Conceptos: GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.
Actividad nº: 13
Nivel: 1er ciclo.
Tema: Triángulos.
Objetivos: O105-O111
Metodología: Aula, Individual.
Alumno: _____________________________________ Curso/Grupo: _____ Nº: ____
Nociones elementales sobre triángulos y sus elementos.
Conceptos:
 Triángulo: polígono de tres lados.
 Terminología, convenios:
A
 Los vértices se nombrarán
con letras mayúsculas.
BAC ó CAB
 Los ángulos se nombrarán
Â
escribiendo los nombres de
b
los tres vértices, el del ángulo
c
siempre en el centro, con un
ángulo pequeño dibujado
encima, por la letra del
C
vértice con un ángulo encima,
a
o por una letra minúscula
B
griega.
 Los lados se nombran con la letra minúscula correspondiente a la de su ángulo opuesto.
 Características notables:
 Son indeformables, los tres segmentos que componen un triángulo solo encajan en una posición fija.
 Como polígono es siempre convexo.
 Todo polígono se puede descomponer en dos o más triángulos.
 Un lado cualquiera siempre es menor que la suma de los otros dos y mayor
que su diferencia.
 Tres segmentos cualesquiera forman un triángulo solo si el mayor de
ellos es menor que la suma de los otros dos.
 Rectas y puntos notables:
 Alturas: son los segmentos perpendiculares trazados desde un vértice a su
lado opuesto, o a su prolongación. Al lado opuesto al vértice se le denomina
base.
altura
altura
base
Adaptaciones nivel 2
base
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



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 Ortocentro: es el punto en el que se cortan las tres alturas de un triángulo, o sus prolongaciones, por lo que puede ser interior o exterior al mismo.
 Medianas: son los segmentos que unen un vértice con el punto medio de su
lado opuesto.
 Baricentro: es el punto donde se cortan las medianas, se corresponde
con el centro de gravedad del triángulo y es siempre interior al mismo.
Además la distancia de él a un vértice son los dos tercios de la longitud de
la mediana correspondiente.
 Mediatrices: son las rectas perpendiculares a los puntos medios de los lados.
 Circuncentro: es el punto donde se cortan las mediatrices, y se corresponde con el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Puede ser
interior o exterior al mismo. Está a igual distancia de los tres vértices, y
éstos están situados sobre la circunferencia, siendo los lados cuerdas de la
misma.
 Bisectrices: son las rectas que dividen sus ángulos en dos partes iguales.
 Incentro: es el punto en el que se cortan las bisectrices y se corresponde
con el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Siempre es interior
al mismo y equidista de los lados.
Clasificación de los triángulos:
 Por sus lados:
 Equiláteros, tienen los tres lados iguales.
 Isósceles, tienen dos lados iguales.
 Escalenos, tienen los tres lados desiguales.
 Por sus ángulos:
 Acutángulos, tienen los tres ángulos agudos.
 Obtusángulos, tienen un ángulos obtuso.
 Rectángulos, tienen un ángulo recto.
α
Suma de los ángulos interiores de un triángulo:
φ
β
 Como se desprende de la figura suman un
llano.
α
 Como los ángulos interiores son suplementarios
de sus exteriores correspondientes y éstos
φ
β
siempre suman dos llanos o 360o, tenemos
que:
 ê1  ê2  ê3  180    180    180    360 
 3 180        360        540  360  180
Los triángulos son el único polígono que no posee diagonales.
bh
Área del triángulo: S 
, donde b es la base correspondiente a la altura h.
2
acutángulo
h
h
b
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rectángulo
obtusángulo
b
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h
b
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 Área de un triángulo rectángulo: S 
bc
, donde b y c son los catetos.
2
 Triángulos rectángulos:
 Elementos notables:
 Hipotenusa, es el nombre que recibe el lado mayor del triángulo y se opone al ángulo recto.
 Catetos, es el nombre que reciben los otros dos lados.
 Teoremas fundamentales:
En la figura adyacente podemos distinguir tres triángulos rectángulos:
A

φ
C
β
β
y
x


ABC ; AHC ; AHB
Son todos semejantes, ya que poseen
ángulos iguales entre sí.
φ
B
H


BC AC
.

AC CH
Donde BC es la hipotenusa del triángulo grande, a, AC uno de sus catetos, el b, y CH
es la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa, x.


BC AB

Tomando los triángulos ABC y AHB obtenemos que
, donde vemos que se
AB HB
trata de la misma relación, pero ahora con el cateto pequeño, c, y su proyección sobre la
hipotenusa, y.
En resumen, en ambos casos el cateto hace media proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre la misma.
 Teorema del cateto: en todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa del mismo y su proyección sobre la misma.
Aplicando las relaciones de semejanza entre ABC y AHC, tenemos que


Si tomamos ahora los dos triángulos pequeños, AHB y AHC , obtendremos la relación
BH AH

, donde AH es la altura sobre la hipotenusa, con le que podemos decir:
AH CH
 Teorema de la altura: en todo triángulo rectángulo la altura correspondiente
a la hipotenusa es media proporcional con las proyecciones de los catetos sobre la misma.
Por último, y juntando ambos teoremas del cateto, tenemos que:
2
AC  x  a 
2
2
2
  b  c  x  a  y  a  a  x  y   a  a  a
2
BC  y  a 
 Teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
 Ternas pitagóricas: son todo conjunto formado por tres números que cumplen que la suma de los cuadrados de los dos menores es igual al cuadrado del
mayor.
 Triángulo egipcio: es el triángulo formado por tres segmentos de longitudes
3, 4 y 5 unidades, además es rectángulo, ya que 32  42  52 .
Adaptaciones nivel 2
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acti13-Triángulos
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


ACTIVIDADES DE AULA
En todo triángulo rectángulo que tenga un ángulo de 30o el cateto opuesto
al mismo mide la mitad que la hipotenusa.
No hay triángulos rectángulos equiláteros.
El triángulo rectángulo isósceles tiene los ángulos iguales de 45o.
A
A
C
 = 30o
L
30o
60o H
B
H
60o
B
L/2
 Criterios de igualdad de triángulos en general:
 Primer criterio:
 Dos triángulos son iguales si tienen, respectivamente, iguales un lado y los
ángulos adyacentes o contiguos al mismo.
 Segundo criterio:
 Dos triángulos son iguales si tienen, respectivamente, iguales dos lados y el
ángulo comprendido entre ellos.
 Tercer criterio:
 Dos triángulos son iguales si tienen, respectivamente, iguales los tres lados.
 Criterios de igualdad de triángulos rectángulos:
 Primer criterio:
 Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales sus catetos.
 Segundo criterio:
 Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales un cateto y un ángulo
agudo.
 Tercer criterio:
 Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales un cateto y la hipotenusa.
 Cuarto criterio:
 Son iguales cuando tienen, respectivamente, iguales la hipotenusa y un ángulo agudo.
Actividades de aplicación.
P1.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm. Averigua las longitudes de
los catetos, sabiendo que su diferencia es de 7 cm.
P2.- La proyección de un cateto de un triángulo sobre la hipotenusa mide 90 cm. y el
cateto mayor mide 3 cm. Menos que la hipotenusa. Hallar los tres lados del triángulo.
P3.- En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm. y la diferencia entre sus catetos es de 3 cm. ¿Cuánto mide cada cateto?. ¿Y las proyecciones sobre la hipotenusa de los mismos?.
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P4.- De un triángulo isósceles se sabe que la altura correspondiente al lado desigual
vale 15 cm. y su área 90 cm2. Calcular su perímetro.
P5.- El perímetro de un triángulo rectángulo vale 30 cm. y su hipotenusa 13cm. Calcular las longitudes de los catetos y las de sus proyecciones sobre la hipotenusa.
P6.- Calcular los lados de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que su perímetro
vale 24 cm. Calcula también las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
P7.- Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo, sabiendo que su área vale 480
cm2. y su hipotenusa 52 cm. Calcula también las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
P8.- La base de un triángulo excede en 7 cm. a la altura, el área es de 99 cm2. Calcula
las dimensiones del triángulo sabiendo que es rectángulo.
P9.- Calcular los lados de un triángulo rectángulo si se sabe que sus longitudes vienen
dadas por tres números consecutivos. Calcular también las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa y el área del triángulo si sus longitudes vienen expresadas en cm.
P10.- En un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es de 25 m, uno de sus catetos mide
5 m más que el otro. Halla la longitud de los mismos y sus proyecciones sobre la
hipotenusa.
P11.- Un triángulo rectángulo tiene 120 m de perímetro. La hipotenusa mide 20 m menos que la suma de los catetos. Calcular la superficie del triángulo y su altura sobre la hipotenusa.
P12.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 40 m. Calcula los dos catetos, sabiendo que suman 56 m. Calcular también las proyecciones de los mismos sobre
la hipotenusa y su área.
P13.- Halla la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la hipotenusa mide 100 m y que la diferencia entre los dos catetos es de 20 m.
P14.- El perímetro de un triángulo rectángulo es de 60 m y el cateto menor mide 16 m
menos que la hipotenusa. Hallar los tres lados del triángulo y su área.
P15.- Si el área de un triángulo es de 300 m2 y la altura tiene 10 m más que la base,
¿Cuál será la longitud de las mismas?.
P16.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm. y la suma de las longitudes
de los catetos es de 31 cm. Calcula cuánto miden cada uno de los catetos y sus
proyecciones sobre la hipotenusa.
P17.- Con una cuerda de 12 m de longitud se quiere construir un triángulo cuya hipotenusa mida 5 m. Calcula la medida de los catetos.
P18.- Calcula el área de un triángulo rectángulo sabiendo que dos de sus lados miden,
respectivamente, 7 y 8 unidades más que el más pequeño.
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P19.- Calcula el lado de un triángulo equilátero de área 20 dam2.
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