Documento 277894

60. El área de un triángulo de vértices A, B y C, tiene una superficie de 50 m2. El ángulo A de
este triángulo es de 45º y el ángulo B es de 30º. Sea D el pie de la altura desde el vértice C, es
decir, el punto del segmento AB en que se cumple que CD es perpendicular a AB. Calcula la
longitud de los segmentos CD, AD, BD, AB, BC y AC.
Solución: CD = AD
m; AB = 16,53 m; BC
m.
= 6,05 m; BD = 10,48
= 12,10 m; AC = 8,56
A partir de
AB  CD

 50

2

AB
CB
AC


se pueden calcular las longitudes solicitadas.

 sen105º sen 45º sen30º
CD  CB  sen30º  AC  sen 45º

CD = AD = 6,05 m; BD = 10,48 m; AB = 16,53 m; BC = 12,10 m; AC = 8,56 m.
61. Las manecillas de un reloj de pared miden 10 y 12 centímetros, respectivamente.
a) ¿Cuál es la distancia entre sus extremos cuando son las 16:00?
b) ¿Qué área tiene el triángulo que determinan a esta hora?
Solución: a) 18,09 cm b) 51,96 cm2
a) Por el teorema del coseno: 18,09 cm aproximadamente (el ángulo que forman las
manecillas es de 120º)
b) A = 12 · 10 · sen 120º /2 51,96 cm2.
62. De un triángulo conocemos la suma de la longitud de dos lados a y b, que es 11 cm, el
ángulo C, 30º, y el área, 7 m2. Calcula:
a) La longitud de cada uno de los lados del triángulo.
b) Los ángulos del triángulo.
Solución: 2 y 7 m, respectivamente b) 29,49º, 120 51º y C = 30º,
 a  b  11
a  b  sen30º
Planteamos el siguiente sistema: 
7

2
Resolviendo el sistema: b = 7 y b = 4, por lo que a = 4, y a = 7
Se averiguan los lados con el teorema del seno y se obtiene 29,49º, 120 51º
63. El lado más largo de un paralelogramo mide 20 cm, su área es de 120 cm2 y su ángulo
menor, 30º. Determina:
a) El ángulo mayor del paralelogramo.
b) La longitud del lado menor.
c) La longitud de la diagonal mayor
Solución: a) 150º b) 12 cm c) 30,98 cm aproximadamente
a) Los cuatro ángulos de un cuadrilátero suman 360º. Por tanto, el ángulo mayor es 150º.
b) El área es A = b · h
Tomando cmo base el lado conocido: 120 = 20 · c · sen 30º  c = 12 cm
c) Aplicamos el teorema del coseno al triángulo formado por los dos lados y la diagonal mayor:
d 2  20 2  12 2  2  20  12  cos 150º  d  30,98 cm
64. Sobre una circunferencia de radio 1 m y centro en el punto O, consideramos los cinco
vértices A, B, C, D y E de un pentágono regular, como el de la figura:
Calcula:
a) El ángulo que forma el radio que acaba en el vértice A con el lado AB y el ángulo que
forman en el vértice A los dos lados que lo tienen como extremo.
b) La longitud de cada uno de los lados del pentágono.
c) La longitud de cualquiera de las diagonales.
d) El área del triángulo EAB
Solución: a) 54º, 108º, respectivamente; b) 1,176 m, aproximadamente; c) 1,902 m,
aproximadamente; d) 0,657 m2 aproximadamente
b) Aplicando el teorema del coseno l  2  2 cos 72º  1,176 m
c) El ángulo central que abarca un lado mide 72º, por tanto el que abarca dos lados del
pentágono 144º. Por el teorema del coseno: d  2  2 cos144º  1,902 m
d) A = EB · AB · sen 36º /2  0,657 m2
Aplicaciones de la trigonometría
65. En un cierto lugar de su recorrido un río tiene sus orillas paralelas. En ese punto se desea
medir su anchura. Para ello desde dos puntos A y B de una de sus orillas, que están separados 25
m, se observa un punto P de la otra orilla, situado río abajo. Si las visuales desde A y B a P
forman con la orilla unos ángulos de 39º 25' y 52º 48' respectivamente, averigua la anchura del
río en ese punto.
Solución: 54,63m aproximadamente
AB = 25 m; Aplicando el teorema del seno:
25
AP

sen13º23' sen127º12'
Luego obtenemos AP y como x = AP · sen 39º25', tenemos que:
x  54,63 m
65. Averigua el ángulo que forman dos fuerzas de 52 N y 31 N, cuya resultante es de 70 N.
Solución: 67º 28' 35 '', aproximadamente
Aplicando el teorema del coseno: 70 2  312  52 2  2  31  52  cos  , de lo que se deduce
que   112º 31' 25''.
A partir de la figura y teniendo en cuenta este resultado, se obtiene que el ángulo que
forman las dos fuerza es su suplementario, 67º 28' 35 '', aproximadamente
66. Queremos colgar una lámpara a una determinada distancia del techo de una habitación. Para
ello, cogemos un cable, fijamos la lámpara y lo clavamos por sus extremos en dos puntos del
techo que están separados 140 cm, de modo que los ángulos entre el cable y el techo son de 40º
y 60º en cada uno de los puntos de fijación.
a) ¿Cuál es la longitud del cable?
b) ¿A qué distancia del techo quedará la lámpara?
Solución: a) 214,492 cm y b) 79,136 cm, aproximadamente
a)
Aplicando el teorema del seno: a + b =
b) Quedará a d =
140
sen60ºsen40º   214,492 cm
sen80º
140
sen40º sen60º  79,136 cm
sen80º
68. Para medir la altura de una nube se han hecho dos observaciones simultáneas desde los
puntos A y B, que distan entre si 1 km, y que están situados los dos al nivel del mar. La
inclinación de la visual desde A a la nube, respecto de la horizontal, es de 47º. Los ángulos que
forman las visuales desde A y desde B con la recta AB son, respectivamente, 38º y 53º, tal como
se indica en la figura. Calcula la altura de la nube respecto del nivel del mar.
Solución: 584,17 m, aproximadamente.
Sea C el ángulo A - nube - B
C = 180º-(38º + 53º) = 89º
Con este dato podemos calcular el lado c:
c
b


sin C sin B

b=
c·sin B 1000 ·sin 53º

m
sin C
sin 89 º
Con este valor podemos calcular la altura de la nube, h:
sen47º = h/b

h = b·sin 47 º 
1000·sin53º
·sin 47º  584,17 m
sin 89º
69. Dos amigos están cada uno de ellos en la terraza de su casa y observan un barco. Quieren
determinar a qué distancia se encuentra y para ello disponen cada uno de un teodolito.
a) En primer lugar quieren conocer qué distancia hay entre ellos. Llamemos A y B a los
puntos en que se encuentran sus respectivos teodolitos. Desde el punto A miden una
distancia de 10 m a un punto C, AC = 10 m, de manera que el triángulo ACB es
rectángulo en A. Desde el punto B resulta que el ángulo B de este triángulo es de 5,6º.
Calcula la distancia entre A y B.
b) Para determinar a qué distancia está el barco, desde el punto A miden el ángulo que
forman las visuales barco-A y AB, y desde el punto B hacen lo mismo con las visuales
barco-B y BA, y obtienen unos ángulos de 75,5º y 81,6º, respectivamente. ¿A qué
distancia está el barco de cada uno de ellos? ¿Podemos saber, sin hacer cálculos, quien
está más cerca del barco? ¿Por qué?
Solución: a) 101,99 m; b) 259,28 m y 253,75 m de A y de B, respectivamente.
a) La distancia entre A y B es: AB = 10/tg5,6º 101,99m
b) A partir de la figura y, simplemente aplicando el teorema del seno, se obtiene:
259,28 m y 253,75m, distancia del barco a A y a B, respectivamente. Está más cerca de B,
porque el ángulo A es más pequeño.