OSCILACIONES FORZADAS EN UN CIRCUITO LRC

Laboratorio II de Física
Práctica Nº 4
Oscilaciones Forzadas
OSCILACIONES FORZADAS EN UN CIRCUITO LRC
Prof. Omar Contreras
Para la polaridad indicada en la fuente de
voltaje la corriente tiene la dirección indicada
y del signo de la carga en el condensador se
R
-
i
q
+
L
debe cumplir que:
C
+
+
i
dq
.
dt
Un aumento en la corriente i produce una
fuerza electromotriz inducida en la bobina
que se opone a dicho aumento, como indican
los signos en la bobina.
-
V0 cos  t
Aplicando Kirchhoff:
L
di
q
 Ri   V0 cos t .
dt
C
Sustituyendo la primera ecuación en la segunda obtenemos:
d2 q
dq q
L 2 R
  V0 cos t .
dt C
dt
Para resolver esta ecuación diferencial construyamos primero una variable compleja
z tal que su parte real coincida con q ( q = Re{ z } ) y luego resolvamos la ecuación:
L
d2 z
dz z
R
  V0 e it , ya que esta última ecuación es más fácil de resolver y
2
dt C
dt
como es una ecuación diferencial lineal, su parte real coincide con nuestra ecuación
original.
Probando una solución oscilatoria: z = A e i t, obtenemos que la amplitud de la
oscilación es: A 
 i V0

1 

 R  i   L 

 C 



Z  Z ei  ,
siendo
1/2
2
 2 
1  
Z  R    L 
 
 C  


1
L 
R
C
, sen 
cos  
Z
Z
1 

Z  R  i  L 
 , cuyo módulo es
C

exponencial:
i V0
, siendo Z la impedancia compleja:
Z
. Ó, en notación
obteniendo finalmente la solución de la ecuación diferencial: z  
y
tan  
L 
R
1
C ,
i V0 i   t   
.
e
 Z
1
Laboratorio II de Física
Práctica Nº 4
Oscilaciones Forzadas
Los gráficos del módulo de la impedancia Z y del desfasaje  en función de la
frecuencia  se presentan a continuación, donde 20 
1
:
LC

|Z|

0

R

0

El voltaje en el condensador es VC = q / C, donde la carga la obtenemos tomando la
parte real de z: q 
V0
sen  t  . De esta ecuación deducimos que el voltaje en
 Z
el condensador está desfasado respecto al voltaje de la fuente tanto como cos t
está con sen(t-):
Es decir, están desfasados en
cos t
sen (t - )

sen t
t1
/

Ac 
V0
C Z
t2
t

. Como el cos t toma sus
2
valores en tiempos menores que el
sen(t-) [por ejemplo, el coseno
baja primero a cero que el seno
( t1 < t2)], se dice que el voltaje
del condensador está retrasado
respecto al voltaje de la fuente.
Los gráficos de la Amplitud del
voltaje
del
condensador
y de su desfasaje respecto al voltaje de la fuente, Vo,q, como función de
la frecuencia  se presentan a continuación, donde : 20 
' ' 2  20 
1
R2
, ' 2  20  2
LC
4L
y
R2
.
2 L2
2
Laboratorio II de Física
Práctica Nº 4
Oscilaciones Forzadas
VC
Vo,q
V0/RC'

V0
'' 0


Para el voltaje en la resistencia usamos:
dq V0R
VR  Ri  R

cost   . El desfasaje entre
dt
Z
el voltaje de la fuente y el voltaje en la
resistencia, o entre el voltaje de la fuente y la
corriente del circuito es . El gráfico de la
Amplitud del VR en función de la frecuencia 
se presenta a continuación, siendo 1 y 2 las
frecuencias donde la amplitud cae a su máximo
entre raíz de dos.

0
VR
V0
V0
2
1
0
2

Para el voltaje en la inductancia usamos:
VL  L
 L V0
di

sen t   . El desfasaje entre
dt
Z
VL
el voltaje de la fuente y el voltaje en la

2
inductancia es   . En este caso se dice que
el voltaje de la inductancia está adelantado
respecto al voltaje de la fuente. El gráfico de la
Amplitud del VL en función de la frecuencia 
se
presenta
a
continuación,
donde
R2
' ' '   
.
2 L2  L R 2 C
2
2
0
V0
'''

3
Laboratorio II de Física
Práctica Nº 4
Oscilaciones Forzadas
La Potencia instantánea suministrada por la fuente es:
P  Vi
V02
V2
cos t cost    0 cos t  cos t cos   sent sen . Como esta potencia
Z
Z
oscila muy rápidamente, es preferible trabajar con la potencia promedio. Para
calcularla usamos:
T
V02
1
P   P dt 
cos  . Donde hemos usado que el promedio
T0
2 Z
del coseno cuadrado y el del seno cuadrado son ½ y el promedio del seno y del
coseno son cero. El término cos  
R
Z
se conoce como factor de potencia y
obviamente depende de la frecuencia . Podemos también escribir la potencia media
como:
IRMS 
P  VRMS IRMS cos  ,
I0
2

V0
2 Z
ya
que
para
una
señal
sinusoidal:
VRMS 
V0
2
,
.
El gráfico de la potencia media se presenta a
continuación. El valor del máximo es
2
0
V
, y los
2R
valores de 1 y 2 se calculan exactamente en
la mitad del máximo, obteniéndose la relación
R
2  1  , con lo cual, el factor de calidad es:
L
0 L
0
.
Q

R
2  1
P
2
0
V
2R
PMÁX
2
1
0
2

4
Laboratorio II de Física
Práctica Nº 4
Oscilaciones Forzadas
PARTE EXPERIMENTAL
1. Efectúe y deduzca todas las ecuaciones y
cálculos que solo quedaron planteados en la
V0
guía teórica.
L
2. Monte el siguiente circuito, usando L=0,044
VC
R
C
H ( n=1000 ), R=200 , C=0,1 F:
3. Manteniendo la amplitud de la entrada en 1 V, mida la amplitud de Vc. en
función de la frecuencia f. Ajuste el rango de frecuencias del generador en 1
kHz. Use el canal 1 del osciloscopio para medir V0 y para disparar la señal (
Trigger ). Use el canal 2 del osciloscopio para medir VC. Verifique que las
tierras de los dos canales están conectadas al mismo “punto”.
f[Hz]
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
VC[V]
f[Hz]
VC[V]
4. Mida cuidadosamente la frecuencia de resonancia f’’resonancia y el Voltaje en el
Condensador para resonancia VCMÁX:
f’’resonancia [Hz]
VCMÁX[V]
5. Mida el desfasaje Vo,Vc en función de la frecuencia.
f[Hz]
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Vo,Vc
6. Mida cuidadosamente la frecuencia donde el desfasaje entre el Voltaje en el
Condensador y el de la fuente es exactamente /2:
f0 [Hz]
5
Laboratorio II de Física
Práctica Nº 4
Oscilaciones Forzadas
7. Grafique Vc/Vo y Vo,Vc en función de f usando Excel ( Gráfico XY ) con ambas
escalas lineales.
8. Grafique Vc/Vo en función de f y Vo,Vc usando Excel con ambas escalas
logarítmicas.
9. Calcule la pendiente del gráfico logarítmico, para f >> fresonancia en dB/déc.
10. A partir de f0 y f’’ calcule el valor de f’:
f’ [Hz]
11. A partir de VCMÁX, V0 y f’ calcule el valor de RC:
RC [F]
12. A partir de f0 , f’’ calcule el valor de R/L:
R/L [/H]
13. A partir de f0 calcule el valor de LC:
LC [HF]
14. A partir de f0 y R/L calcule el valor de Q:
Q
15. Mida con el ohmímetro el valor de R:
R []
16. Calcule el valor de L:
L [H]
17. Calcule el valor de C:
C [F]
6
Laboratorio II de Física
Práctica Nº 4
18. Modifique
el
Oscilaciones Forzadas
circuito
sin
cambiar
los
VR
V0
componentes:
L
C
R
19. Mida el voltaje de la resistencia VR en función
de la frecuencia:
f[Hz]
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
VR[V]
f[Hz]
VR[V]
20. Grafique VR en función de f en Excel y determine los valores f1 y f2 donde el
voltaje de resonancia cae al máximo entre raíz de dos.
21. Con f0, f1 y f2 calcule el factor de calidad Q del circuito. Compare con el valor
anterior.
22. Escriba las conclusiones generales de la práctica:
Nota 1:
Todas las mediciones deben estar acompañadas de su respectivo error.
7
Laboratorio II de Física
Práctica Nº 4
Nota 2:
Oscilaciones Forzadas
Si dividimos la Potencia entre un valor de referencia cualquiera P0, esta
relación no tiene unidades. Si a esa relación le calculamos su logaritmo
en base 10 se dice que la potencia, aún cuando es una relación
adimensional, está expresada en Bells. Si a ese logaritmo lo
multiplicamos por diez, se dice que la potencia está expresada en
decibels. Como las potencias se relacionan con el cuadrado de los
voltajes, se dice que un voltaje está en decibels si se expresa como:
20 log10 ( V/V0). Para conocer el valor del Voltaje a partir de su valor
en decibels, es necesario conocer el valor de la referencia V0. A veces
la referencia es 1 mV y se habla de dBm; a veces es 1 V y se habla
de dBu.
Nota 3:
Una década corresponde a un factor multiplicativo de 10 en la
frecuencia.
8