Cuadrilatero circunscriptible a una circunferencia

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Nivelación de Matemáticas – Ciclo 2005 – 2
CUADRILÁTEROS
LA CIUDAD DE LIMA, conocida también
como Ciudad de los Reyes, fue fundada por
Francisco Pizarro el 18 de enero de 1535 en la
margen derecha del río Rímac debido a las
magníficas condiciones estratégicas y
geográficas de este
valle.
Hoy en día, Lima es una
ciudad moderna que
ofrece una gran
variedad de atractivos,
que unidos a su rico
pasado, presenta una
síntesis armoniosa de
toda esta riqueza
histórica en sus museos,
barrios tradicionales,
restaurantes, galerías de
artesanos y vida nocturna.
En la configuración de la ciudad, los arquitectos diseñaron sus manzanas en forma de
cuadriláteros.
Cuadriláteros.
A 1
1. Definición: un cuadrilátero es un polígono con cuatro lados.
D
1
4
2
2. Elementos de un cuadrilátero:
2
B
1.
Lados:
AB , BC , C D y DA
2.
Vértices:
A, B, C y D.
3.
Ángulos interiores:
1, 2, 3 y 4.
4.
Ángulos exteriores:
1, 2, 3 y 4.
5.
Diagonales:
AC y BD
CUADRILÁTEROS
4
3
3
C
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3. Propiedad básica: En todo cuadrilátero se cumple que la suma de la medida de sus cuatro
ángulos interiores es 360°. Sobre la base del cuadrilátero mostrado en la figura anterior, se
puede afirmar:
mA  mB  mC  mD  α  α  α  α  360
1 2 3 4
4. Clasificación de los cuadriláteros convexos: En este capítulo sólo trataremos
cuadriláteros convexos.
Cuadriláteros
convexos
D
D
A
A
Simétricos C
Asimétrico
s
B
C
A
B
B
Trapecio
D
A
C
A
D
A
Trapecio
Isósceles
Trapecio
Escaleno
B
D
C
B
D
Paralelogramo
C
B
C
B
A
B
A
Trapecio
Rectángulo
D
D
A
Romboide
C
B
D
A
Rectángulo
C
B
Rombo
C
D
A
D
Cuadrado
B
CUADRILÁTEROS
C
C
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4.1. Cuadriláteros Simétricos: si una de sus diagonales es mediatriz de la otra.
B
4.1.1. Propiedades


Tiene dos pares de lados congruentes. Sobre la
base de la figura se puede afirmar: AB BC y
AD CD .
La diagonal que forma el eje de simetría ( BD en
la figura) biseca a los ángulos interiores del
cuadrilátero.
 
C
A
 
D
4.2. Cuadriláteros Asimétricos: si no es simétrico.
4.3. Clasificación de cuadriláteros asimétricos:
4.3.1. Trapecio: Es un cuadrilátero asimétrico que tiene un par de lados opuestos
paralelos, llamados bases.
Definiciones:
B
Mediana de un trapecio, es el
segmento de recta que une los
puntos medios de sus lados no
paralelos: M N
Altura de un trapecio, es el
segmento perpendicular entre
las bases: CH . CH = h.
C
M
N
A
H
D
Propiedades:

b
La mediana de un trapecio es paralela
a las bases y su longitud es igual a la
semisuma de las longitudes de las bases.
MN 
M
N
Bb
2
B

El área de la región encerrada por un
trapecio es igual al producto de la
longitud de su mediana y la longitud de su
altura.
b
m
 B b 
A  mh  
h
 2 
B
CUADRILÁTEROS
h
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b

La longitud del segmento que une los
puntos medios de las diagonales es
igual a la semidiferencia de las
longitudes de las bases.
PQ 
P
Q
B b
2
B
Se tienen trapecios:
escalenos (rectángulos y no rectángulos); trapecios isósceles y paralelogramos.
4.3.2. Paralelogramo: Es un trapecio que tiene sus dos pares de lados opuestos
paralelos.
B
Propiedades:
 Los lados opuestos son congruentes.


Los ángulos opuestos son congruentes y los
ángulos adyacentes a un mismo lado son
suplementarios.
C
A
D
B
C
Las diagonales se bisecan mutuamente.
A

D
El área de la región encerrada por un
paralelogramo es igual al producto de la
longitud de su base y la longitud de su altura.
h
b
A = bh
Entre los paralelogramos tenemos:
el romboide, el rectángulo y el rombo;
y como caso particular el cuadrado.
d
4.3.3. Cuadriláteros especiales:

El rombo, que además de ser un paralelogramo
equilátero, es un cuadrilátero simétrico. Su área es
igual al semiproducto de las longitudes de sus
diagonales.
A
CUADRILÁTEROS
Dd
2
D
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
El cuadrado, que además de un rectángulo (tiene un
ángulo recto). es un rombo (tiene sus lados congruentes).
Su área es igual a la longitud de su lado elevada al
cuadrado.
L
A  L2
Cuadrilátero inscriptible en una circunferencia
Un cuadrilátero es inscriptible en una circunstancia si todos sus
vértices están ubicados en dicha circunferencia.
Cuadrilatero circunscriptible a una circunferencia
Un cuadrado es circunscriptible a una circunferencia si todos sus
lados son tangentes a dicha circunferencia.
Ejemplos:
1. Una paloma mensajera vuela de Norte a Sur 1 000m, desde A hasta B, luego vuela
800m hacia el Oeste desde B hasta C y por último recorre el tercer tramo de Sur a
Norte de 2 000m desde C hasta D, ¿cuál es la distancia de A a D?
2. En la siguiente figura calcule “x”.
x
70°
150°




3. En un trapecio ABCD ( AD // BC ), AD = 10 u, BC = 4 u. Calcule la medida del
segmento que une los puntos medios de AD y BC si A y D son complementarios.
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Manejo de Conceptos
1. Con respecto a las diagonales de cada figura, coloca un check ()
Propiedades de sus
diagonales
..................
...................
................
...............
 Se bisecan entre sí.
 Son congruentes.
 Son perpendiculares.
 Bisecan los ángulos del
vértice.
 Forman dos pares de
triángulos congruentes.
 Forman 4 triángulos
congruentes.
2. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F), y
justifique adecuadamente su respuesta.
a. Es posible que un trapecio tenga tres lados congruentes
b. En un trapecio, los ángulos adyacentes de los lados no paralelos son complementarios.
3. ¿Qué características tienen las diagonales de un cuadrado?
4. ¿Cuáles son las diferencias entre un romboide y un rombo?
5. Rellene los espacios en blanco en cada caso:
a. Al unir los puntos medios de los lados de un cuadrado en forma consecutiva se forma
un ____________________ .
b. Al unir los puntos medios de los lados de un rectángulo en forma consecutiva se forma
un ____________________ .
c. Al unir los puntos medios de los lados de un rombo en forma consecutiva se forma un
.______________________ .
d. Al unir los puntos medios de los lados de un romboide en forma consecutiva se forma
un _____________________ .
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Gráficos
6. De la figura, calcule “x”.


100°
x

60°

B
7. La figura mostrada es un rombo, calcule "x" e "y".
C
20 m
A
y
60°
3x-7
D
8. La figura mostrada es un trapecio, calcule "x" e "y".
C
B
105°
6y – 10°
3y
2x + 10°
A
D
9. Calcule “x” en la siguiente figura:
X+3
X
15 m
B
10. ABCD es un paralelogramo. AB = 12 cm, BC = 15 cm.
Calcule la longitud del segmento HD.

A
11. Del gráfico, calcule “  ”.
2
a
a
CUADRILÁTEROS

b
b
C

H
D
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Construcciones
12. La base mayor y menor de un trapecio miden (10 - n) y (4 + n) respectivamente. Si las
medidas están en centímetros, calcule la longitud de su mediana.
13. Dado un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D.
a.
b.
c.
Calcule BC si AB = 11m, AD = 3m y DC = 15m.
Calcule AB si BC = 20m, AD = 12m y CD = 36m.
Calcule BD si AB = 20cm, CD = 28cm y BC = 17cm.
14. En un paralelogramo ABCD, se tiene mABC + mACD = 148°. Calcule el menor
ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos ABC y ACD.
15. En un triángulo ABC, donde mB = 80, se tiene un punto F, en AC, tal que las
mediatrices de los segmentos AF y FC cortan a los lados AB y BC en los puntos Q y R
respectivamente. Calcule el valor del ángulo QFR.
16. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D, las medidas de las bases están en
relación de 1 a 2 y el lado no paralelo BC, forma un ángulo de 150° con la base menor.
¿En qué relación se encuentran las medidas de la altura y la mediana del trapecio?
17. El lado menor AB de un paralelogramo ABCD mide 8m. Se traza la bisectriz del ángulo B
que corta al lado AD en el punto E. Calcule la longitud del segmento que une los puntos
medios de los segmentos EC y BD.
18. En un paralelogramo ABCD, AB = 4m, BC = 15m; al trazar las bisectrices interiores de
los ángulos determinan un cuadrilátero. Calcule la diagonal de dicho cuadrilátero.
Situaciones del contexto real
19. La figura muestra un PANTANO, cuyas mediciones se han realizado y sobre el cual se
quiere construir un puente que una los caminos A y B. Sabiendo que los caminos A y B
son paralelos y con el fin de hacer los costos de construcción más económicos, calcule la
distancia que existe entre dichos caminos.
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Respuestas:
Manejo de conceptos
1.
2.
3.
a. 
b. -  - 
c. - - 
d. - - 
e. 
f. - - 
VF
Gráficos
6. 80
5. a. Cuadrado
b. Rombo
c. Rectángulo
d. Romboide
CUADRILÁTEROS
12. 7,0 cm
7. x = 9 m; y = 20 m 13. a. 5 m
b. 20 m
8. 15; 25
c. 25 m
9. 18 m34,0 m
14. 74
10. 3 cm
congruentes,
perpendiculares 11. 67,5
y bisecan los
ángulos.
4.
Construcciones
15. 80
16.
2 3
9
17. 4 m
18. 11 m
Situaciones del
contexto real
19. 120 m