
de
convencionalismo
radical.
Recordemos
una
vez
más
que
el
convencionalismo radical, según Dummett, se caracteriza porque no solamente los puntos
de partida de una prueba matemática (premisas y reglas) están fijados a voluntad, sino
que todos los pasos ulteriores de una prueba están sujetos a decisión, y no hay nada que
obligue a aceptar un paso u otro.
Marcelo acepta caracterizar a la posición de Wittgenstein como un
convencionalismo radical, pero argumenta que de aquí no se siguen algunas de las
consecuencias desfavorables que Dummett le ha atribuido a Wittgenstein. En particular,
según Marcelo el convencionalismo radical no entraña la falta de “objetividad
epistémica” de las pruebas matemáticas. Recordemos que por “objetividad epistémica”
debemos entender algo así como “intersubjetividad” – en palabras de Marcelo, “un juicio,
una creencia, una teoría, un concepto o una percepción son objetivos [en sentido
epistemológico] si es posible suponer que son ‘válidos para todos los hombres’” (p.7).
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Así pues, Marcelo quiere mostrar que el convencionalismo radical de
Wittgenstein no implica arbitrariedad epistémica. Para ello, pareciera que hay dos
caminos a seguir: podríamos proponer una nueva definición de convencionalismo radical,
que carezca de las consecuencias indeseables que tiene la definición de Dummett, o
podríamos intenta argumentar que la propia definición de Dummett, bien entendida, no
posee las consecuencias que Dummett dice que posee. Sinceramente, no encuentro que la
segunda opción sea factible, puesto que en este caso la arbitrariedad epistémica parece
formar parte esencial de la definición de convencionalismo radical de Dummett. De
modo que me voy a inclinar por interpretar el trabajo de Marcelo de acuerdo con la
primera lectura: esto es, voy a suponer que Marcelo intenta ofrecer una nueva definición
de convencionalismo radical, que evita comprometerse con la arbitrariedad epistémica.
Llamémosla “Convencionalismo Radical(*)”.
Para caracterizar al Convencionalismo Radical(*), Marcelo nos recuerda que
según Wittgenstein debemos distinguir entre
(a) el plano de aplicación de una norma o paradigma matemático (la aplicación de
un resultado conocido del cálculo, por ejemplo), y
(b) el plano de creación o aceptación de la norma.
El convencionalismo de Wittgenstein referiría en realidad sólo al segundo plano: según
Marcelo, los pasos de una prueba están sometidos a estipulaciones sólo a la hora de
establecer un paradigma, no a la hora de aplicarlo (p.7).
Ahora bien, dicho así, esto se parece bastante al convencionalismo tradicional.
¿Qué tiene este análisis de radical? Según nos dice Marcelo, lo “radical” está en el tipo de
explicación que da Wittgenstein de la necesidad lógica. A saber, (y otra vez en palabras
de Marcelo), “toda necesidad es de índole normativa, procede de estipulaciones, y
desaparece cuando desaparece la aceptación [que se le otorga]”; p.6). Llamémosla
“Necesidad Lógica(W)”.
Entonces, el Convencionalismo Radical(*) quedaría caracterizado por cierta
concepción sobre la naturaleza de la necesidad lógica (esto es, Necesidad Lógica(W)), y
por la idea de que el componente estipulativo aparece únicamente en el plano de la
creación de un paradigma. O, para ser más precisos, creo que (aunque en este punto estoy
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en duda) la idea es que la Necesidad Lógica(W) implica que sólo hay que hablar de
estipulación en el plano de la creación o aceptación de normas.
¿Por qué el Convencionalismo Radical(*) se libraría de la acusación de
arbitrariedad epistemológica, entonces? Responder a esta pregunta equivale en verdad a
responder dos cosas:
(1) cómo es qué la Necesidad Lógica(W) no implica que debamos hablar de
estipulaciones también en el nivel de la aplicación de normas.
(2) cómo es que las estipulaciones que se llevan a cabo en el nivel de la creación de
normas no son arbitrarias.
Así, si encontráramos respuestas adecuadas para (1) y (2), tal vez, para hablar
metafóricamente, podamos volver a ubicar a Wittgenstein en el mapa.
Marcelo piensa que el punto (1) no es problemático (ni requiere mayores
esfuerzos argumentativos), y que por otra parte hay elementos suficientes para sugerir
que la estipulación en el nivel de la creación de normas no es arbitraria. Como se verá en
unos minutos, yo tiendo a pensar de manera un tanto diferente: en primer lugar, la
supuesta arbitrariedad de la creación de normas no me parece preocupante, y, además,
aún si hubiera elementos para afirmar que no hay tal arbitrariedad (esto es, aún si fuera
posible argumentar exitosamente en (2)), creo que, si se interpreta a Wittgenstein como
un convencionalista, lo verdaderamente alarmante es la posibilidad de aceptar
arbitrariedades a la hora de aplicar un paradigma – y, a diferencia de Marcelo, creo que
no es tan fácil desactivar esta posibilidad.
Respecto del punto (1), pues, Marcelo señala que en el marco de un paradigma no
pueden surgir dudas escépticas relativas al sentido y la verdad de un enunciado, dada la
relación interna que Wittgenstein supone existe entre enunciados y sistemas de reglas.
Entonces, “si se acepta una regla de inferencia como buen paradigma (y esto significa
siempre: esta regla....) entonces no atenerse a él pone de manifiesto la inconsecuencia de
quien la aceptó, de manera que tiene perfecto sentido decir que violó la prescripción”
(p.7).
Así pues, sólo habría que ocuparse del punto (2), esto es, de lo que ocurre en el
plano de la creación o aceptación de paradigmas. Efectivamente, la posible arbitrariedad
epistémica aparecería cuando no comprendemos adecuadamente la posición de
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Wittgenstein frente al plano de creación o aceptación de normas en primer lugar. Pero “a
la hora de introducir un paradigma, rechazarlo o modificarlo hay razones no “lógicas”,
i.e. razones que no determinan (compel, zwingen)” (p.6). Estas razones no lógicas
consisten, por ejemplo, en “prácticas y tradiciones establecidas de medir y contar, y
experimentos con objetos, figuras y signos que suponen ciertas regularidades empíricas y
tienen resultados repetibles y abarcables” (pp.7-8). En otras palabras, creo que la idea es
esta: por un lado, el Convencionalismo Radical(*), combinado con la premisa implícita
de que no hay razones adicionales para introducir (o modificar) un paradigma, nos
llevaría a la arbitrariedad epistémica:
(i) Wittgenstein sostiene un Convencionalismo Radical(*).
(ii) No existen razones adicionales para introducir un paradigma, rechazarlo o
modificarlo (premisa implícita).
La posición de Wittgenstein no evita la arbitrariedad epistémica.
Por el contrario, el Convencionalismo Radical(*), combinado con la idea de que existen
tales razones adicionales, evita dicha arbitrariedad:
(i) Wittgenstein sostiene un Convencionalismo Radical(*).
(ii) Hay razones adicionales (razones “no lógicas”) que nos llevan a introducir un
paradigma, rechazarlo o modificarlo
La posición de Wittgenstein no cae en la arbitrariedad epistémica
No estoy demasiado segura de que las razones mencionadas (los elementos a los que
alude la premisa (ii) del segundo razonamiento) alcancen para afirmar que no hay
arbitrariedad al elegir un paradigma, sobre todo porque, en todo caso, tales razones
explican la elección de algunos paradigmas matemáticos muy sencillos (no pueden ni
remotamente explicar la elección de la teoría de Zermelo-Fraenkel, por ejemplo). Pero no
quiero discutir este punto aquí, así que los voy a dar por buenos. Básicamente, no creo
que la arbitrariedad en este sentido sea un problema grave (tal vez sí lo sea para un
Platonista). El asunto es que, según creo, aún si tuviéramos éxito con (2), esto no nos
lleva muy lejos, porque la dificultad central no reside en (2), sino en (1).
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Recordemos que para responder a (1) deberíamos poder mostrar que cada paso de
una prueba se sigue de los anteriores. Como ya mencioné, en principio pareciera que
tenemos el recurso de decir que una regla implica que debemos atenernos a ella – si no lo
hacemos, tendría sentido decir que violamos la regla. Creo que esta interpretación
efectivamente refleja los propios deseos de Wittgenstein (por ejemplo, Wittgenstein en
algún momento observa que si alguien “multiplica” 25x25 y obtiene un resultado
diferente de 625, esta persona no habría seguido correctamente las reglas de multiplicar).
La pregunta es si Wittgenstein puede decir esto – si es una posición consistente dentro de
su filosofía. Reaparece aquí el omnipresente problema de cómo seguir una regla. El
problema está precisamente en cómo podemos mostrar alguna vez que la aplicación de un
paradigma es justamente eso, es decir la aplicación de algo previamente consensuado, y
no la “creación de una nueva esencia”, la “introducción de un nuevo concepto”, en
síntesis, la adopción de un nuevo paradigma o regla. Entiendo que un debate un poco más
pormenorizado sobre este último tema conformaría un buen complemento para la
presente discusión.
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