UNIDAD 3 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA LECTURA Nº 15: ALGUNOS SISTEMAS DE MEDIDA Tomado con fines instruccionales de: Martínez, M.(1998). Mi primera enciclopedia científica Matemática. Editorial del Valle de México, S.A. (p.40). México: A lo largo de la historia, se han establecido diversas referencias de medida que han permitido estandarizar representaciones de longitud, volumen, tiempo, velocidad, en fin múltiples formas de medir. En la historia se dice que los romanos utilizaban sus pies para medir distancias; en las mediciones más pequeñas utilizaban el ancho del dedo pulgar el cual ellos llamaban “uncía”. Las longitudes muy largas las medían con pasos. Un paso comprendía dos etapas, una con el pie derecho y la otra con el pie izquierdo. En las distancias de mayor prolongación utilizaban las “millas”, una milla era equivalente a 1000 pasos, de allí la palabra milla que proviene del latín “mille” que significa “mil”. Las millas, yardas, pies y pulgadas son medidas del sistema imperial de medición; es curioso mencionar que el rey Enrique I (1068-1135) creó una medida que sirviera a todos, era la distancia desde su nariz hasta su pulgar y lo llamó “yarda”. En nuestros días, una gran cantidad de países utilizan una medida estándar llamada metro, que es mucho más extenso que una yarda. La unidad metro, tanto en España como en Venezuela, miden lo mismo. El Sistema Internacional de Medidas (S.I.M.) utiliza el kilómetro para distancias largas, el centímetro y el milímetro para distancias mucho más pequeñas. A continuación, podemos observar algunas referencias antiguas y modernas con respecto a las unidades de medidas: Romano 1 milla = 1000 pasos 1 paso = 5 pies 1 pie = 12 uncias Métrico 1 kilómetro = 1000 metros 1 metro = 100 centímetros 1 centímetro = 10 milímetros Imperial 1 milla = 1760 yardas 1 yarda = 3 pies 1 pie = 12 pulgadas LECTURA Nº 16: EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J (2007) El Sistema Métrico Decimal. Artículo no publicado. (Pp. 5). Tinaquillo, Estado Cojedes. En 1790, la Academia Francesa de Ciencias fue la que se encargó, de acuerdo a lineamientos de la Asamblea Nacional Francesa y la proposición de los políticos Talleyrand y Prieur, de establecer un sistema unificado de medidas de aplicación sencilla, que culminó el 19 de marzo de 1791 con la definición de Sistema Métrico Decimal a partir de las propuestas de dos comisiones. La unidad de longitud, el metro, se definió igual a la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. Los franceses, Pelambre y Méchain fueron los encargados de medir el arco del meridiano terrestre que pasa por Paris, comprendido entre Dunkerque y el castillo de Monjuich en Barcelona. A partir de la unidad fundamental, el metro, se definieron todas las otras unidades: las de superficie, las de volumen, las de peso y las de capacidad. Por ejemplo, el gramo se definió, para la época, como el peso de la masa de un centímetro cúbico de agua destilada, pesada en el vacío, a la temperatura de 4º C. El Sistema Métrico Decimal es un Sistema, porque comprende un conjunto de medidas relacionadas entre sí; es métrico porque su unidad fundamental es el metro; y es decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen en potencia de 10. Tanto en las medidas de longitud como en las demás, se utilizan múltiplos y submúltiplos a partir de la unidad. Para los submúltiplos se asignaron prefijos latinos: deci para diez; centi para cien; mili para mil y así sucesivamente. Mientras que para los múltiplos se estableció el uso de prefijos griegos: deca para diez; hecto para cien; kilo para mil, etc. Para transformar, medidas de longitud de una magnitud a otra vamos a utilizar la siguiente estrategia: Km Hm Se divide entre 10 por cada escalón que subes Dam Metro dm Se multiplica por 10 por cada escalón que bajes Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Transformar: cm mm 35,328 Km a m Si verificamos la escalera anterior, para pasar de Kilómetros a metros, tenemos que bajar tres escalones. Entonces, según el procedimiento debemos multiplicar por 10, por 10 y por 10. Es decir: 35,328.10.10.10 35,328.103 Recuerda, cuando se multiplica una cantidad por una potencia de base 10 se corre la coma hacia la derecha tantos espacios como lo indique el exponente de la potencia. Por lo tanto, 35,328.103 35328,0 Observa que la cantidad tiene tres decimales y se está multiplicando por 10 3 , la coma se corrió a la derecha tres, espacios, esto hace que la cantidad quede sin decimales: 35,328.103 35328 35,328 Km a m es 35328 metros. Ejemplo 2: Transformar: 21307 mm a Dm. Si verificamos la escalera anterior, para pasar de milímetros a decametros, tenemos que subir cuatro escalones. Entonces, según el procedimiento debemos dividir por 10, por 10, por 10 y por 10. Es decir: 21307 21.307 10.10.10.10 10 4 Recuerda que cuando se divide una cantidad por una potencia de base 10 se corre la coma hacia la izquierda tantos espacios como lo indique el exponente de la potencia. Si la cantidad es un número entero la coma se omite, pero podemos agregarle la coma para indicar que tiene cero (0) decimales, así: 21307,0 Luego: 21307,0 2,13070 10 4 Observa que la coma se corrió hacia la izquierda, cuatro espacios de acuerdo al exponente de la potencia de base 10. Por lo tanto: 21307 mm a Dam es 2,1307 Decametros. Te proponemos algunos ejercicios para que practiques este procedimiento de conversión de medidas: 15.1. 3584,1 dm a Dam 15.2. 1,435 Km a cm 15.3. 0,000153 Hm a mm 15.4. 58973,003 cm a Hm 15.5. 3 dm a m 15.6. 1 m a Dam Los múltiplos y submúltiplos en el sistema métrico decimal, se justifican por lo siguiente: Imagínate a un sastre diseñando la manga de una camisa, es de suponer que necesitará cierta cantidad de tela, y expresarla en centímetros bastará para satisfacer los requerimientos. Mientras que es diferente en el caso de un ciclista profesional, sus actividades o recorridos son en grandes distancias, estas cantidades bastaría expresarlas en Kilómetros y no en centímetros; pues no es que no se pueda, pero no sería lo adecuado. Las medidas de superficie son las mismas utilizadas en las longitudes, a diferencia de que aquí se expresan en unidades cuadradas. Por ejemplo, para expresar el área de un terreno se puede hacer en metros cuadrados (m2) o kilómetros cuadrados (Km2). Recuerda que las superficies se representan en dos dimensiones. Para realizar conversiones de medidas de superficie se puede aplicar el procedimiento de la escalera; pero debes tener cuidado, pues las medidas aumentan o disminuyen en potencias de 100, es decir 102. Ocurre lo mismo con las medidas de capacidad, cuyas medidas nos dan a conocer el volumen de un cuerpo. Se sabe que un cuerpo tiene tres dimensiones, por tal motivo, al hablar del volumen de una caja, de un tanque, entre otros; se puede representar en centímetros cúbicos, metros cúbicos, etc. Las conversiones que se realizan en medidas de capacidad aumentan o disminuyen en potencias de 1000, es decir, 103. Multiplicas por 102 por cada escalón que bajes Km2 Hm2 Dam2 Multiplicas por 103 por cada escalón que bajes Km3 Hm3 Dam3 m2 m3 dm2 cm2 Divides por 102 por cada escalón que subas Escalera para superficie. dm3 mm2 transformar medidas de Divides por 103 por cada escalón que subas cm3 mm3 Escalera para transformar medidas de capacidad Revisemos algunos ejemplos sobre conversiones de medidas en superficie y de capacidad. Ejemplo 1. Transformar 12 m2 a cm2 Según la escalera, para pasar de metros a centímetros se tiene que bajar dos escalones, entonces se debe multiplicar la cantidad dada por 100, y por 100, es decir: 12.100.100 12.102.102 12.102.102 12.104 12.104 120000 Por lo tanto: 12 m2 a cm2 = 120000 cm2 Ejemplo 2: Transformar: 3,5 cm3 a m3 De acuerdo a la escalera, para pasar de centímetros a metros hay que subir dos escalones, por lo tanto se debe dividir por 1000, y por 1000, esto es; 3,5 3,5 3,5 3 3 1000 .1000 10 .10 10 6 Según el procedimiento, cuando se divide por una potencia de base 10 se corre la coma hacia izquierda tantos espacios lo indique el exponente de la potencia. Entonces; 3,5 0,0000035 106 En conclusión: 3,5 cm3 a m3 = 0,0000035 m3 Resuelve los siguientes ejercicios para que adquieras un mayor dominio de tus habilidades: Realiza las siguientes conversiones de unidades y resuelve los problemas planteados: 15.7. 5,823 Dam3 a cm3 15.9. 8 dm2 a mm2 15.11. 1 Km3 a Dam3 100 15.13. 3 mm3 a Km3 8 15.8. 0,0045 m3 a Km3 15.10. 1 2 m a Hm2 5 15.12. 1 Hm2 a cm2 1000 15.14. Un maratonista, para su entrenamiento, realiza durante cinco días los siguientes recorridos: el primer día recorre 950 Dam, el segundo día 122 Hm; en el tercer día 14 Km, en el cuarto 15420 m, y para el último día recorre 1.800.000 cm. ¿Cuántos kilómetros recorre en los cinco días? 15.15. Calcula la diferencia que existe entre un recipiente, cuya capacidad es de 54 m3 y otro de 44.100.000 cm3 Se sabe que la unidad de volumen en el Sistema Internacional de Medidas es el metro cúbico (m3), pero existe otra unidad de medida para representar las capacidades de los cuerpos como lo es el litro (l). Se relaciona con la otra unidad, ya que 1 decímetro cúbico (1 dm3) es equivalente a 1 litro de agua pura a temperatura de 4º C. Litro, centilitro, mililitro, son medidas de capacidad que tienen sus equivalentes en volumen; por ejemplo: 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 Litros 1 dm3 = 1000 cm3 = 1 Litro 100 cm3 = 100 militros 1cm3 = mililitro Si nos vamos a situaciones de la vida cotidiana; en varios productos es frecuente expresar sus cantidades en cm3 (abreviado cc) o en mililitros (ml). También es usual en muchos productos importados: perfumes, cosméticos, medicinas, etc., expresar las cantidades del producto (capacidades netas de los recipientes que los contienen) en una unidad inglesa expresada como fl oz (onza de flido). Por ejemplo: 16,9 fl oz (500 ml); 4,2 fl oz (125 ml), tal cual como se lee en las etiquetas de esos productos. ¿Cuántos ml equivalen a 1 fl oz? Realiza las siguientes conversiones: 15.16. 3240 ml a m3 15.17. 53 dm3 a ml LECTURA N° 17: FIGURAS POLIGONALES Tomado con fines instruccionales de: Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de Educación Básica. Editorial Antillana, S.A. (p.149) Caracas, Venezuela: Un polígono es la parte del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Fíjate en el siguiente polígono: Plano Los segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG y GA se denominan lados. El vértice de un polígono, es el punto de intersección de dos segmentos o lados. Dos vértices son consecutivos si son extremos de un mismo lado. Los vértices se denotan así: vértice A, vértice B, etc. Este polígono tiene 7 vértices. El ángulo interno de un polígono, es la abertura formada por dos lados en un vértice. Los ángulos denotan así: BEC , ABC , FEB , FED , EBC , EBA , etc. Hay muchos ángulos en este polígono. La diagonal de un polígono, es el segmento de recta que une dos vértices que no pertenecen a un mismo lado. Tenemos la diagonal BE, y podemos trazar en este mismo polígono, diagonales entre los vértices: A y C, A y D, A y E, A y F, B y D, B y F, etc. Se pueden trazar varias diagonales. El perímetro de un polígono se calcula sumando las medidas de las longitudes de cada lado. El perímetro de este polígono es igual a: P AB BC CD DE EF FG GA . Se habla de polígono convexo y cóncavo. Un polígono es convexo, si cada uno de sus ángulos interiores es menor de 180º. Es cóncavo si uno de sus ángulos es mayor de 180º. Polígono Cóncavo Polígono Convexo Clasificación de los polígonos Los polígonos se clasifican según sus lados en: Número de lados Nombre del polígono 3 Triángulos 4 Cuadriláteros 5 Pentágonos 6 Hexágonos 7 Heptágonos 8 Octágonos 9 Eneágonos 10 Decágonos 11 Undecágonos 12 Dodecágonos Un polígono es regular, cuando todos sus lados miden igual y todos sus ángulos también son iguales. La apotema de un polígono regular, es el segmento de recta que une centro del polígono con el punto medio de uno de sus lados. LECTURA N° 18: LOS TRIÁNGULOS, LOS CUADRILÁTEROS Y SUS RELACIONES MÉTRICAS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. Matemática para todos. [Artículo en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. Extraído: enero 12, 2007 LOS TRIÁNGULOS El triángulo tiene una característica especial, es estable; por ello es vital en la industria, en efecto, si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices, la forma del triángulo permanece. Observa las estructuras de una torre utilizada en la extracción de petróleo, o las torres que sostienen algunas antenas parabólicas, y también en muchos edificios. El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo ABC se refiere al triángulo determinado por los puntos A, B y C. En este caso sus lados son los segmentos AB, BC y AC. Los ángulos del triángulo son los ángulos de vértices A, B y C, es decir, CAB, ABC y BCA. El símbolo representa la palabra triángulo. Así significa el triángulo ABC. Clasificación de los triángulos ABC Según sus ángulos: Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (miden más de 90º) Acutángulo: Tiene tres ángulos agudos (miden menos de 90º) Rectángulo: Tiene un ángulo recto (mide 90º) Según sus lados: Equilátero: Tiene tres lados miden igual Escaleno: Todos sus lados miden distinto. Isósceles: Tiene dos lados que miden igual Otros elementos de los triángulos Alturas: desde Segmento cada vértice perpendicular al lado Bisectrices: Semirrecta Medianas: Segmento Mediatrices: que divide cada ángulo desde cada vértice al perpendicular en dos ángulos iguales punto medio del lado lado en su punto medio opuesto Recta a cada opuesto Ortocentro: Punto de Incentro: Punto de Baricentro o Centro de Circuncentro: Punto de intersección de las intersección de las gravedad: Punto de intersección de las alturas bisectrices y centro del intersección de las mediatrices y centro del círculo inscrito en el medianas círculo circunscrito al triángulo triángulo LOS CUADRILÁTEROS: Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, se caracterizan por tener, cuatro lados; cuatro vértices, cuatro ángulos interiores, cuatro ángulos exteriores y dos diagonales. Observen las figuras: Vértice A Lado A B Diagonales C D Ángulo interior C Ángulo exterior B D En cuadrilátero convexo se muestra que: - Los lados son los segmentos: AB, BC, CD, DA. - Los vértices, son cada encuentro de los lados: A, B, C y D. - Los ángulos internos, son cada abertura entre dos lados, son: * DAB, ABC, BCD, CDA. (Observa las tres letras, la que esta en el medio es de donde surge el ángulo) * El signo “ ” se lee ángulo - Las diagonales, son cada segmento que une dos vértices opuestos, son: AC, BD. - La letra griega “ ” Alfa denota un ángulo exterior. A un cuadrilátero se le puede calcular el perímetro y su área. - El perímetro es la suma de las longitudes de sus cuatro lados: Perímetro del cuadrilátero ABCD = AB + BC + CD + DA. Sabemos que un triángulo tiene tres ángulos y la suma de las medidas de esos ángulos es de 180º. Un cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos trazando una de sus diagonales, por tal motivo los cuatro ángulos del cuadrilátero al sumarse se obtiene 360º A cuadrilátero: ABCD: B La suma de los cuatro ángulos del DAB ABC BCD CDA 360 º O también: 360º D C Letras griegas: se lee Alfa se lee Beta se lee Delta se lee Tita Clasificación de los Cuadriláteros: CUADRILÁTEROS FIGURA Y DIAGONALES Rectángulos A B D C A Cuadrado Paralelogramos B D C A B Rombo C D A B Romboide C D A Trapecio Rectangular Trapecios B D C A Trapecio B Isósceles C D B A Trapecio Escaleno C D A B Trapezoides D C Ejercicios propuestos: calcula el perímetro en cada figura. 18.1. Cuadrado de lado 2/3m. 18.3. 18.2. Un rectángulo formado con las unión de dos cuadrados de lado 8 m. Triángulo isosceles 7m 10 m 18.4. Un rombo formado por la unión de dos triángulos equiláteros de lado x/2 6m 22 m LECTURA N° 19: LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J (2007). La Circunferencia y sus Elementos. [Artículo no publicado]. (Pp. 2). Tinaquillo, Estado Cojedes. La circunferencia, es el conjunto infinito de puntos que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se le llama radio. Elementos de una circunferencia: La distancia del centro al punto R o segmento OR es un radio de la circunferencia. La distancia del punto P al punto Q o segmento PQ es un diámetro de la circunferencia. Un diámetro equivale a dos veces el radio. La distancia del punto A al punto B o segmento AB es una cuerda de la circunferencia. La recta “s” que toca dos puntos, el punto M y el punto N, de la circunferencia es una recta secante a la circunferencia. La recta “t” que toca un solo punto, el punto P, de la circunferencia es una recta tangente a la circunferencia. El conjunto de puntos que pertenecen a la circunferencia y están entre dos puntos de ella, entre el punto A y el punto B, por ejemplo, se le llama arco de la circunferencia. El arco de extremos A y B se denota arco Los puntos R, O y P describen un ángulo central a la circunferencia, y se denota ROP . El conjunto infinito de puntos que forman la circunferencia y los interiores a ella conforman una superficie llamada círculo. La región comprendida entre los puntos A, B y O, o mejor dicho, todos los puntos interiores al ángulo AOB representa un sector circular de dicho círculo. A una circunferencia es imposible calcularle el área, pues sólo representa una línea cerrada que limita al círculo, a la circunferencia se le puede calcular la longitud y al círculo se le calcula el área. La fórmula para hallar la longitud de una circunferencia es: L 2r , siendo 3,14 y r = radio de la circunferencia y para determinar la longitud un ángulo central se utiliza: L r nº 180 º . Mientras que la fórmula para hallar el área de un círculo es: A r 2 . Y para calcular el área de un sector circular se usa: A r 2 nº 360º , donde nº representa la amplitud del ángulo. El ángulo central de una circunferencia es aquel que está formado por dos de sus radios. Cada ángulo central determina una cuerda y un arco, y a la vez cada cuerda determina un arco y un ángulo central, y un arco determina un ángulo y una cuerda. Observen la figura, allí se describe en el ángulo central DOE , el arco y la cuerda DE. La medida de amplitud de un arco de una circunferencia se representa en grados (º), y la de un ángulo central de la misma manera; ya habíamos dicho que un ángulo central determina un arco y viceversa, esto indica que las medidas en grados para ambos son iguales. Es decir, si un arco mide 60º, su ángulo central mide 60º. Ejercicios : 19.1. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene de radio 5 Km? 19.2. ¿Qué longitud tiene un arco cuya amplitud del ángulo central es de 30º? 19.3. Determina el área de un sector circular, si su ángulo central es de 22º. 19.4. Calcula el área de un círculo cuyo diámetro es de 25 metros. 19.5. En una semicircunferencia el radio es de 3/2 cm ¿cuál es su longitud? 1 19.6. La longitud del un arco de una circunferencia es de , calcula la medida de su 3 ángulo central. 19.7. Hallar el diámetro de un círculo, sabiendo que su área es igual a 100π. LECTURA N° 20: CUERPOS GEOMÉTRICOS Y SUS ELEMENTOS Figura 7 Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J (2007). Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos. Artículo no publicado. (Pp. 3). Tranquillo, Estado Cojedes. En la geometría plana, se estudian aquellas figuras y formas geométricas que tienen una o dos dimensiones; y sólo se pueden representar en una superficie plana, como la circunferencia, el círculo, el triángulo, los cuadriláteros y demás polígonos. La geometría del espacio se encarga de estudiar aquellas formas, cuerpos y objetos que tienen tres dimensiones. Estas formas se encuentran en el mundo real, sea de manera artificial, construidas por el hombre, como por ejemplo: edificaciones, herramientas, envases, entre otros y la que pertenecen a la naturaleza, como: árboles, montañas, roca, planetas, animales, seres humanos. CARACTERÍSTICAS DE ALGUNOS CUERPOS GEOMÉTRICOS Cuerpos Redondos: La esfera: es un cuerpo cuya superficie es curva, carece de vértices y su volumen se calcula mediante la fórmula: V 4 .r 3 3 Si hacemos un corte a una esfera con un plano obtenemos una circunferencia. Observa la figura: Plano Circunferencia C r P Circunferencia máxima La distancia de C a P es el Radio Si la esfera es sólida como una bola, al realizar el corte obtendríamos el círculo. El Cilindro: es un cuerpo mixto; es decir, tiene superficie plana y superficie curva. El cilindro consta de una base circular y de una determinada altura. Su volumen se halla mediante la fórmula. V = Área de la base x Altura. Eje Si hacemos un corte al cilindro con un plano paralelo a la base, se obtiene un círculo. Si el corte se hace perpendicular a la base, se obtendría un rectángulo. Base Base El Cono: es un cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. A diferencia del cilindro, el cono sólo tiene una base y tiene un vértice. El volumen de un cono se calcula mediante la fórmula: V .r 2 .( Altura) Vértice 3 Si hacemos un corte con un plano paralelo a la base del cono se obtiene un círculo Eje Base Poliedros: Muchas edificaciones construidas por los humanos y algunos cuerpos de la naturaleza tienen forma de poliedros. Los poliedros son cuerpos limitados por un número finito de superficies planas. Estas superficies planas son polígonos que reciben el nombre de caras del poliedro. La intersección de dos caras forman una arista y el punto de intersección de tres o más caras es un vértice. Entre los poliedros se encuentran: Las pirámides y los prismas. Las pirámides: Son poliedros cuyas caras laterales tienen forma de triángulo; el número de triángulos o caras laterales de una pirámide, depende del número de lados de la base. Éstas pueden ser de base triangular, cuadrada, pentagonal, etc. Los triángulos que conforman las caras de la pirámide convergen en un punto, es decir, tienen un punto en común; este punto recibe el nombre de vértice de la pirámide. Vértice Arista Cara Base cuadrada Pirámide Hexagonal Pirámide cuadrada Los prismas: son cuerpos geométricos tridimensionales, la característica más sobresaliente es que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes, llamadas bases del prisma. Cada prisma recibe su nombre de acuerdo a la forma de sus bases. Los prismas, cuyas caras laterales son rectángulos, son llamados prismas rectos; de otra forma son llamados prismas oblicuos. Los prismas rectangulares o “cajas” también son llamados paralelepípedos. Veamos algunos prismas: Base cuadrada Vértice Cara lateral Arista Bases Triangulares Prisma Triangular Algunas cosas curiosas de la naturaleza guardan relación con estas formas geométricas, por ejemplo: ¿Has llegado a ver de cerca un panal de abejas? Si lo observas detalladamente parece un piso cubierto de mosaicos hexagonales. Pero su forma tridimensional es la de prismas rectos hexagonales. Entre el triangulo equilátero, el cuadrado y hexágono regular, este último tiene el menor perímetro para un área establecida. Esto significa, que en los panales de abejas en forma de prisma hexagonal se usa menos cera para su construcción. LECTURA Nº 21: EL NÚMERO PI ( ) Y EL CÁLCULO DE ÁREAS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. El número pí ( ) y el cálculo de áreas. [Artículo en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. Extraído: enero 7, 2007 El número π (Pi), tiene un origen un poco extenso y muy apasionante; en la antigua Grecia, su aparición se relacionó con el resultado de dividir la longitud de una circunferencia entre la longitud de su diámetro, por lo que se denota con letra griega π, inicial de la palabra “περιμετρο” que significa perímetro. Leonard Euler (1707-1783), matemático suizo, fue quien hizo famosa la notación de π, a pesar de haberla implementado en sus estudios William Jones muchos años antes. La aproximación al número π se remonta a las civilizaciones más antiguas, ejemplo de ello fueron los babilonios y egipcios, que aún cuando desconocían su nombre y simbología, le atribuyeron el valor “3” obtenido con la aproximación de la longitud de una circunferencia mediante “6r” que es el perímetro del hexágono regular inscrito. Es decir, de la relación 6r = 2πr, se obtiene que π = 3 r r Lado del hexágono = radio de la circunferencia r=r Hay un pasaje de la Biblia donde también se puede deducir ese valor “3”: “…Él, hizo también un vaso de metal fundido, la gran cuba, que tenía diez codos de diámetro y era perfectamente redondo, y tenía cinco codos de alto, en tanto que un cordón de treinta codos medía la circunferencia”. De aquí se cumple que: π = 30 codos/10 codos = 3. Aún en nuestra era se hacen cálculos sobre π, llegando a representarlo con 109 cifras decimales. Éste número es tomado en cuenta en muchas fórmulas matemáticas relacionadas con medidas: longitud de una circunferencia, área de un círculo, área de un óvalo, volumen de un cilindro, de un cono y de una esfera, área de la superficie de una esfera, entre otros. El primer matemático que hizo cálculos de π con muchas cifras, 707 cifras decimales, fue el inglés William Shanks en 1873, cifras que adornan la cúpula del “Palacio del Descubrimiento” en el Museo de Ciencias de Paris. Esta cúpula se encuentra en una sala que tiene 10 metros de diámetro y π decámetros de perímetro. El matemático e ingeniero venezolano Francisco José Duarte (1883-1972), nacido en Maracaibo, también calculó el número π con muchas cifras. Duarte escribió, en 1956, una monografía sobre los números irracionales π y ℮ Procedimientos para calcular áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos: En muchas labores de la vida cotidiana se deben hacer cálculos para determinar el área de una determinada región; ya sea sobre un terreno que se va a cultivar, alguna edificación que se va a construir; sobre un piso que se va a cubrir con alfombra o cerámica; sobre una pared o un lienzo donde se va realizar una pintura, entre otros. También es importante realizar cálculos de volumen en situaciones donde; se necesite saber, cuántos litros de agua requiere una piscina, un tanque, una botella o cualquier otro envase; la cantidad de cajas que ocupan una habitación o cava; entre otras actividades de la vida diaria. El área de una figura plana, es la medida de la región encerrada por líneas poligonales, en otras palabras es la medida de la superficie. Realicemos algunos cálculos de perímetro y área. Ejemplo 1: En el terreno de béisbol, las cuatro bases forman un cuadrilátero como se muestra en la figura. Si entre cada base hay una distancia de 90 pies, es decir, 27 metros ¿Cuántos metros recorre el bateador al dar un jonrón? 2da Base Solución: 3ra Base Sólo tenemos que calcular el perímetro del cuadrilátero: Recuerda que para calcular el perímetro de un polígono se suman las longitudes de sus lados. 1ra Base Home Entonces: P = 27m + 27m + 27m + 27m Luego Perímetro = 4.(27m) = 108 metros. Por lo tanto: El bateador recorre 108 metros al dar el jonrón. ¿Calcula el área que hay entre las cuatros bases? Solución: Para calcular el área del cuadrilátero que es un cuadrado, sólo debemos multiplicar la medida de un lado dos veces, así. 27m 27m Área = (Lado)2 Área = (27m)2 = (27m).(27m) = 729 m2 El área del cuadrilátero que está entre las cuatro bases es de 729m2 Ejemplo 2: El terreno de una siembra de café tiene forma de un trapecio isósceles, como se muestra en la figura, se necesita saber el perímetro y el área del terreno. A AB 3Km Donde: BC 5 Km 2 11 DC Km 2 8 AF 3 B Altura D C F Solución: Para calcular el perímetro del trapecio, aplicamos AD BC AF Altura la fórmula: P AB BC CD DA Entonces: Perímetro = 3Km Perímetro = 3Km El perímetro del terreno es de 5 11 5 Km Km Km 2 2 2 21 27 Km Km 2 2 27 Km 2 Luego, cálculo del área: El área de un trapecio se calcula mediante la fórmula: Área = Base mayor base menor Altura 2 Donde: base mayor = DC; base menor = AB Altura = AF. Sustituyendo; queda: Área 5 11 Km Km 2 2 8 Km = 2 3 16 Km 2 8 Km 2 3 Área = Área = 8KM 8 Km 2 3 = Área Área 32 Km 2 3 8 Km 3 = 4Km El área del terreno es de 32 Km 2 3 Ejemplo 3: Una constructora, ha dividido un terreno en cuatro partes iguales para la edificación de cuatro casas. Si el terreno tiene forma de rombo y las medidas y divisiones se especifican en la figura dada. Calcular el área de todo el terreno y el área que corresponde a cada casa. D Donde: G DE 10Dam E DF 16Dam EG 12Dam F Solución: Para calcular el área de un rombo se aplica la fórmula: Área = Diagonal mayor diagonal menor 2 Donde; diagonal mayor = DF y diagonal menor = EG Sustituyendo; queda: Área = 16Dam 12Dam 192Dam2 2 Área 2 = 96Dam2 Luego el área de todo el terreno es igual a 96 Dam2 Para calcular el área de una de las divisiones, podemos dividir el área total entre 4 o tomamos una de las cuatro divisiones; que representan triángulos y le calculamos el D área. G C E Para calcular el área del DEC, se necesita conocer la base “CE” y la altura “CD”. Recuerda que Área F = base . Altura 2 Como las diagonales de un rombo se cortan en sus puntos medios, entonces: La mitad de la diagonal EG es igual a CE. EG 12Dam 6Dam Esto es: 2 2 CE 6Dam base DF CD También: 2 Esto es; DF 16Dam 8Dam 2 2 Por lo tanto; Área = CD 8Dam Altura 6Dam 8Dam 48Dam2 2 2 24Dam2 Ejemplo 4: Miguel es albañil y quiere construir en el patio de su casa un caney de base pentagonal. Si del centro de la superficie de la base, al punto medio entre dos columnas, la distancia es de 7/2 metros y entre cada columna hay una distancia de 3 metros; ¿Cuál es el área del pentágono? Solución: Los vértices A, B, C, D, E A Son los puntos donde van las columnas. El segmento FH es un apotema. B E F D H Como AB = 3m y el pentágono es regular, entonces, C AB = BC = ED = DC = CB y FH 7 m 2 Luego, para calcular el área de un pentágono regular se aplica la fórmula. Área = Perímetro del polígono Apotema 2 Entonces; Perímetro = AB + BC + CD + DE + AE Pero como todos los lados miden igual Perímetro= 5.( AB) 5.(3m) 15m Por lo tanto; 15m 7 m Área = 2 2 105 2 m 105 2 2 m es el área del pentágono. 2 4 Cálculos de algunos volúmenes en cuerpos geométricos. Ejemplo 5: Una tarde, el joven Julio caminaba con su padre por cierta avenida y observa, detalladamente, las cosas a su alrededor; le dice: Papá, viste que algunos carros, en la parte trasera, llevan escrito algunos símbolos como: 1.3L, 1.6L, 2.0L, 4.5L, etc. ¿qué significan esos números? El padre, como todo un experto, le contesta: Hijo, esas expresiones hacen referencia a la cilindrada del automóvil, en otras palabras al volumen útil de los cilindros; cuanto mayor es la expresión que allí se indica mayor es la cilindrada del vehículo. Por ejemplo, en un carro de cuatro cilindros, si calculamos el volumen de cada cilindro, mediante la fórmula: V r 2 h , siendo 3,1416; h altura 7,548cm y r radio 4,1035cm . Sustituyendo la fórmula, queda: V (3,1416) (4,1035cm) 2 (7,548cm) 399,29cm3 , ésta representa la capacidad para cada cilindro. Si el carro es de 4 cilindros, entonces la cilindrada es de: 4V 4(399,29cm3 ) 1597,16cm3 . Redondeando esta cantidad por exceso nos resulta, que: V 1600cm3 , esto es equivalente a decir V 1,6litros , y se anota de esta manera para simplificar la escritura. Ejemplo 6: Una piscina, tiene la forma de un prisma como el que se muestra en la figura ¿cuántos litros de agua se necesitan para llenarla por completo? Solución: Observa que si la piscina fuese un paralelepípedo el volumen sería: V ( Áreabase) altura Esto es, V (10m 4m) (4m) Luego; V 160m 3 Pero a la piscina le hace falta un pedazo, para ser un paralelepípedo, algo como esta forma; un prisma triangular, cuyo volumen es: V V 4m 4m 5 2 m 2 ( Área base) altura . Sustituyendo, queda; 2 16m 5m 80m 2 4 4 3 20m 3 Luego, al volumen del paralelepípedo le restamos el volumen del prisma triangular y nos dará el volumen de la piscina, así: Volumen de la piscina 160m3 20m3 140m3 Pero nos piden la capacidad de la piscina en litros, por lo que hay que transformar 140m 3 a litros ; para hacer esto, primero tenemos que trasformar 140m 3 a dm3 . De acuerdo a la escalera de conversión, se tiene que: 140m 3 a dm3 = 140000dm3 , si se sabe que 1dm3 1litro , entonces; 140000dm3 140000litros . Por lo tanto la piscina necesita 140000 litros de agua para llenarse por completo. Te proponemos algunos ejercicios y problemas, debes ejercitar todo lo relacionado al cálculo de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos. Ejercicios: 21.1. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 35 cm y su altura es 3/5 de la base? 21.2. ¿Cuánto mide la base menor de un trapecio que tiene como área 204 m2, la base mayor es de 32 m y su altura es de 12 m? 21.3. ¿Cuál es la medida de uno de los lados de un polígono regular de 16 lados, de apotema igual a 60 cm y área 16000 cm2? 21.4. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo perímetro es de 52 dm? Según la figura que se te indiqua a continuación, realiza los cálculos respectivos: 21.5. Si el área de la figura es igual a 68 cm2 ¿cuánto vale b? 9 cm. b A 21.6. El triángulo ABC es isósceles; si AD = 11 cm. C y CD = 7/2 cm. ¿cuánto vale el área? D B El trapecio de la figura se ha construido con tres triángulos rectángulos, donde uno de ellos es isósceles. 21.7. Halla el área del trapecio de dos maneras: usando la fórmula del área del trapecio y hallando la suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos. 13 cm. 12 cm. 7 cm. Resuelve los siguientes problemas: 13 cm. 12 cm. 7 cm. cm. 21.8. La habitación de Juana, mide 4 m de ancho, 5 m de largo y 5/2 m de alto. El área de la puerta y la ventana es de 2 m2. Ella desea colocar papel tapiz a las cuatro paredes; si cada rollo de papel mide 50 cm de ancho por 5 m de largo ¿Cuántos rollos de papel necesitaría Juana para cubrir las paredes? 21.9. En Tinaquillo hay una estación de radio que tiene una cobertura igual a un radio de 72 Km. ¿Cuántos kilómetros cuadrados cubre la señal de la estación de radio? 21.10. Carlos tiene un terreno de forma cuadrada, cuyo lado mide 18 m. En cada esquina del terreno hay un poste y un caballo atado por una cuerda de 9 m. ¿Qué parte del terreno no puede se recorrida por los caballos? 21.11. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos: 21.13. El volumen de un cilindro es 330п cm3. Calcula el radio de la base si la altura mide 6 cm. 21.14. Determina la altura de un cono que tiene un volumen de 108п m3 y el área de la base es igual a 36п m2. LECTURA Nº 22: THALES Y LA PIRAMIDE DE KEOPS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. Thales y la pirámide de Keops. [Artículo en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/ matemática. Extraído: enero 11, 2007 Tales de Mileto (s. VI a.C.), matemático y filósofo de la antigua Grecia, pertenece al selecto grupo de los siete sabios de la antigüedad, después de ciertos ensayos y reflexiones, realizó el cálculo de la pirámide de Keops, y lo asombroso fue que lo hizo sin hacer mediciones de manera directa, ni se esforzó por llegar a la cima de tan imponente monumento. Se basó en un planteamiento o teorema que lleva su nombre. Según los antecedentes históricos que se tienen en la actualidad, la idea de Thales para el cálculo que realizó se esquematiza como sigue: Sea “A” la altura de la pirámide para calcular; se clava una vara, cuya longitud se conoce, verticalmente donde termina la sombra que proyecta la pirámide. Los valores “S” y “v” son las longitudes conocidas de las sombras de la pirámide y de la vara. Luego, mediante el teorema de Thales se puede demostrar la siguiente igualdad: A Dh base , donde D S. v 2 Esa igualdad permite calcular “A”, si se conoce, la base de la pirámide cuadrangular, la sombra “S” de la pirámide, la altura “h” de la vara y la sombra “v” de la vara. Cuando se realizaron los cálculos la asombrosa pirámide tenía 227 m de lado y 146,5 m de altura. En la actualidad, el procedimiento más común para realizar medidas en cuerpos geométricos y figuras planas, es la aplicación de fórmulas matemáticas. Esas medidas que llamamos áreas y volúmenes, no se calculan directamente ya que se deben medir previamente ciertas magnitudes. Por ejemplo: Figura Triángulo Área A base altura 2 Bb altura 2 Trapecio A Paralelogramo A base altura Rectángulo A base altura Rombo A producto _ de _ diagonales 2 A (lado) 2 Cuadrado A r2 Círculo Cuerpo Prisma recto Volumen V área _ de _ base altura V (lado)3 Cubo Pirámide Cilindro Cono V área _ de _ base altura 3 V r 2 altura V r 2 altura 3 Esfera V 4 r3 3 LECTURA N° 23: LA TRIGONOMETRÍA Tomado con fines instruccionales de: Santamaría, J (2007). La trigonometría. [Artículo no publicado]. (pp. 1- 3). Tinaquillo, Estado Cojedes. Es la rama de la geometría, que estudia las relaciones numéricas entre los lados y los ángulos de los triángulos El origen 0 es el vértice de ángulo y las semirrectas 0A y 0B son los lados del ángulo. 0A es el lado inicial y 0B es el lado terminal. El ángulo A0B= & se genera mediante la rotación del lado 0A hasta el lado 0B Los ángulos pueden denominarse con letras del alfabeto griego: . , , , , , , . También puede denominarse A0 B , que se lee como ángulo A0B. Un ángulo es positivo si 0A se rota en sentido contrario al giro de las agujas del reloj hasta 0B. Un ángulo es negativo si 0A se rota en el mismo sentido del giro de las agujas del reloj hasta 0B. Un ángulo, es la posición del plano limitada por dos semirrectas que poseen un origen común. Un radián es el ángulo central de una circunferencia al que le corresponde un arco de longitud igual al radio. Si 360º=2 radianes 180º = radianes de donde 1 radián = 180º/ = 57,30º Para convertir de grado a radianes multiplicamos el valor del ángulo en grado por /180º. Para convertir de radianes a grado se multiplica el valor del ángulo en radianes por 180º/ . Las razones trigonométricas Consideremos el triángulo rectángulo de referencia B AB = c: Hipotenusa BC = a: Cateto opuesto al ángulo & AC = d: Cateto adyacente al ángulo & c a & C d A Tomando en consideración el triángulo ABC y el ángulo & pueden definirse las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo así: Se llama seno de & a la razón entre el cateto opuesto BC y la hipotenusa Sen (&) AB: BC AB Se llama coseno de & la razón entre el cateto adyacente AC y la hipotenusa AB: Cos (&) AC AB Se llama tangente de & a la razón entre el cateto opuesto BC y el cateto adyacente AC: Tag (&) BC AC Razones trigonométricas recíprocas Se llama cotangente de & a la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto: Ctg (&) AC CB Se llama secante de & a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto adyacente AC: Sec (&) AB AC Se llama cosecante de & a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto opuesto BC: Csc (&) AB BC Identidad fundamental de la trigonometría Consideremos el triángulo rectángulo mostrado en la figura. Apliquemos el teorema de Pitágoras a dicho triángulo. (Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2 De acuerdo al triángulo rectángulo ABC se tiene que: ( AC) 2 ( AB) 2 ( BC) 2 , luego; dividimos toda la igualdad por (AC)2 y nos queda: AC2 AC2 AB 2 ( BC) 2 , AC2 AC2 por propiedad de la potenciación, se puede representar así: 2 2 AC AB BC AC AC AC 2 luego; según la definición de las razones trigonométricas se tiene que: Si AC es la hipotenusa, AB es el cateto opuesto del ángulo y BC es el cateto adyacente del ángulo , entonces: AB BC Sen , Cos . AC AC Y por propiedad de inverso en la multiplicación AC 1, AC Por lo tanto, si se sustituye estas igualdades en la anterior, nos queda: 1 Sen Cos . 2 2 De esta manera la expresión: Sen 2 Cos 2 1 representa la identidad fundamental de la trigonometría, en función al triángulo rectángulo y a uno de sus ángulos agudos. Ejercicios propuestos 23.1- Encierra en un círculo la opción “V” si consideras el enunciado como verdadero o la letra “F” si lo consideras falso: 1. La trigonometría, estudia la simetría de las figuras planas .................... V - F. 2. La identidad fundamental de la trigonometría es llamada teorema de Euclides ........................................................................................... V - F. 3. Las razones trigonométricas parten de un triángulo rectángulo ............. V - F. 4. La razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama cotangente de & de ............................................................................... V - F. 5. Para hallar la identidad fundamental hay que aplicar el teorema de Pitágoras ............................................................................................... V - F. 6. El seno al cuadrado de un ángulo más el coseno al cuadrado del mismo ángulo es igual a la unidad ...................................................... V - F. 7. La secante de & es una razón trigonométrica recíproca del coseno ...... V - F. 8. El cateto adyacente más el cateto opuesto es igual a la hipotenusa ..... V - F. RESUMEN DE FUNDAMENTALES LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Las identidades pitagóricas: 1. sen 2 x cos2 x 1 2. tag 2 x 1 sec 2 x 3. 1 cot ag2 x 1 cos2 Las identidades del cociente: 4. tagx senx cos x 5. cot agx cos x senx Las identidades recíprocas: 6. cos x 1 senx 7. senx 1 cos x 8. cot agx 1 tgx Ejercicios: 23.2. Sabiendo que sen α = ¾ calcular el resto de las identidades trigonométricas 3 2 calcular cos y sen 2 3 23.3. Dado que la tag = 23.4. Sabiendo que sec = 30 calcular sen y cot 2 3 23.5. Sabiendo que cos α = m2 n2 encontrar cot α m2 n2 23.6. Si sen 23.7. sen 3 hallar el valor de la expresión 1 2 hallar el valor de la expresión tag2 cos2 sec2 cot2 sen2 cot2 cos2 sec2 cos2 23.8. Dado el triángulo de la derecha, calcular las razones trigonométricas del ángulo α 1+a α 1-a LECTURA Nº 24: LA TRIGONOMETRÍA ¿PARA QUÉ SIRVE? Tomado con fines instruccionales de: Feria, D. (s.f.) Trigonometría ¿Para qué sirve? [Artículo en línea]. Disponible: http://www.es.geocities.com/dferiagomez. Extraido: diciembre 6, 2007 El problema básico de la trigonometría es algo parecido a esto: Estás cerca de un ancho río y necesitas conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el árbol marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo hacerlo sin cruzar el río? La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B, y mida con una cinta la distancia “c” entre ellos (base del triángulo). Luego extraiga el poste del punto A y sustitúyalo por un telescopio de topógrafo "teodolito", contando con una placa dividida en 360 grados, marque la dirección (azimut) a la que apunta el telescopio. Dirigiendo el telescopio primero Figura 10 hacia el árbol y luego hacia el poste B, mide el ángulo A del triángulo ABC, igual a la diferencia entre los números que ha leído de la placa de azimut. Sustituya el poste por el teodolito en el punto B y mida de la misma forma el ángulo B. La longitud “c” de la base y los dos ángulos A y B es todo lo que necesita para conocer el triángulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un triángulo de la misma forma y mismo tamaño, en un sitio más conveniente. La trigonometría (de trigón = triángulo) en un principio, fue el arte de calcular la información perdida mediante simple cálculo. Dada la suficiente información para definir un triángulo, la trigonometría te permite calcular el resto de las dimensiones y de ángulos. ¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros. Para medir un terreno, los topógrafos lo dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Después de medir la base, como la AB en el ejemplo del río, el topógrafo medirá (de la forma descrita aquí) los ángulos que se forman con el punto C y usará la trigonometría para calcular las Un antiguo telescopio De topógrafo (teodolito). distancias AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán bases para dos más..., y de esta forma construirá más y más triángulos hasta que se cubra el terreno completo, con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente, se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos. Un gran proyecto de reconocimiento del siglo XIX fue la "Gran Planimetría Trigonométrica" de la India británica. Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36" de ancho, cuyas lecturas se hacían de manera precisa con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usándolos, el proyecto cubrió el país con múltiples cadenas de triángulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las áreas entre las cadenas se dejaron para más tarde) y se necesitaron décadas para completarla. En 1843 Andrew Scott Waugh, se encargó del proyecto como Inspector General y puso especial atención a las montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montañas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Después de haberse hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por "computadores" en las oficinas de inspección; no eran máquinas sino personas que efectuaban los cálculos trigonométricos. La historia dice que en 1852, el jefe de los "computadores" fue hacia el director y le dijo: "Señor, hemos descubierto la mayor montaña del mundo". Desde una distancia de más de 100 millas (160 km), observaron la montaña desde seis estaciones diferentes, y "no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a través de su telescopio el punto más alto de la Tierra". Al principio se la designó como "Pico XV" por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó Everest, en memoria de Sir George Everest su predecesor, en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; ahora están expuestos en el "Museum of the Survey of India" en Dehra Dum. Hoy en día se puede localizar de forma muy precisa la posición de un punto sobre la Tierra, usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están difundiendo constantemente su posición. Un pequeño instrumento electrónico de mano recibe sus señales y devuelve nuestra posición con un error de 10-20 metros (aún es más preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometría, pero lo hace todo la computadora que está dentro de su aparato, lo único que usted necesita es pulsar los botones apropiados. LECTURA Nº 25: TEOREMA DE PITAGORAS Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar. Teorema de Pitágoras. [Artículo en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. Extraído: enero 4, 2007 En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual, a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Observa cómo los cuadrados construidos sobre los catetos cubren el cuadrado construido sobre la hipotenusa. El cuadrado superior derecho se descompone, ubicando primero el punto de corte de las diagonales. Luego se trazan por ese punto, un segmento paralelo a la hipotenusa y un segmento perpendicular a ella. En la figura se presenta una “versión visual” de la comprobación de este teorema. Observa un ejemplo de comprobación analítica del teorema: En el triángulo rectángulo que se muestra en la figura, los lados miden 10, 8 y 6 unidades respectivamente. Sobre cada lado se ha construido un cuadrado; según el teorema de Pitágoras se puede verificar que el área del cuadrado mayor, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados menores. Analíticamente hablando, esto es: entonces ( AB) 2 ( AC) 2 ( BC) 2 , fácilmente podemos constatar la fórmula sustituyendo los valores correspondientes. (10) 2 (8) 2 (6) 2 , luego 100 64 36 . Figura 12