Aplicaciones de las derivadas al estudio de funciones (III)

IES PADRE FEIJOO
2º BHCS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
APLICACIONES DE LA DERIVADA AL ESTUDIO DE FUNCIONES
9.- El porcentaje de ocupación de una cafetería entre las 13 y las 21 horas se explica bastante bien por la siguiente función
( P (x ) representa el porcentaje de ocupación a las x horas):
P( x ) = ( x 2 − 55 x ) ⋅ ( x + 1) + 1015 x − 5542
a)
b)
c)
13 ≤ x ≤ 21
Indica los intervalos de tiempo en que la ocupación crece y aquellos en que decrece.
Dibuja la función. ¿Cuándo se alcanza el porcentaje de ocupación más alto? ¿Y el más bajo? ¿Cuánto valen?
¿La función tiene algún máximo o mínimo relativo que no sea absoluto?
10.- El índice de inflación de un país fue variando con el paso de los meses de un cierto año según la función:
I (t ) = 3 +
a)
b)
t 2 − 8t
40
donde t = 1 corresponde a enero, t = 2 a febrero, ...., t = 12 a diciembre.
¿Durante qué meses el índice de inflación fue subiendo y durante cuándo bajando?
¿Cuáles fueron los valores máximo y mínimo del índice de inflación de ese año y en qué meses se alcanzaron?
11.- El número de visitantes que acuden a una exposición fotográfica durante dos semanas de duración de la misma, ha
variado según la función.
N (t ) = − t 3 + 24t 2 − 117 t + 570
a)
b)
c)
d)
1 ≤ t ≤ 14
donde t representa el día. Se pide, justificando la respuesta:
¿Cuántos visitantes hubo el día de la inauguración? ¿Y el día de la clausura?
¿Qué día tuvo lugar la asistencia máxima de visitantes?
¿Qué día tuvo lugar la asistencia mínima de visitantes?
¿Cuáles fueron los valores máximo y mínimo de visitantes?
2
12.- El consumo de gasolina de cierto coche viene dado por la función: y ( x ) = x − 9 x + 113
400
Km/h e
20
4
donde
x es la velocidad en
y (x) es el consumo en litros cada 100 Km.
a)
b)
Calcula cuál es el consumo mínimo y a qué velocidad se obtiene.
Estudia (representando la correspondiente gráfica) el consumo de gasolina en función de la velocidad.
13.- El consumo de agua, en metros cúbicos mensuales, de una empresa varía durante el primer semestre del año (de enero
a junio) de acuerdo con la función:
C (t ) = 8 t 3 − 84 t 2 + 240 t
con
0≤t ≤6
Se pide:
a)
b)
c)
¿En qué meses de este primer semestre se producen los consumos máximo y mínimo?
Determina el valor de dichos consumos máximo y mínimo.
Determina los períodos de crecimiento y decrecimiento del consumo en estos seis meses.
14.- El número de personas que utiliza las instalaciones de una piscina de verano viene expresado por la función
f (t ) = 10t 3 − 120t 2 + 450 t , en donde t expresa el tiempo transcurrido desde la apertura de la piscina, 12 de la mañana
(instante t = 0 ), hasta el cierre de la piscina que se produce a las 19 horas de la tarde.
a)
b)
c)
d)
Cuántas personas quedan a la hora de cerrar la piscina?
¿A qué hora el número de personas es mayor? ¿Cuántas hay en ese momento?
¿A qué hora el número de personas es menor? ¿Cuántas hay en ese momento?
Periodos en los que el número de personas crece o decrece.
15.- Un club deportivo ha observado que la cantidad de espectadores que asisten a cada partido es función del precio de la
entrada según la expresión:
Siendo
N ( x) = 12000 − 1500 x + 800
x
N (x) el número de espectadores cuando el precio de la entrada es x euros.
Determina justificando las respuestas:
a)
b)
c)
d)
¿Qué expresión nos proporciona los ingresos de cada partido en función del precio de la entrada?
El precio que deben cobrar por cada entrada para hacer máximos los ingresos por partido.
¿Cuál será el valor de los ingresos máximos?
¿Cuántos espectadores por partido se esperan para dicho precio de la entrada?
16.- Suponiendo que el rendimiento R en % de un estudiante en una hora de examen viene dado por R (t ) = 300 t ⋅ (1 − t )
siendo 0 ≤ t ≤ 1 (tiempo en horas).
a)
Representa gráficamente la función R (t ) .
b)
c)
Indicar cuándo aumenta y disminuye el rendimiento y cuándo se hace cero.
¿Cuándo es máximo el rendimiento y cuál es?