TEMA 11: Sistema de medidas

TEMA 11: Sistema de medidas. Longitud, Capacidad y Masa.
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I.- Un poco de Historia:
Frecuentemente, utilizamos expresiones como
“la cisterna de agua gasta 6 litros (l) cada vez que la utilizamos – ayer corrí 8 Km – mi madre ha
comprado 5 kg de naranjas – me lavo los dientes en 3 minutos -...”. Todas estas cantidades son medidas.
La longitud, la capacidad, la masa, el tiempo, ... son ejemplos de propiedades que se pueden medir. Otras
propiedades como el ánimo, el color, la belleza, ... no son medibles. Por ello decimos que la longitud, ...
son ejemplos de magnitudes (característica capaz de ser medida).
Una medida es el resultado de comparar el objeto que queremos medir con una cantidad
considerada como unidad. Así, cuando decimos que la longitud de la mesa es de 3 palmos y medio,
estamos comparando la longitud de la mesa con la de nuestro palmo.
En el transcurso de la historia de la humanidad, el ser humano ha utilizado diferentes unidades
para medir. Inicialmente se empleaban unidades de longitud que hacían referencia al cuerpo humano
como la mano, el pie o el codo.
Las unidades de medida que hacen referencia al cuerpo humano no
son adecuadas porque varían de una persona a otra. Por ello, el ser humano se planteó la necesidad de
buscar unidades que fueran invariables. Así surgieron las unidades patrón.
Pero aún así, éstas tomaban valores diferentes según la zona. Para evitar confusiones y unificar
criterios, los científicos del siglo XVIII se reunieron con el objetivo de establecer un sistema de unidades
de carácter universal. De este modo nació el Sistema Métrico Decimal, llamado así porque cada unidad
que se utiliza es 10 veces más grande que la inmediata inferior y 10 veces más pequeña que la inmediata
superior.
II.- Las unidades de Longitud:
Las unidades de longitud sirven para “medir
distancias en línea recta desde un punto hasta otro”. La mayoría de los países utilizan el sistema métrico
decimal. La unidad principal para medir longitudes en dicho sistema es el metro (m). Tiene 3
múltiplos: kilómetro (km), hectómetro (hm) y decámetro (dam), que son mayores que él. Y tiene 3
submúltiplos: decímetro (dm), centímetro (cm) y milímetro (mm), que son menores que el metro.
Otras unidades de longitud utilizadas tradicionalmente son, por ejemplo, el “pie” que es igual a
0´259/0´302 m, la “vara” que es igual a 0´772/0´839 m, y las utilizadas en los países anglosajones (habla
inglesa) como la “pulgada” = 2´54 cm, la “yarda” = 91´44 cm, la “milla terrestre” = 1´609 km,...
Como curiosidad, el metro es la distancia, a la temperatura de 0 ºC, entre dos trazos paralelos
marcados sobre una barra de platino iridiado con sección en forma de “X” depositado en la Oficina
Internacional de Pesas y Medidas de París. Es el metro original. A partir de él, cada país ha hecho su
copia.
Los instrumentos que nos permiten medir cantidades de longitud son, por ejemplo: el metro de
costurera, regla graduada, escuadra/cartabón graduados, flexómetro, cinta métrica, pie de rey, odómetro
(rueda de medir), cuentakm del coche/bicicleta/..., podómetro,...
III.- Las unidades de Capacidad:
Las unidades de capacidad sirven para “medir
la cantidad de líquido o gas que cabe o hay en un determinado recipiente”. También la mayoría de los
países usan este sistema de unidades. La unidad principal para medir capacidades en dicho sistema es el
litro (l). Tiene 3 múltiplos: kilolitro (kl), hectolitro (hl) y decalitro (dal), que son mayores que él. Y
tiene 3 submúltiplos: decilitro (dl), centilitro (cl) y mililitro (ml), que son menores que el metro.
Otras unidades de capacidad utilizadas antiguamente son la “cántara” = 16´13 l., la “fanega” =
desde 10 l. hasta 55´5 l., la “carga” = 121,6 l. hasta 222 l., la “pinta” = 0´735 l. hasta 0´808 l.,...
El recipiente que contiene exactamente un litro, probablemente esté también en Francia.
Los instrumentos que nos permiten medir cantidades de capacidad son, por ejemplo: una
jeringuilla, un vaso, cubo, probeta, pipeta, cazo lechero, matraz aforado, botella, lata, contador
gasolineras, pluviómetro,...
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IV.- Las unidades de Masa:
Las unidades de masa sirven para “medir el
peso de las cosas materiales (materia). Pues sí. La mayoría de los ... La unidad principal para medir
longitudes en dicho sistema es el kilogramo (kg) si bien, para confeccionar la lista de los múltiplos y
submúltiplos se tiene en cuenta al gramo (g). Tiene 3 múltiplos: kilogramo (kg), hectogramo (hg) y
decagramo (dag), que son mayores que el gramo. Y tiene 3 submúltiplos: decigramo (dg), centigramo
(cg) y miligramo (mg), que son menores que el mismo gramo.
Otras unidades de masa utilizadas de antaño son la “arroba” que es igual desde 11´5 hasta 12´5 kg,
la “libra” = 372 g hasta 579 g, la “onza” = 23 g hasta 37 g (la dieciseisava parte de una libra),...
Como curiosidad, el kilogramo es la masa que posee un cilindro de platino iridiado depositado en
la Oficina Internacional de Peses y Medidas de Sèvres (París), al lado izquierdo del río Sena.
Los instrumentos que nos permiten medir cantidades de masa son, por ejemplo: balanza de pesas,
básculas, pesacartas, peso de comida, balanza de precisión, ...
V.- Cambio de cantidades de una unidad a otra:
A pesar de lo que ponga el libro y de lo que ya estemos acostumbrados a hacer, a partir de este año
vamos a pasar las cantidades a otra unidad diferente utilizando el “factor de conversión”, que será de uso
obligatorio. Para hacerlo se siguen una serie de pasos:
1 se coloca la cantidad que vamos a pasar a otra unidad a la izquierda, seguido por un signo de
multiplicar (x). O sea, la cantidad será el primer factor.
2 a continuación se coloca una raya de fracción (2º factor) que es el “factor de conversión”. Éste se
tendrá que rellenar siguiendo así: arriba al final se pone la unidad a la que lo queremos pasar, y debajo al
final se pone la unidad en la que está expresada la cantidad. Luego se le pone un “1” a la unidad mayor de
las dos, y su equivalencia a la otra.
3 después se tacharán las unidades repetidas y hacemos la multiplicación en dos pasos. El resultado
será la solución deseada.
Ahí van dos ejemplos:
34 hg  cg
------- 34 hg x
530 dl  kl -------- 530 dl x
cg
10.000cg 34 ·10 .000 cg
------- 34 hg x
=
= 340.000 cg
1
1 hg
hg
530 ·1 kl
kl
1 kl
------- 530 dl x
=
= 0´053 kl
10 .000
dl
10.000dl
EJERCICIOS
1.- De la página 189 del libro, los nos 3 bd, 4 ab, 7ª, 9b, 11, 12 y 14.
2.- Expresa en centímetros las siguientes cantidades: 23 m y 2´4 hm. Por otro lado, pasa a decilitros las
cantidades 41 l y 0´2 kl. Por último, convierte en kilogramos las cantidades 15 q y 73 dg.
3.- Ordena de menor a mayor: a) 0´07 km, 2´54 hm y 255 m
b) 3´2 dal, 345 dl y 1´47 hl
c) 2´06 t, 34 q, 1325 kg y 40.000 dag.
4.- El punto más alto de la Tierra es el Monte Everest y el más bajo es la fosa de Mindanao, en el océano
Pacífico. Expresa en km y luego en metros la distancia que hay entre los dos puntos señalados. Pista:
“puede que los números enteros nos puedan ayudar a resolver este enigma”.
5.- Un ciclista, en cada golpe de pedal, recorre 4´76 m. ¿Cuántos golpes de pedal necesitará para recorrer
un total de 10 km?
6.- En una fiesta de cumpleaños 7 amigos han tomado 12 botes de refresco, cada uno de los cuales
contiene 33 cl. ¿Cuántos litros han bebido entre todos?
7.- ¿Cuántas botellas de agua de ¾ de litro se pueden llenar con un barril que contiene 6´7 hectolitros?
8.- Un barco lleva 2600 toneladas de carbón. ¿Cuántos vagones de 80 q se necesitan para transportarlo?
9.- Un ladrillo tiene una masa de 2´14 kg. ¿Cuál es la masa, en gramos, de 1200 ladrillos iguales a él?
10.- La masa de una caja de cereales es de 375 g. Se ha diseñado un nuevo envase con un 15 % más de
masa. ¿Cuántos mg tiene el nuevo envase?
11.- De la página 191 del libro, los nos 17 d, 20, 24, 25, 27 y 28.
12.- De la página 193 del libro, los nos 33 a, 38, a, 39 y 41.
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VI.- Expresión Incompleja y Compleja de una cantidad:
Os voy a decir el peso de vuestro profesor de matemáticas justo cuando vino de un viaje que hizo
con dos amigos a los Pirineos aragoneses (valle de Ordesa y Monte Perdido, Torla):
“72´4 kg” ó “0´7 q, 1 kg y 14 hg”
¿Cuál de las dos cantidades, que vienen a ser la misma masa, os parece más fácil o menos
compleja?
La respuesta es obvia, pues habréis dicho que la primera de las formas. Por ello, la primera
de las formas (72´4 kg) está expresada en forma incompleja y la segunda de las formas (0´7 q, 1 kg y
14 hg) está de forma compleja. Es así de sencillo.
Pues si una cantidad nos la dan en forma compleja nos pueden decir que la pasemos a forma
incompleja, y viceversa. ¿Qué cómo se hace? Vamos a explicarlo:
a) Paso de forma Compleja a Incompleja 
Tenemos entre las manos, o escrito en el papel,
una cantidad que está expresada en varias unidades. Si no nos dice nada el ejercicio, lo más normal que
habéis pensado hacer es pasarlo todo a una misma unidad y luego sumarlo. El resultado de esa suma
ya estará en forma incompleja. El paso a otra unidad de medida, como ya sabéis, se haría con el factor de
conversión:
Ej.
0´7 q 1 kg y 14 hg
Al no decirnos nada
100kg 0´7 ·100 kg
lo pasaremos a la
0´7 q x
=
= 70 kg
1
1q
unidad más pequeña
+ 1 kg
14 ·1 kg
1 kg
14 hg x
=
= 1´4 kg
10
10 hg
que aparece, los hg,
_________
aunque lo suyo sería
TOTAL:
72´4 kg
SOLUCIÓN
pasarlo a kg, la unidad
fundamental de masa.
B) Paso de forma Incompleja a Compleja 
Tenemos en este caso una cantidad expresada
en una única unidad. Para ponerla en varias unidades se siguen estos simples pasos:
Ej. 72´4 dal
- a la cifra que esté en el lugar de las “unidades” del nº se le coloca la unidad de medida en la que
esté expresada la cantidad (en el ejemplo la cifra sería el 2, y le correspondería “dal”).
- a las cifras que hayan antes a las de las unidades se les asignan las unidades de medida
inmediatamente superiores (tenemos únicamente la cifra 7, y le correspondería “hl”).
- a las cifras posteriores se les asignarían las unidades de medida inmediatamente inferiores (en el
ejemplo, tan solo tenemos un 4 y le correspondería “l”).
Otros ejemplos podrían ser:
3076 mg  3 g 7 cg 6 mg ,, 500´98 kg  5 q 9 hg 8 dag
EJERCICIOS
13.- Pasa a forma compleja o incompleja, según corresponda:
2 kg 32 dg 7 cg 12 mg ,, 34 dag 5 dg ,, 5 kl 3 dal 1 l ,, 37498´6 cl ,, 52´8007 dam ,, 9345 dam ,,
67´36 kl ,, 1 hm 5 dam 8 cm ,, 2 hg 5 dag 7 cg ,, 0´035 hg ,, 6075´3 cl ,, 2 hl 9 l 5 ml ,, 2145 mm ,,
45074329 dag ,, 4 hm 23 dam.
14.- En un bidón de 5 litros se han echado257 cl. ¿Cuántos dl faltan para su llenado total?
15.- En una excursión en bicicleta un grupo de amigos han recorrido 167 hm, pero la distancia que tienen
que recorrer es igual a 24´8 km (ida). ¿Cuántos dam les queda por recorrer?
Si a la vuelta hacen una parada en la mitad del camino, ¿cuántos km habrán recorrido desde que
salieron por la mañana?
16.- Una lata de atún en escabeche contiene 111 gramos, de los cuales 72´5 g corresponden al atún.
¿Cuántos dg hay de escabeche?
17.- Un rinoceronte de mediana edad pesa 768 kg. Se lo han llevado a una reserva
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de la biosfera que hay en el Congo para que viva en libertad y en compañía de otros de su misma especie,
ya que lo han visto un poco triste y flacucho. Si en 3 meses que ha estado allí ha engordado 34 kg 234 hg,
¿cuántos quintales pesa ahora?
EJERCICIOS DEL TRABAJO:
se hacen los nºs 46 c-d, 47 a-b, 48 a-b-c-f, 49 a-c-e, 50, 51, 52, 54,
55, 56 a, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67 y 68.
EJERCICIOS QUE HAN SIDO CAMBIADOS:
51.- Un grifo de una bañera está estropeado y desprende una gota de agua cada segundo. Se ha calculado
que 15 gotas equivalen a 1 ml. ¿Cuántos litros se perderán en un día?
55.- Es el mismo, pero es el único que se puede hacer de forma directa sin necesidad de aplicar el “factor
de conversión”.
57.- Calcula las botellas de agua de 0´3 litros de capacidad que se podrán llenar con los 459´27 hl de agua
de una cisterna.
66.- La masa de una tableta de chocolate negro es de 3 hg. Para hacer una taza de chocolate se necesitan
40 gramos de chocolate negro. ¿Cuántas se pueden hacer con la tableta? ¿Cuántos gramos de chocolate
sobrarán?
67.- Pasa a incompleja o compleja, según corresponda:
a) 4 dag 6 cg 9 mg
b) 213´45 hm
c) 50´0702 q
d) 5 hl 726 dal 42 l 1 cl
68.- La masa de 295 litros de aceite es de 270´05 kg. ¿Cuál es la masa de 1dal de aceite?
UNA HISTORIA CURIOSA, BONITA Y HERMOSA
UNIDADES Y ¡ UNIDADES !
Para medir grandes distancias utilizamos los kilómetros; así, decimos que entre Madrid y
Barcelona hay 621 kilómetros, y no 621000 metros. Pero ¿y si queremos medir longitudes aún mayores
como las distancias entre los planetas?
Para eso se creó la Unidad Astronómica (UA), que equivale a los 150 millones de kilómetros que
separan la Tierra y el Sol. Así, Plutón, el planeta más alejado del astro rey, está a 30´2 UA.
Fuera del sistema solar las distancias son aún mayores y la Unidad Astronómica se queda
“pequeña”. Por eso se utiliza el año-luz: la distancia que recorre la luz en un año. Y teniendo en cuenta
que la luz se desplaza a 300.000 kilómetros por segundo, un año luz son 9´46 billones de kilómetros.
El objeto más lejano descubierto hasta ahora en el universo está a ¡¡ 13.000 millones de años luz !!
O, lo que es lo mismo, a 122.9803000.0002000.0001000.000 kilómetros. ¡ Para marearse !
Espero que os haya impresionado, pero sobre todo gustado. Hasta la próxima.
Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez
Profesor de matemáticas de 1º de ESO